Centrale Physique et Chimie 1 MP 2026

MP
4 heures

Calculatrice autorisée

2026

Physique-chimie 1

Spectroscopie rovibrationnelle et laser
Ce sujet se décompose en trois parties relativement indépendantes :
­ la première partie s'intéresse à la dynamique vibrationnelle, puis 
rovibrationnelle, de la molécule HCl, sondée à
l'aide d'un rayonnement infrarouge. Cette partie comprend des aspects 
théoriques et expérimentaux en relation
avec la spectroscopie rovibrationnelle ;
­ les deuxième et troisième parties sont dédiées à l'étude de deux éléments 
clés dans la compréhension du fonctionnement du laser (dispositif 
d'amplification de la lumière par émission stimulée de radiation) : sa cavité et
son milieu amplificateur (figure 1).
M1

M2
u# "y
#"
E

milieu amplificateur

u# "z

u# "
x

L
Figure 1 ­ Schéma simplifié d'un milieu amplificateur à l'intérieur
d'une cavité linéaire délimitée par deux miroirs M1 et M2 .
Des données et un formulaire sont regroupés en fin d'énoncé.
Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part 
du candidat. Elles sont repérées par un
soulignement de leur numéro. Il est alors demandé d'expliciter clairement la 
démarche, les choix et de les illustrer, le
cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et tient 
compte du temps nécessaire à la résolution
de ces questions.

Partie A ­ Spectroscopie rovibrationnelle
Le rayonnement infrarouge, produit par un laser ou une autre source comme une 
lampe, peut être utilisé pour sonder
la matière à l'échelle atomique ou moléculaire et ceci à très haute résolution.
Dans cette partie, on s'intéresse à l'analyse de la structure microscopique de 
la molécule HCl par spectroscopie
infrarouge rovibrationnelle : elle fait intervenir un mouvement combiné de 
vibration interne et de rotation globale de
la molécule (rotation-vibration).

I ­ Vibration de HCl
Cette sous-partie concerne uniquement l'étude théorique de la vibration interne 
de la molécule HCl.
HCl est une molécule diatomique constituée d'un atome d'hydrogène et d'un atome 
de chlore associés par une liaison
covalente. La longueur de cette liaison est de l'ordre de 10-10 m, mais elle 
peut osciller au cours du temps : on parle
de vibration moléculaire.

1 / 10

Q1. Écrire l'équation différentielle satisfaite par x(t), position par rapport 
à l'équilibre, pour un oscillateur harmonique classique de pulsation propre 0 , 
puis rappeler l'expression générale de ses solutions.
On choisit la référence pour l'énergie potentielle de l'oscillateur harmonique 
classique à la position x = 0.
Q2. Préciser, avec justification, les valeurs minimales possibles des énergies 
cinétique, potentielle et mécanique
moyennes dans le cas d'un oscillateur harmonique classique.
On adopte un modèle quantique unidimensionnel pour étudier la vibration 
d'élongation de la molécule HCl : un
oscillateur harmonique quantique constitué d'une particule quantique non 
relativiste de masse µ astreinte à se déplacer
1
le long de l'axe (Ox) avec une énergie potentielle Ep (x) = µ 0 2 x2 où 0 est 
une constante strictement positive.
2
L'origine O de l'axe est confondue avec la position d'équilibre de 
l'oscillateur.
On note respectivement x et px les écarts-types sur la position x et la 
quantité de mouvement px de la particule
selon l'axe (Ox).
Q3. Montrer que les énergies potentielle et cinétique moyennes, notées Ep  et 
Ec , peuvent s'écrire :
Ep  = K1 x2

et

Ec  = K2 px 2

avec K1 et K2 deux constantes à expliciter en fonction des données du problème.
Q4. Montrer que l'inégalité spatiale d'Heisenberg impose à l'énergie mécanique 
moyenne de l'oscillateur harmonique
quantique de ne pas être inférieure à une énergie particulière, notée Em min , 
à expliciter en fonction de  et 0 .
Commenter le résultat relativement au cas de l'oscillateur harmonique classique 
précédent.
On suppose que l'amplitude a0 des oscillations s'écrit comme d'une loi de 
puissance de la forme suivante : a0 =  0  µ
avec ,  et  des constantes réelles.
Q5. Déterminer les exposants ,  et , puis évaluer un ordre de grandeur de a0 . 
On supposera que la masse µ est
quasiment égale à celle de l'atome d'hydrogène et on prendra 0  1015 rad/s.
La détermination des énergies de vibration s'effectue en résolvant l'équation 
de Schrödinger indépendante du temps et
en faisant le double changement de variables u = x/a0 et  = E/( 0 ) où E est 
l'énergie de vibration de la molécule.
On note (x, t) = (u) (t) la fonction d'onde de la particule de masse µ.
Q6. Rappeler la forme de (t). Obtenir la relation vérifiée par (u), sa dérivée 
seconde  (u), u et .
u2

On cherche (u) sous la forme (u) = H(u) e- 2 , avec H(u) un polynôme de degré n 
:
H(u) = cn un + cn-1 un-1 + · · · + c0 .
Q7. Montrer que H vérifie l'équation différentielle :
H (u) - 2u H (u) + (2 - 1) H(u) = 0 .
Q8. En raisonnant sur le monôme de degré n de cette équation, montrer qu'il 
existe une relation simple entre  et n.
En déduire l'expression des énergies de vibration de la molécule.

II ­ Rovibration de HCl
La molécule HCl possède non seulement un degré de liberté en élongation, mais 
également deux degrés de liberté en
rotation. Afin d'étudier cette rotation, on suppose que HCl est dans un état de 
vibration donné et que la vibration
n'affecte pas la rotation de la molécule. Dans ce sens, on met de côté la 
vibration interne de la molécule que l'on
assimile à un rotateur rigide dans lequel les deux atomes sont distants d'une 
longueur d0 fixe. La résolution quantique
d'un tel modèle indique que les énergies associées aux états de rotation sont 
données par la formule
EJ = B J (J + 1)
avec B =

2
la constante rotationnelle et J le nombre quantique de rotation (J est un 
entier naturel).
2 µ d0 2

Q9. Déterminer la différence d'énergie EJ = EJ+1 - EJ entre deux niveaux 
rotationnels voisins en fonction de B
et J.
2 / 10

La spectroscopie FTIR (transformée de Fourier dans l'infrarouge) utilise une 
source lumineuse infrarouge, typiquement
une lampe à filament, qui émet dans le domaine infrarouge pour irradier des 
molécules. Une partie du rayonnement
est absorbée par la molécule qui passe alors d'un niveau fondamental à un 
niveau plus excité (figure 2). Suite à cette
absorption, la lumière est appauvrie en composantes spectrales. Cette lumière 
est analysée par transformée de Fourier
pour produire un spectre de transmittance comme celui représenté à la figure 3.
Sur le spectre de la figure 3, les rayonnements absorbés correspondent à des 
transitions entre des niveaux rotationnels
de l'état vibrationnel fondamental de HCl et des niveaux rotationnels de son 
premier état vibrationnel excité (figure 2).

E
J = 3
J = 2
J = 1

n = 1 premier état vibrationnel excité
J = 0

J  = 3
J  = 2
J  = 1
0

J  = 0

n = 0 état vibrationnel fondamental

Figure 2 ­ Schéma énergétique de quelques niveaux rotationnels des deux 
premiers niveaux
vibrationnels de HCl et quelques transitions rovibrationnelles entre eux 
(flèches rouges).
L'axe vertical est coupé puisque la différence en énergie entre les niveaux 
vibrationnels
est très supérieure à l'écart entre deux niveaux rotationnels consécutifs (B  0 
).

Figure 3 ­ Spectre de transmittance de HCl produit par FTIR [1].
Les nombres d'onde de certaines transitions sont indiqués (le nombre d'onde, 
noté ici ,
est l'inverse de la longueur d'onde). Leurs incertitudes-types associées sont 
de 1 cm-1 .
Aucune raie d'absorption n'est observée en dehors de l'intervalle de mesure 
présenté.
3 / 10

Les états rotationnels du niveau fondamental et du premier niveau excité sont 
respectivement identifiés par leurs
nombres quantiques J  et J  . On suppose qu'ils ont la même constante 
rotationnelle.
Des règles de sélection, issues d'un calcul quantique, indiquent que les seules 
transitions possibles sont pour
J = J  - J  = +1 (branche R)

ou

J = J  - J  = -1 (branche P).

Q10. En s'appuyant sur la figure 3, identifier les intervalles en nombre d'onde 
qui correspondent aux branches R et P.
Q11. Identifier les valeurs des nombres quantiques J  et J  pour les 
transitions associées aux raies d'absorption à
2926 cm-1 , 2906 cm-1 , 2865 cm-1 et 2844 cm-1 sur la figure 3.
Q12. Expliquer pourquoi on n'observe pas de raie d'absorption en dehors de 
l'intervalle [2600 ; 3100] cm-1 .
Q13. Déduire, à partir de la figure 3, des valeurs expérimentales avec 
incertitudes-types pour la distance d0 et de la
pulsation propre 0 de vibration de la molécule HCl.
On observe que les raies sur la figure 3 sont en fait dédoublées.
Q14. Proposer une explication de cette observation de raies doubles et non 
simples.

Partie B ­ Cavité d'un laser
Cette partie s'intéresse au rôle d'une cavité laser linéaire de longueur L, 
délimitée par deux miroirs plans M1 et M2
supposés infinis et placés respectivement en x = 0 et x = L. On suppose dans 
cette partie que la cavité est totalement
vide (figure 1, sans milieu amplificateur) et que les ondes électromagnétiques 
qui s'y propagent sont planes, progressives,
harmoniques de pulsation  et de vecteurs d'onde de norme k.

I ­ Cavité sans pertes
On suppose pour commencer que les miroirs M1 et M2 sont des conducteurs 
parfaits d'épaisseur nulle.
Q15. Donner les équations de Maxwell dans le vide.
#"
Q16. Montrer que, dans le vide, le champ électrique E obéit à une équation 
d'onde de d'Alembert dont on précisera
la célérité.
Les champs électriques associés aux ondes progressives qui se propagent 
respectivement vers la droite et vers la gauche
dans la cavité s'écrivent respectivement
#"
E + (x, t) = E 0+ ej(t-kx) u# "y

et

#"
E - (x, t) = E 0- ej(t+kx) u# "y

en notation complexe ; les facteurs E 0+ et E 0- sont appelés amplitudes 
complexes de ces deux ondes (sous-entendu
en champ électrique, comme dans toute la suite).
On suppose par ailleurs que le champ électromagnétique est nul en dehors de la 
cavité.
Q17. Établir la relation de dispersion des ondes électromagnétiques dans le 
vide.
Q18. En exploitant les conditions aux limites imposées au champ électrique au 
niveau des miroirs M1 (x = 0) et M2
(x = L), déterminer deux relations entre E 0+ , E 0- , k et L. Les relations de 
passage du champ électrique sont
rappelées dans le formulaire en fin d'énoncé.
Les rayonnements vérifiant les équations de Maxwell et les conditions aux 
limites précédentes constituent les modes
de la cavité.
Q19. Montrer que les fréquences des modes de la cavité s'écrivent sous la forme 
m = m × FSR où m est un entier
c
.
naturel non nul et FSR =
2L
L'acronyme FSR, pour « Free Spectral Range » en anglais, est appelé « 
Intervalle Spectral Libre » en français ; la
grandeur FSR est l'Intervalle Spectral Libre en fréquence de la cavité. 
L'entier m est le « numéro de mode ».

4 / 10

II ­ Cavité avec pertes
Le modèle de la sous-partie précédente ne permet pas d'obtenir un rayonnement 
sortant de la cavité. On le modifie
en remplaçant le miroir M1 par un miroir très partiellement transparent pour 
permettre à une partie du rayonnement
de sortir effectivement de la cavité ; le miroir M2 est inchangé (figure 4).
M1

Ep

M2
u# "y

EG

u# "z
Er

u# "
x

ED

L
Figure 4 ­ Schéma d'une cavité laser avec pertes. Les flèches sous les 
amplitudes complexes
des champs électriques indiquent la direction et le sens de propagation des 
ondes associées.
Le miroir M1 est maintenant caractérisé par des coefficients de réflexion et de 
transmission en intensité R et T tels
Ir
It
que R =
et T = , où Ii , Ir et It sont respectivement les intensités des ondes 
incidente, réfléchie et transmise. On
Ii
Ii
admet sans démonstration que R + T = 1.
Pour caractériser la réflexion et la transmission du miroir M1 , on peut aussi 
introduire les coefficients de réflexion et
E
E
de transmission en amplitude relatifs à des ondes planes progressives 
harmoniques : r = r et  = t , avec E i , E r
Ei
Ei
et E t les amplitudes complexes des ondes incidente, réfléchie et transmise au 
niveau du miroir M1 .
Le rayonnement d'amplitude complexe E i est issu d'un autre laser, appelé laser 
de pompe (le processus de pompage
est explicité dans la dernière partie du sujet). Pour cette partie, il suffit 
de savoir que ce rayonnement est à l'origine
de l'effet laser qui a lieu dans le milieu amplificateur.

On admet que r et  sont ici réels et tels que r = - R et  = T . Ces 
coefficients ne dépendent pas du sens de
traversée du miroir.
Les ondes électromagnétiques considérées sont supposées planes progressives 
harmoniques à l'intérieur et à l'extérieur
de la cavité :
­ dans la cavité, on note E D et E G les amplitudes complexes des ondes qui se 
propagent respectivement vers la
droite et vers la gauche ;
­ à l'extérieur de la cavité, on note E p et E r les amplitudes complexes 
respectives des ondes incidente et réfléchie
sur le miroir M1 .
On a vu dans la sous-partie précédente sur la cavité sans pertes que seulement 
certains rayonnements (modes de la
cavité) peuvent s'y propager. Il s'agit à présent de déterminer s'il en est de 
même pour une cavité avec pertes.
Afin d'y parvenir, on va comparer l'intensité lumineuse ID se propageant vers 
la droite dans la cavité à l'intensité
ID
lumineuse Ip du laser de pompe. L'idée est que plus le rapport
est grand, meilleure est la pénétration du laser
Ip
pompe dans la cavité, ce qui permet d'optimiser l'effet laser une fois que l'on 
introduit le milieu amplificateur à
l'intérieur de la cavité (voir partie C).
Q20. Proposer une interprétation physique pour la relation R + T = 1.
On peut montrer que le champ électrique E D s'écrit :
ED =  Ep + r EG.
Q21. Expliquer l'origine physique de cette relation.
Q22. Exprimer E G en fonction de E D , k et L.
Q23. En déduire une expression du rapport

ED
en fonction de R, k et L.
Ep
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Q24. Montrer que le rapport des intensités pour les ondes correspondantes en 
indiçage s'écrit alors :
ID
=
Ip
1+

g

4 R
sin2 kL
(1- R)2

avec g une constante à exprimer en fonction de R.
On considère pour la suite que R = 96,0 % (cas à fort coefficient de réflexion 
en intensité avec R  T ).
Q25. Montrer que le rapport

ID
est toujours quasiment nul, sauf pour certaines valeurs de k à expliciter.
Ip

Q26. Représenter graphiquement

ID
en fonction du produit kL.
Ip

Q27. Identifier alors les modes de la cavité et les fréquences correspondantes, 
c'est-à-dire celles qui maximisent le
ID
rapport
. En déduire l'Intervalle Spectral Libre en fréquence FSR de cette cavité avec 
pertes en identifiant
Ip
les modes de la cavité. Comparer au cas sans pertes (question Q19).
Les modes de la cavité avec pertes apparaissent comme des pics de résonance. On 
note c la largeur totale à mihauteur d'un pic de résonance de la cavité que 
l'on suppose négligeable devant l'Intervalle Spectral Libre. On définit
FSR
.
la finesse F de la cavité par la relation F =
c
Q28. Déterminer F en fonction de R. Faire l'application numérique.
Q29. Préciser un avantage à avoir un laser possédant une très grande finesse 
vis-à-vis des applications en interférométrie.

Partie C ­ Milieu amplificateur d'un laser
I ­ Évolution de populations
On peut modéliser l'ensemble des processus d'interaction lumière-matière qui se 
déroulent dans le milieu amplificateur
de la cavité laser (figure 1) par un réseau de réactions photochimiques d'ordre 
1 (figure 5).
E
E3

pompage ()

émission stimulée

émission spontanée

pompage

E2

absorption

M 
non radiatif
M

absorption ()

M

M

émission stimulée ()

non radiatif (knr )

émission spontanée (A)
E1

M
Figure 5 ­ Gauche : Diagramme des états d'énergie de l'espèce M
présente dans le milieu amplificateur et transitions possibles.
Droite : réseau de « réactions chimiques d'ordre 1 » modélisant
les processus d'interaction dans le milieu amplificateur avec mention
des « constantes de vitesse » A, ,  et knr associées.

6 / 10

M 

On suppose le milieu amplificateur constitué d'une espèce chimique notée M dans 
son niveau fondamental d'énergie E1 .
Cette espèce peut également se trouver dans un état excité, noté M  d'énergie 
E2 , ou même doublement excité,
noté M  d'énergie E3 .
On note n1 , n2 et n3 les concentrations de l'espèce M respectivement dans les 
états fondamental, simplement excité
et doublement excité ; ces concentrations sont appelées « populations » des 
différents états.
Les différents processus d'interaction ayant lieu dans le milieu amplificateur 
sont les suivants (figure 5) :
1. Pompage : des espèces sont amenées de l'état fondamental dans l'état 
doublement excité (M  M  ) par une
source d'énergie extérieure (lumineuse, électrique, chimique, etc.). On 
modélise ce processus par une réaction
chimique d'ordre 1 de vitesse vpomp et de constante de vitesse .
2. Désexcitation non radiative : les espèces doublement excitées accèdent à 
l'état simplement excité (M   M  )
par un processus non radiatif (sans émission de photon), typiquement grâce à 
des collisions. Ce processus, très
rapide, est modélisé par une réaction chimique d'ordre 1 de vitesse vnr de 
constante de vitesse knr .
3. Absorption : les espèces dans l'état fondamental gagnent le premier état 
excité (M  M  ) en absorbant un
photon d'énergie  = E2 - E1 . L'absorption est modélisée par une réaction 
chimique d'ordre 1 de vitesse vabs
et de constante de vitesse .
4. Émission stimulée : les espèces simplement excitées regagnent l'état 
fondamental (M   M ) par une émission
stimulée de photon. Lorsqu'un photon incident d'énergie  = E2 - E1 passe dans 
le milieu amplificateur (ce
qui arrive souvent puisque la lumière fait un grand nombre d'allers-retours 
dans la cavité), la désexcitation
(M   M ) émet un photon cohérent, c'est-à-dire ayant les mêmes caractéristiques 
(direction, énergie, phase. . .)
que le photon incident. Ce processus explique comment le faisceau laser est 
amplifié tout en restant cohérent
après avoir subi de nombreux passages. On le modélise par une réaction chimique 
d'ordre 1 de vitesse vstim et
de constante de vitesse , identique à celle d'absorption.
5. Émission spontanée : les espèces simplement excitées regagnent l'état 
fondamental (M   M ) par une émission
spontanée de photon d'énergie  = E2 - E1 . Cette émission est aléatoire et 
isotrope et entre en compétition
avec l'émission stimulée car les photons émis sont non cohérents avec ceux du 
faisceau laser. On modélise ce
processus par une réaction chimique d'ordre 1 de vitesse vspont et de constante 
de vitesse A.
Q30. Exprimer les lois de vitesse relatives aux diverses « réactions chimiques 
» (i.e. les processus d'interaction modélisés ci-dessus) ayant lieu dans le 
milieu amplificateur.
Q31. Proposer une justification de la relation suivante :
dn1
= - n1 + A n2 +  n2 -  n1 .
dt
dn3
dn2
et
en fonction des populations n1 , n2 et n3 et faisant intervenir
Q32. Obtenir des relations similaires pour
dt
dt
les constantes de vitesse A, ,  et knr .
Q33. Vérifier que n1 + n2 + n3 est une constante. Interpréter ce résultat.
On note n = n2 - n1 . On suppose désormais, et jusqu'à la fin de cette 
sous-partie, que le laser fonctionne en régime
stationnaire.
Q34. Exprimer n en fonction de n3 et des constantes de vitesse.
On parle d'inversion de population lorsque n > 0.
Q35. Écrire la condition requise sur les constantes de vitesse pour avoir une 
inversion de population. En donner une
interprétation physique.

II ­ Bilan de puissance électromagnétique dans le milieu amplificateur
On s'intéresse à une approche énergétique simplifiée dans le milieu 
amplificateur.
Il s'avère que la constante de vitesse  introduite dans le modèle précédent 
peut être décrite par une loi de proportionnalité avec la densité volumique 
d'énergie électromagnétique uém (x, t) de l'onde : on note  = b uém (x, t) où b 
est
une constante.
On suppose que le milieu amplificateur est traversé par une onde 
électromagnétique plane harmonique, polarisée
rectilignement selon u# "y et se propageant à la célérité c selon +u# "
x . De plus, la seule composante du vecteur de Poynting
instantané, notée (x, t) et selon u# "
x , vérifie (x, t) = c uém (x, t).
7 / 10

On se propose de faire un bilan d'énergie électromagnétique sur un système de 
section S compris entre les abscisses x
et x + dx dans le milieu amplificateur. On rappelle que l'énergie d'un photon 
de pulsation  s'écrit .
Q36. Préciser si tous les processus décrits dans la sous-partie précédente 
contribuent au bilan. Identifier ceux qui
résultent respectivement en un gain ou une perte d'énergie pour l'onde laser.
Q37. Montrer alors que le bilan d'énergie conduit à la relation
(x, t) 1 (x, t)
+
= () (x, t) - p()
x
c
t
où () et p() sont à expliciter en fonction de A, b, n1 , n2 , c et .
On considère la condition p()  () (x, t) réalisée.
Q38. Commenter cette condition au regard de la nature de la lumière que l'on 
souhaite obtenir avec un laser.
On se place à présent en régime stationnaire.
Q39. Déterminer la solution (x) de l'équation différentielle vérifiée par la 
composante du vecteur de Poynting en
posant 0 = (x = 0).
Q40. Interpréter physiquement le terme () et discuter son signe en fonction de 
celui de n. Faire le lien avec la
condition donnée à la question Q35.

III ­ Considérations expérimentales pour un laser à colorant compact
Cette sous-partie concerne un type de laser appelé laser à colorant. Dans un 
tel laser, le milieu amplificateur est un
colorant qui présente des bandes d'absorption dans son spectre d'absorption : 
elles s'interprètent en s'appuyant sur un
schéma analogue à celui de la figure 5 dans lequel chaque niveau est plutôt un 
grand nombre de niveaux très proches ;
cette complexification provient de la structure vibrationnelle des niveaux 
d'énergie des grosses molécules de colorant.
Lahoz et al. [2] ont enregistré un spectre d'émission laser (figure 6) issu 
d'un laser à colorant très particulier car très
compact : sa cavité optique est linéaire de longueur L infra-millimétrique et 
est totalement remplie d'un colorant qui
est une solution d'éthanol contenant du « Bleu de Nil A ». Cette solution a une 
bande d'absorption entre 550 et 620 nm
environ et un indice optique pratiquement égal à celui du solvant éthanol pur à 
20  C : n = 1, 3587.

Figure 6 ­ Spectre d'émission laser expérimental de Lahoz et al. [2] en 
longueur d'onde.
L'intensité est en unité arbitraire. Les différents modes du rayonnement sont 
précisés par les numéros de mode
portés au-dessus des pics correspondants. L'insert représente l'Intervalle 
Spectral Libre
en longueur d'onde (FSR ) en fonction du numéro de mode.
Q41. Justifier le terme « Bleu » présent dans le nom du colorant. Préciser la 
couleur de l'émission laser.
8 / 10

L'article de Lahoz et al. définit un Intervalle Spectral Libre exprimé en 
longueur d'onde, noté FSR , et donne la
relation
2
FSR =
.
2nL
Q42. En raisonnant par analogie avec l'Intervalle Spectral Libre en fréquence 
FSR introduit à la question Q19,
justifier la formule proposée par l'article.
Q43. Estimer la longueur de cavité L.
La largeur des pics de la figure 6 est d'environ c = 0,1 nm. La finesse est 
toujours définie par rapport à la fréquence,
FSR
.
de façon analogue au texte du paragraphe qui précède la question Q28 : F =
c
Q44. Montrer que la finesse peut également s'écrire :
F=

FSR
.
c

En déduire, un ordre de grandeur de la finesse de la cavité utilisée dans 
l'article de Lahoz et al.
Le titre de l'article fait référence à une sonde chimique et de température (« 
temperature and chemical sensor »).
Q45. Préciser le paramètre de l'expérience qui est sensible à la température et 
à la composition chimique.
Un laser à colorant plus traditionnel en laboratoire que celui de Lahoz et al. 
comporte une cavité dont la longueur est
de l'ordre du mètre.
Q46. Représenter, justifications à l'appui, l'allure d'un spectre d'émission 
laser pour un tel laser à colorant traditionnel
en supposant les autres paramètres du système (miroirs, colorant, etc.) 
inchangés. Commenter.

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Données et formulaire
Notations
j représente l'unité imaginaire telle que j 2 = -1.
On note u# ", u# " et u# " les vecteurs unitaires pour une base cartésienne 
(système de coordonnées x, y et z).
x

y

z

Données numériques
h = 6, 626 × 10-34 J · s

Constante de Planck
Constante de Planck réduite

h
2
c = 2, 998 × 108 m · s-1
=

Célérité de la lumière dans le vide
« Conversion » de cm-1 à J

Il est d'usage en spectroscopie d'utiliser le cm-1 comme unité d'énergie. En 
réalité, l'unité fait référence au nombre
d'onde  associé au rayonnement, mais qui est lié à l'énergie E des photons du 
rayonnement en question par la formule
E = h c  (combinaison de la formule  = c  de la fréquence du rayonnement et de 
la formule de Planck E = h ).
On en déduit que 1 cm-1 correspond à 100 h c  1, 9863 × 10-23 J.
Quelques propriétés atomiques
Élément

Masse

Abondance naturelle

1

mH  1, 66 × 10-27 kg

99,985 %

H

35

Cl

m35 Cl  35 mH

76 %

37

Cl

m37 Cl  37 mH

24 %

Formulaire
­ Pour un champ vectoriel #"
v :

#" #"  # "
rot rot #"
v = grad (div #"
v ) -  #"
v.

­ Relation de passage pour le champ électrique entre un milieu 1 et un milieu 2 
:
(M, t) #"
#"
#"
n 12 .
E(M2 , t) - E(M1 , t) =
0
Le point M1 (respectivement M2 ) est dans le milieu 1 (respectivement 2) et est 
infiniment proche du point M
sur l'interface de séparation des milieux ; (M, t) est la densité surfacique de 
charge en ce point et le vecteur #"
n 12
est unitaire et normal à l'interface au même point (orienté du milieu 1 vers le 
milieu 2).

[1]

Duke, chem.libretexts.org. url : https : / / chem . libretexts . org / Courses 
/ Duke _ University / CHEM _ 310L %
3A_Physical_Chemistry_I_Laboratory/CHEM310L_- 
_Physical_Chemistry_I_Lab_Manual/09%3A_Under_
Construction/9.11%3A_Rotation-Vibration_Spectrum_of_HCl_AND_DCl__Vibrational_Spectrum_of_SO2/
9.11.04%3A_Part_I_-_FTIR_spectrum_of_a_mixture_of_HCl_and_DCl_gas.

[2]

F. Lahoz et al. « Portable IR dye laser optofluidic microresonator as a 
temperature and chemical sensor ». In :
Opt. Express 24.13 (juin 2016), p. 14383-14392. doi : 10.1364/OE.24.014383. url 
: https://opg.optica.org/
oe/abstract.cfm?URI=oe-24-13-14383.

Fin

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P086 - 3 février 2026 - 14:12:28 c b e a

Références