X/ENS Maths A MP-MPI 2026

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI
ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2026

LUNDI 13 AVRIL 2026
08h00 - 12h00
FILIERES MP-MPI

-

Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES A

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

PRÉAMBULE ET NOTATIONS

Dans tout le texte, la lettre C désigne le corps des nombres complexes muni de 
la
conjugaison complexe z + 7. Pour z EUR C, on notera |2| :-- V2 le module de z. 
La lettre
R désigne le corps des nombres réels et R, l'ensemble des nombres réels qui 
sont positifs
ou nuls. Pour xrE Cet E R:, on notera

D(r,ô):={zeC|lz2-7xr <0 et 0D(x,d) ={z2EeC||z2-1x|=0)} respectivement le disque fermé et le cercle centrés en x et de rayon 6. (1) Pour n > 1 entier, on considère le C-espace vectoriel C" que l'on munit de 
l'appli-
cation C7 x C7 -- C définie par

où les x; (resp. y;) sont les coordonnées de x (resp. y). On notera aussi pour 
x EUR C",
Ir: (xix)
Les candidates et candidats pourront utiliser sans justification les faits 
suivants :

e Pour x EUR C" fixé, l'application w, : y + (xly) est semi-linéaire au sens où
Da(y + ay") = Pay) + Apx(y") alors que d, : x (xly) est linéaire:
ext |[x] est une norme sur C":

e |{xly)] < [x] - [y]. Par analogie avec le cas euclidien, (- |:) est souvent appelé produit scalaire hermitien et lorsque (u1,...,u,) est une famille de vecteurs de C" telle que (u;lu;) = 0 pour à £ j et [lu;|| = 1 avec 1 < 4, < n, on dira que (u1,...,uA,) est une base orthonormale. Pour deux entiers m > 1et n > 1, Ms A(C) désigne les matrices à m lignes et n
colonnes à coefficients dans EUR et M, (OC) := M,h(C) les matrices carrées n x 
n.

(i) Étant donnée une matrice À EUR My A(C), on notera A EUR M, n(C) sa trans-
posée et À la matrice dont les coefficients sont les conjugués dans C des coef-
ficients de A. Les éléments de C" seront identifiés aux éléments de M, 1(C).
On notera aussi 4* := 'A. On pourra utiliser sans justification que pour tous
x et y dans C",on a

(xly) = 'x y et (Ax|y) = (x|A*y)

1
(ii) On considère pour À EUR M, (CO)

IAÏ := sup [Az

Ie=1

qui définit une norme sur M,(C) (on ne demande pas de le démontrer) ap-
pelée norme subordonnée. Lorsque P EUR M,(C) est inversible, on définit le
conditionnement de P par

cond(P) := || P{ - IP.

(ii) Une matrice À de M, (C) est dite unitaire si A*A -- J,. Elle est dite 
hermi-
tienne si ÀA* = À. On pourra utiliser sans démonstration que À est unitaire si
et seulement si pour tout x EUR C", on a | Ax|] -- |x|| ou encore si et 
seulement
si les colonnes de À forment une base orthonormale.

(IT) Pour (A1,...,,) EUR C", on notera diag(A1,...,À,) la matrice diagonale de 
M, (C)
dont les coefficients diagonaux sont données par les À;. Le théorème de 
réduction
suivant pourra, et devra, être utilisé.

Théorème Soit À une matrice unitaire (resp. hermitienne). Il existe alors une
matrice unitaire U telle que

A = Udiag(x,..., À )UT!
où les À; sont les valeurs propres de À qui sont alors de module 1 (resp. 
réelles).

Autrement dit une matrice unitaire (resp. hermitienne) est diagonalisable en 
base
orthonormale pour le produit scalaire hermitien avec valeurs propres de module 1
(resp. réelles).

(IV) Pour tout polynôme à coefficients complexes p = 5, piX* EUR CI[XT] et 
toute ma-
trice À EUR M,(C), on rappelle que p(A) est la matrice 5 Y_,p; 4°. On 
s'intéresse
alors à [Ip(A)|| que l'on essaie de majorer par

Iplls := sup [p(a)
aEURes
pour un ensemble $ compact qui, bien sûr, va dépendre de A.

Les candidates et candidats sont invités à ne pas rester bloqués sur une 
question (notam-
ment celles, plus difficiles, situées en fin de partie). On attend toutefois un 
traitement de
portions substantielles de chacune d'elles, plutot qu'un < grappillage > de 
points.

Dans toute la suite, on considère n > 1 entier.

2
Préliminaires

Az]

(ER

1) Soit À EUR M,(C). Justifier l'existence de [| AÏI et montrer que [| A|| = 
max;0o

2) Dans le cas où À est une matrice diagonale diag(À1,...,À,), donner une 
expression
de ||A{| en fonction des À;.

3) Montrer que pour À, B EUR M,(C), on a [AB < [AI - HBH. 4) Vérifier que pour Ü unitaire, on a [[U/|| = 1 et montrer que pour tout À EUR M, (C), on à HAUT = IU A = AI. 5) On suppose À diagonalisable de sorte qu'il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que À = PDP7*. Montrer que pour cond(P) défini dans le préambule et o(A) l'ensemble des valeurs propres de À, on à pour tout p EUR CIX] Ipllocay < IPC cond(P)[p|oca). A- Principe du maximum pour les polynômes On note D := D(0, 1) le disque unité et OD := 9D(0, 1) le cercle unité. Pour p EUR C|X] de degré n -- 1 et z2 EUR D on se propose de montrer que [p(z)| < [p|lsp. On suppose ici n > 2.
Soit s = 4/1--|2[2. On introduit la matrice U de M,(C) et le vecteur e; EUR C" 
par

Ugo)  \
6) Montrer que U est unitaire.

7) Montrer que p(z) = eïp(U }ez.

8) Montrer, en utilisant le théorème du préambule, que

p(2)| < Hp < [pllan. 9) On suppose ici que |z| < 1. Montrer que [p(z)| < ||p|lp. 10) Soit S un fermé borné non vide de C. On définit alors OS EUR $ comme suit : x E S \ OS si et seulement s'il existe 0 > 0 tel que le disque D(x,0) EUR S. 
Montrer

que ||plls = piles:
B- Inégalité de Von Neumann

On suppose que À EUR M,(C) est une contraction au sens où ||A|| < 1 et que p EUR CIX |. On veut montrer l'inégalité de Von Neumann suivante : IpCAJI < |plin. 11) En utilisant la question 5), traiter le cas où À est unitaire. 12) Montrer qu'il existe une matrice hermitienne D1 (resp. Dy4:) dont les valeurs propres sont réelles positives et telle que D? = 1 -- A*A (resp. D, = 1 -- AA*). Indication : utiliser le théorème de réduction du préambule. 13) Montrer qu'il existe q EUR C[X] tel que D1 = q(A*A) et D: = q(AA*). 14) Déduire de la question précédente que AD y: = D1A* AD = DA. 15) Montrer que la matrice U EUR M,(C) définie par L A  Dy: (on % ) est unitaire. 16) En utilisant les matrices / A Day 0, -.. 0» \ 0, O0, Ur -- _ , 0, O0, I, V Da A 0, - 0, où k est le nombre de matrice nulle 0, de M,(C) sur la première ligne, démontrer l'inégalité de Von Neumann. Indication : on notera l'analogie avec la matrice U de la partie À. On montrera ainsi que pour p de degré < k + 1, le premier bloc en haut à gauche de p(Uz) est égal à p(A). 17) En déduire que pour toute matrice À EUR M, (C), on a IpCA)I < [ploconan : C- Hausdorifien et rayon numérique Le Hausdorffien de À EUR M,(C) est par définition le sous-ensemble suivant de EUR : 18) Montrer que o(A) EUR H(A) où o(A) est l'ensemble des valeurs propres de À. 19) Montrer que pour (A1,...,1,) EUR C", H(diag(A1,...,,)) est l'enveloppe convexe de {A1,...,À,} c'est à dire l'ensemble {J 5, @Â | di oe=l1etaeR;}. 20) En déduire H(A) lorsque À est unitaire (resp. hermitienne). 21) Montrer que x : ' } = D(0, à). Indication : on pourra commencer par calculer (Ax|x) pour x -- " | avec a, bER. et a° +b? =]. 22) Montrer que H{(A) est un fermé borné de C. On introduit le rayon numérique r(A) de À défini par À) := rA)= max le. 23) Montrer que 31 AI < r(A) < I AI. Pour la première inégalité, on pourra utiliser l'identité de polarisation A(Az|y) = (Az + y)|x + y) -- (A(x -- y)|x -- y) +i(A(r + iy)|x + iy) -- i(A(x -- iy)|x -- iy). 24) Montrer quer: AEM,(C)H+r(A)EeR, est une norme. 25) En considérant les matrices À -- : ' | et B -- A*, montrer que l'inégalité r(AB) < r(A)r(B) n'est pas vraie. 26) On veut dans cette question montrer l'inégalité r(A*) < r(A)* pour tout k EUR N. 26-a) On suppose & > 1. On note wy -- exp(#t) une racine primitive k-ème de

l'unité. Partant de l'égalité polynomiale usuelle X° -- 1 -- IL. (X -- wf), en

déduire les égalités polynomiales

k

1--XF=][(1-uix) et ral

=] j=1

(1--wiX

S ÈS
ie Ê
S,
26-b) Pour x E en de norme 1, on pose pour j = 1, . .. , k
k
Xj = (ITU-wfA))x.

l=l
Ri-}

Déduire de la question précédente la formule suivante

¼

k

2

k

L[llxjll - (wtAxjlxj)]= 1-(A xlx).
j=l

26-c) On suppose r(A) ::s;; 1. Soit 0 un réel quelconque et soit x E en un 
vecteur
unitaire. En écrivant l'égalité précédente pour e i0 A, montrer que la partie 
réelle
de 1-e ike (Ak xlx) est toujours positive et en déduire que r(Ak ) ::s;; 1.
26-d) En déduire le résultat annoncé, i.e. r(Ak ) ::s;; r(A)k pour tout k E N 
et pour
tout A E Mn (e).

D- Conjecture de Crouzeix
La conjecture de Crouzeix s'énonce comme suit : pour toute matrice A E Mn (e) 
et pour
tout polynôme p E e[X] on a
(1)
lllp(A)III ::s;; 2IIPll'.J-{(A)·
27) En étudiant l'exemple de A= (   ) , montrer que la constante 2 dans la 
conjec
ture ne peut pas être améliorée.
28) En utilisant le résultat de la question 26), montrer que la formule (1) est 
toujours
vérifiée pour les monômes p(X)= Xk avec k  0 entier.
29) Soient A E Mn (e), z= r(A)e i0 E Ji(A) et p(X)= L% =o ck Xk E e[X]. On 
suppose
qu'il existe <.p E R tel que ck = lck le i(cp- ke) pour O ::s;; k ::s;; r. Montrer que (1) est vérifiée pour le couple (A,p) considéré. 30) Un résultat de Okubo et Ando montre que si B E Mn (e) est telle que r(B) ::s;; 1 alors il existe une matrice inversible X vérifiant cond(X) ::s;; 2 telle que C := x- 1 BX soit une contraction. 30-a) En utilisant le résultat de Okubo-Ando, montrer que lllp(A)III :::;; 2IIPll[l)(0,r(A))· 30-b) En déduire, pour tout disque contenant Ji(A) de borde, que lllp(A)III ::s;; 2IIPlle · 6