Mines Maths 2 MP-MPI 2026

A2026 ­ MATH II MP

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES,
ISAE-SUPAERO, ENSTA,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS - PSL,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2026

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

.
Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines-Ponts.

Autour de On (R) et SLn (R)

Préambule
Soit n  2 un entier, on note :
On (R) = {M  Mn (R), M  M = In } et SLn (R) = {M  Mn (R), det(M ) = 1}.
On note SOn (R) = On (R)  SLn (R). Par la suite, on notera E = Rn et x la norme
euclidienne usuelle d'un vecteur x  E. On rappelle que On (R) est un groupe 
multiplicatif et que SOn (R) en est un sous-groupe. La notation SpC (M ) 
désigne l'ensemble des
valeurs propres complexes d'une matrice M  Mn (C).
En dehors des notations, les quatre parties de ce problème sont largement 
indépendantes.

I. Quelques propriétés de On(R)
1  Pour tout   R, on note :
!

cos() - sin()
R =
.
sin() cos()
Examiner sa diagonalisabilité sur R, puis sur C.
2  Prouver que SO2 (R) = {R ,   R}, autrement que par une simple référence au
cours.
3  Montrer que On (R) est un ensemble compact et non connexe par arcs.
4  Prouver que SOn (R) est connexe par arcs (on pourra commencer par le cas n = 
2).
5  Prouver que, si H est un sous-groupe multiplicatif de On (R) contenant SOn 
(R),
alors H = SOn (R) ou H = On (R).
6  Soient p ]0, 1[, Y = (Yi,j )(i,j)(N )2 une famille de variables aléatoires 
définies
sur un espace probabilisé (, T , P ), indépendantes et de même loi donnée par
Y1,1  B(p). On définit alors la matrice à coefficients aléatoires :
  , Zn () = (Yi,j ())1i,jn  Mn (R).

Calculer les probabilités : P (Z2  GL2 (R)), P (Zn  On (R)), puis P (Zn  SOn 
(R)).

1

7  Soient x, y dans E tels que x = y. Montrer qu'il existe une matrice de 
réflexion
A telle que Ax = y.
8  Soit G un sous-groupe compact de (GLn (R), ×), tel que On (R)  G. Soient G  G
et x  E tel que x = 1. Prouver que, pour tout p  Z, il existe Gp  G tel que :
Gp x = Gxp · x
(on pourra tout d'abord traiter le cas p = 1).
9  Conclure que G = On (R).

II. Calcul différentiel sur On(R) et SLn(R)

10  On note f : M  Mn (R) 7 M  M  Mn (R). Prouver que f est de classe C 1 et
exprimer sa différentielle df (M ) en tout M  Mn (R).

11  On note T l'espace tangent à On (R) en In , c'est-à-dire l'ensemble des 
matrices
H  Mn (R) telles qu'il existe  > 0 et  :] - ; [ On (R) dérivable en 0 vérifiant
(0) = In et   (0) = H. Montrer que T est inclus dans l'ensemble des matrices
antisymétriques.

12  Prouver que T est stable par somme, puis qu'il possède une structure 
d'espace
vectoriel.

13  Déterminer l'ensemble T .

14  On introduit g (carré de la norme euclidienne usuelle sur Mn (R)) :
g : M  Mn (R) 7 tr(M  M )  R.
Prouver que la restriction de g à SLn (R) ne possède pas de maximum global.

15  Prouver que g et l'application det : M  Mn (R) 7 det(M )  R sont de classe 
C 1
sur Mn (R) et déterminer leur gradient en tout M  Mn (R) (en particulier, on
justifiera que  det(M ) = Com(M ) : comatrice de M ).

16  On suppose que la restriction de g à SLn (R) admet un extremum local en M .
Prouver qu'il existe   R tel que M =  · Com(M ), puis que M  SOn (R).

17  Prouver que la restriction de g à SLn (R) possède un minimum global, puis 
calculer
ce minimum ainsi que les points où il est atteint.

2

III. Morphismes continus de U dans GLn(R)
On note U = {z  C, |z| = 1}, on pourra utiliser librement le fait que U est un 
groupe
multiplicatif compact. Dans tout ce qui suit,  désignera un morphisme de groupes
continu du groupe multiplicatif U dans le groupe multiplicatif GLn (R).
18  Déterminer les sous-groupes bornés du groupe multiplicatif R . En déduire 
que
(U)  SLn (R).
19  Soit z  U. Prouver que SpC ((z))  U.
20  On note  : x  R 7 (eix ). Prouver que :
(x, y)  R2 , (x + y) = (x)(y).
Le but de ce qui suit est de donner (question 29 ) une forme générale pour ,
impliquant l'ensemble On (R).
21  On introduit :
F : x  R 7

Z x
0

(t)dt  Mn (R).

Prouver que F est une application C 1 sur R et qu'il existe  > 0 tel que F (x) 
est
inversible si x  [-; ]\{0} -- on pourra, en justifiant, utiliser le fait que 
GLn (R)
est un ouvert de Mn (R).
22  Prouver que, pour tout x  R,
Z x+

(x) =

(t)dt (F ())-1 ,

x

en déduire que  est C 1 sur R.
23  On pose M =  (0). Montrer que :
x  R, (x) = (eix ) = exp(xM ).

IV. Morphismes de (R, +) dans (GLn(R), ×)
On reprend les notations de la section précédente, dont on pourra admettre le 
résultat
de la question 23 .
24  Soient A, B dans Mn (R). On suppose que A et B sont semblables dans Mn (C).
Prouver que A et B sont semblables dans Mn (R).
25  Soit N  Mn (C) une matrice nilpotente et non nulle. Montrer que ker(N ) =
ker(N 2 ).

3

26  Calculer exp(2M ), en déduire que SpC (M )  {ik, k  Z}.
27  Justifier que M est semblable dans Mn (C) à une matrice de la forme D + N 
avec :
D diagonale, N nilpotente, DN = N D et SpC (D) = SpC (M ).
28  Calculer exp(2D) et exp(2N ), puis montrer que N est nulle.
29  Prouver qu'il existe Q  GLn (R), p  N, k1 , . . . , kp dans Z\{0}, tels que 
:

Rxk1

x  R, (x) = Q 

(0)
..

.
Rxkp
1
...

(0)

1

 -1
Q ,

la matrice du milieu étant diagonale par blocs et la notation R ayant été 
définie
à la question 1.
30  Réciproquement, prouver que la définition précédente fait de  un morphisme 
de
groupes de (R, +) dans (GLn (R), ×).

Fin du problème

4