CCINP Maths 1 MP-MPI 2026

SESSION 2026

MP1M1

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP
____________________

MATHÉMATIQUES 1
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·

·
·

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction 
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

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Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème.

1/4

EXERCICE I
On considère deux tables : ELEVES et PAIEMENTS. La première contient des 
informations sur des
élèves dans une grande école d'ingénieur et la deuxième permet d'identifier 
quels sont les
paiements effectués par les élèves pour la scolarité dans cette école.
La table ELEVES contient les attributs suivants :
- id : identifiant d'un individu (entier), clé primaire ;
- nom (chaîne de caractères) ;
- prenom (chaîne de caractères) ;
- email (chaîne de caractères) ;
- promo : année d'admission dans l'école (int).
La table PAIEMENTS contient les attributs suivants :
- id : identifiant de suivi (entier), clé primaire ;
- id_eleve : identifiant du client représenté par l'attribut id dans la table 
ELEVES (entier) ;
- montant : montant payé en euros (entier) ;
- date_paiement : date du paiement (chaîne de caractères).
Q1.

Écrire une requête SQL affichant les emails différents (sans doublons) de tous 
les élèves qui
ne sont pas de la promotion 2025.

Q2.

Écrire une requête SQL affichant le nom, le prénom et le montant total payé 
pour chaque
élève. Cette requête devra être triée par nom, puis prénom.

Q3.

On souhaite trouver les doublons dans la table ELEVES. Écrire une requête SQL 
affichant
les id et emails des élèves qui ont au moins deux lignes identiques dans la 
table ELEVES (à
l'exception de l'attribut id).

Q4.

Écrire une requête SQL affichant l'id des élèves n'ayant effectué aucun 
paiement.

EXERCICE II
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans .
On note G X la fonction génératrice de X définie par :
+

=
G
X (t )

=
P( X n) t n .

n =0

Q5.

Montrer que G X est bien définie sur [ -1,1] .

Q6.

Si X est une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre  > 0, 
rappeler et
démontrer l'expression de G X .

Q7.

En utilisant un produit de Cauchy de deux séries entières, démontrer que si X 
et Y sont
deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans , alors on a :
t  ]-1,1 [ , G X +Y (t ) G X (t )
=
GY (t ) .

Q8.

On suppose désormais que X et Y sont indépendantes et suivent des lois de 
Poisson de
paramètres respectifs  et µ . Déterminer la loi de Z= X + Y .
2/4

PROBLÈME
Les parties I et II de ce problème sont indépendantes mais les résultats seront 
utilisés pour la
résolution de la partie III.

Partie I - Calcul d'une intégrale
Dans toute cette partie, on pose g ( x ) =

Q9.

+

x
eit dt pour tout x > 0 .
2
+
x
t
-
2

Démontrer que g est bien définie sur ]0, +[ .

Q10. Pour tout x > 0 , démontrer que g ( x ) =

+

eixu
du .
2
- 1 + u

En déduire que g est bornée sur ]0, +[ .
Q11. Démontrer que lim g ( x ) =  .
x 0+

Q12. Démontrer que g est de classe C 2 sur ]0, +[ .
Q13. Calculer

2  x  2  x 

+

 pour ( x, t )  ]0, +[ ×  .
x 2  x 2 + t 2  t 2  x 2 + t 2 

0 sur ]0, +[ .
En déduire que g est solution de l'équation différentielle y ''- y =
Q14. Pour tout x > 0 , déterminer une expression de g ( x ) .

Partie II - Formule sommatoire de Poisson
Dans toute la suite, on pose :

1
1+ t

,
t , f (t ) =
2
et
x  ,

F
=
(x)

+

+

f ( x + n) +

n =0

 f ( x - n) .
n =1

Q15. Démontrer que F est bien définie sur  et 1 périodique.
Q16. Démontrer que F est continue sur [0,1] et en déduire que F est continue 
sur  .

3/4

Pour toute fonction u continue sur  et 1 périodique, on pose, pour tout k   :
ck (u ) =

Q17. Démontrer que ck (F ) =

+

 f (t ) e

1

 u (t ) e

-2i kt

0

-2i kt

dt .

dt pour tout k   .

-

Q18. Pour tout k , n   , calculer la valeur de l'intégrale

1

e

-2i ( n + k )t

0

dt .

Partie III - Applications
=
F
(x)

On rappelle les notations : x  ,

+

+

f ( x + n) +

n =0

 f ( x - n) et f : t  1 +1t .
2

n =1

Q19. Calculer c0 (F ) .

En utilisant les résultats des parties I et II, calculer ck (F ) pour tout 
entier k > 0 .
On admettra que c- k (F ) = ck (F ) pour tout k   .
+

 c (F ) e

Q20. On pose : x  , G ( x ) =

n

+

2i nx

+

n =0

 c (F ) e
-n

-2i nx

.

n =1

Démontrer que G est continue sur  et 1 périodique.

« Si u et v sont deux fonctions continues sur  , 1 périodiques
et vérifient ck (u ) = ck (v ) pour tout k   , alors u = v ».
Q21. Démontrer que F = G .
Q22. En déduire la valeur de F ( x ) pour tout x   .

FIN

4/4

I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 26 1000 ­ D'après documents fournis

On admet le résultat suivant :