CCINP Maths 2 MP-MPI 2026

SESSION 2026

MP3M2

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP
____________________

MATHÉMATIQUES 2
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·

·
·

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction 
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

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Les calculatrices sont interdites.

Ce sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

1/4

EXERCICE 1
Soient a et b deux réels, a  0 ,
a
a 
 1 1 1
a + b

=
A  a
a+b
a  et on note J =  1 1 1 .
on considère la matrice
 1 1 1
 a
a
a + b 

Q1. Quel est le rang de la matrice J ? Diagonaliser la matrice J sans calculer 
de déterminant. On
ne demande pas la matrice de passage.
Q2. En déduire que la matrice A est semblable à une matrice diagonale que l'on 
précisera.
Q3. Justifier, sans calculs, que le polynôme minimal de la matrice A est :  A = 
( X - b )( X - 3a - b ).
Q4. Déterminer les puissances successives de A par deux méthodes différentes :
a) En déterminant le reste dans la division euclidienne de X n par le polynôme
 A = ( X - b )( X - 3a - b ) .
On pourra laisser la réponse en fonction des matrices A et I.
Pour simplifier les calculs, on posera 
= 3a + b et on pourra laisser  dans la réponse.
b) Calculer J k pour tout entier k  1, puis utiliser A
= aJ + bI .
On pourra laisser la réponse en fonction des matrices J et I (sans le signe 
somme).

EXERCICE 2
Dans cet exercice n est un entier naturel non nul.
On note P = a0 + a1 X + a2 X 2 + ... + an -1 X n -1 un polynôme de degré n - 1 
à coefficients réels.
On note, pour k  0, n - 1 , k

i 2 k
=e n

les n racines n-ièmes de l'unité.

Le but de l'exercice est de démontrer le résultat suivant :
(*) le produit P (1 ) P (2 )... P (n -1 ) est un nombre réel.
Q5. Exemple.

i 2

Si on note j = e 3 , déterminer ce que vaut 1 + j + j 2 .
Choisir un polynôme de votre choix de degré 2 à coefficients réels tous non 
nuls et tous
différents et vérifier le résultat (*).

0 1 . . 0 0

0 0 1 . . . 
. 0 . . . .
Q6. On note la matrice J de M n (  ) : J = 

. . . . . .
 . . . . 0 1

 1 0 . . 0 0
(chaque ligne et chaque colonne contient un et un seul 1).
2/4

=
X n - 1.
Démontrer que le polynôme caractéristique de la matrice J est 
J
 a0 a1

 an -1 a0
 .
.
Q7. On note A = 
.
 .
 a
a3
 2
 a1 a2

a2 . an -2
a1 . an -3

. .
.
. .
.
a4 . a0
a3 . an -1

an -1 

an -2 
. 
  Mn () .
. 
a1 

a0 

(les coefficients du polynôme P se trouvent sur la première ligne, puis sur les 
lignes suivantes
avec un « décalage d'une case vers la droite »).
Comparer la matrice A et la matrice P (J ) (on ne demande pas le détail des 
calculs).
Q8. Diagonaliser la matrice J dans M n ( ) (on ne demande pas la matrice de 
passage), puis
diagonaliser la matrice A dans M n ( ) .
Q9. En déduire le résultat (*).

PROBLÈME
Q10. Question de cours.
Si E est un espace préhilbertien réel muni d'un produit scalaire
euclidienne associée notée

et de sa norme

, si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie de E, on

définit le projeté orthogonal sur F d'un vecteur x de E noté pF ( x ) ainsi :

pF ( x ) est l'unique vecteur de F vérifiant x - pF ( x )  F  .

n

a) Si ( e0 , e1, e2 ,..., en ) est une base orthonormale de F, démontrer que pF 
( x ) =  x ei ei .
i =0

b) Démontrer que pour tout vecteur x de E, pF ( x )

2

 x

2

n

et que  x ei

2

2

 x .

i =0

a² + b²
.
2
et E l'ensemble des fonctions continues de I

Q11. Justifier que pour tout couple (a, b )   2 : ab 
On note désormais F =  n [ X ] , I=

[0, + [
2
dans  , telles que la fonction t  ( f (t ) ) e -t soit intégrable sur 
l'intervalle I.

Justifier que pour f et g dans E, la fonction t  f (t )g (t )e -t est 
intégrable sur l'intervalle I.
Q12. Démontrer que E est un espace vectoriel et que l'on définit un produit 
scalaire sur E en posant :
+

-t
 ( f ,g )  E 2 , f g =
 f (t )g (t )e dt .
0

Q13. On identifie  [ X ] et les fonctions polynomiales sur  . Justifier que F 
est un sous-espace
vectoriel de E.
Ainsi

2

+

-t
, défini sur  [ X ] , par  ( P,Q )   [ X ] , P Q =
 P (t )Q(t )e dt est un produit
0

scalaire sur  [ X ] .
3/4

Q14. Pour tout n  , on pose pour tout réel x,
hn ( x ) = x n e - x et Ln ( x ) =

ex
ex d n
hn( n ) ( x ) =
x ne- x .
n
n!
n ! dx

(

)

a) Calculer pour tout entier naturel p  n , hn( p ) ( x ) .
Si p < n , que vaut hn( p ) (0) ? b) Démontrer que Ln   [ X ] , préciser son degré et son coefficient dominant. Q15. Soit g élément de  [ X ] , exprimer g hn( n ) en fonction de g Ln en fonction de + 0 + 0 g ( n ) (t ) hn (t )dt , puis exprimer g ( n ) ( t ) t n e - t dt . Q16. Si Li et L j , avec i < j , sont deux éléments de F, déterminer Li L j . Q17. Calculer par des intégrations par parties, + n -t 0 t e dt , puis pour tout n  , calculer Ln Ln . Q18. Que peut-on en conclure concernant la base ( L0 , L1, L2 ,..., Ln ) de vecteurs de F ? Exprimer, pour tout g élément de E, PF (g ) dans cette base. Q19. Démontrer que la série  g Ln 2 + 2 converge et majorer  g Ln . n =0 n 0 -1 , on pose g ( x ) = e - x . 2 Vérifier que pour tout    , g  E . Q20. Pour  >

n =0

2

= g

2

.

FIN

4/4

I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 26 1001 ­ D'après documents fournis

+

Démontrer que  g Ln