Mines Maths 1 MP-MPI 2026

A2026 ­ MATH I MP

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES,
ISAE-SUPAERO, ENSTA,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS - PSL,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2026

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

.
Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines-Ponts.

Équation d'Euler-Lagrange et quelques applications

Préambule
-- Les lettres N et R désignent respectivement l'ensemble des entiers naturels 
et
l'ensemble des nombres réels.
-- Soit (E, ·) un R espace vectoriel normé. Soit A une partie non vide de E. 
Soit
T : A  R une application. Soit x0  A. On dit que T admet un minimum local
(resp. un maximum local) en x0 si :
r > 0, x  A,

(x - x0   r) = (T (x)  T (x0 ) (resp. T (x)  T (x0 ))).

Un minimum ou un maximum local sera appelé un extremum local de T .
-- Dans tous les espaces fonctionnels rencontrés dans le sujet, la norme 
utilisée est la
norme · .

I - Lemme fondamental du calcul variationnel
Soient a, b  R deux réels tels que a < b. Soit f : [a, b]  R une fonction continue telle que pour toute fonction h  C  ([a, b], R) vérifiant h(a) = h(b) = 0, on a : Z b f (x)h(x)dx = 0. a Le but de cette partie est de montrer que f est nulle sur [a, b]. Soit la fonction  définie sur R par : pour tout x  R, (x) = e-1/x 0 si x > 0
.
si x  0

1  Justifier que  est de classe C  sur R+
. Montrer que pour tout n  N, il existe

une fonction polynomiale Pn définie sur R+
telle que

x  R+
,

(n)

(x) = Pn

2  En déduire que  est de classe C  sur R.

1

1 -1/x
e
.
x

3  Soient c < d deux réels. Construire une fonction c,d définie et de classe C sur R, telle que c,d (x) > 0 pour tout x ]c, d[ et c,d (x) = 0 pour tout x  R\]c, 
d[.
4  En déduire que f est nulle sur [a, b].

II - Équation d'Euler-Lagrange
Soient U et V deux ouverts de R non vides. Soient xA et xB deux réels tels que
xA < xB . Soit f : [xA , xB ] × U × V  R une fonction, continue sur [xA , xB ] × U × V et de classe C 2 sur l'ouvert ]xA , xB [×U × V . Soient y0 et y1 deux réels fixés de U . On introduit également l'ensemble C des fonctions y : [xA , xB ]  R des fonctions de classe C 2 sur [xA , xB ] telles que y(xA ) = y0 , y(xB ) = y1 et x  [xA , xB ], y(x)  U et y  (x)  V. Soit enfin l'application T définie sur C par : y  C, T (y) = Z xB f (x, y(x), y  (x))dx. xA 5  Justifier que T (y) existe bien pour tout y  C. On suppose que T admet un extremum local en z0  C. Soit  : [xA , xB ]  R une fonction de classe C 2 telle que (xA ) = (xB ) = 0. Pour   R, on introduit la fonction y définie sur [xA , xB ] par y (x) = z0 (x) + (x). 6  Montrer qu'il existe  > 0 tel que pour tout   ]-, [, y  C. On pourra
raisonner par l'absurde et utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass.
On introduit sur ] - , [ la fonction  par
 ] - , [,

() =

Z xB
xA

f (x, y (x), y (x)) dx.

7  Montrer que  est de classe C 1 sur ] - , [ et que

 ]-, [,  () =

Z xB
xA

!

f
f
(x) (x, y (x), y (x)) +   (x) (x, y (x), y (x)) dx.
y
z

8  Montrer alors que
Z xB
xA

f
d
(x, z0 (x), z0 (x)) -
y
dx

2

!!

f
(x, z0 (x), z0 (x))
z

(x)dx = 0.

9  En déduire la relation suivante, appelée équation d'Euler-Lagrange :
x  [xA , xB ],

f
d
(x, z0 (x), z0 (x)) -
y
dx

!

f
(x, z0 (x), z0 (x)) = 0.
z

f
10  Montrer que si pour tout (x, y, z) ]xA , xB [×U × V ,
(x, y, z) = 0, alors on a
x
l'égalité suivante, appelée identité de Beltrami :
C  R, x ]xA , xB [,

f (x, z0 (x), z0 (x)) - z0 (x)

f
(x, z0 (x), z0 (x)) = C.
z

III - Le chemin le plus court est la ligne droite !
R2 est muni d'un repère orthonormé (O;i, ) pour le produit scalaire usuel. On se
donne deux points A(xA , yA ) et B(xB , yB ) de R2 avec xA < xB . Pour toute fonction g : [xA , xB ]  R de classe C 1 vérifiant g(xA ) = yA et g(xB ) = yB , on définit la longueur du graphe de g, noté L(g), par : L(g) = Z xB q 1 + g  (x)2 dx. xA On note C l'ensemble des fonctions y de classe C 2 définies sur [xA , xB ] vérifiant y(xA ) = yA et y(xB ) = yB . Soit T l'application définie sur C par : T : y  C 7 Z xB q 1 + y  (x)2 dx. xA On suppose que T admet un extremum en y0  C. 11  En utilisant l'identité de Beltrami, montrer que y0 est une fonction affine. IV - Le chemin le plus rapide est la cycloïde R2 est muni d'un repère orthonormé (O;i, ) pour le produit scalaire usuel. Le but de cette partie est de préciser la trajectoire d'un point M minimisant le temps entre deux points A et B tous les deux fixés. Le point M est uniquement soumis au champ de pesanteur et on néglige les frottements. Le point M est initialement en A et la vitesse est supposée nulle. Ls points A et B ont pour coordonnées respectives (xA , yA ) et (xB , yB ) dans le repère (O;i, ) avec yA > 0 et yB > 0. On note y0 : [xA , xB ]  R+
la courbe minimisant le
2
temps de trajet que l'on suppose de classe C sur [xA , xB ].

3

Les lois de la mécanique montrent que y0 minimise l'application
v
Z xB u
u 1 + y  (x)2
t
y  C 7 T (y) =
dx

y(x)

xA

où C est l'ensemble des fonctions y de classe C 2 sur [xA , xB ] vérifiant y(xA 
) = yA et
y(xB ) = yB et telle que pour tout x  [xA , xB ], y(x) > 0 et pour tout x ]xA , 
xB ],
y  (x) < 0. 12  Montrer qu'il existe un réel C tel que x  [xA , xB ], y0 (x) 1 + y0 (x)2 = C. Dans la suite de cette partie, on supposera, pour simplifier, C = 2. cos(x) . Préciser le domaine de définisin(x) tion de la fonction cotan. Montrer que sa restriction à l'intervalle ]0, [ est bijective sur un intervalle que l'on précisera. On notera arccotan sa bijection réciproque. Calculer arccotan lorsque cela est possible. 13  On définit la fonction cotan par cotan(x) = On pose pour tout x  [xA , xB ], (x) = 2 arccotan(y0 (x)). 14  Montrer que pour tout x  [xA , xB ], y0 (x) = 1 - cos((x)). 15  Montrer alors qu'il existe un réel c tel que x  [xA , xB ], x = (x) - sin((x)) + c. L'arc paramétré par  7 ( - sin() + c, 1 - cos()) est appelé une cycloïde : c'est la trajectoire suivi par un point fixe sur une roue de vélo en translation uniforme. 4 V - Une application à une structure optimale : la caténoïde R3 est muni d'un repère orthonormé O;i, , k pour le produit scalaire usuel. Dans cette partie, nous nous intéressons à la forme qu'adopte un film de savon s'appuyant sur deux cercles définissant un cylindre droit ; la forme adoptée par le film de savon est appelée caténoïde. Sans perte de généralité, on suppose que le premier cercle a pour 2 2 y + z y 2 + z 2 = 1 =1 système d'équation et le second cercle . On peut montrer x =0 x =1 que y0 : [0, 1]  R paramétrant l'ordonnée du film de savon, que l'on suppose être de classe C 2 sur [0, 1], minimise la fonctionnelle T : y  C 7 2 Z 1 q y(x) 1 + y  (x)2 dx, 0 où C est l'ensemble des fonctions y : [0, 1]  R vérifiant y(0) = y(1) = 1 et de classe C 2 sur [0, 1] muni de la norme infini. 16  Montrer qu'il existe un réel c non nul tel que x  [0, 1], 1 + y0 (x)2 = c2 y0 (x)2 . 17  Montrer que la restriction de la fonction ch(x) = (ex +e-x )/2 à R+ est une bijection de R+ dans [1, +[. On note argch sa bijection réciproque. Calculer argch lorsque cela est possible. On suppose en outre que pour tout x  [0, 1], y0 (x) > 0 et c2 y0 (x)2 > 1.

18  Donner une expression explicite de y0 (dépendant éventuellement d'une 
constante
d'intégration).

Fin du problème

5