Centrale Physique et Chimie MP 2002

Thème de l'épreuve Spectrophotométrie à réseau. Analyse chimique quantitative.
Principaux outils utilisés optique ondulatoire, corps noir, complexes, oxydoréduction
Mots clefs cuivre, méthode de Job, cuivre ammoniacal

Corrigé

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique et Chimie MP 2002 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jessica Dubois (Centrale Paris) et Jean-Yves Tinevez
(ENS Lyon) ; il a été relu par Arnaud Gossart (Professeur en CPGE), Thomas 
Tétart (ENS Cachan), Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Alexandre Hérault
(Professeur en CPGE).

Le sujet porte sur un procédé d'analyse chimique quantitative : les mesures 
d'absorbance de solutions par spectrophotométrie. Il est constitué de deux 
problèmes
indépendants : un de physique, qui fait principalement appel à des 
connaissances en
optique, et un de chimie, qui fait appel à des connaissances en oxydo-réduction.
· Le problème de physique concerne l'étude d'un spectrophotomètre à réseau.
Les cinq parties qui le constituent, relativement indépendantes et d'inégale
difficulté, visent à étudier ses différents constituants : source lumineuse, 
système
dispersif et détecteur. La partie A est une introduction sur l'absorption des
radiations lumineuses par la matière. Grâce à des notions d'électromagnétisme,
on étudie la source et on démontre la loi de Beer et Lambert pour une substance
absorbante. Dans les parties B et C, qui sont très proches du cours sur les
interférences et la diffraction, on étudie un réseau constitué de plusieurs 
fentes,
lequel sert de monochromateur pour le spectrophotomètre. La partie D étudie
quant à elle un réseau par réflexion, constitué de plusieurs miroirs. 
Finalement,
on estime dans la partie E la bande passante spectrale du spectrophotomètre.
· Le problème de chimie concerne l'étude de quelques complexes du cuivre.
Il est subdivisé en trois parties. La partie A, très courte, étudie la 
configuration
électronique des ions du cuivre. Dans la partie B, on détermine la 
stoechiométrie
de la formation du complexe de cuivre (II) - EDTA par spectrophotométrie.
La partie C étudie finalement le comportement du cuivre en milieu ammoniacal.
Cet énoncé est assez classique ; plusieurs questions du problème de physique 
sont
des démonstrations de cours. Il demande cependant de l'efficacité, de la 
rigueur et
de la confiance en soi de la part du candidat le jour du concours, 
principalement à
cause de sa longueur.

Indications
Problème de physique
I.A.3 Utiliser la loi du déplacement de Wien.
I.A.4 L'expression de la puissance surfacique spectrale vérifie l'expression 
trouvée
à la question I.A.1.
I.A.6 Choisir m = 0 .
I.B.5 Montrer que l'expression de l'intensité lumineuse est le produit d'une 
enveloppe, caractéristique de la diffraction, et de pics d'interférences.
I.C.1 Raisonner comme aux questions I.B.2 et I.B.3.
I.C.2 sR () est la somme des N premiers termes d'une suite géométrique.
I.D.2 Pour les ordres p = +1 et p = -1, on montrera que sin  et cos  vérifient 
la
même équation du second ordre, en utilisant la propriété cos2  + sin2  = 1.
I.E.2 Faire un développement limité de l'expression obtenue.
I.E.4 Deux pics d'un spectre d'absorption sont séparés si la différence de 
longueurs d'onde entre ces pics est supérieure à la bande passante spectrale du
spectromètre.

Problème de chimie
II.A.2 La règle de Klechkowski n'est pas toujours respectée : lorsqu'une 
sous-couche
est pleine, son énergie peut devenir inférieure à celle d'une sous-couche
d'énergie théoriquement plus basse.
II.B.3 Écrire le principe de conservation de matière pour le cuivre.
II.B.5 Exprimer les concentrations, puis la constante de réaction, en fonction 
de x.
Écrire ensuite que cette constante ne varie pas avec x.
II.C.1.b Écrire la formule de Nernst pour chaque couple d'oxydoréduction.
II.C.1.c L'énoncé ne donne pas les potentiels standard du fer. On attend donc 
une
comparaison qualitative avec le cas du fer. On peut néanmoins utiliser
EFe3+ /Fe2+ = 0, 77 V et EFe2+ /Fe = -0, 44 V.
II.C.2.a Faire intervenir les constantes de formation 1 et 2 dans les 
expressions des
+
+
potentiels des couples Cu(NH3 )2+
4 /Cu(NH3 )2 et Cu(NH3 )2 /Cu.
II.C.2.c La loi de Van't Hoff permet de déterminer r H .

Problème de physique
Spectrophotomètre à réseau
I.A

Loi de Beer et Lambert

I.A.1 Lors de la propagation de l'onde dans la cuve, la variation élémentaire 
de la
puissance par unité de surface s'écrit
dP(y) = -

N
P

k () Ck P(y) dy

k=1

Il s'agit d'une équation du premier ordre en y qui s'exprime
N
P
dP(y)
k () Ck
= -P(y)
dy
k=1

Cette équation s'intègre selon

  N
 
P
P(y) = P0 exp -
k () Ck y
k=1

I.A.2 Les sources présentant une telle distribution spectrale sont des corps 
noirs, et
C2 =

h c0
kB T

dP
où c0 est la célérité de la lumière. En effet, on reconnaît dans l'expression de
d
la puissance émise par un corps noir décrite par la loi de Planck.
I.A.3 La loi du déplacement de Wien fait correspondre la longueur d'onde du pic
de radiation à la température de la source : m T = Cte . Lorsque la température 
augmente, la longueur d'onde du pic de la distribution spectrale diminue. Par 
ailleurs
comme C2 est proportionnel à 1/T, C2 / reste constant avec la température. 
Ainsi,
d'une part C2 (T2 ) < C2 (T1 ) et d'autre part la puissance élémentaire émise au pic, inversement proportionnelle a 5 , est plus grande pour T2 que pour T1 . Cette évolution qualitative de la distribution spectrale est résumée sur le graphique suivant. dP d T2 T1 1m 2m D'après la loi de Stefan (P =  T4 ), la puissance totale augmente avec T, ce qui justifie que l'aire de la courbe augmente lorsque l'on passe de T1 à T2 . I.A.4 L'expression de P donnée à la question I.A.1 n'est plus valable pour une source polychromatique. Il faut écrire Z + dP P= d d 0 dP vérifie l'équation obtenue à la question I.A.1 pour une source monochrooù d matique de longueur d'onde . Par conséquent, la puissance surfacique spectrale du rayonnement à la sortie de la cuve s'écrit N P dP dP (y = ) = (y = 0) × exp - k () Ck d d k=1 I.A.5 La puissance surfacique pour la totalité du spectre visible est donnée par N Z + P dP P() = (0) × exp - k () Ck  d d k=1 0 Comme dans le cas général les k dépendent de , on ne peut pas a priori mettre cette intégrale sous la forme Ptotale (0) e-  . Si les k ne dépendaient pas de , la réponse aurait été positive. I.A.6 La fonction () présente un maximum pour  = 0 . Dans un domaine de longueurs d'onde [m - /2; m + /2], () peut donc être considérée comme constante si la largeur  est suffisamment petite, et si m est choisie proche d'un extremum. Par conséquent, si l'on prend m = 0 grâce au monochromateur, on obtient, pour la puissance détectée en sortie de cuve, Z 0 +/2 dP Psortie (0) d exp (-(0 ) C ) 0 -/2 d P (0) exp (-(0 ) C ) 0 +/2 dP (0) d. Donc si l'on peut assimiler  à une constante sur 0 -/2 d l'intervalle 0 + - /2, la puissance détectée à la sortie de la cuve décroît exponentiellement avec la concentration C. avec P (0) = Z Attention, P (0) n'est pas la puissance totale émise par la source en y = 0. À cause du monochromateur, on écarte une grande partie de cette puissance. I.A.7 L'absorbance fait intervenir le rapport P()/Pref (). La répartition spectrale de la source n'a pas d'incidence sur l'absorbance, car même si la source n'émet pas la même puissance pour toutes les longueurs d'onde, on s'affranchit de ces inhomogénéités en normant par Pref . Il en est de même pour les variations de sensibilité du détecteur ; celles-ci sont corrigées par le fait qu'on normalise l'absorbance par Pref. Cette grandeur inclut le fait que l'appareil est plus ou moins sensible pour donné. La loi de Beer et Lambert, étudiée dans cette partie pour un seul constituant absorbant, se généralise au cas de plusieurs espèces absorbantes, toujours sous la condition des faibles concentrations.