Centrale Physique et Chimie 2 MP 2026

MP
4 heures

Calculatrice autorisée

2026

Physique-chimie 2

Microscopie thermique à sonde locale
Les microprocesseurs les plus récents incorporent plusieurs milliards de 
transistors, avec une finesse de gravure de
l'ordre de seulement quelques nanomètres. À ces échelles, la notion d'équilibre 
thermodynamique local est mise en
défaut et la loi de Fourier ne s'applique plus. Il devient alors nécessaire de 
développer des technologies spécifiques afin de
mieux comprendre les transferts thermiques qui interviennent dans ces 
composants. La microscopie thermique à sonde
locale répond à ce besoin en permettant des mesures de conductivité thermique 
avec une résolution nanométrique.
La méthode, proposée par R. Dinwiddie et R. Pylkki en 1994 [1], s'appuie sur un 
microscope à force atomique. Cet
appareil est habituellement utilisé pour déterminer le profil topographique de 
surfaces en exploitant les interactions
entre une micro-pointe et le matériau étudié. Dans le cas de la microscopie 
thermique, la micro-pointe est réalisée à
partir d'un fil de Wollaston : il s'agit d'un fil d'argent contenant en son 
coeur un filament de platine rhodié (Pt90/Rh10).
Le fil est plié en forme de V, avant d'être partiellement dénudé, laissant 
apparent le filament de platine constituant
la micro-pointe (cf. figure 1). Parcouru par un courant, le filament chauffe 
par effet Joule et sa résistance électrique
augmente ; lorsqu'il est mis au contact d'un matériau, un flux thermique est 
transmis à l'échantillon et sa résistance
diminue en conséquence. La mesure de la variation de la tension à ses bornes 
permet de déterminer la conductivité
thermique locale du matériau. Le processus peut être répété en tout point de 
l'échantillon afin d'obtenir une image
thermique, qui cartographie les variations de conductivité thermique sur la 
surface.

a)

Fil de
Wollaston

200 µm

b) Image topographique

Image thermique

Filament de platine
Figure 1 ­ a) Image au microscope à balayage électronique de la micro-pointe 
Wollaston [1]. b) Images
topographique et thermique obtenues sur un damier micrométrique constitué de 
deux matériaux de conductivités
thermiques différentes [2].
Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part 
du candidat. Elles sont repérées par un
soulignement de leur numéro. Il est alors demandé d'expliciter clairement la 
démarche, les choix et de les illustrer, le
cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et tient 
compte du temps nécessaire à la résolution
de ces questions.
Le problème comporte trois parties : la première partie est indépendante des 
deux suivantes. Le formulaire et les
données sont regroupés en fin d'énoncé.

Partie A ­ Production de la pointe
La micro-pointe est réalisée par attaque chimique de l'argent de la gaine du 
fil de Wollaston dans un bain d'acide. Afin
d'étudier les réactions qui ont lieu, on fournit le diagramme potentiel-pH 
simplifié de l'azote, se limitant aux acides
nitreux HNO2 (aq) et nitrique HNO3 (aq), aux ions nitrite NO2 ­ (aq) et nitrate 
NO3 ­ (aq) et au monoxyde d'azote
NO(g) (cf. figure 2). On choisit la convention de tracé c0 = 0,1 mol · L-1 pour 
chaque espèce en solution et, pour les
gaz, la pression standard de référence P0 = P  = 1 bar. La température est T = 
298 K.
1/8

1, 0

2
A

E (V)

0, 5

0, 0

3

1
- 0, 5
0

2

4

6

pH

8

10

12

14

Figure 2 ­ Diagramme potentiel-pH simplifié de l'azote.
L'azote et l'oxygène sont situés sur la seconde ligne du tableau périodique des 
éléments, dans les colonnes portant
RT ln(10)
respectivement les numéros 15 et 16. Pour les applications numériques, on 
prendra
= 0,06 V où R est la
F
constante des gaz parfaits et F la constante de Faraday.
Q1. Donner les représentations de Lewis des différentes espèces azotées 
envisagées, les atomes d'oxygène étant systématiquement liés à l'atome d'azote. 
Préciser la particularité du monoxyde d'azote NO(g) qui explique sa forte
réactivité.
Q2. Écrire la réaction de dissolution de l'acide nitrique HNO3 dans l'eau. 
Justifier alors que l'acide nitrique HNO3
n'apparaît pas dans le diagramme potentiel-pH fourni.
Q3. Justifier que l'acide nitreux HNO2 n'apparaît pas non plus dans le 
diagramme.
Q4. Déterminer alors les espèces correspondant aux domaines 1, 2 et 3 du 
diagramme.
Q5. Établir à partir des données thermodynamiques les équations des frontières 
séparant les domaines 2 et 3 d'une
part et 1 et 3 d'autre part.
Q6. En déduire les coordonnées du point A.
Q7. Écrire l'équation de la réaction que subit l'espèce associée au domaine 3 
pour pH < pHA . Nommer cette réaction. Q8. Déterminer par quel acide et dans quel domaine de pH l'argent peut être attaqué spontanément. Écrire l'équation bilan de la réaction et calculer numériquement sa constante d'équilibre. Dans la méthode de fabrication proposée par Philip Ligrani en 1984 [3], il est préconisé de recourir à une électrolyse, une des deux électrodes étant le fil de Wollaston, la seconde étant une électrode de platine. Q9. Faire un schéma du dispositif expérimental en précisant le sens du courant et les réactions aux électrodes. Justifier son intérêt. Partie B ­ Mesures thermiques en régime continu La pointe obtenue est représentée schématiquement sur la figure 3. La demi-longueur nominale du filament est L = 100 µm et son rayon nominal est R = 2,5 µm. Dans toute cette partie, on modélise le filament par une ailette thermique cylindrique rectiligne de longueur 2L et de section S = R2 , parallèle à l'axe Ox et telle que x = 0 correspond au milieu de la pointe. L'étude est menée en régime permanent, sauf mention contraire. On néglige les échanges thermiques avec l'air ambiant, ainsi que les transferts thermiques par rayonnement. Toute section du fil est alors isotherme : on note T (x) la température du fil à l'abscisse x et (x) = T (x) - T0 l'échauffement par rapport à la température ambiante T0 = 20  C supposée constante. 2/8 Les fils de Wollaston de part et d'autre du filament se comportent comme des thermostats à la température T0 , donc : (x = -L) = (x = L) = 0. a) b) Fil de Wollaston Fil de Wollaston Platine rhodie Ø= 2R L x = -L Fil de Wollaston Fil de Wollaston Argent Filament Pt90/Rh10 x= 0 x=L x Figure 3 ­ a) Géométrie de la pointe. b) Modélisation du filament par une ailette thermique rectiligne. I ­ Principe de la mesure La pointe est traversée par un courant continu d'intensité I0 . Le protocole consiste à mesurer, lors de la mise en contact de la pointe avec l'échantillon, la variation de tension UDC à ses bornes. L'échauffement du filament est noté hc (x) lorsqu'il n'est pas en contact avec l'échantillon (hors contact) et ec lorsqu'il l'est (en contact). La valeur moyenne d'une fonction F (x) définie sur [-L, L] est notée F . Q10. Exprimer la résistance électrique R0 du filament à température ambiante T0 en fonction des paramètres géométriques L et S de la pointe et de sa résistivité électrique 0 à T = T0 . Faire l'application numérique. La résistance électrique des fils de Wollaston qui relient la pointe au support est RW = 1,5 × 10-3 . Q11. Justifier que la tension mesurée aux bornes de la pointe est sensiblement égale à celle aux bornes du filament. Comme la température du filament dépend de x, sa conductivité présente des variations spatiales. On admet que sa résistance électrique est la même que s'il possédait une résistivité uniforme égale à 0 (1 + a), avec a le coefficient thermique de résistivité. Q12. Montrer que la variation de tension UDC aux bornes de la pointe lors de sa mise en contact avec l'échantillon est proportionnelle à , où (x) = ec (x) - hc (x). II ­ Échauffement hors contact On considère dans un premier temps que la pointe est suffisamment loin de l'échantillon de sorte que l'on puisse négliger tout transfert thermique vers celui-ci. On souhaite calculer l'échauffement hc (x) le long du filament. Q13. Montrer que la température T (x,t) dans le filament est solution, en régime quelconque, de l'équation de la diffusion thermique : T 2T µcS = S 2 + pJ,lin t x où pJ,lin est la puissance thermique linéique générée par effet Joule le long du filament de platine. Q14. En négligeant les variations de la résistivité électrique du filament avec la température, exprimer la puissance thermique linéique pJ,lin générée par effet Joule le long du filament de platine en fonction de 0 , I0 et S. Q15. Déterminer alors l'équation différentielle vérifiée par l'échauffement hc (x) en régime permanent. 3/8 Q16. En déduire que : J 0 2 hc (x) = - x2 + Ax + B I0 avec J= 2 S 2 et donner les expressions de A et B en fonction de J et des paramètres géométriques du filament. Q17. Représenter graphiquement le profil de l'échauffement hc (x) pour x [-L,L]. Q18. Calculer la valeur moyenne de l'échauffement dans le fil hc . Faire l'application numérique pour I0 = 50 mA. III ­ Mesure du flux transmis au contact La pointe est désormais étudiée en contact avec l'échantillon en x = 0. On modélise les échanges thermiques entre la surface du filament et l'échantillon par une conductance thermique de contact Gc constante. On suppose par ailleurs que, dans l'échantillon, la température est uniforme dans une demi-boule de rayon b autour du point de contact [4] ; on note cette température T1 . La diffusion thermique a alors lieu radialement dans l'échantillon depuis cette demi-boule et on note Ge la conductance thermique engendrée par l'épanouissement des lignes de flux dans le matériau jusqu'à l'infini, où la température est constante égale à T0 (cf. figure 4). L'échauffement le long du filament est dorénavant noté ec (x). Gc b T1 Ge T0 Figure 4 ­ Modélisation thermique du contact en régime permanent. Q19. Montrer que : Ge = 2e b . Q20. Justifier que le flux thermique  transmis dans l'échantillon est proportionnel à l'échauffement de la pointe en x = 0, soit : = Gec (0) , et exprimer G en fonction de la conductivité thermique de l'échantillon e , de b et de Gc . Comme le contact du filament avec l'échantillon est ponctuel, le bilan thermique et l'équation différentielle établis dans les questions Q13 et Q15 s'appliquent toujours sur chacun des intervalles ] - L,0[ et ]0,L[. En x = 0, le flux diffusant vers l'échantillon, qui est extrait à parts égales des deux parties du filament, introduit une singularité dans le profil de température. On note jx (x) = j(x)·ux la projection du vecteur densité de flux thermique dans le filament selon le vecteur unitaire ux ; elle est définie sur les intervalles ] - L,0[ et ]0,L[. Q21. Sachant que le filament évacue de l'énergie vers l'échantillon, déterminer les signes de , de jx (0- ) et de jx (0+ ). + ec Q22. En raisonnant sur la partie droite (x > 0), exprimer d
dx (0 ) en fonction de la conductivité thermique du
filament , de G, de S et de l'échauffement à l'extrémité de la pointe ec (0).

Q23. En déduire que, pour x > 0 :
ec (x) =

J
2

-x2 +

u
L2
Lx +
1+u
1+u

,

et donner l'expression de u en fonction de G, , S et L.
Q24. Représenter graphiquement les variations de l'échauffement ec (x) pour x  
[-L,L].
Q25. Exprimer la différence (x) = ec (x) - hc (x) pour x > 0 en fonction de J, 
L, u et x.
4/8

Q26. En déduire l'expression de  en fonction de J, L et u, puis exprimer ||/hc  
en fonction uniquement
de u.
Q27. Expliquer pourquoi, sur la figure 5, les matériaux présentant une grande 
conductivité thermique (e  ), tels
que le tantale et le titane, donnent lieu à une variation relative de la 
puissance dissipée à travers la pointe
comparable, bien que leurs conductivités thermiques soient différentes.

0, 5
0, 4

Ta

Ti

TiAlV

|| /hc 

0, 3

Verre

0, 2

PVDF

0, 1
0, 0

Vitro-ceramique

Feuille
d'acetate

Air

0, 01

0, 1

1
10
e (W · m-1 · K-1 )

100

Figure 5 ­ Variation relative de la puissance dissipée à travers la pointe pour 
différents matériaux [5].
Q28. En vous appuyant sur les mesures de la figure 5, déterminer les valeurs 
approximatives du rayon de contact b et
de la conductance de contact Gc .

Partie C ­ Mesure des paramètres géométriques de la pointe en
mode alternatif
La technique rudimentaire de production de la micro-pointe détaillée dans la 
partie A entraîne inévitablement de fortes
incertitudes sur les paramètres géométriques, dégradant ainsi la précision de 
la mesure de la conductivité thermique. Ces
dimensions peuvent évidemment être mesurées à l'aide d'un microscope à balayage 
électronique, mais cet équipement
étant lourd et onéreux, les laboratoires qui utilisent la microscopie thermique 
en sont souvent dépourvus. On s'intéresse
ici à une méthode beaucoup plus simple à mettre en oeuvre consistant à faire 
traverser la pointe par un courant alternatif
sinusoïdal d'intensité i(t) = I0 cos(t).

I ­ Réponse thermique en fonction de la fréquence
Q29. En négligeant les variations de la résistivité électrique du filament avec 
la température, montrer que la puissance
thermique linéique pJ,lin générée par effet Joule le long du filament de 
platine est constituée d'une contribution
indépendante du temps et d'une contribution à la pulsation 2. Écrire l'équation 
de la diffusion thermique dans
cette situation.
Q30. Justifier qu'en régime établi, l'échauffement en un point de la pointe 
(x,t) = T (x,t) - T0 peut s'écrire sous la
forme :
(x,t) = DC (x) + AC (x) cos(2t + (x)).
Écrire une égalité reliant DC (x) à hc (x) obtenu à la partie B.
Dans la suite, on supposera pour simplifier que  est indépendant de x.
Q31. Exprimer la résistance Rp (t) de la pointe à l'instant t en fonction de R0 
, a, DC , AC , ,  et t.
Q32. En déduire que la tension mesurée aux bornes de la pointe comporte une 
harmonique à la pulsation 3 dont on
exprimera l'amplitude U3 en fonction de a, R0 , I0 et AC . Préciser la relation 
que l'on peut écrire entre  et
le déphasage 3 de cette harmonique par rapport à l'intensité du courant.
5/8

On définit l'amplitude
complexe de la composante alternative de l'échauffement AC (x) = AC (x) ej de 
sorte que

2jt
Re AC (x) e
= AC (x) cos(2t + ) où Re désigne la partie réelle pour une grandeur complexe.
Q33. Montrer que, en un point d'abscisse x, l'échauffement alternatif AC (x) 
vérifie l'équation :
d2 AC
J
- m2 AC (x) = -
dx2
2
Q34. En déduire que :
J
AC (x) =
2m2

avec

m2 = 2j

emx + e-mx
1 - mL
e
+ e-mL

µc
.

.

Q35. Exprimer alors l'échauffement moyen AC  le long de la pointe en fonction 
de J, m et L.
Q36. Déterminer le comportement basses fréquences de U3 . On exprimera sa 
limite U3,BF en fonction de R0 , a, I0 ,
J et L. On donne pour cela le développement limité au voisinage de x = 0 :
x3
ex - e-x
=x-
+ o(x3 ).
x
-x
e +e
6
Q37. En déduire une expression du rayon R du filament en fonction de 0 , I0 , 
L, a,  et U3,BF .
Q38. Déterminer de même le comportement hautes fréquences de U3,HF en fonction 
de R0 , a, I0 , J, , µ, c et .
Q39. Déterminer les comportements asymptotiques de la phase pour les basses et 
les hautes fréquences, de notations
respectives associées 3,BF et 3,HF .
Q40. Montrer que l'intersection des deux régimes asymptotiques permet de 
définir une fréquence caractéristique :
fc =

3
.
2L2 µc

Q41. Vérifier la compatibilité des mesures de la figure 6 avec les résultats 
précédents.

( )

0

Arg U 3 /I03

0

- 40
- 60
- 80

1

1

- 20

U 3 /I 3  (V/A3 )

10

10

100
1000
Frequence (Hz)

10000

- 100
1

10

100
1000
Frequence (Hz)

10000

Figure 6 ­ Mesure de la réponse du signal à 3 en fonction de la fréquence du 
courant [6].
Q42. Déterminer numériquement la demi-longueur L du filament, puis son rayon R, 
pour la pointe utilisée lors des
mesures de la figure 6.

II ­ Traitement électronique du signal
Le coefficient thermique de résistivité a étant assez faible, l'amplitude de la 
composante de l'harmonique de rang 3
de la tension directement mesurée aux bornes de la pointe a une amplitude 
environ 1000 fois plus faible que celle du
fondamental. Afin de pouvoir mesurer l'amplitude de cette composante 
fréquentielle, on branche la pointe dans un
pont de Wheatstone alimenté par une source de tension sinusoïdale e(t) = E 
cos(t) (cf. figure 7). Les résistances ont
pour valeur R1 = 1 k et R2 = 220 . La qualité du voltmètre est suffisante pour 
considérer son impédance interne
infinie.

6/8

R

1

R2

v(t)
B

V

A

Rc

R

p

e(t)

i(t)
Figure 7 ­ Schéma du pont Wheatstone utilisé pour la mesure. La pointe 
correspond à la résistance grisée.
Q43. Exprimer l'intensité i(t) en fonction de e(t) et des résistances 
pertinentes.
Q44. Montrer qu'avec la valeur de la résistance R2 choisie, un doublement de la 
résistance de la pointe par rapport
à sa valeur à température ambiante entraîne une variation relative de 
l'amplitude I0 du courant i(t) inférieure
à 1 %. Commenter alors l'impact des variations de température de la pointe sur 
l'amplitude du courant qui la
traverse.
Q45. Montrer que la tension v(t) mesurée entre les bornes A et B s'écrit :
v(t) =

R1 Rp - R2 Rc
i(t) .
Rc + R1

Q46. Proposer une valeur de Rc afin que le fondamental de la tension v(t) ait 
une amplitude du même ordre de
grandeur que l'harmonique de rang 3, proportionnelle à AC .
Un dispositif dit « de détection synchrone », non étudié dans ce sujet, permet 
alors d'extraire cette amplitude et la
phase associée afin d'obtenir les mesures de la figure 6.

7/8

Données
Notation
j représente l'unité imaginaire telle que j 2 = -1.

pKa associés aux constantes d'acidité à 298 K
HNO3 (aq)/NO3 ­ (aq)

HNO2 (aq)/NO2 ­ (aq)

-1,4

3,3

pKa

Potentiels standards à 298 K, 1 bar et pH=0

E  (V)

E  (V)

Ag+ (aq)/Ag(s)

NO3 ­ (aq)/NO2 ­ (aq)

NO3 ­ (aq)/HNO2 (aq)

0,80

0,84

0,94

NO3 ­ (aq)/NO(g)

HNO2 (aq)/NO(g)

NO2 ­ (aq)/NO(g)

0,96

1,00

1,20

Caractéristiques physiques du platine rhodié Pt90/Rh10
Capacité thermique massique

c = 0,15 kJ · K-1 · kg-1

Conductivité thermique à 20  C

 = 38 W · m-1 · K-1

Masse volumique

µ = 19,9 × 103 kg · m-3

Résistivité électrique à 20  C

0 = 1,9 × 10-7  · m

Coefficient thermique de résistivité

a = 1,66 × 10-3 K-1

[1]

R. Dinwiddie, R. Pylkki et P. West. « Thermal conductivity contrast imaging 
with a scanning thermal microscope ». In : Thermal Conductivity 22.3 (1994), p. 
668-677.

[2]

P.-O. Chapuis. « Contribution à l'étude des transferts thermiques à l'échelle 
nanométrique : interaction pointesurface ». École Centrale Paris, 2007.

[3]

P. M. Ligrani. « Subminiature hot-wire sensor construction ». In : Report 
NPS69-84-010 Naval Postgraduate
School, Monterey, CA (1984).

[4]

A. Majumdar. « Scanning thermal microscopy ». In : Annual Review od Material 
Science 29 (1999), p. 505-585.

[5]

D. Trefon-Radziejewska et al. « Thermal characterization of metal 
phthalocyanine layers using photothermal
radiometry and scanning thermal microscopy methods ». In : Synthetic Metals 232 
(2017), p. 72-78.

[6]

S. Lefèvre et al. « Probe calibration of the scanning thermal microscope in the 
AC mode ». In : Superlattices
and Microstructures 35.3 (2004), p. 283-288.

Fin

8/8

P097 - 20 janvier 2026 - 15:19:59 c b e a

Références