Centrale Maths 2 MP-MPI 2026

MP MPI
4 heures

Calculatrice autorisée

2026

Mathématiques 2

On note x la partie entière d'un nombre réel x. On rappelle qu'il s'agit de 
l'unique nombre entier pour lequel l'encadrement suivant est satisfait : x  x < x + 1. Pour s un nombre complexe, on note Re(s) et Im(s) ses parties réelle et imaginaire respectivement. Le sujet utilise abondamment la lettre grecque  (« zeta »). Pour s un nombre réel strictement supérieur à 1, on note : (s) = + X k=1 1 . ks Divers prolongements de cette fonction  sont étudiés au cours du sujet. Pour k un entier supérieur ou égal à 2, on définit la fonction fk sur ]0,1] par : 1j1k j 1 k fk (t) = - . k t kt Le problème vise à établir une condition suffisante pour que la fonction  ne s'annule pas sur l'ensemble des nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à 12 (cette non annulation étant une forme de l'hypothèse de Riemann), la condition considérée portant sur la géométrie des fonctions fk dans un espace ad hoc. Partie A ­ Questions préliminaires I ­ La fonction  sur l'intervalle ]1, + [ Pour k entier naturel non nul, on définit uk (s) = k1s sur R. X Q1. La série de fonctions uk converge-t-elle normalement sur l'intervalle ]1, + [ ? k1 Q2. Montrer que la fonction s 7 (s) = + X 1 k=1 ks est continue sur l'intervalle ]1, + [. Q3. Montrer que la fonction  ne s'annule pas sur l'intervalle ]1, + [. Préciser son signe. II ­ Cas de la variable complexe Q4. Soit s un nombre complexe et t un nombre réel strictement positif. On note ts = es ln(t) . Exprimer le module |ts | à l'aide de t et du couple (Re(s), Im(s)). Soit s un nombre complexe tel que Re(s) > 1.
Q5. Établir que la série

X 1

converge absolument.
ks
+
X
1
On note encore (s) la somme de cette série : (s) =
.
ks
k1

k=1

On note (pi )i1 la suite des nombres premiers rangés par ordre croissant. 
Ainsi, p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7. On
utilisera librement le fait que limn pn = +.

1
Q6. Soit n un entier naturel non nul. Justifier que la famille
est une famille sommable
mn s
1
(pm
1 · · · pn )
(m1 ,...,mn )Nn
et que la somme de cette famille, notée Sn (s), est donnée par
Sn (s) =

n
Y

1
1 .
1
-
ps
i=1
i

1/6

Pour n entier naturel non nul, on note Nn l'ensemble des entiers naturels non 
nuls dont la factorisation en nombres
premiers ne fait intervenir que les nombres p1 , . . . , pn .
Q7. En considérant la somme

X 1
, exprimer la limite de Sn (s) lorsque n tend vers + à l'aide d'une valeur de
ks

kNn

la fonction .
On note x la partie réelle du nombre s. On rappelle qu'on travaille sous 
l'hypothèse x > 1.
Q8. Déterminer la nature de la série

X 1
pxi

i

On note an =

. On pourra justifier et exploiter la convergence de la suite (Sn (x))n .

n
Y

pxi
.
x
p +1
i=1 i

Q9. Montrer que la suite (an )n converge et que sa limite est un réel 
strictement positif. On considérera la suite de
terme général ln(an ).
Q10. Pour tout n  1, établir l'inégalité |Sn (s)|  an et en déduire que le 
nombre (s) est non nul.

III ­ Un calcul d'intégrale
Dans cette question, la lettre s désigne un nombre complexe tel que Re(s) > 12 .
Q11. Établir que la fonction t 7 t

2(s-1)

Z 1

est intégrable sur ]0,1], puis calculer l'intégrale

|ts-1 |2 dt.

0

IV ­ Une étude géométrique
Pour tout nombre réel d dans l'intervalle ]0,1[, on considère d l'ensemble des 
points M du plan complexe dont l'affixe
s satisfait l'inégalité d2 |s|2  2 Re(s) - 1.
Q12. Soit d  ]0,1[. Montrer que d est égal au complémentaire dans le plan 
complexe d'un disque Dd dont on
précisera le centre Od et le rayon Rd en fonction de d.

1
1 - d2
. Déterminer l'image par la fonction g de l'intervalle ]0,1[. On
Q13. Pour d  ]0,1[, on pose g(d) = 2 -
d
d2
pourra procéder par étude des variations.
\
Q14. Déterminer l'intersection
d .
d]0,1[

Partie B ­ Étude analytique
I ­ Transformée de Mellin des fonctions fk
Soit k un entier supérieur ou égal à 2. On rappelle l'expression :
1j1k j 1 k
fk (t) =
-
.
k t
kt
1
Q15. Calculer fk
pour i entier compris entre 1 et k.
i
Q16. Pour t dans l'intervalle ]0,1], établir l'encadrement :
0  fk (t) 

k-1
.
k

1
On pourra commencer en utilisant la définition de la partie entière  kt
, dont on déduira un encadrement de 1t
1
qu'on interprétera au vu de la définition de  t .

2/6

Q17. Déduire des deux questions précédentes l'ensemble des valeurs prises par 
fk sur l'intervalle ]0,1].
Q18. Justifier que la fonction fk est continue par morceaux et intégrable sur 
]0,1].
Dans les questions suivantes, s désigne un nombre réel strictement supérieur à 
1.
Q19. Dans cette question uniquement, on élargit l'étude au cas k = 1 (et donc k 
est un entier naturel non nul).
Z 1j k
1 s-1
Montrer que l'intégrale
t dt converge.
kt
0
On note :

Z 1j k
1 s-1
F (s) =
t dt.
t
0

Q20. Établir :
+ Z 1/j
X
j

F (s) =

j=1

ts-1 dt =

1/(j+1)

1
(s).
s

Q21. Pour k entier supérieur ou égal à 2 et s > 1, établir l'égalité :

Z 1
1 1
1
fk (t)ts-1 dt =
- s (s).
s k k
0

II ­ Prolongement de la fonction 
Soit s un nombre réel strictement positif.
Q22. Soit k un entier naturel non nul. On considère la fonction h sur ]0, + [ 
définie par h(t) =
maximum de |h (t)| sur le segment [k, k + 1].
Q23. Montrer que la série

X Z k+1  1
k1

k

k

-
s

1
ts

1
. Déterminer le
ts

dt est une série à termes positifs convergente et que sa somme G(s)

vérifie :
0  G(s)  s(s + 1).
Q24. Dans cette question, on suppose s > 1. Établir l'égalité :
(s) - G(s) =
puis l'estimation asymptotique (s) =

1
,
s-1

1
+ O(1) lorsque s tend vers 1 par valeurs supérieures.
s-1

On admet que les résultats de cette partie se généralisent, au prix de quelques 
menues adaptations, au cas où s est un
nombre complexe de partie réelle strictement positive. On peut alors définir 
(s) pour s un nombre complexe distinct
de 1 dont la partie réelle satisfait 0 < Re(s)  1 par (s) = 1 + G(s). s-1 III ­ Intégrale des fonctions fk Z 1 Q25. Montrer que 0 fk (t)ts-1 dt tend vers Z 1 fk (t)dt lorsque s tend vers 1 par valeurs réelles strictement supérieures. 0 Q26. En utilisant la question précédente et les questions Q21 et Q24, établir l'égalité : Z 1 ln(k) fk (t)dt = . k 0 3/6 Partie C ­ Étude algébrique et géométrique On note E l'espace des fonctions continues par morceaux sur ]0,1] et à valeurs réelles. On définit en outre le sousZ 1 2 f (t)2 dt converge. ensemble L des fonctions f de E telles que l'intégrale 0 I ­ Une forme bilinéaire symétrique positive Q27. On considère des fonctions continues par morceaux sur ]0,1], sans qu'il soit besoin de le spécifier à chaque fois. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie en justifiant complètement : a) toute fonction bornée sur ]0,1] appartient à L2 ; b) les ensembles E et L2 sont égaux ; c) toute fonction intégrable sur ]0,1] appartient à L2 . R1 Q28. Pour f et g dans l'ensemble L2 , montrer que l'intégrale 0 f (t)g(t)dt converge absolument, puis établir que l'ensemble L2 est un sous-espace vectoriel de E (là encore, on ne demande pas de relever le caractère continu par morceaux des fonctions considérées). On pourra établir et utiliser l'inégalité |f (t)g(t)|  12 f (t)2 + g(t)2 . Q29. Vérifier qu'on définit une forme bilinéaire symétrique positive sur L2 en posant : Z 1 f (t)g(t) dt. (f |g) = 0 Justifier que ce n'est pas un produit scalaire sur L2 , en fournissant un contre-exemple à l'aspect « défini ». II ­ Un espace préhilbertien réel Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Soit (k )2kn une famille de nombres réels tels que : n X k fk = 0 sur ]0,1] . k=2 Q30. En évaluant la relation précédente pour t n X 1 k ,1 , établir l'égalité = 0. 2 k k=2 Q31. Soit  un entier compris entre 2 et n - 1. En évaluant en un nombre t bien choisi, établir l'égalité : n X k=+1 -1 X k + k k k=2 jk - = 0. k k Dans le cas  = 2, la deuxième somme étant indicée pour k allant de 2 à 2 - 1, on la considère vide, donc nulle. Q32. Montrer l'égalité 2 = 0 en combinant le résultat de Q30 et celui de Q31 pour  = 2, puis montrer que tous les scalaires k sont nuls. Quelle propriété de la famille (fk )k2 a-t-on ainsi établie ? On considère maintenant le sous-espace F de L2 engendré par les fonctions fk pour k  2, et la fonction constante égale à 1, qu'on note 1. Q33. Montrer que (.|.) (voir notation Q29) définit un produit scalaire sur F . III ­ Distance d'un vecteur à des sous-espaces On rappelle que 1 désigne la fonction constante égale à 1. On travaille dans l'espace F = Vect (1, f2 , . . . , fn , . . . ) muni du produit scalaire (.|.) (selon Q29 et Q33). Q34. Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Montrer l'existence d'une unique famille orthonormale (ek )2kn d'éléments de L2 telle que pour chaque entier p compris entre 2 et n, les sous-espaces engendrés Vect (e2 , . . . ,ep ) et Vect (f2 , . . . , fp ) sont égaux, et (ep |fp ) > 0.
4/6

Pour n  2 entier, on note dn la distance de la fonction 1 au sous-espace 
engendré par (f2 , . . . ,fn ).
Q35. Montrer l'égalité :
d2n = 1 -

n
X

(1|ek )2 .

k=2

Q36. Montrer que la suite (dn )n converge.

Partie D ­ Synthèse
On admet que l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'étend aux fonctions continues par 
morceaux sur ]0,1] de carré intégrable,
dans le cas de fonctions à valeurs complexes, sous la forme suivante (les 
fonctions f et g ci-dessous sont donc supposées
vérifier les conditions précédentes, en particulier, f 2 et g 2 sont supposées 
intégrables sur ]0,1]) :
2

Z 1
f (t)g(t) dt

Z 1

|f (t)|2 dt ×

Z 1

0

0

|g(t)|2 dt.

0

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Q37. Soit (k )2kn une famille de nombres réels. Soit s un nombre complexe de 
partie réelle strictement supérieure
à 21 . Justifier l'inégalité :
1-
0

n
X

2

!
s-1

k fk (t) t

Z 1
1-

dt

0

k=2

n
X
k=2

!2
k fk (t)

Z 1
dt ×

|t2(s-1) |dt.

0

On souhaite maintenant démontrer que, si la suite (dn )n admet pour limite 0, 
alors la fonction , prolongée selon la
Partie BII, ne s'annule en aucun nombre complexe s tel que Re(s) > 12 . Pour 
cela, on procède par l'absurde, et on
suppose que s est un nombre complexe distinct de 1 tel que Re(s) > 12 et (s) = 
0. On admet que l'égalité Q21 est
encore vraie pour tout nombre complexe s distinct de 1, de partie réelle 
strictement positive.
Q38. Établir l'inégalité d2n |s|2  2 Re(s) - 1, puis, en supposant limn+ dn = 
0, conclure.

Fin

5/6

M104 - 15 janvier 2026 - 10:44:51 c b e a

Z 1