Centrale Physique MP 2002

Thme de l'preuve Quelques aspects de l'astronautique
Principaux outils utiliss mcanique, lectromagntisme
Mots clefs forces de raction, jets ioniques, pression de radiation

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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MA Sujets 2002:80n  tirerzPhysique MP 18.9.97--3 N0uv version du I') mars 2002 15:07 0e=8=OE 0oe:#m...m - m=bm....mo NN mm: .........Dm$... ...... u ...... + m.... ......o@oe....m$.... ...m......oeoe ......b ......oe......x...oeBoe m......o oe...m <...$oemm : " |......oe.... oe - OEb m....mmo ......s v......mb n... ......mb ......oe Bo......< " <.... | <... mb mobo......ob %... S...... $.... m.... ...... o...,... : mm.... ...oe bo....oe ......oe : m......mm... 8......m35...8. :. O- G...... ......oe......b....... ......m..........wo...$ ..........o.........oe... .........Dm$... ...... u ...... + m.... ......o@oe....m$.... ...m......oeoe ......b ......oe......x...oeBoe m......o oe...m <...$oemm : " |......oe.... oe - OEb m....mmo ......s v......mb n... ......mb ......oe Bo......< " <.... | <... mb mobo......ob %... S...... $.... m.... ...... o...,... : mm.... ...oe bo....oe ......oe : m......mm... 8......m35...8. :. 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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres


 Centrale Physique MP 2002 -- Corrig Ce corrig est propos par ric Armengaud (ENS Ulm) ; il a t relu par Stphane Plat (Centrale Paris) et Stphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce problme traite des mthodes astronautiques classiques, actuellement utilises ou envisages. Il ne comporte pas de difficult majeure, except sa longueur. Il faut faire attention, car les parties ne sont pas tout  fait indpendantes les unes des autres. La mcanique newtonienne et la gravitation sont bien sr largement utilises (il ne faut pas ngliger cette partie du cours de Sup pendant les rvisions).  La premire partie traite d'un modle instructif sur la propulsion par raction.  La deuxime partie traite du lancement des fuses.  Les troisime et quatrime parties traitent d'autres moyens de propulsion : moteur ionique et voile solaire. Elles font appel  l'lectromagntisme et peuvent donc servir de parachute  ceux qui bloqueraient dans les problmes de mcanique.  Les cinquime et sixime parties traitent de navigation dans l'espace. En particulier, il est important de remarquer ds l'indispensable premire lecture de l'nonc que le plus gros de la cinquime partie est constitu de questions de cours.  La dernire partie, enfin, traite de la rentre atmosphrique. tant donn le grand nombre de questions trs proches du cours et de questions qualitatives ouvertes, trs  la mode actuellement, la rdaction est un lment important pour ce genre de problme. Nanmoins, la longueur du sujet fait qu'il faut surtout tre efficace et rapide, pour en faire un maximum dans le temps impos. Signalons enfin que ce problme est excellent pour qui veut rviser ses bases de mcanique et de gravitation de premire anne. Indications Partie I I.A Le systme  dfinir doit tre ferm. I.C Raisonner par rcurrence en s'inspirant des rsultats obtenus dans les questions I.A et I.B. . I.F Exprimer la masse m du systme aprs le k e jet, et calculer m - a k k k Partie II II.A Prendre comme systme ferm la fuse avec les gaz qu'elle contient exactement  l'instant t. Faire ensuite le calcul au premier ordre en dt. II.C Utiliser la conservation de la masse et la question prcdente pour calculer me /mf . II.F Faire attention au signe du rsultat. II.I.2 liminer le temps du systme prcdent. Partie III III.A Utiliser la formule donnant T obtenue  la question II.A. III.B La puissance Pe min est obtenue en utilisant la formule Pe min = Ut i pour la puissance fournie par une tension Ut qui cre un courant i. Il faut donc d'abord calculer l'intensit du courant cr par les ions jects. III.C.1 Attention aux signes de la tension acclratrice et de la vitesse. III.C.8 Faire bien attention aux donnes fournies et  celles qui ne le sont pas. Partie IV IV.E Prendre garde  la notation e , diffrente de la question IV.C. - IV.F Pour passer de - p  T , il faut  nouveau calculer le flux de photons traversant la surface S. est maintenant fonction de . Partie V V.C Utiliser la version gravitationnelle du thorme de Gauss. V.I Donner ne signifie pas dmontrer : ne perdez pas de temps btement ! V.J Utiliser les quantits conserves pendant le mouvement pour obtenir des quations sur les paramtres de l'ellipse. Partie VI VI.B.2 Montrer d'abord que le point initial (juste aprs la dclration) est un point particulier de l'ellipse que l'on cherche  dcrire. Partie VII VII.E Chercher l'extremum du terme  l'intrieur de l'exponentielle dans la formule donne. I. Principe de la  propulsion par raction  I.A On considre le systme ferm (de masse constante) : S1 = {chariot + oprateur + les n sacs} Les seules forces extrieures s'exerant sur S1 sont le poids du systme et la raction des roues. Comme on nglige les actions dissipatives, donc le frottement des roues sur le sol, la raction des roues est verticale, comme le poids. On en dduit d'aprs le thorme du centre d'inertie projet sur l'axe Ox, en raisonnant uniquement au moment du lancer : - - Px (S1 ) = Cte soit - - - Px (S1 )avant = Px (sac ject)aprs + Px (chariot et sacs restants)aprs Juste avant le lancer, la quantit de mouvement de S1 est nulle. Juste aprs le lancer, - le sac a une quantit de mouvement dont la composante selon l'axe Ox vaut -m u ex . On a donc : - - - -m u e + (n - 1) m V = 0 x d'o - V1 = 1 u - ex n-1 I.B On considre un nouveau systme : S2 = S1 - {sac ject} De mme qu' la question prcdente, la quantit de mouvement de S2 se conserve suivant Ox : - - Px (S2 )avant = Px (S2 )aprs La loi de composition des vitesses donne - - Vx (sac ject) = V1 + - u donc et - - - (n - 1) m V1 = (n - 2) m V2 + m (V1 + - u) - - (n - 2) V2 = (n - 2) V1 - - u En utilisant le rsultat de la question I.A, on obtient donc - 1 1 - V2 = - + u n-1 n-2 I.C La formule propose  la question prcdente se gnralise facilement par r - currence. Supposons que la vitesse Vk-1 s'crit sous la forme : - 1 1 - Vk-1 = - + + u n-1 n - (k - 1) On considre le systme Sk = {chariot + oprateur + les (n - k + 1) sacs restants} et on crit la conservation de son impulsion : - - - (n - k + 1) m Vk-1 = (n - k) m Vk + m ( Vk-1 + - u) - - - (n - k) Vk = (n - k) Vk-1 - u - - - u Vk = Vk-1 - n-k - En remplaant Vk-1 par son expression, on obtient donc la forme voulue et on a finalement montr par rcurrence que - 1 1 - Vk = - + + u n-1 n-k I.D Sur une dure T incluant le k e jet, l'acclration moyenne du chariot s'crit - - Vk - Vk-1 - ak = T Par consquent, - = a k -- u (n - k) T I.E Sur une dure moyenne T, il y a un sac de sable qui est propuls hors du chariot par l'oprateur. On a donc m = Dm T et l'on en tire immdiatement, d'aprs la question prcdente : - - = -Dm u a k m (n - k) I.F La masse du systme Sk+1 aprs le k e jet s'crit mk = m (n - k) et, d'aprs la =- question prcdente, on peut donc crire m - a , avec : k k - = -Dm - u - La pousse reprsente la force moyenne apparente qui s'exerce sur le chariot et son contenu pendant une dure T incluant le k e jet. Elle est bien oriente suivant les x croissants, ce qui permet de vrifier le signe dans la formule.