Centrale Informatique MP 2007

Thme de l'preuve Autour de la suite de Fibonacci. Un calcul de ppcm.
Principaux outils utiliss rcursivit, congruence, suites rcurrentes, tas
Mots clefs Rcurrences, calcul matriciel, arbre, oprations sur les bits

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres


 Centrale Informatique MP 2007 -- Corrig Ce corrig est propos par Vincent Danjean (Enseignant-chercheur en cole d'ingnieur) ; il a t relu par Sattisvar Tandabany (ENS Lyon) et Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE). Cette preuve se compose de deux problmes indpendants de longueurs ingales.  En informatique, on est parfois amen  devoir valuer des suites (compltes ou seulement certaines valeurs) dont le calcul direct est hors de porte de nos moyens de calcul actuels. Le premier problme explore de telles problmatiques  travers l'tude de suites rcurrentes linaires. La suite de Fibonacci, trs connue, en est un exemple typique. Ce problme est l'occasion de comparer la complexit de plusieurs mthodes de calcul et de dcouvrir de nouvelles techniques pour la rduire. Les ides proposes pour la suite de Fibonacci dans les parties I.B et I.C seront une sources d'inspiration pour rsoudre les questions de la partie I.D, qui aborde des problmes plus gnraux. C'est en utilisant des mthodes semblables  celles prsentes ici que l'on parvient, par exemple,  calculer une dcimale quelconque d'un nombre transcendant comme , sans avoir besoin de calculer celles qui la prcdent.  Le second problme expose un algorithme de calcul de ppcm utilisant une structure de donne particulire : les tas. Il s'agit ici de comprendre l'algorithme propos afin de calculer sa complexit. La question II.C demande de drouler manuellement l'algorithme qui manipule un tas. Indications I.A.1 En binaire, la multiplication d'un nombre a par un bit a pour rsultat a ou 0. I.A.2 Soit a = a1 2m + a2 et b = b1 2m + b2 . Si l'on pose X = a1 b 1 Y = a2 b 2 alors et donc et Z = (a1 + b1 ) (a2 + b2 ) Z - X - Y = a1 b 2 + a2 b 1 ab = X22m + (Z - X - Y)2m + Y I.B.1 Utiliser les rsultats classiques sur les suites rcurrentes linaires d'ordre 2. I.B.3 Poser F(n) le nombre d'appels rcursifs. Exprimer une relation de rcurrence sur F(n) grce au programme. I.B.4 Penser  stocker quelques uns des rsultats prcdents pour pouvoir calculer facilement fk . I.B.5 L'algorithme d'exponentiation rapide marche aussi pour les matrices. I.B.6 Constater que le modulo est compatible avec l'addition, la multiplication et l'exponentiation par une constante. I.C.1 Prouver la relation demande par rcurrence sur n. 2 I.C.2 Calculer A2n+1 = (An ) A et ne pas oublier que fn-1 = fn+1 - fn . I.C.3 Utiliser les tats pour stocker l'information (fn [2], fn+1 [2]). I.C.5 Montrer que fn+3 - fn = 0. I.C.6 Utiliser les tats pour stocker le reste modulo 3 de l'entier en cours de lecture. I.D.2 Il suffit de garder les 3 dernires valeurs calcules de la suite. I.D.3 Il suffit de garder les m dernires valeurs calcules de la suite. I.D.4 Le tableau est vu comme une mmoire circulaire des m dernires valeurs. Utiliser le modulo m pour calculer l'indice du tableau en fonction de l'indice de la suite g. I.D.5 Gnraliser la forme de la matrice A de la question I.B.5 et exprimer gn  l'aide d'une puissance de A. II.A Trouver la place du nouveau noeud dans l'arbre puis suivre le chemin entre la racine et ce nouveau noeud pour insrer la nouvelle valeur  la bonne place. II.B  partir de la racine, changer rcursivement la valeur du noeud courant avec celle de son plus petit fils si ncessaire. II.D Montrer que h = log2 (n) o x reprsente la partie entire de x. II.E Montrer que le nombre de percolations dues au nombre premier p est major par ln n/ ln p. II.F Tester la divisibilit de n par tous les entiers impairs plus petits que n. I. Autour de la suite de Fibonacci Dans tout ce corrig, la notation x dsigne la partie entire (infrieure) de x alors que x dsigne sa partie entire suprieure. I.A.1 Pour multiplier deux nombres binaires, on peut utiliser la mthode que l'on apprend  l'cole primaire : on multiplie le premier nombre par chacun des chiffres du second et on additionne au fur et  mesure les rsultats partiels (en n'oubliant pas de  dcaler  le rsultat d'une place  chaque fois). La diffrence est que la multiplication d'un nombre par un bit se fait en temps constant : le rsultat est gal au nombre si le bit est 1, ou bien il est gal  0 si le bit est 0. Si on note b = bn-1 bn-2 . . . b1 b0 l'criture en base 2 de b, on a ab= n-1 P i=0 bi  (a  2i ) La multiplication par bi (bit) se fait en temps constant (ie on prend 0 ou bien le second oprande). Le calcul de a  2i peut tre fait en temps proportionnel  n : il suffit de dcaler les n chiffres de a de i places vers la gauche. Suivant la manire de stocker a (par exemple dans un tableau), l'opration peut demander un nombre d'oprations proportionnel au nombre de chiffres du rsultat (ie n + i < 2n). Le cot total de ces dcalages est donc en O (n  n). Il ne reste plus qu' prendre aussi en compte le cot des additions. On doit additionner au plus n fois un nombre binaire de taille au plus 2n (avec les dcalages). Une addition de nombres de taille 2n tant en O(n), le cot des additions est aussi en O (n  n). Le produit de deux nombres entiers de n bits s'effectue en O n2 oprations lmentaires. Si l'on choisit une reprsentation interne astucieuse pour stocker les entiers de taille quelconque, il est possible d'obtenir a  2i en temps constant. Cela ne change pas la complexit finale puisqu'une addition est toujours en O(n). I.A.2 Pour effectuer une multiplication d'entiers plus efficace, utilisons une mthode diviser pour rgner. Soient a et b deux nombres de n bits et posons m = n/2. On note a = a1 2m + a2 et b = b1 2m + b2 avec a2 < 2m et b2 < 2m . Autrement dit, a2 (resp. b2 ) est constitu des m derniers chiffres de a (resp. b) tandis que a1 (resp. b1 ) est constitu des n - m premiers chiffres de a (resp. b). On peut remarquer que : ab = (a1 2m + a2 ) (b1 2m + b2 ) = a1 b1 22m + (a1 b2 + a2 b1 ) 2m + a2 b2 Posons X = a1 b 1 et Y = a2 b 2 Alors Z - X - Y = a1 b2 + a2 b1 et Z = (a1 + b1 ) (a2 + b2 ) ab = X22m + (Z - X - Y)2m + Y On voit ici qu'il est possible de calculer la multiplication de a et b dcomposs en deux parties  l'aide de 3 multiplications (et 6 additions). Les additions se faisant en O(n), on sera gagnant si l'on applique le mme procd rcursivement pour calculer les 3 multiplications ncessaires. En effet, si l'on note T (n) la complexit d'une multiplication de deux nombres de taille n par cette mthode, on aura : j n k + O (n) T (n) 6 3T 2 ce qui nous permet d'obtenir une complexit globale en O nlog2 3 . Sans utiliser ces galits, on aurait intuitivement calcul X = a1 b 1 Y = a2 b 2 Z 1 = a1 b 2 Z 2 = a2 b 1 ab = X22m + (Z1 + Z2 )2m + Y puis soit 4 multiplications (et 3 additions), ce qui ne permet aucun gain avec la mthode diviser pour rgner. En effet, en notant T la complexit de cette mthode de calcul, on a alors j n k T (n) 6 4T + O (n) 2 et donc une complexit en O n2 . En rsum, pour multiplier deux nombres a et b, l'algorithme propos consiste donc  1. scinder ces deux nombres en deux parties ; 2. calculer X, Y, Z (dfinis ci-dessus) en appliquant cette mthode rcursivement pour calculer les trois produits ; 3. sommer X22m + (Z - X - Y)2m + Y pour obtenir le rsultat. Cette mthode, appele mthode de Karatsuba, a une complexit en O nlog2 3 soit environ O n1,585 . Il existe une gnralisation de la mthode de Karatsuba, dite de ToomCook ou encore Toom-3. Cette mthode dcoupe chaque nombre  multiplier en plusieurs parties (Karatsuba dcoupant les nombres en 2 parties). Ainsi, en dcoupant en 3 parties, on obtient un algorithme dont la complexit est O nlog3 (5) ) soit environ O n1,465 (on remplace 9 multiplications par 5). Il faut cependant noter que le cot de gestion des additions et des appels rcursifs est important et augmente vite avec le nombre de parties de la dcoupe des nombres. C'est pourquoi la mthode de Toom-Cook (et donc de Karatsuba) n'est utilise que lorsque les nombres sont suffisamment grands pour que le gain en complexit soit suffisamment important. I.A.3 Pour tout n N, on a a(2n) = a2 n et a(2n+1) = a  a2 n En notant b = bn-1 bn-2 . . . b1 b0 l'criture en base 2 de b, l'algorithme d'exponentiation rapide pour calculer ab est le suivant :