Centrale Maths 1 MP-MPI 2026

MP MPI
4 heures

Calculatrice autorisée

2026

Mathématiques 1

Sur quelques sous-groupes de GLn(R)
Dans tout le sujet, n désigne un entier supérieur ou égal à 2. On note :
· Mn (R) l'ensemble des matrices de taille n × n à coefficients dans R, In sa 
matrice identité.
· GLn (R) le groupe des matrices inversibles de Mn (R).
· Sn+ (R) (resp. Sn++ (R)) l'ensemble des matrices symétriques positives de Mn 
(R) (resp. définies positives).
· On (R) le groupe des matrices orthogonales de Mn (R), et SOn (R) celui des 
matrices orthogonales de déterminant
1.
· La transposée d'une matrice M  Mn (R) sera notée M  et sa trace tr M .
· On note |X| le cardinal d'un ensemble X, en convenant que |X| = + si X est un 
ensemble infini.
· Si A est une partie finie d'un groupe G, on note A le sous-groupe de G 
engendré par A.
Le problème comporte trois parties indépendantes.

Partie A ­ Sous-groupes finis de On (R)
Soit G un groupe de neutre e. On dit que G est d'exposant fini si et seulement 
si :
m  N

x  G

xm = e

De plus, si G est un sous-groupe de GLn (R), on note tr G la trace du groupe G, 
qui est l'ensemble :
tr G = {tr A ; A  G}

I ­ Généralités
Soit G un sous-groupe de GLn (R).
Q1. Montrer que si G est fini, alors G est d'exposant fini et tr G est fini.
Q2. Donner un exemple de sous-groupe infini de GLn (R) dont la trace soit finie.
Q3. Donner un exemple (pas nécessairement matriciel) de groupe infini qui soit 
d'exposant fini.

II ­ Cas particulier : les sous-groupes finis de O2 (R)
Pour tout   R, on note R et S les matrices :

cos  - sin 
R =
sin 
cos 

S =

cos 
sin 

sin 
- cos 

On pourra utiliser sans démonstration les relations suivantes, valables pour 
tout (, )  R2 :
R R = R+

R S = S+

S R = S-

S S = R-

Q4. Soit A  SO2 (R). Montrer qu'il existe un unique réel   [0, 2[ tel que A = R 
.
1/6

Q5. Soit   R. Dans cette question, G = R .
a) Vérifier que G = {Rk ; k  Z}.
2
b) Dans le cas où  =
avec m  N , déterminer |G|.
m

c) Montrer que G est fini si et seulement si  Q.

d) Montrer que si G est d'exposant fini, alors G est fini.
e) Montrer que si tr G est fini, alors G est fini.
Q6. Soient  et  deux réels. Dans cette question G = R , R .
a) Montrer que |G| = |(Z +  Z)  [0, 2[|.
b) En déduire, pour p et q deux entiers non nuls premiers entre eux, que R  , R 
  = 2pq.
p

q

c) Déterminer R  , R   dans le cas général (où p et q ne sont pas forcément 
premiers entre eux).
p

q

Q7. Soit G un sous-groupe fini de SO2 (R). Montrer que G est monogène.
Q8. Pour m  N , on note Dm le sous-groupe de O2 (R) engendré par R 2 et S  .
m

2

a) Déterminer le cardinal de Dm .
On pourra montrer que Dm  SO2 (R) = R 2 , puis chercher une bijection entre Dm  
SO2 (R) et
m

Dm \SO2 (R).

b) Soit G un sous-groupe fini de O2 (R) qui n'est pas inclus dans SO2 (R). 
Montrer qu'il existe m  N tel
que G soit isomorphe à Dm .

III ­ Une caractérisation des sous-groupes finis de On (R)
Dans cette partie, G est un sous-groupe de On (R). On désire montrer que :
G fini  G d'exposant fini  tr G fini
Q9. Rappeler le théorème de réduction des matrices orthogonales.
Q10. On suppose dans cette question que G est d'exposant fini. Montrer, en 
utilisant le théorème de réduction
précédent, que tr G est fini.
Jusqu'à la fin de cette partie, on suppose maintenant que tr G est fini. On 
munit Mn (R) de son produit scalaire usuel :
(A|B) = tr AB
On note F le sous-espace vectoriel de Mn (R) engendré par G et d = dim F.
Q11. Montrer qu'il existe une famille B = (Ai )i[[1,d]] de matrices de G qui 
forme une base de F.
Q12. Soit B = ((Ai |Aj ))(i,j)[[1,d]]2 . On considère la matrice C des 
coordonnées des matrices Ai dans la base canonique
de Mn (R).
a) Quelle est la taille de la matrice C ?
b) Montrer que B = C C.
c) Montrer que B et C sont de même rang. En déduire que B est inversible.
Q13. Soit M  G. On peut décomposer M dans la base B :
M=

d
X

x j Aj

j=1

x1
(A1 |M )

..
-1
On note alors XM =  ...  et YM = 
. Montrer que XM = B YM .
.

xd

(Ad |M )

Q14. Montrer que {YM | M  G} est un ensemble fini. En déduire que G est fini.

2/6

Partie B ­ Sous-groupes compacts de GLn (R)
On note Mn,1 (R) l'espace vectoriel des matrices colonnes de taille n × 1 à 
coefficients dans R.
Dans cette partie, on se place dans Mn,1 (R), muni de son produit scalaire 
canonique noté (.|.) et de sa norme associée
.. Pour r  0, on note B(0, r) la boule fermée de centre 0 et de rayon r de Mn,1 
(R) pour cette norme, et B = B(0, 1)
la boule unité fermée.

I ­ Quelques propriétés utiles
Soient A  Sn++ (R) et B  Sn (R).
Q15. On pose, pour X et Y dans Mn,1 (R) :
X, Y A = (AX|Y )
Montrer que ., .A est un produit scalaire sur Mn,1 (R).
On note alors .A la norme associée à ce produit scalaire et BA la boule unité 
fermée pour cette norme. Existe-t-il
une matrice A telle que B(0, r) = BA ?
Q16. Vérifier que X 7 A-1 BX est autoadjoint pour le produit scalaire ., .A . 
Que peut-on en déduire pour la matrice
A-1 B ?
Soient A et B dans Sn (R). On note B  A si et seulement si pour tout X  Mn,1 
(R), (BX|X)  (AX|X).
Q17. Montrer que B  A si et seulement si A - B  Sn+ (R).
Q18. Soient A et B dans Sn++ (R). Montrer que B  A si et seulement si le 
spectre de A-1 B est inclus dans ]0, 1].
Pour la réciproque, on pourra utiliser une base orthonormée pour le produit 
scalaire ., .A bien choisie.
Q19. On suppose toujours que A et B sont deux matrices de Sn++ (R), et que B  
A. Montrer que det B  det A,
avec égalité si et seulement si A = B.
Q20. Montrer que B  A si et seulement si BA  BB .
Q21. Soit K une partie de Sn+ (R). Montrer que K est une partie bornée de Sn+ 
(R) si et seulement s'il existe   R+
telle que pour tout A  K, A  In .

II ­ Stricte log-concavité de l'application det
Soit C une partie convexe de Mn (R) et  : C  R une fonction. On dit que  est 
strictement concave si et seulement
si :
(A, B)  C 2 t  [0, 1]
(tA + (1 - t)B)  t(A) + (1 - t)(B)
avec égalité si et seulement si A = B ou t = 0 ou t = 1.
Q22. Montrer que Sn++ (R) est une partie convexe de Mn (R).
Q23. Montrer que  : A 7 ln(det A) est une fonction strictement concave sur Sn++ 
(R).
On pourra utiliser le résultat de la question Q16.

III ­ Groupe orthogonal associé à une matrice symétrique définie positive
À toute matrice A  Sn++ (R) on associe son groupe orthogonal :
O(A) = {M  Mn (R) ; M AM = A}
Q24. Montrer que O(A) est un sous-groupe de GLn (R), isomorphe à On (R).
On pourra montrer qu'il existe une matrice B telle que A = B B, et chercher un 
isomorphisme sous la forme
M 7 B -1 M B.
Q25. Montrer que O(A) est une partie compacte de Mn (R).

3/6

IV ­ Sous-groupes compacts de GLn (R)
Dans cette partie, G désigne un sous-groupe compact de GLn (R). On désire 
montrer que G est alors isomorphe à un
sous-groupe de On (R).
Q26. Montrer que pour tout M  G, |det M | = 1.
Q27. On pose :
C = {M X ; (M, X)  G × B}
Montrer que C est compact, et que 0 est un point intérieur à C.
Q28. Montrer qu'il existe une unique matrice A  Sn++ (R) telle que C  BA et qui 
soit de déterminant maximal.
On pourra commencer par montrer que E = {A  Sn+ (R) ; C  BA } est non vide, 
compact et convexe, puis
utiliser la question Q23 pour démontrer l'unicité.
Q29. Montrer que G est un sous-groupe de O(A).

Partie C ­ Croissance du groupe de Heisenberg discret
I ­ Croissance d'un groupe
Soit G un groupe de neutre e, engendré par une partie finie S = {si }i[[1,N ]] 
. À tout élément g  G - {e} on associe
sa longueur relativement à S par :
( k
)
X
ak
a1
S (g) = min
|ai | g = s1 . . . sk ; si  S , ai  Z
i=1

S (g) est le nombre minimal d'éléments de S permettant d'obtenir g. Par 
convention, on pose S (e) = 0. On note
alors, pour p  N :
VS (p) = {g  G ; S (g)  p}
VS (p) est l'ensemble des éléments de G s'obtenant à partir d'au maximum p 
éléments de S.
Nous dirons que G est un groupe à croissance polynomiale de degré d  N si et 
seulement si il existe deux réels
strictement positifs  et  tels que, pour tout p  1 :
pd  |VS (p)|  pd
Q30. Montrer que pour tous g et h dans G, S (g -1 ) = S (g) et S (gh)  S (g) + 
S (h).
Q31. Soit  une autre partie finie génératrice de G. Montrer qu'il existe deux 
constantes C et C  strictement positives
telle que, pour tout g  G :
CS (g)   (g)  C  S (g)
En déduire que le fait que G soit un groupe à croissance polynomiale de degré d 
ne dépend pas du système S
de générateurs choisis.
Q32. Soit p  N. Dénombrer le nombre de triplets (x, y, z)  N3 tels que x + y + 
z  p. En déduire que (Z3 , +) est un
groupe à croissance polynomiale et déterminer son degré.

II ­ Le groupe de Heisenberg discret
Dans cette partie, n = 3. On considère les trois matrices suivantes :

1 0 0
1 1 0
S= 0 1 1 
T = 0 1 0 
0 0 1
0 0 1

1
U = 0
0

On note A = {S, T, U }. H désigne alors le sous-groupe de GL3 (R) engendré par 
A.
Q33. Pour tout (i, j, k)  Z3 , calculer S i T j U k .

4/6

0
1
0

1
0 
1

Q34. Pour (i, j, k, i , j  , k  )  Z6 , déterminer un triplet (i , j  , k  )  
Z3 tel que :

SiT j U k Si T j U k = Si T j U k

Q35. Vérifier que U commute avec tous les éléments de H, et que pour tout (i, 
j)  Z2 :
S i T j U ij = T j S i
Q36. Le groupe H est-il commutatif ? Quel est le groupe engendré par (S, T ) ?
Q37. Montrer que l'application f définie par :
f :

Z3
(i, j, k)

7

H
SiT j U k

est bien définie et bijective. Est-ce un isomorphisme de groupe (en munissant 
Z3 de sa structure usuelle) ?
Peut-on munir Z3 d'une structure de groupe telle que f soit un isomorphisme ?
Q38. Soit M  H et p  N . Montrer que si A (M )  p, alors il existe (i, j, k, z) 
 Z4 tels que M = S i T j U k+z avec
|i| + |j| + |k|  p et |z|  |ij|. En déduire que |VA (p)| = O(p4 ) quand p tend 
vers +.
On pourra utiliser les résultats de la question Q35.
Q39. Montrer que, pour tout (i, j, k)  Z3 , si |i| + |j|  p et |k|  |ij|, alors 
A (S i T j U k )  p.
Q40. Montrer que :

i
1-
p

et déterminer un équivalent de cette dernière quantité quand p tend vers +.
Q41. En déduire que H est un groupe à croissance polynomiale de degré 4.

Fin

5/6

2

M098 - 17 février 2026 - 10:47:21 c b e a

p

p3 X i
card{(i, j, k)  N , i + j  p et k  ij} 
2 i=0 p
3