CCINP Physique et Chimie MP 2026

SESSION 2026

MP2PC

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP
____________________

PHYSIQUE - CHIMIE
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·

·
·

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction 
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

________________________________________________________________________________

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de six parties indépendantes.

1/15

Notre Terre : attractive, si chaleureuse et... magn(if)(ét)ique
La vie sur notre planète Terre est tributaire de certaines de ses 
caractéristiques comme sa
température et d'autres paramètres climatiques, son champ de pesanteur, son 
champ magnétique,
etc. En particulier, le champ de pesanteur intervient dans tous les mouvements 
au voisinage de la
Terre. Par ailleurs, les ressources terrestres en eau, pétrole, minerais et 
matériaux de construction
assurent notre existence dans de bonnes conditions.
Ce sujet s'intéresse à quelques caractéristiques physiques et chimiques de la 
Terre. Il est composé
de six parties indépendantes.
La partie I s'intéresse au champ de pesanteur terrestre (analogie avec 
l'électromagnétisme).
La partie II s'intéresse à l'énergie potentielle de pesanteur (mécanique).
La partie III s'intéresse à une mesure optique du champ de pesanteur (optique 
interférentielle).
La partie IV fait appel à la chimie et est constituée de sous-parties 
indépendantes : la partie IV-1
étudie la thermodynamique de la calcination, la partie IV-2 étudie la 
composition du ciment en
utilisant de l'informatique du tronc commun, ainsi que ses réactions avec 
l'eau, et la composition
d'une argile en oxydes ; enfin la partie IV-3 fait appel aux propriétés des 
couples acidobasiques.
La partie V modélise la température au sein de la Terre (thermodynamique).
La partie VI étudie le champ magnétique terrestre.

En coordonnées sphériques ( r , , ) et avec la base sphérique ur , u , u , un 
point M est repéré

par OM = r ur dans un référentiel d'origine O.

df 
ur .
Pour une fonction f ( r ) , l'expression de l'opérateur gradient est grad f ( r 
) =
dr

{

}

Données utiles pour l'ensemble du sujet
Rayon de la Terre supposée sphérique

RT

Masse de la Terre

MT = 6,0  1024 kg

Constante d'attraction universelle

G = 6,7  10-11 N  m2  kg-2

Vitesse angulaire de rotation de la Terre autour
de son axe sud-nord

= 7,3 10-5 rad  s-1

Capacité calorifique massique de la Terre

C  103 J  kg-1  K -1

Constante d'Avogadro

=
N
6,02 1023 mol-1
A

Perméabilité magnétique du vide

µ0 =
4 10-7 H  m-1

6,4  106 m

Les résultats numériques peuvent être donnés avec un seul chiffre significatif. 
Pour faire du calcul
approché, on pourra utiliser la courbe log10(x) donnée en annexe, ainsi que les 
valeurs des log10
pour les données ci-dessus.

2/15

Partie I - Champ gravitationnel et champ de pesanteur

Q1. Donner les expressions des champs gravitationnel G ( M ) et électrostatique 
E ( M ) , créés en
un point M, respectivement par la masse ponctuelle m et par la charge 
ponctuelle q, chacune
étant placée en O. En déduire les analogues gravitationnels de la charge q et 
de la
permittivité diélectrique du vide  0 . En utilisant l'analogie, écrire l'énoncé 
du théorème de

Gauss intégral relatif au champ gravitationnel G ( M ) créé par une 
distribution volumique de

masse µ ( P ) contenue dans un volume V délimité par une surface S.

On suppose que la Terre est une sphère homogène de centre O, de rayon RT et de 
masse

volumique uniforme
=
µT 5 400 kg  m-3 .

Q2. Exprimer le champ gravitationnel GT ( M ) créé par la Terre en tout point 
de l'espace.

Les variations du champ gravitationnel au voisinage du sol terrestre peuvent 
renseigner sur le
contenu du sol. On s'intéresse à la modification du champ gravitationnel 
terrestre due à un
gisement de pétrole, modélisé comme une sphère homogène de rayon r  , de centre 
C et de

=
µ p 900 kg  m-3 .
masse volumique égale à

On cherche la variation relative du champ gravitationnel introduite par le 
gisement de pétrole en un
point M situé sur la verticale OCZ du point C, à la surface de la Terre, avec 
la distance CM égale à
CM = d (figure 1).

On note GT ( M ) = GT ( M ) uz le champ gravitationnel qui règnerait sur la 
Terre sans la poche de

pétrole et GTp ( M ) = GTp ( M ) uz en présence de la poche de pétrole.

Figure 1 - Présence de pétrole dans le sol terrestre

Q3. En utilisant le principe de superposition, exprimer GTp ( M ) uz et la 
variation relative du

champ gravitationnel  =

GT ( M ) - GTp ( M )
GT ( M )

en fonction de µT , µP , r , d et de RT .

3/15

En présence de pétrole, indiquer avec justification si le champ gravitationnel 
devient plus
intense ou moins intense.
µP 1
r  1 r  10-3
et
Faire une estimation numérique de  , en prenant :
=
=
,
= .
4
d 2 RT
µT 6
Commenter sachant que les gravimètres actuels ont une précision relative de 
l'ordre
de 10-8 .

Partie II - Forme de la Terre
L'étude de certains mouvements peut se faire dans le référentiel géocentrique 
R(OXYZ) (figure 2),
qui est supposé galiléen et dont l'origine est O, le centre de la Terre.
Le référentiel terrestre R  ( OXYZ ) (figure 2), lié à la Terre, effectue un 
mouvement de rotation

uniforme, de vecteur  ( R  R ) 
=
uz par rapport au référentiel géocentrique où uz est le vecteur
unitaire de l'axe OZ.
Un point matériel M, de masse m, situé à la distance r = OM du centre de la 
Terre
est soumis à

l'attraction gravitationnelle et à d'autres forces. Le poids du mobile mg est 
défini par

ur
P
= mg ( M=
) m  - GMT 2 + 2 HM  avec H le projeté orthogonal de M sur l'axe des pôles.
r

Q4. Justifier l'expression du champ de pesanteur g ( M ) donnée ci-dessus en 
précisant quel est
le terme gravitationnel et quel est le terme d'inertie. Donner l'ordre de 
grandeur de sa norme
à la surface de la Terre.

Q5. En général, la force de Coriolis peut être négligée devant le poids. 
Justifier cette
approximation en prenant l'exemple d'un train TGV roulant à 360 km/heure, 
c'est-à-dire
100 m/s.

Figure 2 - Référentiel géocentrique et référentiel terrestre
Q6. Montrer que le rapport des normes du terme d'inertie d'entraînement et du 
terme de
gravitation à la surface de la Terre est majoré par une valeur  qu'on exprimera 
en fonction
de , RT , G et de MT . Déterminer l'ordre de grandeur de la quantité  et 
commenter.
4/15

Q7. a) La force gravitationnelle FG (M) dérive de l'énergie potentielle de 
gravitation E pG (M) .

Donner l'expression de celle-ci pour une masse m dans le champ de la Terre, en 
prenant
une valeur nulle à l'infini.

b) La force d'inertie d'entraînement Fe dérive de l'énergie potentielle 
d'inertie d'entraînement
 2
1
E pe (M) . Établir que celle-ci s'écrit E pe (M) =
- m2 HM pour une masse m dans le
2
champ de la Terre, en prenant une valeur nulle en r = 0.
c) En déduire l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur E pp (M) en 
coordonnées

( )

sphériques.
On appelle surface équipotentielle le lieu des points de même énergie 
potentielle de pesanteur et
on se propose d'étudier la forme de l'équipotentielle ( ) de valeur constante E 
pp (M   ) = E pp ( N )
où N est le pôle Nord de la Terre repéré par ON = rn .
Q8. Montrer que, dans un plan méridien, la trace de cette surface 
équipotentielle ( ) peut être

(

)

décrite par la forme approchée r (  )  rn 1 +  sin2  et exprimer la constante  
en fonction

de RT , rn et de  . Dessiner l'allure de r (  ) et exprimer le paramètre 
d'aplatissement
r - rn
sachant que r vaut re dans tout le plan équatorial.
rn

 = e

Partie III - Détermination optique du champ de pesanteur
On se propose de mesurer la norme g du vecteur champ de pesanteur terrestre 
supposé uniforme,
en utilisant une méthode optique basée sur l'interféromètre de Mach-Zehnder, 
dont le schéma de
principe est représenté en figure 3(a). La source laser est monochromatique de 
longueur d'onde
 = 632,82 nm.
En sortie de l'interféromètre, le détecteur P mesure l'intensité de 
l'interférence entre deux rayons
cohérents. Lors des cheminements, les deux rayons, qui interfèrent, rencontrent 
des dispositifs
optiques qui les réfléchissent et/ou les transmettent : C1, C2, M, Sp1, Sp2 et 
Sp3. Pour les besoins de
cette expérience, on utilise deux miroirs identiques particuliers, en "coins de 
cubes" : C2 fixe de
coin O2 et C1 de coin O1 en translation verticale de chute libre. Chacune des 
trois lames
séparatrices Sp1, Sp2 et Sp3 est inclinée de 45° par rapport aux rayons laser 
incidents et chacune
donne un rayon réfléchi et un rayon transmis. Le miroir M est incliné de 45° 
par rapport au rayon
incident. L'ensemble est placé dans l'air d'indice optique n = 1. On ne tiendra 
pas compte de
déphasages dus aux réflexions.

5/15

Détecteur
d'intensité

Figure 3 - Mesure du champ de pesanteur terrestre par un interféromètre de 
Mach-Zehnder
Q9. Le corps C1 tombe en chute libre, sans vitesse initiale, parallèlement à 
lui-même à l'intérieur
d'une chambre vide.
a) Justifier l'hypothèse de la norme g constante en donnant une estimation de 
la variation
g (h) - g ( 0 )
relative
pour une hauteur de chute égale à h = 1 m .
g (0)
b) Déterminer, alors, l'équation horaire du mouvement de O1 en fonction du 
temps : z1 ( t ) ,

en prenant la position initiale O10 ( t = 0 ) comme origine des espaces sur 
l'axe vertical
descendant.

On étudie l'interférence des deux rayons, passant par O1 et O2, qui arrivent au 
point P du
récepteur après des parcours optiques distincts. Le point O2 appartient aussi à 
la même verticale
que O1, il est repéré par son ordonnée z2 = 0,3 m .
Q10. a) Exprimer en fonction du temps t la différence de chemins optiques (P,t) 
entre ces deux
rayons.
b) On donne, en figure 3(b), la représentation graphique I(t) de l'intensité au 
point P en
fonction du temps. On note t0 l'instant correspondant au premier minimum de 
l'intensité
et tq les instants des autres minima d'intensité successifs, avec q appartenant 
à  * .

(

)

Exprimer la quantité 
=
q  P, tq -  (P, t0 ) . En déduire l'expression de g en fonction de
t0 , tq ,  et de q.

c) On veut déterminer la valeur locale de g. Il est commode d'exploiter le 
graphe d'une
fonction linéaire affine y(q) : préciser ce qu'est la fonction y.
Les mesures expérimentales permettent d'obtenir y ( q) = 64 598 q . Sans 
effectuer le
calcul numérique, indiquer comment on en déduit que
=
g 9,7961 m  s-2 .

6/15

Partie IV - Le calcaire et l'argile : des richesses du sol bon marché
Données utiles pour la partie IV
R= 8,31 J  K -1  mol -1

Constante des gaz parfaits
Masses molaires en g  mol

Carbone
C
12

-1

Oxygène
O
16

Magnésium
Mg
24

Calcium
Ca
40

K e = 10-14

Produit ionique de l'eau (à 25 °C)

Dans les parties de chimie, l'état d'une substance chimique est noté en indice 
: s désigne solide,
g désigne gaz et aq signifie dissous en solution aqueuse.

Partie IV.1 - Calcination du calcaire
Au voisinage de 1 450 °C, le ciment est élaboré par la réaction de la chaux 
CaO(s) (produite par la
calcination du calcaire CaCO3,(s)) avec des oxydes de silicium SiO2,(s), 
d'aluminium Al2O3,(s) et de
fer III Fe2O3,(s) contenus dans l'argile.
L'industrie du ciment utilise d'énormes quantités de calcaire extrait de 
carrières du sol terrestre.
L'étape importante de calcination du calcaire CaCO3,(s) permet d'obtenir la 
chaux CaO(s) qui réagira
à haute température avec les autres réactifs, apportés par l'argile, pour 
former le ciment.
La calcination correspond à l'équilibre hétérogène :
CaCO3,(s) = CaO(s) + CO2,(g)

(1)

En négligeant les variations de l'enthalpie standard et de l'entropie standard 
de réaction avec la
température, l'expression de l'enthalpie libre standard de cette réaction (1), 
en fonction de la
température T (en K), est donnée par :
 r G10= 177,4 - 0,1 589 T = 0,1 589 (1 116 - T ) (en kJ  mol-1 ).
Q11. a) La réaction (1) est-elle endothermique ou exothermique ? Justifier.
b) Que vaut l'entropie standard  r S10 de la réaction (1) ? Commenter son signe.

c) Expliciter l'expression de la constante d'équilibre K10 (T ) en fonction de 
la température T.
Déterminer la température T1,i à laquelle la constante d'équilibre est égale à 
1.

d) Expliciter le quotient réactionnel en fonction des activités.

La calcination du calcaire est la première phase dans la fabrication de ciment. 
Elle consiste à
chauffer le mélange cimentier, d'abord jusqu'à 850 °C environ. Le calcaire 
utilisé dans les
cimenteries peut contenir, avec le carbonate de calcium CaCO3,(s), une impureté 
qui est le
carbonate de magnésium MgCO3,(s) avec une composition massique qui ne doit pas 
dépasser 6 %.
On doit donc prendre en compte un second équilibre hétérogène :

MgCO3,(s) = MgO(s) + CO2,(g)
qui a pour enthalpie libre standard de réaction :
 r G20= 118,0 - 0,1 75 T = 0,175 ( 674 - T ) (en kJ  mol-1 ).
7/15

(2)

Q12. a) Décrire ce qui se passe lorsqu'on chauffe ce mélange supposé formé des 
deux
carbonates CaCO3,(s) et MgCO3,(s) sous la pression P° = 1 bar. Les deux 
équilibres
peuvent-ils être simultanés ? Justifier la réponse.
b) Lors du chauffage de ce mélange de carbonates, on observe une première perte 
de
masse du solide, de 2,2 % et lorsqu'on continue à augmenter la température, on 
constate
une deuxième perte de masse.
En déduire la composition massique x % en carbonate de magnésium. Commenter.

Partie IV.2 - Obtention d'un ciment
Vers 1 450 °C, on élabore le ciment à partir de la chaux CaO(s) provenant du 
calcaire et des
oxydes SiO2,(s), Al2O3,(s) et Fe2O3,(s) apportés par l'argile (tableau 1).
Oxyde réactif
CaO(s) SiO2,(s) Al2O3,(s) Fe2O3,(s)
Masse molaire en g  mol-1
56
60
102
160
% en masse dans le mélange réactionnel
p1
p2
p3
p4
Tableau 1
Le produit de réaction, appelé ciment, est formé de 4 composants A, B, C et D 
de formules et de
masses molaires M (en g  mol-1) données dans le tableau 2.
Composant du
ciment
M (en g  mol-1)
% en masse

A
Ca3SiO5,(s)
3CaO·SiO2
228
p5

B
Ca2SiO4, (s)
2CaO·SiO2
172
p6

C
Ca3Al2O6, (s)
3CaO·Al2O3
270
p7

D
Ca4Al2Fe2O10, (s)
4CaO·Al2O3·Fe2O3
486
p8

Tableau 2
La qualité du ciment dépend des compositions massiques des quatre composants A, 
B, C et D et
celles-ci peuvent être obtenues par des formules dites formules de Bogue.
On fait les hypothèses suivantes :
(H1) : tout l'oxyde Fe2O3,(s) se retrouve dans le composé D,
(H2) : tout l'oxyde Al2O3,(s) restant sert à fabriquer le composé C,
(H3) : tout l'oxyde SiO2,(s) se retrouve dans les composés A et B,
(H4) : tout l'oxyde CaO(s) se retrouve dans l'ensemble des composés A, B, C et 
D.
Q13. Écrire les quatre équations de réactions d'obtention des composés A, B, C 
et D à partir de
leurs oxydes.
On se propose d'écrire un script Python permettant de déterminer la composition 
massique du
ciment en les composants A, B, C et D, en fonction de la composition en oxydes 
réactifs CaO(s),
SiO2,(s), Al2O3,(s) et Fe2O3,(s).
On introduit le vecteur oxy dont les composantes sont p1, p2, p3 et p4 et le 
vecteur cim de
composantes p5, p6, p7 et p8.
Soit gob la matrice 4x4 telle que oxy = gob * cim.
Q14. Compléter le script ci-dessous à la ligne 5, qui définit la matrice gob 
par ses éléments  ij
exprimés en fonction des masses molaires M1 i  8 .
8/15

Le script se poursuit par les lignes 6, 7 et 8 :
· la ligne 6 détermine bog, la matrice inverse de la matrice gob,
· la ligne 7 définit le vecteur cim et la ligne 8 affiche le résultat.
1 import numpy as np
2 M1,M2,M3,M4=56,60,102,159
3 M5,M6,M7,M8=3*M1+M2,2*M1+M2,3*M1+M3,4*M1+M3+M4
4 oxy=np.array([62, 24, 9, 5]) #exemple d'un mélange réactionnel des quatre 
oxydes
5 gob=... #définition de la matrice gob
6 bog=np.linalg.inv(gob)
7 cim=np.dot(bog,oxy)
8 print(`cim=',cim)

Q15. Pour obtenir du mortier, on mélange le ciment et l'eau. On suppose qu'une 
mole de chacun
des 4 composés du ciment A, B, C et D réagit, respectivement, avec 3, 2, 6 et 
10 moles
d'eau.
m
Donner l'expression du rapport eau-ciment en masses r = e en fonction de p5, 
p6, p7, p8,
mc
les masses molaires M5  i  8 et la masse molaire de l'eau M0 .
Q16. Les réactions des composants du ciment avec l'eau conduisent à des 
produits appelés gels
ou hydrates et à l'hydroxyde de calcium Ca(OH)2,(s).
a) On assimile le mélange à une solution saturée en Ca(OH)2,(s). Déterminer le 
pH de la
solution sachant que le produit de solubilité de cet hydroxyde est K s = 10-5,2 
.
b) Le béton est un mortier renforcé par des barres de fer.
En milieu basique, écrire la réaction d'oxydation du fer(0) en fer(III), 
mettant en jeu le
couple O2 H2O . Expliquer ce qu'on entend par passivation du fer.
c) Préciser ce qu'il se passerait en milieu acide. Commenter.
Q17. On considère une argile formée de l'oxyde ferrique et d'un minéral K de 
formule
Al2O3  xSiO2  yH2O où x et y sont des entiers non nuls. Lorsqu'on chauffe K, on 
constate
une perte de masse de 14,0 % vers 550 °C. Une autre analyse de K montre qu'il 
contient
46,5 % de SiO2 .
Donner, sans calculs, le système de deux équations permettant de calculer les 
valeurs des
deux inconnues x et y.

Partie IV.3 - Les pluies acides
D'après Cembureau, l'Association européenne du ciment, en 2023, la production 
mondiale de
ciment s'est élevée à 4,0 Gt. Cette production s'accompagne de l'émission 
d'énormes quantités du
dioxyde de carbone. Dans l'eau, ce gaz donne une solution de diacide faible 
(CO2,(aq),H2O) qu'on
pourra modéliser par la "formule" H2CO3,(aq).
Q18. a) Écrire les deux équilibres acido-basiques de ce diacide et expliciter 
l'expression de leurs
quotients réactionnels. On supposera les solutions aqueuses suffisamment 
diluées pour
confondre les activités des solutés avec la valeur de leur concentration en 
quantité de
matière volumique exprimée en mol  L-1 .
b) La figure 4 donne, en fonction du pH, les proportions, ou pourcentages, des 
différentes
espèces acido-basiques issues de la dissolution du dioxyde de carbone dans 
l'eau : ces
9/15

courbes sont notées (1), (2) et (3). Attribuer chacune de ces courbes aux trois 
espèces
acido-basiques du diacide.
c) Déterminer les valeurs des constantes d'acidités K a1 et K a 2 pour le 
diacide étudié.

Figure 4 - Distribution des espèces acido-basiques issues de la dissolution de 
CO2,(g) dans l'eau,
en fonction du pH
On étudie l'eau de pluie devenue acide à cause de la dissolution du dioxyde de 
carbone CO2(g)
atmosphérique.
Cette dissolution est schématisée par l'équilibre : CO2,(g) + H2O = (CO2(aq), 
H2O) dont la constante
d'équilibre vaut K 0 (T
= 298K
=
) 3,1  10-2 . On donne la fraction molaire de CO2,(g) dans l'air :
xCO
= 3, 4  10-4 .
2

Q19. Montrer que la concentration en quantité de matière volumique du dioxyde 
de carbone
dissous c = CO2,(aq) ,H2O  est constante à température et pression fixées. 
Établir

l'expression du pH de cette solution à 25 °C et déterminer les valeurs de 
toutes les
concentrations des espèces présentes dans la solution.

Partie V - Quelques propriétés thermodynamiques de la Terre
La vie de tous les êtres vivants dépend de la température sur la Terre et 
celle-ci relève de son
bilan énergétique. Une variation moyenne de la température de 1,5 K peut 
entraîner des
conséquences importantes pour l'humanité.

Partie V.1 - Mesure de la conductivité thermique d'une roche terrestre
On considère le dispositif représenté en figure 5. Des thermocouples permettent 
de mesurer les
différentes températures. On note Tc et Tf les températures imposées grâce à 
des courants d'eau
chaude et froide respectivement ; T1 et T2 sont les températures aux interfaces 
entre le laiton et les
contacts 1 et 2 respectivement. On note d et l les longueurs respectives de 
l'échantillon de roche
et de celui du laiton (alliage métallique). Les "contacts" entre la roche et le 
laiton, par de l'air par
exemple, mettent en jeu des résistances thermiques inconnues, sur des 
épaisseurs e1 et e2. Enfin,
on note par l, , 1 et 2 les conductivités thermiques du laiton, de la roche et 
des contacts 1 et 2.
On admet qu'avec ce dispositif la température ne dépend que de la variable z.
10/15

Figure 5 - Dispositif de mesure de la conductivité thermique d'une roche
Q20. Donner la définition et l'expression de la résistance thermique Rth d'un 
conducteur thermique
de conductivité  , de section s et de longueur l traversé par un flux thermique 
uniforme
perpendiculaire à la section.
 l  d e1 e2 
T -T
Q21. Établir alors, la relation 1 2=
+
 +
 . Expliquer comment on peut déterminer 
Tc - T1
l   1 2 
expérimentalement, en s'affranchissant des indéterminations dues aux contacts.

Partie V.2 - Évolution de la température à l'intérieur de la Terre
On considère une sphère de centre O, de rayon r, de masse volumique uniforme µ 
et de
masse m. Une masse dm est apportée depuis l'infini jusqu'à la distance r sur la 
surface de la
sphère.
Q22. a) Exprimer l'énergie gravitationnelle finale dE pG ( r ) des masse m et 
dm. On considère

l'énergie gravitationnelle nulle quand dm est infiniment éloignée de m.
b) On modélise la formation d'une sphère de centre O, de rayon R et de masse 
volumique
uniforme par l'apport de coquilles sphériques, d'épaisseur dr et de volume d = 
4 r 2dr ,
depuis l'infini jusqu'à la position occupée dans la sphère.
Établir que l'expression de l'énergie gravitationnelle E pG ( R ) de cette 
distribution de
masse totale M est : E pG ( R ) = -

3G M 2
. Commenter le signe.
5 R

Q23. La sphère précédente modélise la Terre. En supposant que l'énergie 
gravitationnelle est
convertie totalement en énergie thermique, exprimer la température Teq atteinte 
par la Terre à
partir d'une température initiale voisine de 0 K, en fonction de MT , RT ,G et 
de C (capacité
thermique massique de la Terre). Estimer Teq et commenter.
11/15

Le manteau terrestre, de masse volumique moyenne µ =
4,5  103 kg  m-3 , occupe 84 % du
volume total de la Terre.
On s'intéresse à la puissance calorifique volumique pv générée par la 
radioactivité d'éléments
contenus dans les roches du manteau. La puissance générée par cette 
radioactivité est estimée à
= 1,2  1013 W . Les principaux éléments radioactifs à prendre en compte sont 
l'uranium U, le
P
thorium Th et le potassium K dont les désintégrations radioactives produisent 
une quantité
d'énergie spécifique convertie en chaleur.
On attribue les indices i = 1, 2 et 3 respectivement aux éléments uranium U, 
thorium Th et
A

potassium K. Pour chacun des noyaux i X i , on note Mi , xi ,  i et  i 
respectivement la masse
molaire, la fraction massique dans la roche (valeur du rapport de la masse de 
l'isotope par la
masse de roche qui la contient), la demi-vie et l'énergie spécifique libérée 
par atome. La demi-vie
 i (ou "période") correspond à la durée au cours de laquelle le nombre de 
noyaux est réduit de
moitié.
Les valeurs sont données dans le tableau 3.
Noyau

Ai

Xi

Masse molaire (en g  mol-1 )
Fraction massique xi de l'isotope
Demi-vie  i (en 109 ans)
Énergie thermique dégagée  i
(en J par noyau) par l'isotope

238
92 U

232
90Th

40
19 K

238

232

40

1,3  10-8

4,0  10-8

1,9  10-8

4,46

14,0

1,26

7, 41  10-12

6,24  10-12

1,14  10-13

Tableau 3 - Production d'énergie par la radioactivité au sein de la Terre

On note Ni le nombre de noyaux par unité de volume de roche ; lors de la 
désintégration des
noyaux, le taux de variation du nombre Ni est de la forme :
dNi
Ln 2
= -
N .
dt
i i

Q24. Déterminer l'expression Ni ( t ) en notant Ni 0 sa valeur à l'origine des 
temps.
Q25. Exprimer la puissance volumique pv ,i (t ) pour l'élément X i dégagée par 
radioactivité dans
les roches, en fonction des données utiles. En déduire la puissance totale pv 
(t ) dégagée par
les trois éléments radioactifs.
Q26. Le graphe de la figure 6 schématise l'évolution de la puissance volumique 
avec le temps.
Reproduire l'allure de ce graphe sur votre copie et en déduire, avec 
justification, la date t1/2
à laquelle la puissance volumique sera réduite de moitié.

12/15

Figure 6 - Évolution de la puissance volumique, d'origine radioactive, avec le 
temps
La Terre sphérique, de rayon RT, est supposée homogène et caractérisée par les 
valeurs
uniformes de sa masse volumique µ , sa capacité thermique massique C et sa 
conductivité
thermique  , de valeur approximative   3 W  K-1  m-1.

Q27. Justifier que le vecteur densité de courant thermique j est radial.

On pose j = j ( M, t ) ur . Préciser les invariances.

On se propose d'établir l'expression donnant les variations de la température T 
( M, t ) dans la
Terre.
Q28. On se place d'abord en régime variable et on prend comme système la 
coquille sphérique
d'épaisseur dr, comprise entre les rayons r et r + dr . Pendant la durée 
élémentaire dt , la
température de ce système varie de dT . Expliciter le raisonnement qui permet 
d'obtenir la
relation suivante :
T
µC 4 r 2
dt dr = -d ( j 4 r 2 ) dt + pv 4 r 2dr dt .
t
Donner la signification physique de chacun de ces trois termes.
On néglige la variation temporelle de la température dans la question Q29.
Q29. a) Établir l'équation différentielle vérifiée par la température T ( r ) .

13/15

b) Déterminer la loi de variation spatiale de la température T ( r ) dans la 
Terre en supposant
que la température est finie au centre de celle-ci et que la puissance 
volumique pv est
uniforme dans tout le volume de la Terre. La température du sol vaut Ts = 298 K 
.

c) Déterminer l'expression de la puissance surfacique j ( r ) .

-2
d) On donne la puissance surfacique à la surface de la Terre j ( R
=
T ) 70 mW  m . En
déduire la valeur de pv . Commenter compte tenu de Q26.

Partie VI - Le champ magnétique terrestre
La connaissance du magnétisme terrestre est utile pour étudier les 
communications
électromagnétiques. La protection vis-à-vis de certaines radiations cosmiques 
par le bouclier
magnétique dépend aussi du champ magnétique terrestre.

Le champ magnétique terrestre est assimilé à celui d'un dipôle magnétique m = - 
m uz , placé au
centre O de la Terre et porté par l'axe des pôles OZ, axe orienté de S vers N 
(figure7).

On montre que ce dipôle crée en un point M, repéré dans la base sphérique par 
OM = r ur , le
champ magnétique donné par l'expression intrinsèque :

)

(

 2 

µ0 3 ( m . r ) r - ( r ) m
.
B(M) =
4
r5

m

Figure 7 - Dipôle magnétique terrestre

(

Q30. Donner les trois composantes Br , B , B

) du champ magnétique dans la base sphérique.

Q31. Déterminer l'équation r ( ) d'une ligne de champ magnétique et tracer 
l'allure du graphe
d'une ligne de champ dans un plan méridien.

Q32. En un lieu du sol terrestre de latitude =
-  , expliciter la composante horizontale Bh et
2
la composante verticale Bv du champ magnétique terrestre en fonction de m, , µ0 
et
de RT .

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Q33. Application numérique : sur le sol de l'équateur, l'intensité du champ 
magnétique est
B 2,6  10-5 T . En déduire une estimation de la valeur m du dipôle magnétique 
terrestre.
=

Annexe - Valeurs pour faire certains calculs numériques et courbe log10(x)
Données

Valeur x

log10(x)

3,14

0,50

Rayon de la Terre supposée sphérique

RT

6,4 106 m

6,81

Masse de la Terre

MT = 6,0 1024 kg

24,78

Constante d'attraction universelle

G = 6,7  10-11 N  m2  kg-2

- 10,17

Vitesse angulaire de rotation de la Terre /axe sud-nord

= 7,3 10-5 rad  s-1

- 4,14

Capacité calorifique massique de la Terre

C  103 J  kg-1  K -1

3,00

Constante d'Avogadro

N=
6,0 1023 mol-1
A

23,78

Perméabilité magnétique du vide

µ0 =
4 10-7 H  m-1

- 5,90

FIN
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