Centrale Physique et Chimie MP 2002 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jessica Dubois (Centrale Paris) et Jean-Yves Tinevez
(ENS Lyon) ; il a été relu par Arnaud Gossart (Professeur en CPGE), Thomas
Tétart (ENS Cachan), Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Alexandre Hérault
(Professeur en CPGE).
Le sujet porte sur un procédé d'analyse chimique quantitative : les mesures
d'absorbance de solutions par spectrophotométrie. Il est constitué de deux
problèmes
indépendants : un de physique, qui fait principalement appel à des
connaissances en
optique, et un de chimie, qui fait appel à des connaissances en oxydo-réduction.
· Le problème de physique concerne l'étude d'un spectrophotomètre à réseau.
Les cinq parties qui le constituent, relativement indépendantes et d'inégale
difficulté, visent à étudier ses différents constituants : source lumineuse,
système
dispersif et détecteur. La partie A est une introduction sur l'absorption des
radiations lumineuses par la matière. Grâce à des notions d'électromagnétisme,
on étudie la source et on démontre la loi de Beer et Lambert pour une substance
absorbante. Dans les parties B et C, qui sont très proches du cours sur les
interférences et la diffraction, on étudie un réseau constitué de plusieurs
fentes,
lequel sert de monochromateur pour le spectrophotomètre. La partie D étudie
quant à elle un réseau par réflexion, constitué de plusieurs miroirs.
Finalement,
on estime dans la partie E la bande passante spectrale du spectrophotomètre.
· Le problème de chimie concerne l'étude de quelques complexes du cuivre.
Il est subdivisé en trois parties. La partie A, très courte, étudie la
configuration
électronique des ions du cuivre. Dans la partie B, on détermine la
stoechiométrie
de la formation du complexe de cuivre (II) - EDTA par spectrophotométrie.
La partie C étudie finalement le comportement du cuivre en milieu ammoniacal.
Cet énoncé est assez classique ; plusieurs questions du problème de physique
sont
des démonstrations de cours. Il demande cependant de l'efficacité, de la
rigueur et
de la confiance en soi de la part du candidat le jour du concours,
principalement à
cause de sa longueur.
Indications
Problème de physique
I.A.3 Utiliser la loi du déplacement de Wien.
I.A.4 L'expression de la puissance surfacique spectrale vérifie l'expression
trouvée
à la question I.A.1.
I.A.6 Choisir m = 0 .
I.B.5 Montrer que l'expression de l'intensité lumineuse est le produit d'une
enveloppe, caractéristique de la diffraction, et de pics d'interférences.
I.C.1 Raisonner comme aux questions I.B.2 et I.B.3.
I.C.2 sR () est la somme des N premiers termes d'une suite géométrique.
I.D.2 Pour les ordres p = +1 et p = -1, on montrera que sin et cos vérifient
la
même équation du second ordre, en utilisant la propriété cos2 + sin2 = 1.
I.E.2 Faire un développement limité de l'expression obtenue.
I.E.4 Deux pics d'un spectre d'absorption sont séparés si la différence de
longueurs d'onde entre ces pics est supérieure à la bande passante spectrale du
spectromètre.
Problème de chimie
II.A.2 La règle de Klechkowski n'est pas toujours respectée : lorsqu'une
sous-couche
est pleine, son énergie peut devenir inférieure à celle d'une sous-couche
d'énergie théoriquement plus basse.
II.B.3 Écrire le principe de conservation de matière pour le cuivre.
II.B.5 Exprimer les concentrations, puis la constante de réaction, en fonction
de x.
Écrire ensuite que cette constante ne varie pas avec x.
II.C.1.b Écrire la formule de Nernst pour chaque couple d'oxydoréduction.
II.C.1.c L'énoncé ne donne pas les potentiels standard du fer. On attend donc
une
comparaison qualitative avec le cas du fer. On peut néanmoins utiliser
EFe3+ /Fe2+ = 0, 77 V et EFe2+ /Fe = -0, 44 V.
II.C.2.a Faire intervenir les constantes de formation 1 et 2 dans les
expressions des
+
+
potentiels des couples Cu(NH3 )2+
4 /Cu(NH3 )2 et Cu(NH3 )2 /Cu.
II.C.2.c La loi de Van't Hoff permet de déterminer r H .
Problème de physique
Spectrophotomètre à réseau
I.A
Loi de Beer et Lambert
I.A.1 Lors de la propagation de l'onde dans la cuve, la variation élémentaire
de la
puissance par unité de surface s'écrit
dP(y) = -
N
P
k () Ck P(y) dy
k=1
Il s'agit d'une équation du premier ordre en y qui s'exprime
N
P
dP(y)
k () Ck
= -P(y)
dy
k=1
Cette équation s'intègre selon
N
P
P(y) = P0 exp -
k () Ck y
k=1
I.A.2 Les sources présentant une telle distribution spectrale sont des corps
noirs, et
C2 =
h c0
kB T
dP
où c0 est la célérité de la lumière. En effet, on reconnaît dans l'expression de
d
la puissance émise par un corps noir décrite par la loi de Planck.
I.A.3 La loi du déplacement de Wien fait correspondre la longueur d'onde du pic
de radiation à la température de la source : m T = Cte . Lorsque la température
augmente, la longueur d'onde du pic de la distribution spectrale diminue. Par
ailleurs
comme C2 est proportionnel à 1/T, C2 / reste constant avec la température.
Ainsi,
d'une part C2 (T2 ) < C2 (T1 ) et d'autre part la puissance élémentaire émise
au pic, inversement proportionnelle a 5 , est plus grande pour T2 que pour T1 .
Cette évolution
qualitative de la distribution spectrale est résumée sur le graphique suivant.
dP
d
T2
T1
1m 2m
D'après la loi de Stefan (P = T4 ), la puissance totale augmente avec T,
ce qui justifie que l'aire de la courbe augmente lorsque l'on passe de T1 à T2 .
I.A.4 L'expression de P donnée à la question I.A.1 n'est plus valable pour une
source polychromatique. Il faut écrire
Z +
dP
P=
d
d
0
dP
vérifie l'équation obtenue à la question I.A.1 pour une source monochrooù
d
matique de longueur d'onde . Par conséquent, la puissance surfacique spectrale
du
rayonnement à la sortie de la cuve s'écrit
N
P
dP
dP
(y = ) =
(y = 0) × exp -
k () Ck
d
d
k=1
I.A.5 La puissance surfacique pour la totalité du spectre visible est donnée par
N
Z +
P
dP
P() =
(0) × exp -
k () Ck d
d
k=1
0
Comme dans le cas général les k dépendent de , on ne peut pas a priori mettre
cette intégrale sous la forme Ptotale (0) e- .
Si les k ne dépendaient pas de , la réponse aurait été positive.
I.A.6 La fonction () présente un maximum pour = 0 . Dans un domaine de
longueurs d'onde [m - /2; m + /2], () peut donc être considérée comme
constante si la largeur est suffisamment petite, et si m est choisie proche
d'un
extremum. Par conséquent, si l'on prend
m = 0
grâce au monochromateur, on obtient, pour la puissance détectée en sortie de
cuve,
Z 0 +/2
dP
Psortie
(0) d exp (-(0 ) C )
0 -/2 d
P (0) exp (-(0 ) C )
0 +/2
dP
(0) d. Donc si l'on peut assimiler à une constante sur
0 -/2 d
l'intervalle 0 +
- /2, la puissance détectée à la sortie de la cuve décroît exponentiellement
avec la concentration C.
avec P (0) =
Z
Attention, P (0) n'est pas la puissance totale émise par la source en y = 0.
À cause du monochromateur, on écarte une grande partie de cette puissance.
I.A.7 L'absorbance fait intervenir le rapport P()/Pref (). La répartition
spectrale
de la source n'a pas d'incidence sur l'absorbance, car même si la source n'émet
pas
la même puissance pour toutes les longueurs d'onde, on s'affranchit de ces
inhomogénéités en normant par Pref . Il en est de même pour les variations de
sensibilité du
détecteur ; celles-ci sont corrigées par le fait qu'on normalise l'absorbance
par Pref.
Cette grandeur inclut le fait que l'appareil est plus ou moins sensible pour
donné.
La loi de Beer et Lambert, étudiée dans cette partie pour un seul constituant
absorbant, se généralise au cas de plusieurs espèces absorbantes, toujours
sous la condition des faibles concentrations.
