Centrale Maths 1 MP 2002 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (ENS Cachan) ; il a été relu par
Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) et Éric Ricard (Enseignant-chercheur à
l'Université).
Ce sujet étudie certains espaces de fonctions (sur un intervalle compact) qui
sont
des limites de suites « rapidement convergentes » de polynômes. Le but du
problème
est de donner une caractérisation de ces fonctions à l'aide de types de
régularité
mieux connus (notamment « être de classe C »).
· La première partie est très classique. Elle traite des polynômes de
Tchebychev,
de leurs propriétés les plus classiques, ainsi que de leurs propriétés «
numériques ». On y utilise les formules de trigonométrie, ainsi que des
récurrences.
Il faut savoir la traiter rapidement.
· La deuxième partie utilise les résultats de la première pour donner des
majorations explicites (en norme) des polynômes, ainsi que de leurs dérivées.
Les outils utilisés sont élémentaires et cette partie est plus calculatoire que
théorique :
le raisonnement type est une majoration et une étude de signe de polynômes.
Les polynômes interpolateurs de Lagrange interviennent.
· La troisième partie caractérise l'espace des fonctions f sur [ -1 ; 1 ] pour
lesquelles il existe une suite (Pn )nN de polynômes (Pn étant de degré au plus
n)
convergeant vers f et telle que la suite de terme général kf - Pn k soit à
décroissance rapide. En particulier, on montre que cet ensemble coïncide avec
l'espace des fonctions de classe C sur [ -1 ; 1 ]. On utilise dans cette
partie les
séries de Fourier, ainsi que les séries de fonctions (séries de polynômes).
· La quatrième partie étudie les fonctions f pour lesquelles on peut trouver une
suite de polynômes (Pn )nN (Pn étant de degré au plus n) telle que la suite
(kf - Pn k )nN soit à décroissance exponentielle. Les techniques utilisées sont
les mêmes que précédemment, mais il faut y ajouter l'étude d'un développement
en série entière.
Dans l'ensemble, le sujet est assez classique et d'une difficulté moyenne ; la
longueur de l'énoncé est elle aussi raisonnable : ce problème constitue donc
une excellente
occasion de réviser.
Indications
Partie I
I.A.3 Utiliser la formule 2 cos a cos b = cos(a + b) + cos(a - b).
I.B.2 Cette question peut se résoudre de plusieurs manières. Si l'on préfère
utiliser l'analyse réelle, montrer d'abord qu'il suffit de vérifier l'égalité
pour
u [ 0 ; Arcsin (1/n) ]. Une autre méthode consiste à montrer que
n-1
P i(-n+2p+1)u
sin(nu) = sin u
e
p=0
I.C.1 Effectuer une récurrence, ou alors constater d'abord que le résultat est
déjà
montré pour r U = {z C | |z| = 1}. . .
I.D.1 Ne pas oublier de montrer que Tn est solution de l'équation sur R tout
entier.
I.D.2 Utiliser la formule de Leibniz, puis raisonner par récurrence.
Partie II
II.A.2 Montrer que les deux membres sont égaux sur n + 1 points particuliers.
II.A.3 Étudier le signe de Li en étudiant le signe de chacun des termes du
produit
du dénominateur.
II.A.4 Utiliser la question I.C.2.b et le fait que P est égal à son interpolé
aux
points ai .
II.B Raisonner comme à la question II.A.
(k)
II.C.1 Calculer P .
II.C.2 Appliquer l'inégalité de la question II.B.2 à P et x = 1.
II.C.3 Utiliser la question I.D.2.
Partie III
III.C.2
III.C.4
III.D.1
III.D.2
III.D.3
Remarquer que ck [L(Qk-1 )] = 0 et utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Utiliser la question III.A.1.
Utiliser la question III.C.2.
Utiliser la question III.C.4.
Vérifier les hypothèses du principal théorème du cours établissant la
dérivabilité de la somme d'une série de fonctions (commencer par bien le
mémoriser,
ce théorème est vraiment très important), en utilisant la question III.C.3.
III.E.1 Utiliser la question III.A.3.
III.E.2 Utiliser la question III.C.4, en montrant au préalable que la suite des
restes
d'une série dont le terme général est à décroissance rapide est elle-même à
décroissance rapide.
Partie IV
IV.A.1 Raisonner comme à la question III.E.2 pour un sens de l'équivalence et
comme
à la question III.D.1 pour l'autre sens.
IV.B.2 Utiliser la question II.C.3 et développer en série entière le second
membre de
l'inégalité.
IV.C Utiliser la question précédente.
IV.D Utiliser la question précédente, ainsi que la question III.E.
IV.E Considérer la série de Taylor de f en 0.
Préliminaires
a Soient (n )nN une suite à décroissance exponentielle, et r et M les constantes
intervenant dans la définition de cette décroissance. Ainsi, pour k entier
positif donné,
on a :
n N
n nk 6 Mnk rn
Or (par croissance comparée), la suite (nk rn )nN tend vers 0 et est en
particulier
bornée par une constante Nk . La suite (n nk )nN est donc bornée par MNk , et
ceci
pour tout entier naturel k. On a ainsi montré que (n )nN est à décroissance
rapide.
b Cas de E : remarquons d'abord que E n'est pas vide puisqu'il contient la
fonction nulle ; en effet, si l'on prend la suite nulle pour (Qn )nN , on a
bien 0 Cn [X]
1
pour tout n et, pour tout k et tout n, on a k0 - 0k 6 k .
n
Soient f et g deux fonctions de E . Il existe donc des suites de polynômes
(Qn (f ))nN et (Qn (g))nN , ainsi que des suites de réels (Mk (f ))kN et (Mk
(g))kN
telles que, pour h {f, g},
Mk (h)
k N n N
kh - Qn (h)k 6
nk
Fixons également C. Alors
k(f + g) - (Qn (f ) + Qn (g))k 6 kf - Qn (f )k + || × kg - Qn (g)k
Posons Qn (f + g) = Qn (f ) + Qn (g). Le polynôme Qn (f + g) est bien dans Cn
[X],
ceci pour tout n.
Cette dernière phrase permet au correcteur de se convaincre, dès le début du
problème, que votre copie est rigoureuse.
Mk (f ) + ||Mk (g)
nk
Donc, la suite (kf +g-Qn(f +g)k)nN est à décroissance rapide et f +g appartient
à E , pour toutes fonctions f et g, et tout , donc :
kf + g - Qn (f + g)k 6
E est un sous-espace vectoriel de C ([ -1 ; 1 ] , C).
Cas de E exp : cet ensemble n'est pas vide puisqu'il contient la fonction nulle
;
en effet, si l'on prend la suite nulle pour (Qn )nN , on a bien 0 Cn [X] pour
tout n
et k0 - 0k 6 1/2n .
Soient f et g deux fonctions de E exp . Il existe donc des suites de polynômes
(Qn (f ))nN et (Qn (g))nN , ainsi que deux constantes M(f ) et M(g), et deux
réels de
] 0 ; 1 [ r(f ) et r(g), tels que, pour h {f, g} :
n N
kh - Qn (h)k 6 M(h) r(h)n
Fixons également C. Alors
k(f + g) - (Qn (f ) + Qn (g))k 6 kf - Qn (f )k + ||kg - Qn (g)k
Posons Qn (f + g) = Qn (f ) + Qn (g). Le polynôme Qn (f + g) est bien dans Cn
[X],
ceci pour tout n. De plus,
kf + g - Qn (f + g)k 6 M(f )r(f )n + ||M(g)r(g)n
6 (M(f ) + ||M(g)) max(r(f ), r(g))n
Et, comme max(r(f ), r(g)) < 1, la suite (kf +g -Qn (f +g)k)nN est à
décroissance
exponentielle. Ceci étant vrai quels que soient les fonctions f et g, et le
complexe ,
il vient :
E exp est un sous-espace vectoriel de C ([ 0 ; 1 ] , C).
Inclusion entre les deux sous-espaces : si f est dans l'ensemble E exp , la
suite
(kf - Qn (f )k )nN est à décroissance exponentielle, donc (d'après la question
a) à
décroissance rapide et, en conséquence, f appartient à E . Ainsi,
E exp E
c.i Soit x fixé dans [ -1 ; 1 ]. L'inégalité de Taylor-Lagrange nous donne :
f (x) -
n f (k) (0)
P
|x|n+1
kf (n+1) k
xk 6 kf (n+1) k
6
k!
(n + 1)!
(n + 1)!
k=0
de sorte que, si Qn (f ) =
n f (k) (0)
P
Xk , on a :
k!
k=0
kf - Qn (f )k 6
M
(n + 1)!
Il nous reste à montrer que cette inégalité permet de conclure que la suite
(kf - Qn (f )k )nN est à décroissance exponentielle. Mais, par croissance
compa2n
rée, la suite de terme général
tend vers 0, donc est bornée ; il en est de
(n +
1)!
kf - Qn (f )k
même de la suite
, ce qui montre bien (avec r = 1/2) que la
(1/2)n
nN
suite (kf - Qn (f )k )nN est à décroissance exponentielle.
c.ii
· La fonction exponentielle est un élément de E exp : en effet, quel que soit
l'entier n, k exp(n) k = k exp k 6 e, donc le résultat de la question précédente
c.i s'applique.
· Toute fonction polynôme P est un élément de E exp : en effet, la suite de ses
dérivées (P(n) )nN stationne à 0, donc est uniformément bornée, et le résultat
de la question précédente s'applique également.
· Plus généralement, toute fonction développable en série entière avec un rayon
de convergence strictement supérieur à 1 est dans E exp (la preuve de cette
affirmation constitue la dernière question du problème).
