Centrale Maths 1 MP 2002

Thme de l'preuve Analyse numrique
Principaux outils utiliss polynmes, sries de fonctions, sries entires, sries de Fourier, espaces vectoriels norms
Mots clefs approximation par des polynmes, polynmes de Tchebychev, interpolation de Lagrange, espace fonctionnel

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres


 Centrale Maths 1 MP 2002 -- Corrig Ce corrig est propos par Jean Starynkvitch (ENS Cachan) ; il a t relu par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) et ric Ricard (Enseignant-chercheur  l'Universit). Ce sujet tudie certains espaces de fonctions (sur un intervalle compact) qui sont des limites de suites  rapidement convergentes  de polynmes. Le but du problme est de donner une caractrisation de ces fonctions  l'aide de types de rgularit mieux connus (notamment  tre de classe C ).  La premire partie est trs classique. Elle traite des polynmes de Tchebychev, de leurs proprits les plus classiques, ainsi que de leurs proprits  numriques . On y utilise les formules de trigonomtrie, ainsi que des rcurrences. Il faut savoir la traiter rapidement.  La deuxime partie utilise les rsultats de la premire pour donner des majorations explicites (en norme) des polynmes, ainsi que de leurs drives. Les outils utiliss sont lmentaires et cette partie est plus calculatoire que thorique : le raisonnement type est une majoration et une tude de signe de polynmes. Les polynmes interpolateurs de Lagrange interviennent.  La troisime partie caractrise l'espace des fonctions f sur [ -1 ; 1 ] pour lesquelles il existe une suite (Pn )nN de polynmes (Pn tant de degr au plus n) convergeant vers f et telle que la suite de terme gnral kf - Pn k soit  dcroissance rapide. En particulier, on montre que cet ensemble concide avec l'espace des fonctions de classe C sur [ -1 ; 1 ]. On utilise dans cette partie les sries de Fourier, ainsi que les sries de fonctions (sries de polynmes).  La quatrime partie tudie les fonctions f pour lesquelles on peut trouver une suite de polynmes (Pn )nN (Pn tant de degr au plus n) telle que la suite (kf - Pn k )nN soit  dcroissance exponentielle. Les techniques utilises sont les mmes que prcdemment, mais il faut y ajouter l'tude d'un dveloppement en srie entire. Dans l'ensemble, le sujet est assez classique et d'une difficult moyenne ; la longueur de l'nonc est elle aussi raisonnable : ce problme constitue donc une excellente occasion de rviser. Indications Partie I I.A.3 Utiliser la formule 2 cos a cos b = cos(a + b) + cos(a - b). I.B.2 Cette question peut se rsoudre de plusieurs manires. Si l'on prfre utiliser l'analyse relle, montrer d'abord qu'il suffit de vrifier l'galit pour u [ 0 ; Arcsin (1/n) ]. Une autre mthode consiste  montrer que n-1 P i(-n+2p+1)u sin(nu) = sin u e p=0 I.C.1 Effectuer une rcurrence, ou alors constater d'abord que le rsultat est dj montr pour r U = {z C | |z| = 1}. . . I.D.1 Ne pas oublier de montrer que Tn est solution de l'quation sur R tout entier. I.D.2 Utiliser la formule de Leibniz, puis raisonner par rcurrence. Partie II II.A.2 Montrer que les deux membres sont gaux sur n + 1 points particuliers. II.A.3 tudier le signe de Li en tudiant le signe de chacun des termes du produit du dnominateur. II.A.4 Utiliser la question I.C.2.b et le fait que P est gal  son interpol aux points ai . II.B Raisonner comme  la question II.A. (k) II.C.1 Calculer P . II.C.2 Appliquer l'ingalit de la question II.B.2  P et x = 1. II.C.3 Utiliser la question I.D.2. Partie III III.C.2 III.C.4 III.D.1 III.D.2 III.D.3 Remarquer que ck [L(Qk-1 )] = 0 et utiliser l'ingalit de Cauchy-Schwarz. Utiliser la question III.A.1. Utiliser la question III.C.2. Utiliser la question III.C.4. Vrifier les hypothses du principal thorme du cours tablissant la drivabilit de la somme d'une srie de fonctions (commencer par bien le mmoriser, ce thorme est vraiment trs important), en utilisant la question III.C.3. III.E.1 Utiliser la question III.A.3. III.E.2 Utiliser la question III.C.4, en montrant au pralable que la suite des restes d'une srie dont le terme gnral est  dcroissance rapide est elle-mme  dcroissance rapide. Partie IV IV.A.1 Raisonner comme  la question III.E.2 pour un sens de l'quivalence et comme  la question III.D.1 pour l'autre sens. IV.B.2 Utiliser la question II.C.3 et dvelopper en srie entire le second membre de l'ingalit. IV.C Utiliser la question prcdente. IV.D Utiliser la question prcdente, ainsi que la question III.E. IV.E Considrer la srie de Taylor de f en 0. Prliminaires a Soient (n )nN une suite  dcroissance exponentielle, et r et M les constantes intervenant dans la dfinition de cette dcroissance. Ainsi, pour k entier positif donn, on a : n N n nk 6 Mnk rn Or (par croissance compare), la suite (nk rn )nN tend vers 0 et est en particulier borne par une constante Nk . La suite (n nk )nN est donc borne par MNk , et ceci pour tout entier naturel k. On a ainsi montr que (n )nN est  dcroissance rapide. b Cas de E : remarquons d'abord que E n'est pas vide puisqu'il contient la fonction nulle ; en effet, si l'on prend la suite nulle pour (Qn )nN , on a bien 0 Cn [X] 1 pour tout n et, pour tout k et tout n, on a k0 - 0k 6 k . n Soient f et g deux fonctions de E . Il existe donc des suites de polynmes (Qn (f ))nN et (Qn (g))nN , ainsi que des suites de rels (Mk (f ))kN et (Mk (g))kN telles que, pour h {f, g}, Mk (h) k N n N kh - Qn (h)k 6 nk Fixons galement C. Alors k(f + g) - (Qn (f ) + Qn (g))k 6 kf - Qn (f )k + ||  kg - Qn (g)k Posons Qn (f + g) = Qn (f ) + Qn (g). Le polynme Qn (f + g) est bien dans Cn [X], ceci pour tout n. Cette dernire phrase permet au correcteur de se convaincre, ds le dbut du problme, que votre copie est rigoureuse. Mk (f ) + ||Mk (g) nk Donc, la suite (kf +g-Qn(f +g)k)nN est  dcroissance rapide et f +g appartient  E , pour toutes fonctions f et g, et tout , donc : kf + g - Qn (f + g)k 6 E est un sous-espace vectoriel de C ([ -1 ; 1 ] , C). Cas de E exp : cet ensemble n'est pas vide puisqu'il contient la fonction nulle ; en effet, si l'on prend la suite nulle pour (Qn )nN , on a bien 0 Cn [X] pour tout n et k0 - 0k 6 1/2n . Soient f et g deux fonctions de E exp . Il existe donc des suites de polynmes (Qn (f ))nN et (Qn (g))nN , ainsi que deux constantes M(f ) et M(g), et deux rels de ] 0 ; 1 [ r(f ) et r(g), tels que, pour h {f, g} : n N kh - Qn (h)k 6 M(h) r(h)n Fixons galement C. Alors k(f + g) - (Qn (f ) + Qn (g))k 6 kf - Qn (f )k + ||kg - Qn (g)k Posons Qn (f + g) = Qn (f ) + Qn (g). Le polynme Qn (f + g) est bien dans Cn [X], ceci pour tout n. De plus, kf + g - Qn (f + g)k 6 M(f )r(f )n + ||M(g)r(g)n 6 (M(f ) + ||M(g)) max(r(f ), r(g))n Et, comme max(r(f ), r(g)) < 1, la suite (kf +g -Qn (f +g)k)nN est  dcroissance exponentielle. Ceci tant vrai quels que soient les fonctions f et g, et le complexe , il vient : E exp est un sous-espace vectoriel de C ([ 0 ; 1 ] , C). Inclusion entre les deux sous-espaces : si f est dans l'ensemble E exp , la suite (kf - Qn (f )k )nN est  dcroissance exponentielle, donc (d'aprs la question a)  dcroissance rapide et, en consquence, f appartient  E . Ainsi, E exp E c.i Soit x fix dans [ -1 ; 1 ]. L'ingalit de Taylor-Lagrange nous donne : f (x) - n f (k) (0) P |x|n+1 kf (n+1) k xk 6 kf (n+1) k 6 k! (n + 1)! (n + 1)! k=0 de sorte que, si Qn (f ) = n f (k) (0) P Xk , on a : k! k=0 kf - Qn (f )k 6 M (n + 1)! Il nous reste  montrer que cette ingalit permet de conclure que la suite (kf - Qn (f )k )nN est  dcroissance exponentielle. Mais, par croissance compa2n re, la suite de terme gnral tend vers 0, donc est borne ; il en est de (n + 1)! kf - Qn (f )k mme de la suite , ce qui montre bien (avec r = 1/2) que la (1/2)n nN suite (kf - Qn (f )k )nN est  dcroissance exponentielle. c.ii  La fonction exponentielle est un lment de E exp : en effet, quel que soit l'entier n, k exp(n) k = k exp k 6 e, donc le rsultat de la question prcdente c.i s'applique.  Toute fonction polynme P est un lment de E exp : en effet, la suite de ses drives (P(n) )nN stationne  0, donc est uniformment borne, et le rsultat de la question prcdente s'applique galement.  Plus gnralement, toute fonction dveloppable en srie entire avec un rayon de convergence strictement suprieur  1 est dans E exp (la preuve de cette affirmation constitue la dernire question du problme).