CCINP Physique MP 2026

SESSION 2026

MP5P

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP
____________________

PHYSIQUE
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·

·
·

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction 
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

________________________________________________________________________________

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est constitué de trois parties totalement indépendantes.

1/14

CAHIER DE BORD D'UNE EXPÉDITION SUR LA PLANÈTE X
La partie I fait appel aux cours de mécanique du point, à celui sur les 
fonctions de transfert et au
cours de thermodynamique.
La partie II fait appel aux cours d'électromagnétisme.
La partie III fait appel aux cours de mécanique quantique et d'optique.
Données :
· charge de l'électron : - e =-1,6 10-19 C ,
· masse de l'électron : m
= 9,1  10-31 kg ,
· constante de Planck : h =
6,6  10-34 J  s,
· célérité de la lumière dans le vide : c =
3,0  108 m  s-1 ,
·

2,5  1,6 ;  2  10.

On notera  l'imaginaire pur, tel que  2 = -1.
Dans son cahier de bord, Major Tom, scientifique embarqué dans une mission pour 
découvrir une
planète inconnue, enregistre et analyse toutes les observations et découvertes 
faites lors d'une
expédition. Une fois arrivé sur la planète, Major Tom décrit en détail les 
expériences qu'il mène pour
connaître son nouvel environnement. En particulier le champ de pesanteur, le 
champ de
température, l'indice de l'atmosphère et l'activité sismique.

Partie I - Le ressort, couteau-suisse de la physique
I.1 - Mesures du champ de pesanteur de la planète
Pour déterminer le champ de pesanteur localement, les géophysiciens disposent 
d'instruments
appelés gravimètres dont le premier utilisé historiquement a été un pendule. On 
considère un
pendule simple : une masse m ponctuelle est fixée à une extrémité d'un fil sans 
masse et
inextensible de longueur  dont l'autre extrémité est fixée à un point fixe O 
(figure 1).
Soit z l'altitude de la masse m par rapport au niveau du sol. La planète est 
assimilée à une sphère
de rayon Rp et de masse homogène Mp . On considère dans toute la suite z  Rp .

2z 
,
Q1. a) Montrer que l'intensité de la force de gravitation se met sous la forme 
Fgrav  mgo  1 -
 Rp 

avec go à exprimer en fonction de Mp , Rp et de la constante universelle de 
gravitation G.
b) Calculer l'altitude maximale pour que la variation relative de l'intensité 
de cette force reste
inférieure à 1 %. On donne Rp = 4 000 km . Commenter.

2/14

m

Figure 1 - Pendule simple
On suppose le référentiel lié à la surface du sol comme

 galiléen. La masse m est alors soumise à
deux forces : celle due au champ de gravitation F = mg o supposée constante et 
uniforme et celle

due à la tension du fil T . On note  l'angle entre le pendule oscillant et 
l'axe vertical u z (figure 1).
Q2. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par  ( t ) . Indiquer comment 
mesurer la valeur de
l'intensité du champ de gravitation go grâce à un chronomètre.
On prend en compte maintenant la rotation de la planète sur elle-même (figure 
2).

Figure 2 - Rotation de la planète sur elle-même

Q3. Écrire la force d'inertie d'entraînement F ie , s'exerçant sur un corps 
ponctuel au repos relatif
par rapport au référentiel lié au sol, de masse m situé à une distance Rp du 
centre de la

planète en fonction de m, Rp ,  la vitesse angulaire de rotation de la planète 
sur elle-même,

 la latitude par rapport au plan équatorial et de u le vecteur unitaire 
perpendiculaire à l'axe
de rotation (figure 2).
On rappelle que le poids d'un objet est égal à la somme de la force de 
gravitation et de la force
d'inertie d'entraînement.

Q4. a) Exprimer le champ de pesanteur g en fonction de g o , Rp , ,  et de u .

b) Donner la condition sur Rp , , Mp et G pour laquelle on peut considérer que 
g  go à toute
latitude.

3/14

Major Tom a ici à sa disposition un ressort à spires jointives de raideur k, de 
longueur à vide  o et
de masse mo , suspendu verticalement par l'une de ses extrémités, en un lieu où 
l'accélération de
la pesanteur a une norme g uniforme. À l'autre extrémité, on accroche une masse 
quasi ponctuelle
m. Le ressort s'allonge de la quantité h.
On donne : k =50,0 N  m-1 ;  o =0,100 m .
On néglige la masse mo par rapport à m.
Q5. Exprimer la norme g du champ de pesanteur en fonction de h, k et de m.
Q6. Application numérique : pour m = 0,200 kg , Major Tom mesure h = 2,0 cm. 
Déterminer g et
estimer son incertitude-type relative.
À partir de cette position d'équilibre prise comme origine, on écarte 
verticalement la masse m d'une
quantité xo vers le bas et on la lâche sans vitesse initiale à l'instant t = 0 .
Q7. Écrire l'équation différentielle du mouvement de la masse m.
Q8. Résoudre cette équation et identifier la pulsation propre o en fonction des 
paramètres du
modèle.
Q9. a) Exprimer g en fonction de h et de o .

b) Application numérique : pour h = 2,0 cm, Major Tom compte N = 10 
allers-retours en
T10 = 4 s . Calculer g. Commenter.

Pour avoir une mesure plus fine de l'intensité de la pesanteur, il faut prendre 
en compte la masse
mo du ressort dont le mouvement est proche de la déformation statique ; 
l'extrémité se déplaçant
de xo > 0 , tout point d'abscisse  du ressort entre 0 et la longueur totale du 
ressort  se déplace

2
 
de  ( t , ) =   xo cos ( t ) avec
très lentement variable sur une durée T =
. Par exemple,

pour  =  , le point considéré est l'extrémité inférieure du ressort.
On s'intéresse au ressort nu, sans la masse m accrochée à son extrémité.
 d 
Q10. a) Un élément de masse  m =   mo , à l'abscisse  , a une énergie cinétique 
égale à
  
2

1
 d 
m  .
2
 dt 
Déterminer l'énergie cinétique du ressort nu en fonction de xo ,  , mo et de t.
b) En déduire l'expression de l'énergie cinétique maximale au cours du 
mouvement en
fonction de mo , xo et de  .
dEc =

Q11. En utilisant la conservation de l'énergie totale de l'ensemble {ressort 
pesant + masse}, vérifier
que la pulsation propre  se met sous la forme  =

o
avec  à exprimer en fonction de
1+ 

m et de mo .
Q12. En supposant que l'expression de la loi de la force de rappel (loi de 
Hooke) reste inchangée,
réécrire g en fonction de o , h et de  .
4/14

Q13. Recalculer g pour mo =

m
. Commenter.
10

À peine rentré dans son laboratoire de fortune, la planète se met à trembler ! 
Vif d'esprit, Major Tom
mesure ces vibrations grâce à son ressort transformé en ... sismomètre !

I.2 - Que tremble la planète !
À la suite du déplacement des plaques tectoniques, différentes ondes mécaniques 
se propagent à
partir d'un épicentre (point source des ondes). On considère une onde plane 
progressive sinusoïdale
s ( z, t ) se propageant en volume selon la direction (Oz ) , analogue à une 
onde lumineuse dans le
vide ; les ondes sismiques vérifient l'équation de D'Alembert.
1 2 s 2 s
L'équation de propagation de cette onde s'écrit :
, avec cs une constante réelle
=
cs2 t 2
z 2
positive.
Q14. a) Rappeler les définitions d'une onde longitudinale et d'une onde 
transversale. Citer un
exemple de chacune de ces ondes.
b) Préciser la signification de cs .
Une onde harmonique se propageant s'écrit en notation complexe : s ( z, t ) = 
Soe (t - kz ) , avec So
son amplitude,  sa pulsation et k la norme de son vecteur d'onde.
Q15. a) Indiquer la direction et le sens de propagation de l'onde.
b) Établir la relation de dispersion, reliant  et k.
Une modélisation plus approfondie de la propagation
1 2 s
s 2 s
+
=avec  une constante réelle positive.
2
2
t z 2
cs t

de

l'onde

permet

d'écrire

Q16. a) Déterminer la relation reliant  , k, cs et  .
On se place dans le cas où

 .
cs2

 cs2
et en écrivant k
= kr +  ki , exprimer kr = Re ( k ) et

ki = Jm ( k ) en fonction de  , cs et de  .

b) En développant à l'ordre un en

-

c) Écrire la représentation réelle de l'onde sous la forme s
=
( z, t ) So cos (t - az ) e
et b à exprimer en fonction de  , cs et de  .
d) Préciser la signification de b. Tracer, à t fixé, l'allure de la
z

- 
 z  So cos (t - az ) e b  en faisant apparaître a, b et So .

5/14

z
b

avec a
courbe

:

On modélise le sismomètre (figure 3) par :
· un solide de masse M (une autre !) suspendu à un ressort, dont l'autre 
extrémité est liée à un
bâti rigide R b solidaire du sol en vibration ;
· le ressort de masse négligeable devant cette nouvelle masse M, de constante 
de raideur k, de
longueur à vide  o ;
· un amortisseur relié au bâti, exerçant sur le solide une action mécanique 
modélisée par la

force de frottement fluide dans le référentiel lié au bâti R b : F = -  v , 
avec  une constante
positive.

Figure 3 - Sismomètre
Au passage de l'onde sismique, le bâti du sismomètre subit une accélération par 
rapport au
 d 2 X 

 ( t ) e x .
référentiel de la planète, supposé galiléen, notée
: A =
=
ex X
dt 2
On se place dans le référentiel lié au bâti R b . Le mouvement du centre de 
gravité du solide de
masse M par rapport à sa position d'équilibre relatif  eq est repéré par la 
distance u ( t )=  -  eq .
Q17. Montrer que l'équation différentielle vérifiée par u ( t )

se met sous la forme :

 avec Q et  à déterminer en fonction de  , k et de M.
u +  o  u + o2u = - X
o
 Q 
On admet que le mouvement du sol en notation complexe s'écrit en régime 
sinusoïdal forcé de
pulsation  : X ( t ) = Aet avec A une constante réelle positive.
u ( t ) se met sous la forme u = Be (t + ) avec B une constante réelle positive.

Q18. Préciser la signification de A, de B et de  . On ne demande pas ici leur 
expression.
Q19. Déterminer l'expression de la fonction de transfert H ( ) =

6/14

u
en fonction de o ,  et de Q.
X

Major Tom a exécuté deux scripts (figures 4 et 5) en Python afin d'obtenir la 
fonction de transfert H
et le gain en décibel GdB (figures 6 et 7).

Figure 4 - Script 1 : définition de la fonction g

Figure 5 - Script 2 : définition du gain en décibel

Q20. Compléter sur votre copie les lignes 11, 12 et 18 du script 2 (figure 5).
7/14

Figure 6 - Compilation du script 1 : représentation graphique de la fonction g
Q21. a) Déterminer les expressions asymptotiques de H en haute et basse 
fréquences.
b) En déduire les expressions des droites asymptotiques du gain GdB en décibels 
en fonction
f 
de log   .
 fo 
c) Déterminer les coordonnées du point d'intersection de ces deux asymptotes.
d) Déterminer la nature du filtre ainsi que son ordre.
e) Calculer la pulsation de résonance rés .
f) Déterminer numériquement Q et estimer  proposé par Major Tom.

f0

Figure 7 - Compilation du script 2 : représentation graphique du gain en 
décibels

8/14

I.3 - Température de l'atmosphère
Toujours muni d'un ressort, Major Tom souhaite déterminer une façon de mesurer 
la température
de l'atmosphère.

Figure 8 - Ressort horizontal
On considère un système masse-ressort horizontal, représenté sur la figure 8, 
en position étirée.
On suppose que le déplacement de la masse sur le support horizontal se fait 
sans frottements.
On définit toujours :
·  o la longueur à vide du ressort,
·  la longueur du ressort,
· m la masse accrochée à l'extrémité du ressort,

· F la force de rappel exercée par le ressort sur la masse m.
On considère n moles de gaz parfait dont la variation infinitésimale d'entropie 
dS s'écrit en fonction
de la pression P, la température T, le volume V, la constante des gaz parfaits 
R et du coefficient
nR dT P
,V )
=
+ dV .
adiabatique  = 1,4 : dS (T
 -1 T T
Q22. a) Préciser combien vaut dS pour une transformation adiabatique réversible.
dT
dV
b) Montrer que pour une telle transformation, on obtient :
0.
+ (  - 1)
=
T
V
c) En déduire la relation entre volume et température pour une telle 
transformation et préciser
sous quel nom est connue cette loi.
Les mesures effectuées par Major Tom sur un système masse-ressort lui ont 
permis préalablement
de mettre en évidence la dépendance en température des paramètres suivants :
- k décroit de façon affine avec la température : k (T=
) ko - DT , avec ko et D des constantes
réelles positives,
-  o est indépendante de T.
Ainsi, la variation infinitésimale d'entropie dS du ressort s'écrit : dS (T ,  
)= C
avec C une grandeur positive indépendante de la température.

dT
+ D ( - o ) d
T

On raisonnera par analogie avec le gaz parfait précédent.
Q23. a) Donner la signification physique de C .

b) De façon isentropique, le système passe de (Ti ,  i ) à (Tf ,  f ) . 
Exprimer Tf en fonction de
Ti ,  i ,  f , C et de D.
c) Proposer à Major Tom un protocole pour mesurer la température compte tenu du 
résultat
précédent.
9/14

Partie II - Interaction lumière-matière
Major Tom se prépare à analyser des échantillons par spectroscopie, une 
technique de
caractérisation de la matière grâce à son interaction avec un rayonnement.

II.1 - Modèle de l'électron élastiquement lié et propagation du rayonnement
Dans le cadre de la théorie atomique, l'atome peut être décrit par le modèle de 
Thomson, également
connu sous le nom de modèle du "pudding aux raisins". Ce modèle postule que 
l'atome est
sphérique de centre O et constitué d'une "soupe" de charges positives dans 
laquelle sont dispersés
des électrons, semblables à des raisins dans un pudding.
Un électron est soumis à deux
forces

 :

- une force de rappel f r -
=
=
 OM -
r ,

- et une force de frottement fluide, proportionnelle à la vitesse v de 
l'électron : f f = -  v , avec

 constante positive.

Q24. Motiver le choix de ne pas considérer la dynamique du noyau chargé 
positivement.
On s'intéresse à l'origine de la force de rappel.
Q25. a) On considère une boule de rayon Ro , de charge Qo chargée uniformément 
en volume.

Elle crée un champ électrique E en un point M situé à une distance r du centre. 
Justifier la
dépendance et la direction du champ électrique en coordonnées sphériques.

b) Exprimer le champ électrique E pour un point M à l'intérieur de la 
distribution en fonction
de Qo , Ro ,  o et de r.
c) Identifier ce que modélise la force de rappel. Préciser l'expression de  .
On s'intéresse à un milieu matériel, peu dense. Lorsqu'un rayonnement se 
propage dans un milieu
isolant (diélectrique), électriquement neutre, son champ électromagnétique 
interagit avec les
électrons (de charge -e , de masse m) des atomes du milieu. L'étude de cette 
interaction permet
de caractériser ce milieu par une grandeur macroscopique, appelée constante 
diélectrique relative
r   .
Dans un tel milieu, les équations de Maxwell s'écrivent :

B
div
B 0, div
E 0, rot
E -
,
=
=
=
t

( )

( )

( )

E
rot B µo o
=
.
r
t

( )

Q26. Comparer ces équations de Maxwell à celles dans le vide.
Le rayonnement incident est décrit par une onde électromagnétique plane 
progressive
monochromatique polarisée rectilignement dont le champ électrique s'écrit en 
notation complexe :

E = Eoe (t - kz ) u x avec Eo   , k   et u x , u y , u z formant une base 
orthonormée directe.

(

)

Q27. Indiquer la direction de propagation de l'onde, son vecteur d'onde k et sa 
direction de
polarisation.
Q28. Montrer que le champ électrique est transverse.
 
Q29. Exprimer le champ magnétique de l'onde lumineuse en fonction de E, k et de 
 . Montrer qu'il
est également transverse.
10/14

En plus des deux forces f r et f f précédemment citées, un électron considéré 
est soumis à la force

de Lorentz du champ électromagnétique du rayonnement : f em
= qe E + v  B .

(

)

Q30. Préciser les conditions pour que la force magnétique du rayonnement soit 
négligeable devant
la force électrique. On considèrera cette condition respectée dans la suite.
Q31. Rappeler l'ordre de grandeur de la taille d'un atome et montrer que, pour 
une radiation dans
l'UV (longueur d'onde du rayonnement de l'ordre de 200 nm), le champ électrique 
est uniforme
à l'échelle atomique.

Q32. Déterminer l'équation différentielle du mouvement de l'électron vérifiée 
par r ( t ) .
Q33. En se plaçant en régime sinusoïdal forcé de pulsation  , montrer que la 
représentation
-e

m
E avec 
complexe du déplacement de l'électron se met sous la forme r =

o2 -  2 + 

et Q à exprimer en fonction de  , m et de  .

o

o

Q

L'expression précédente permet d'obtenir la constante diélectrique relative 
complexe  r :

2 o

2
2
2
 o - 

Q
- 
=
 r = 1 +
1 - 
2
2
2
2
2

 o   2
 o 

2
2
2
+
+
o - 
   o - 

 Q   
 Q  

(

(

)

)

(

)

avec  caractérisant le milieu, 1 et  2 trois réels positifs.

II.2 - Solution des équations de Maxwell et aspect énergétique

Le champ électrique complexe s'écrit E = Eoe (t - kz ) u x et vérifie 
l'équation de propagation :

   2 E
1
r
avec c =
et µo la splitéabilité du vide.
E =
2
2
c t
µo  o

Q34. En déduire la relation de dispersion reliant k 2 , , c et  r .
On pose k (
=
 ) k1 ( ) -  k2 ( ) où k1 et k2 sont des fonctions réelles.
Q35. Établir le lien entre k1 ( ) , k2 ( ) et 1 ( ) ,  2 ( ) sans chercher 
leurs expressions explicites.

Q36. Réécrire le champ électrique réel E en fonction de Eo , , t , k1, k2 , z 
et d'un vecteur unitaire
de base.
Q37. Préciser la signification de  =

1
.
k2

11/14

Q38. Dans l'hypothèse où la matière est peu absorbante, exprimer k1 et k2 en 
fonction de
c, , 1 ( ) et de  2 ( ) .

Q39. Définir la vitesse de phase et l'exprimer en fonction de c et de 1 ( ) . 
Le milieu est-il dispersif ?
Q40. Exprimer la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting

en fonction de

k1 ( ) , k2 ( ) , z, , Eo , µo et d'un vecteur unitaire de base.

On définit l'absorbance A comme la capacité d'un milieu à absorber le 
rayonnement qui le traverse.

  (z + L) 
.
Sur une longueur L de chemin traversé, AL = - log10 

 (z)

Q41. Montrer qu'à pulsation  fixée, AL est proportionnelle à k2 .
Q42. Déduire l'information que Major Tom pourrait extraire de l'absorbance.

Partie III - Mesure optique et spectroscopie
III.1 - Spectroscopie Ultra-Violette/Visible (UV/Vis)
Un échantillon liquide a pu être récupéré et Major Tom souhaite le caractériser 
en spectroscopie
UV/Vis.
On considère une particule quantique de masse m, d'énergie E > 0 dont l'espace 
accessible est un
segment de longueur a.

0.
Sur cet intervalle, l'énergie potentielle de la particule est nulle :  x  ]0, 
a[ , V ( x ) =
La fonction d'onde  ( x, t ) associée à un état stationnaire de la particule 
s'écrit sous la forme du
produit d'une fonction  ( t ) = e

-

Et

du temps par une fonction  de l'espace :  ( x, t ) 
=
(x)e

La fonction  vérifie l'équation de Schrödinger stationnaire : -

-

Et
 .

2 d 2
+ V ( x )  ( x ) E
=
(x) .
2m dx 2

Q43. Définir un état stationnaire en physique quantique.
Q44. Rappeler l'équation de Schrödinger dépendante du temps.
Q45. Pour x  ]0, a[ , écrire la forme générale des solutions  ( x ) . On pose  
2 =

2mE
.
2

Q46. En écrivant les conditions limites de la fonction d'onde en x = 0 et x = a 
, en déduire
l'expression des énergies. Écrire en particulier l'énergie de l'état 
fondamental E1 et exprimer
l'énergie d'un état excité En pour n   * en fonction de n et de E1 .
12/14

Major Tom veut vérifier l'étalonnage de son spectrophotomètre par absorption. 
Pour cela, il utilise le
spectre d'absorption de la molécule but-1,3-diène, représentée à la figure 9, 
dont le squelette
carboné est linéaire.

Figure 9 - Représentation de la molécule but-1,3-diène
Le modèle des électrons dans un puits de potentiel infini correspond aux 
électrons libres de se
déplacer d'une extrémité à l'autre, du premier carbone à gauche jusqu'au 
dernier à droite.
Q47. a) En notant dcc la distance moyenne entre deux carbones, écrire 
l'expression de a en
fonction de dcc .
On admet que, pour une molécule constituée d'un nombre N pair d'atomes de 
carbone, N 2 niveaux
d'énergie sont occupés (en partant du niveau le plus bas) et qu'une transition 
électronique a lieu
entre le dernier niveau occupé (HOMO) et le premier niveau vide (LUMO).

b) Établir la relation entre la longueur d'onde  associée à la transition et la 
distance entre
deux atomes de carbone dcc .
c) Application numérique : pour dcc  10-10 m, déterminer l'ordre de grandeur de 
 qui sert
de référence à Major Tom.

III.2 - Interféromètre d'Young : mesure de l'indice optique
Pour mesurer l'indice optique de l'atmosphère de sa planète, Major Tom dispose 
d'un interféromètre
constitué de fentes diaphragmes équidistantes (distance a) : l'interféromètre 
des fentes d'Young
(figure 10). La source S est ponctuelle, monochromatique de longueur d'onde 
dans le vide
 = 600 nm et située au foyer principal objet F1 de la lentille d'entrée ( L1 ) 
. Les deux lentilles ont
même distance focale f1. Les cuves C1 et C2 sont transparentes, identiques, de 
même longueur
intérieure  = 20,0 cm .

Figure 10 - Montage interférentiel
C1 contient le gaz de l'atmosphère à la pression atmosphérique et C2 est 
initialement remplie de ce

même gaz à la pression atmosphérique. L'écran est placé dans le plan focal 
image de la seconde
lentille.
13/14

Q48. Expliquer l'intérêt de placer la source S dans le plan focal objet de la 
première lentille.
Q49. Déterminer la différence de marche en un point M ( x, y , z = 0 ) (figure 
10) sur l'écran en
fonction de a la distance entre les fentes, x et f1 . On se placera dans les 
conditions de Gauss.
Q50. Identifier la position initiale de la frange d'ordre d'interférence nul.
On vide progressivement la cuve C2 .
Q51. a) Lorsque la pression dans C2 est considérée comme nulle, déterminer la 
position sur l'écran
de la frange d'ordre nul.
Un capteur, placé au niveau de l'axe optique sur l'écran, a détecté le passage 
de N = 100 franges
brillantes pendant toute la phase pendant laquelle on vide la cuve C2 , avec 
une intensité lumineuse
maximale à l'état final.
b) Déterminer l'expression de l'indice ngaz du gaz de l'atmosphère à la pression
atmosphérique et la valeur numérique déterminée par Major Tom.

FIN

14/14