e3a Mathématiques MP-MPI 2026

SESSION 2026

MP8M

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP
____________________

MATHÉMATIQUES
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·

·
·

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction 
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

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Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

1/4

EXERCICE 1
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 5.
On rappelle que Cn-1 [X] est le C-espace vectoriel des polynômes de degré 
inférieur ou égal à n - 1,
à coefficients complexes.
Dans tout l'exercice, on confondra un polynôme et sa fonction polynomiale 
associée.
Pour tout endomorphisme v de Cn-1 [X] et tout entier naturel m, on rappelle que 
: v0 = Id où Id est
l'endomorphisme identité de Cn-1 [X] et lorsque m est non nul, vm = v  vm-1 .
On considère l'application u définie par :

1. Étude de u

 P  Cn-1 [X], u(P) = Q où Q(X) = P(X + 1).

1.1. Vérifier que u est un endomorphisme de Cn-1 [X].

1.2. Soit B = (P0 , P1 , ..., Pn-1 ) la base canonique ordonnée de Cn-1 [X], 
c'est à dire :
 j  0, n - 1, P j (X) = X j .

Pour tout j  0, n - 1, déterminer l'expression de u(P j ) dans la base B.

1.3. Déterminer alors la matrice M de u dans la base B.
On fera clairement apparaître sur la copie les deux premières colonnes ainsi 
que la k-ième colonne
de la matrice M pour un entier naturel k  3, n - 2.
1.4. Déterminer le polynôme caractéristique u de l'endomorphisme u.
1.5. L'endomorphisme u est-il diagonalisable ?

1.6. Justifier que l'endomorphisme u est un automorphisme de Cn-1 [X] et 
préciser u-1 .
1.7. Déterminer M -1 .

1.8. Soit k  N. Déterminer uk .

2. On note  = u - Id.

2.1. Montrer que  est nilpotent avec : n = 0.

2.2. L'endomorphisme  est-il diagonalisable ?
3. Démontrer qu'il existe des entiers relatifs (ak )k0,n-1  Zn , que l'on 
déterminera, tels que :
n-1

 P  Cn-1 [X], P(X + n) +  ak P(X + k) = 0.
k=0

2/4

EXERCICE 2
Dans tout l'exercice, a désigne un nombre réel.
+
+
1
1 2
Pour tout réel s > 1, on appelle (s) =  s et l'on rappelle que : (2) =  2 = .
6
n=1 n
n=1 n

1. Justifier la convergence de la série de terme général un =

2. Justifier l'existence de l'intégrale 

0

+ sin(at)

et - 1

+
1
3. Prouver que, pour tout t > 0, t
=  e-k t .
e - 1 k=1

4. Prouver que :  k  N , 

0

5. Démontrer que : 

0

+

(sin(at)) e-k t dt =

+ sin(at)

et - 1

+

dt = a 
k=1

1

a2 + k 2

dt.

a

a2 + k2

1
.
n2 + a2

.

.

On pourra utiliser, en la démontrant, l'inégalité valable pour tout x  R :  
sin(x)  x.
Le théorème utilisé sera cité avec précision et on s'assurera que ses 
hypothèses sont bien vérifiées.
+
1
6. Déterminer : lim  2 2 .
a0
k=1 a + k
Le théorème utilisé sera cité avec précision et on s'assurera que ses 
hypothèses sont bien vérifiées.
+ sin(at)
7. Développement en série entière de la fonction H  a  
dt
et - 1
0
7.1. Prouver que :
 a ] - 1, 1[,  k  1,

7.2. Démontrer alors que :

2n
1 +
1
n a
=
(-1)
(
.
)

a2 + k2 k2 n=0
k
+

 a ] - 1, 1[, H(a) = (-1)n (2n + 2) a2n+1 .

7.3. Montrer que H est de classe C

n=0

sur ] - 1, 1[.

(0) pour tout p  N.
1 ln(t)
8. Montrer que l'intégrale 
dt est convergente.
0 t-1
7.4. Déterminer H

(p)

9. Montrer que :  p  N, l'intégrale I p = 

10. Soit p  N. Calculer I p .
11. Prouver que :

0

1

t p ln(t) dt converge.

+
1 ln(t)
1
0 t - 1 dt =  p2 .
p=1

Le théorème utilisé sera cité avec précision et on s'assurera que ses 
hypothèses sont bien vérifiées.
1 ln(t)
12. Déterminer enfin la valeur de 
dt.
0 t-1
3/4

EXERCICE 3
Question de cours
1. Soient a un réel non nul et n un entier naturel non nul, écrire le 
développement limité en 0 des
fonctions :
 t  ea t à l'ordre n,

 t  ln(1 + a t) à l'ordre 2.

*****

Pour X une variable aléatoire discrète finie, à valeurs dans R+ , définie sur 
un espace probabilisé
(, A , P), on note (xi )i1,k avec 0  x1 <  < xk , où k est un entier naturel supérieur ou égal à 1, les valeurs prises par la variable aléatoire X avec une probabilité non nulle. On pose : i  1, k, P(X = xi ) = pi > 0.

On définit alors l'application X de R dans R par :

k
1
 t  R , X (t) = ln ( pi e xi t ) .
t
i=1

2. Étude d'exemples

2.1. Déterminer X si X est une variable aléatoire certaine à valeur dans R+ .
2.2. Soit Z une variable aléatoire telle que :

1
P(Z = 0) = P(Z = 1) = .
2

2.2.1. Déterminer, pour tout t  R , Z (t).

2.2.2. Montrer que Z peut être prolongée en une fonction Z dérivable sur R.

3. Étude générale. On suppose pour la suite que k  2.

3.2. En déduire que X peut être prolongée en une fonction X dérivable sur R.

3.3. Montrer que X (0) est égal à E(X), l'espérance de la variable aléatoire X.
3.4. Reconnaître X (0).

3.5. Déterminer les limites de X en + et -.

3.6. La fonction X peut-elle être impaire ? On justifiera soigneusement la 
réponse proposée.

4. Soit t  R . Déterminer une relation entre X (t) et E(et X ), espérance de la 
variable aléatoire et X .
5. Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes finies, à valeurs dans R+ 
et indépendantes.
Trouver une relation entre X+Y , X et Y .

FIN
4/4

I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 26 1006 ­ D'après documents fournis

3.1. Déterminer un développement limité de X à l'ordre 1 en 0.