Centrale Maths 1 MP 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) et Éric Ricard (Enseignant-chercheur à l'Université). Ce sujet étudie certains espaces de fonctions (sur un intervalle compact) qui sont des limites de suites « rapidement convergentes » de polynômes. Le but du problème est de donner une caractérisation de ces fonctions à l'aide de types de régularité mieux connus (notamment « être de classe C »). · La première partie est très classique. Elle traite des polynômes de Tchebychev, de leurs propriétés les plus classiques, ainsi que de leurs propriétés « numériques ». On y utilise les formules de trigonométrie, ainsi que des récurrences. Il faut savoir la traiter rapidement. · La deuxième partie utilise les résultats de la première pour donner des majorations explicites (en norme) des polynômes, ainsi que de leurs dérivées. Les outils utilisés sont élémentaires et cette partie est plus calculatoire que théorique : le raisonnement type est une majoration et une étude de signe de polynômes. Les polynômes interpolateurs de Lagrange interviennent. · La troisième partie caractérise l'espace des fonctions f sur [ -1 ; 1 ] pour lesquelles il existe une suite (Pn )nN de polynômes (Pn étant de degré au plus n) convergeant vers f et telle que la suite de terme général kf - Pn k soit à décroissance rapide. En particulier, on montre que cet ensemble coïncide avec l'espace des fonctions de classe C sur [ -1 ; 1 ]. On utilise dans cette partie les séries de Fourier, ainsi que les séries de fonctions (séries de polynômes). · La quatrième partie étudie les fonctions f pour lesquelles on peut trouver une suite de polynômes (Pn )nN (Pn étant de degré au plus n) telle que la suite (kf - Pn k )nN soit à décroissance exponentielle. Les techniques utilisées sont les mêmes que précédemment, mais il faut y ajouter l'étude d'un développement en série entière. Dans l'ensemble, le sujet est assez classique et d'une difficulté moyenne ; la longueur de l'énoncé est elle aussi raisonnable : ce problème constitue donc une excellente occasion de réviser. Indications Partie I I.A.3 Utiliser la formule 2 cos a cos b = cos(a + b) + cos(a - b). I.B.2 Cette question peut se résoudre de plusieurs manières. Si l'on préfère utiliser l'analyse réelle, montrer d'abord qu'il suffit de vérifier l'égalité pour u [ 0 ; Arcsin (1/n) ]. Une autre méthode consiste à montrer que n-1 P i(-n+2p+1)u sin(nu) = sin u e p=0 I.C.1 Effectuer une récurrence, ou alors constater d'abord que le résultat est déjà montré pour r U = {z C | |z| = 1}. . . I.D.1 Ne pas oublier de montrer que Tn est solution de l'équation sur R tout entier. I.D.2 Utiliser la formule de Leibniz, puis raisonner par récurrence. Partie II II.A.2 Montrer que les deux membres sont égaux sur n + 1 points particuliers. II.A.3 Étudier le signe de Li en étudiant le signe de chacun des termes du produit du dénominateur. II.A.4 Utiliser la question I.C.2.b et le fait que P est égal à son interpolé aux points ai . II.B Raisonner comme à la question II.A. (k) II.C.1 Calculer P . II.C.2 Appliquer l'inégalité de la question II.B.2 à P et x = 1. II.C.3 Utiliser la question I.D.2. Partie III III.C.2 III.C.4 III.D.1 III.D.2 III.D.3 Remarquer que ck [L(Qk-1 )] = 0 et utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Utiliser la question III.A.1. Utiliser la question III.C.2. Utiliser la question III.C.4. Vérifier les hypothèses du principal théorème du cours établissant la dérivabilité de la somme d'une série de fonctions (commencer par bien le mémoriser, ce théorème est vraiment très important), en utilisant la question III.C.3. III.E.1 Utiliser la question III.A.3. III.E.2 Utiliser la question III.C.4, en montrant au préalable que la suite des restes d'une série dont le terme général est à décroissance rapide est elle-même à décroissance rapide. Partie IV IV.A.1 Raisonner comme à la question III.E.2 pour un sens de l'équivalence et comme à la question III.D.1 pour l'autre sens. IV.B.2 Utiliser la question II.C.3 et développer en série entière le second membre de l'inégalité. IV.C Utiliser la question précédente. IV.D Utiliser la question précédente, ainsi que la question III.E. IV.E Considérer la série de Taylor de f en 0. Préliminaires a Soient (n )nN une suite à décroissance exponentielle, et r et M les constantes intervenant dans la définition de cette décroissance. Ainsi, pour k entier positif donné, on a : n N n nk 6 Mnk rn Or (par croissance comparée), la suite (nk rn )nN tend vers 0 et est en particulier bornée par une constante Nk . La suite (n nk )nN est donc bornée par MNk , et ceci pour tout entier naturel k. On a ainsi montré que (n )nN est à décroissance rapide. b Cas de E : remarquons d'abord que E n'est pas vide puisqu'il contient la fonction nulle ; en effet, si l'on prend la suite nulle pour (Qn )nN , on a bien 0 Cn [X] 1 pour tout n et, pour tout k et tout n, on a k0 - 0k 6 k . n Soient f et g deux fonctions de E . Il existe donc des suites de polynômes (Qn (f ))nN et (Qn (g))nN , ainsi que des suites de réels (Mk (f ))kN et (Mk (g))kN telles que, pour h {f, g}, Mk (h) k N n N kh - Qn (h)k 6 nk Fixons également C. Alors k(f + g) - (Qn (f ) + Qn (g))k 6 kf - Qn (f )k + || × kg - Qn (g)k Posons Qn (f + g) = Qn (f ) + Qn (g). Le polynôme Qn (f + g) est bien dans Cn [X], ceci pour tout n. Cette dernière phrase permet au correcteur de se convaincre, dès le début du problème, que votre copie est rigoureuse. Mk (f ) + ||Mk (g) nk Donc, la suite (kf +g-Qn(f +g)k)nN est à décroissance rapide et f +g appartient à E , pour toutes fonctions f et g, et tout , donc : kf + g - Qn (f + g)k 6 E est un sous-espace vectoriel de C ([ -1 ; 1 ] , C). Cas de E exp : cet ensemble n'est pas vide puisqu'il contient la fonction nulle ; en effet, si l'on prend la suite nulle pour (Qn )nN , on a bien 0 Cn [X] pour tout n et k0 - 0k 6 1/2n . Soient f et g deux fonctions de E exp . Il existe donc des suites de polynômes (Qn (f ))nN et (Qn (g))nN , ainsi que deux constantes M(f ) et M(g), et deux réels de ] 0 ; 1 [ r(f ) et r(g), tels que, pour h {f, g} : n N kh - Qn (h)k 6 M(h) r(h)n Fixons également C. Alors k(f + g) - (Qn (f ) + Qn (g))k 6 kf - Qn (f )k + ||kg - Qn (g)k Posons Qn (f + g) = Qn (f ) + Qn (g). Le polynôme Qn (f + g) est bien dans Cn [X], ceci pour tout n. De plus, kf + g - Qn (f + g)k 6 M(f )r(f )n + ||M(g)r(g)n 6 (M(f ) + ||M(g)) max(r(f ), r(g))n Et, comme max(r(f ), r(g)) < 1, la suite (kf +g -Qn (f +g)k)nN est à décroissance exponentielle. Ceci étant vrai quels que soient les fonctions f et g, et le complexe , il vient : E exp est un sous-espace vectoriel de C ([ 0 ; 1 ] , C). Inclusion entre les deux sous-espaces : si f est dans l'ensemble E exp , la suite (kf - Qn (f )k )nN est à décroissance exponentielle, donc (d'après la question a) à décroissance rapide et, en conséquence, f appartient à E . Ainsi, E exp E c.i Soit x fixé dans [ -1 ; 1 ]. L'inégalité de Taylor-Lagrange nous donne : f (x) - n f (k) (0) P |x|n+1 kf (n+1) k xk 6 kf (n+1) k 6 k! (n + 1)! (n + 1)! k=0 de sorte que, si Qn (f ) = n f (k) (0) P Xk , on a : k! k=0 kf - Qn (f )k 6 M (n + 1)! Il nous reste à montrer que cette inégalité permet de conclure que la suite (kf - Qn (f )k )nN est à décroissance exponentielle. Mais, par croissance compa2n rée, la suite de terme général tend vers 0, donc est bornée ; il en est de (n + 1)! kf - Qn (f )k même de la suite , ce qui montre bien (avec r = 1/2) que la (1/2)n nN suite (kf - Qn (f )k )nN est à décroissance exponentielle. c.ii · La fonction exponentielle est un élément de E exp : en effet, quel que soit l'entier n, k exp(n) k = k exp k 6 e, donc le résultat de la question précédente c.i s'applique. · Toute fonction polynôme P est un élément de E exp : en effet, la suite de ses dérivées (P(n) )nN stationne à 0, donc est uniformément bornée, et le résultat de la question précédente s'applique également. · Plus généralement, toute fonction développable en série entière avec un rayon de convergence strictement supérieur à 1 est dans E exp (la preuve de cette affirmation constitue la dernière question du problème). 
