X Maths B MP-MPI 2026

ECOLE POLYTECHNIQUE
ESPCI

CONCOURS D'ADMISSION 2026

MARDI 14 AVRIL 2026
08h00 - 12h00
FILIERES MP-MPI

-

Epreuve n° 3

MATHEMATIQUES B

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Notations
Si n est un entier naturel non nul, on note Mn (R) l'ensemble des matrices à n 
lignes et n
colonnes et à coefficients réels.

Si M  Mn (R) et si i et j sont deux entiers compris entre 1 et n, on note Mi,j 
le coefficient
de M se trouvant à la ligne i et à la colonne j.

Si M  Mn (R), on note Sp(M ) le spectre réel de la matrice M , c'est-à-dire 
l'ensemble de ses
valeurs propres réelles avec leur multiplicité. Plus précisément Sp(M ) est la 
partie de R × N
dont les éléments sont les paires (, m ) où  est une valeur propre réelle de M 
et m sa
multiplicité comme racine du polynôme caractéristique de M . On note également 
Tr(M ) la
trace de M .

Si i et j sont deux entiers relatifs, on note i,j l'entier 1 si i = j et 0 si i 
= j.
Si A est une partie de R, on note 1A la fonction de R dans R qui vaut 1 sur A 
et 0 sur le
complémentaire de A.

Dans tout le sujet, (, A , P) désigne un espace probabilisé sur lequel seront 
définies les différentes variables aléatoires du sujet. On admettra que toutes 
les variables aléatoires introduites
peuvent bien être construites sur cet espace. On note P(A) la probabilité d'un 
événement
A  A et E(Z) l'espérance d'une variable aléatoire Z sur (, A , P) à valeurs 
réelles.

Dans le sujet, pour résoudre une question, on pourra admettre le résultat des 
questions
précédentes. La partie III est indépendante des parties I et II et la partie IV 
est essentiellement
indépendante des parties I et II.
Préliminaire

1. Soit   R. On considère la suite réelle (un )n0 définie par les conditions
u0 = 0,

u1 = 1,

n  2 un = un-1 - un-2 .

Exprimer, pour tout entier n  0, le terme un en fonction de n et de . On 
distinguera
soigneusement les cas suivants : || > 2, || < 2,  = 2 et  = -2. Première Partie 2. Soit f une fonction à valeurs réelles définie et continue sur [0, 1]. On considère les suites réelles (vn )n1 et (wn )n1 définies par n n 1X k 1X 2k n  1, vn = f , wn = f . n n+1 n 2n + 1 k=1 k=1 Montrer que les suites (vn )n1 et (wn )n1 convergent et ont la même limite. 1 3a. Soit f une fonction à valeurs réelles définie et continue sur [-2, 2]. Prouver que l'intégrale Z 1 2 f (x) I(f ) = dx -2 4 - x2 est convergente, et que Z 1 f (2 cos())d. I(f ) = 0 3b. Pour un entier naturel n, on note fn la fonction de R dans R définie par fn (x) = xn . Calculer la valeur de l'intégrale I(fn ) pour lorsque n vaut 0, 1 et 2. 3c. Pour tout entier naturel n  0, calculer la valeur de l'intégrale I(fn ) en fonction de n. Dans les questions qui suivent, pour tout entier n  1 on considère Un une variable aléatoire discrète uniforme à valeurs dans les entiers naturels compris entre 1 et n, c'est à dire que k  [[1, n]], P (Un = k) = 1 . n 4a. Si f est une fonction à valeurs réelles définie et continue sur [-2, 2], prouver que Z 1 2 f (x) Un dx. --- E f 2 cos n  -2 n+1 4 - x2 4b. Prouver que, pour tout y  [-2, 2], Z Un 1 y 1 P 2 cos < y --- dx. n  -2 n+1 4 - x2 Deuxième partie Soit un entier n  2. On note Tn la matrice définie par la formule (Tn )j,k = j,k+1 + j+1,k , pour tous 1  j, k  n. Autrement dit 0 1 0 ... 0 .. .. 1 0 . 1 . .. Tn = 0 1 . 0 0 .. . . . . . . . . . . 1 0 ... 0 1 0 et on note n (X) = det(XIn - Tn ) le polynôme caractéristique de Tn . 5a. Pour n = 2 et n = 3, calculer le polynôme n et déterminer le spectre de Tn . 5b. Pour tout entier n  4, exprimer n en fonction de n-1 et n-2 . 2 5c. Soit  un nombre complexe tel que || < 2. Établir la formule générale suivante pour n (), lorsque n  2, !n+1 !n+1 2 2 + i 1 4 - 4 - - i . n () = - 2 2 i 4 - 2 5d. En déduire une expression exacte des coefficients du polynôme n (on pourra donner les coefficients comme somme de produits de coefficients binomiaux). 6. Pour un entier n  2, montrer que les valeurs propres de Tn sont données par la formule k , k = 1, . . . , n. 2 cos n+1 Si f est une fonction sur R à valeurs réelles et M  Mn (R), on définit X 1 Sf (M ) = m f (). n (,m )Sp(M ) 7. Prouver que si f est définie et continue sur [-2, 2], on a Z 1 2 f (x) dx. lim Sf (Tn ) = n+ -2 4 - x2 Soit un entier n  2 et soient a, b, c trois nombres réels. On note Tn (a, b, c) la matrice de Mn (R) telle que, pour 1  i, j  n, c'est-à-dire : (Tn (a, b, c))ij = ai,j + bi+1,j + ci,j+1 , a b c a Tn (a, b, c) = 0 c .. . . . . 0 ... 0 ... .. . b .. . a .. .. . . 0 c 0 .. . . 0 b a 8a. Exprimer le spectre de Tn (a, b, c) en fonction de a et du spectre de Tn (0, b, c). 8b. Exprimer le spectre de Tn (a, b, c) en fonction de a et du spectre de Tn (0, bc, 1). 8c. On suppose que bc > 0. Exprimer toutes les valeurs propres complexes de Tn 
(a, b, c) en
fonction de a, b, c et n.
Indication : on pourra dans un premier temps se ramener au cas b = c.

On suppose désormais que a, b, c sont trois nombres réels avec bc > 0.

9a. Prouver que pour toute fonction f à valeurs réelles continue sur R, on a

Z
1 2 f (a + bcx)

lim Sf (Tn (a, b, c)) =
dx.
n
 -2
4 - x2
3

9b. Soit y  R, et qn (y) le nombre de valeurs propres de Tn (a, b, c) dans 
l'intervalle ]-, y].
Donner un équivalent de qn (y) quand n  .
Troisième partie
Le but de cette partie est de donner une démonstration du théorème 
d'approximation de
Weierstrass. L'utilisation de ce théorème n'est donc pas autorisée dans les 
questions 10 à 12.
n

Soit un entier n  0. On note Qn le polynôme Qn = (1 - X n )2  R[X] et Pn le 
polynôme
Pn = Qn ((1 - X)/2). On note également H la fonction de [-1, 1] dans R définie 
par
(
0 si x < 0 x  [-1, 1], H(x) = 1 si x  0. 10a. Montrer que pour tout réel 0   < 21 , la suite (Qn )n0 converge uniformément vers 1 sur l'intervalle [0, ] et vers 0 sur l'intervalle [1 - , 1]. 10b. En déduire que pour tout réel 0 <   1, la suite (Pn )n0 converge uniformément vers H sur [-1, 1] \ [-, ]. Soit f une fonction continue de [-1, 1] dans R et soit un réel  > 0.
11. On suppose, dans cette question uniquement, que f (-1) = 0. Montrer qu'il 
existe un
entier N  1, des réels -1 < c1 < c2 < · · · < cN < 1 et (a1 , . . . , aN )  [-, ]N tels que x  [-1, 1], f (x) - N X ai H(x - ci )  . i=1 12. En déduire qu'il existe un polynôme P  R[X] tel que x  [-1, 1], |f (x) - P (x)|  . PN Indication : on pourra considérer un polynôme de la forme F,n = i=1 ai Pn (X - ci ) et choisir un réel  > 0 tel que les intervalles [ci - , ci + ] sont deux à deux 
disjoints.
Quatrième partie

On se donne une famille (Wi,j )1ij de variables aléatoires à valeurs dans Z 
indépendantes
2 ) = 1 et |W |k est d'espérance
identiquement distribuées telles que E(W1,1 ) = 0, E(W1,1
1,1
finie pour tout entier k  0.
Pour tout entier n  1, et tout   , on note Xn ()  Mn (R) définie par
( Wi,j ()

si i  j
 1  i, j  n, (Xn ())i,j = Wj,in()

si j  i.
n
Si f est une fonction de R dans R, on note Sn (f ) la variable aléatoire 
définie par
  ,

Sn (f )() = Sf (Xn ()),
4

la notation Sf (M ) pour M  Mn (R) étant définie avant la question 7. On note 
également,
lorsque f est continue,
Z 2
p
1
(f ) =
f (x) 4 - x2 dx.
2 -2
Pour tout entier naturel k  0, on note (Hk ) l'hypothèse suivante.
(Hk )

1
1
E(Tr((Xn )k )) = (fk ) et lim 2 E(Tr((Xn )k )2 ) = (fk )2 ,
n+ n
n+ n
lim

où l'on rappelle que fk désigne la fonction x 7 xk de R dans R.

13a. Pour tout entier k  0, et tout entier n  1, montrer qu'on a une égalité de 
variables
aléatoires Sn (fk ) = n1 Tr(Xnk ).

13b. Calculer (fk ) en fonction de k pour tout entier k  0.

13c. Démontrer (Hk ) pour 0  k  2.
Dans la suite du sujet, on suppose désormais que (Hk ) est vérifiée pour tout 
entier k  0.

14. Pour tout entier k  0 et tout nombre réel B > 0, on note gk,B la fonction 
définie sur
R par
x  R, gk,B (x) = |x|k 1|x|>B .
Montrer que, pour  > 0,
P(Sn (gk,B )  ) 

E(Sn (f2k ))
.
B k

15. En déduire que pour tout réels B > 4 et  > 0, on a
lim P(Sn (gk,B )  ) = 0.

n+

Indication : on pourra observer que pour k  k  et B > 4, on a gk,B  gk ,B .
On fixe désormais un réel B > 4.
16. Montrer que pour tout entier k  0 et tout réel  > 0, on a
lim P(|Sn (fk ) - E(Sn (fk ))|  ) = 0.

n+

Soit f une fonction continue de R dans R nulle en dehors de [-B, B]. On fixe un 
réel  > 0.

17a. Montrer qu'il existe un polynôme P  R[X] et un entier N  0 tels que pour 
tout
n  N,
P(|Sn (f ) - (f )|  )  P(|Sn (P 1|x|>B )|  /4) + P(|Sn (P ) - E(Sn (P ))|  /4).
17b. Conclure que
lim P(|Sn (f ) - (f )|  ) = 0.

n+

5