Mines Physique et Chimie PCSI 2003

CONCOURS COMMUN 2003
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES

Épreuve Spécifique de Physique et Chimie

(filière PCSI Option PC)

* . Jeudi 22 mai 2003 de 08h00 à 12h00 *

Barème indicatif : Chimie 1/2 -* Physique 1/2

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend : 12 pages numérotées 
1/12, 2/12, ...12/12.
plus une feuille de papier millimètré à joindre avec la copie.

Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : 
les copies illisibles ou
mal présentées seront pénalisées.

Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à 
code à barres
correspondante. '

Toute application numérique ne comportant pas d'unité ne donnera pas lieu à 
l'attribution de
points. - _

Les parties Physique et Chimie seront rédigées sur les mêmes feuilles de 
composition étrehdues
ensemble à la fin de l'épreuve. ,

Feuille jointe : papier millimètré (physique);

CHIMIE

Problème 1

Les différentes parties de ce problème sont indépendantes et dans chaque partie 
de nombreuses questions
sont indépendantes.

Le magnésium est un élément relativement abzondant dans l'écorceterrestre.' 
L'eau de mer qui contient
' 0 + A ' I I l |
0,135 % de magnesmm sous forme de Mg peut etre conaderee comme une reserve 
quasrment

inépuisable de ce métal.

I -- Propriétés atomiques

1. Le numéro atomique du magnésium "est Z=12_. Indiquer sa configuration 
électronique dans l'état
fondamental et en déduire sa position (numéros de ligne et de colonne) dans la 
classification périodique.

2. Le tableau ci--dessous regroupe quelques propriétés atomiques du magnésium 
et d'éléments issus de
la même colonne de la classification périodique. Il s'agit du numéro atomique 
(Z), du rayon atomique
(ratomique), du rayon ionique du cation M+ (monique), des énergies de première 
et de deuxième ionisation de
l'atome (Eionisation1 et E,onisation2), du potentiel redox standard du Couple 
M2+/M (E°(M"/M)).

--mm-um
+
___-_-
' ...--
E°

a) En comparant les rayons atomiques, justifier l'évolution de l'énergie de 
première ionisation
du béryllium (Be) au baryum (Ba).

b) Justifier que, pour chaque atome, E......sation2 > Eionisation1-

c) Des cinq éléments présentés dans ce tableau, lequel est le meilleur 
réducteur ? En déduire
lequel est le moins électronégatif.

Il -- Propriétés réductrices du magnésium

Le magnésium sert à la fabrication de piles amorçables à l'eau de mer, très 
utilisées dans la marine. Ce type
de pile est constitué d'une demi-pile-AgCl (s) / Ag (s) et d'une demi-plie 
MgClz (s) / Mg (s). La pile est
étanche mais peut être activée par ouverture d'un opercule permettant le 
contact entre l'eau de mer et les
électrodes.

En milieu chlorure, le potentiel standard du couple MgClz (s) / Mg (s) vaut 
--1,71 V;
' celui du couple AgCl (s) / Ag (s) vaut 0,22 v. '

1. Comparer les potentiels des deux couples; en déduire quelle est 'l'anode et 
quelle est la cathode.
Quelle est la réaction de fonctionnement de la pile ?

2. Faire un schéma de la plie en fonctionnement en précisant la polarité des 
électrodes et le sens de
déplacement des électrons. ,

3. Calculer la fem théorique de la pile. Montrer qu'elle ne dépend pas de la 
concentration en ions
chlorure. - "

4. Quel est le rôle de l'eau de mer ?

Donnée : (RT/F).ln10 = 0,06 V à 298 K

III -- Dureté de l'eau

La dureté de l'eau estun concept qui a été introduit afin d'en connaître la 
teneur en ions Ca2+ et Mg". Les
eaux dites dures sont des eaux riches en ions calcium et magnésium. Elles ont 
le défaut de faire précipiter
les savons qui perdent alors leur pouvoir'moussant. De plus, elles favorisent 
la formation de tartre (CaCO3 et
MgCO3) dans les canalisations.

On se propose dans cette partie de déterminer la dureté totale, c'est--à-dire 
la somme [Ca2+]+ [MgZ+], d'une
eau minérale en la dosant à l'aide d'acide éthylènediaminetétraacétique (EDTA) 
noté H4Y.

L'EDTA (noté H4Y) est un tétraacide dont les pKa successifs valent 
respectivement :
2,0 ; 2,7 ; 6,4 ;10,2.

Le mode opératoire est le suivant :

« On place 10 mL d'eau à analyser dans un erlenmeyer de 150 mL. On y ajoute 10 
mL d'une solution
tampon de'pH = 10 et 12 gouttes d'une solution de l'indicateur coloré Calmagite 
fraîchement préparé. La
solution, incolore avant l'ajout du Calmagite, prend alors une coloration rose 
« lie de vin ». On place dans la '
burette une solution de sel disodique d'acide éthylènediaminetétraacétique 
dihydraté (Na2HZY, 2 H20) de
concentration c = 0,050 mol.L"Ï On appelle--v le volume de titrant versé. On 
observe le virage de la solution
du rose au bleu pour un volume versé v = ve,».

Les données numériques utiles sont regroupées à la fin de cette partie.

A-- Préparation des solutions _

1. Pour préparer la "Solution de titrant, on introduit une masse m de sel 
disodique d'acide
éthylènediaminetétraacétique dihydraté (Na2H2Y, 2 HZO) dans une fiole jaugée de 
250 mL. On complète au
trait de jauge avec de l'eau distillée. On bouche la fiole et on agite pour 
homogénéiser la solution. *

a) Déterminer la masse m que l'on doit peser avec précision pour obtenir une 
solution de
concentration c = 0,050 mol.L" .

b) Indiquer les domaines de prédominance des différentes formes de l'EDTA en 
fonction du
pH. Quelle est l'espèce prédominante à pH = 10? Dans la suite du problème on
considérera, par souci de simplification, que tout l'EDTA est sous cette forme 
à '
pH = 10. '

2. Pour préparer la solution de solution tampon pH = 10, on dissout une masse 
m' de NH4CI dans 100
mL de soude molaire et on complète le volume jusqu'à 250 mL avec de l'eau 
distillée.

a) Ecrire l'équation-bilan de la réaction qui séproduit quand on mélange ces 
deux réactifs.
Calculer sa constante d'équilibre. Que peut--on en déduire ?

b) Faire le bilan de matière. En déduire la valeur de la masse m' que l'on doit 
peser pour
obtenir une solution tampon de pH = 10. » \

B-- Princige du dosage

Dans une solution tamponnée à pH 10, l'indicateur Calmagite (noté ln) est rose 
« lie-de vin » lorsqu'il est
complexé au Mg2+ et il est bleu lorsqu'il n'y a aucun ion magnésium disponible. 
Les ions calcium ne sont pas
complexés par le Calmagite. , '

L'EDTA complexe les ions Mg2+ et Ca2+ pour donner des ions MgY2" et CaY2Î Ces 
complexes EDTA--métal
sont incolores. ' ' »

1. Ecrire l'équation-bilan des deux réactions de titrage qui se produisent pour 
OD

40
1>/_&

2--bromopr0pane + Mg ----------> E --------------------> F

Et20 2) H3O+ dilué
N
CZ
F ____, ___--> ------------------->- H1(C6HQN) + H2 (C5H9N)
OH ' H2Û majoritaire

G

, ' H3Û+, A '
D + H1 -----------> | -------------------->

K1 + _ K2
/ :---------' solvant polaire (majoritaire) (isOmère de constitution de K1)

K OH' H3o+,A' "
1 -----> ----> ,__----* M1 (C15H20) + M2(C15H20)
- HgO , . . .
, . majoritaire .
« L

M est le calacorène.
1. Ecrire la formule topologique des composés C, D, E, F, H1, H2, l, K1, KZ, M1 
et M2.

2. ' Décrire le mécanisme de la réaction E --> F. Quelle réaction parasite 
pourrait se déroulersi l'hydrolyse

était menée en milieu acide trop concentré ? Quelle précaution expérimentale 
supplémentaire permettrait
d'éviter celle--ci ? » '

3. Préciser les conditions opérat0ires requises pour déshydrater G Décrire le 
mécanisme de la réaction
G 9 H1 Justifier que H1 est majoritaire devant Hz.

4. Combien J posséde--HI de stéréoisomères ? Les désigner à l'aide de la 
nomenclature adaptée (R, 8,

Z, E) en indiquant la relation de stéréoisomérie qui existe entre eux (on ne 
demande pas de représenter les
stéréoisomères, ni de les nommer).

5. ' Décrire le mécanisme de la réaction J 9 K1. Justifier que K1 est 
majoritaire devant K2.

6. Justifier que M1 est majoritaire devant Mz.

FIN DU PROBLEME 2

PHYSIQUE

Piscine à Vagues

Le problème suivant repose sur l'étude d'une piscine couverte à vagues. Nous _ 
étudierons deux
systèmes de chauffage de l'eau de la piscine (pompe à chaleur et chauffage 
solaire) et nous proposerons un
système permettant de produire des vagues.

Les trois parties sont totalement indépendantes.

Caractéristiques dela piscine :

Température de l'eau : Teau = 299 K Volume de la piscine _: 500 m3
Température extérieure : Text = 283 K Surface de la piscine : 250 rn2
Température intérieure : T;... = 296 K

Constantes du problème :

Capacité calorifique massique de l'eau : - ' . co = 4,18 J.g'ÏK'1
Chaleur latente massique.devaporlsation de l'eau ; Lvap = 2800 J .9'1
Masse volumique de l'eau : _ -- . 4 p,_.,au = 103 kg.m'3

I- Chauffage dela piscine à l'aide d'une pompe _à chaleur

Une pompe à chaleur permet de maintenir constante la température de l'eau dela 
piscine; on se
placera donc en régime permanent. La machine thermique fonctionne avec deux 
sources de chaleur
(thermostats) : l'air extérieur de température Text et l'eau de la piscine de 
température Teaù. '

> Le fonctionnement de la pompe à chaleur est basé sur le cycle d'un fluide 
caloporteur ayant une
température d'ébullition basse. Le fluide caloporteur, initialement sous forme 
d'un mélange liquide-vapeur au
point 1, traverse l'évaporateUr où l'air extérieur lui permet de subir une 
vaporisation complète (trajet 1-2). Le
compresseur comprime ensuite cette vapeur (trajet 2-3), augmentant ainsi sa 
température; on supposera
cette transformation isentropique. Au niveau du condenseur, la vapeur 
surchauffée voit d'abord sa
température descendre jusqu'à T.,.au en suivant une transformation isobare 
(trajet 3--4). Le fluide caloporteur,
toujours comprimé, redevient ensuite liquide (trajet 4--5). La soupape de 
détente réduit la pression du fluide
caloporteur (trajet 5--1), transformation au cours de laquelle la températuredu 
fluide s'abaisse fortement le
rendant prêt pour un nouveau cycle.

Source Source
chaude froide

Système

= fluide

Compresseur

Figure 1 * ' . | _ & Figure 2

1) Pour un point i (compris entre 1 et 5) du cycle, on note P,, T, et V; la 
pression, la température et le
volume du fluide caloporteur.

a. \ Calculer la variation d'entropie AS de la vapeur assimilée à un gaz 
parfait pour une

transformation isobare entre les températures T3 et T4. .

b. Le dessin de la figure 1 donne l'allure de la courbe d'équilibre 
liquide-vapeur du fluide
considéré dans le diagramme (T,S). On y a repéré le point 1 correspondant au 
début du
cycle. Reproduire le schéma Sur votre feuille et placer les points 2, 3, 4 et 
5. Pour chaque
trajet (sauf le trajet 5-1), justifier rapidement l'allure des courbes ainsi 
obtenues.

2) Reproduire le diagramme de la figure 2 et indiquer par des flèches les sens 
réels des flux
thermiques et du travail. indiquer dans quelles étapes du cycle ces flux ont 
lieu.

3) Quel est l'intérêt, pour une pompe à chaleur, d'utiliser un changement 
d'état ? Quel est l'intérêt
d'utiliser un fluide caloporteur de température d'ébullitlon basse ?

4) Donner la définition de l'efficacité thermodynamique 11 de la pompe a 
chaleur. Montrer que

l'efficacité réelle de toute pompe à chaleur est inférieure à l'efficacité

1

_n :_
° T
1-

ext

T

eau

obtenue dans le cas d'un fonctionnement réversible. On a ici n= 5

5) Les pertes de la piscine sont essentiellement dues à l'évaporation de l'eau 
dans l'air. Dans les
conditions précisées plus haut, le taux d'évaporation par heure et par mètre 
carré de surface d'eau
est de a = 150 g.h'1.m'2. En déduire l'énergie perdue pendant une heure par 
l'eau de la piscine. '

6) Quel doit être le travail que l'on doit fournir au fluide pour que la pompe 
à chaleur puisse maintenir
la température de la piscine constante pendant une heure ? Comparer ce travail 
à l'énergie qu'il
aurait fallu fournir si on chauffait l'eau de la piscine avec une simple 
résistance électrique.

II - Chauffage dela piscine avec des panneaux solaires

La question 1 est indépendante des autres questions.

Une pompe permet de faire circuler l'eau de la piscine à travers des panneaux 
solaires (simples
tuyaux noirs) placés sur le toit du bâtiment. L'énergie solaire réchauffe l'eau 
des panneaux qui retourne

ensuite dans la piscine.

Un montage électronique contrôle la mise en marche de la pompe. Le but de ce 
montage est
' d'actionner la pompe si l'ensoleillement est suffisant (éclairement supérieur 
à E...) et de le stopper lorsque
l'ensoleillement devient trop faible (éclairement inférieur à Ea).
Dans tous les montages les amplificateurs opérationnels sont supposés idéaux et 
on notera
+V5... = +15 V et --Vsat = --15 V, les tensions de saturation maximale et 
minimale.

Soit S' = 100 m2 la surface des panneaux-solaires.

1) Déterminer l'énergie reçue par l'eau de la piscine pendant une heure en 
supposant que
l'éclairement moyen reçu au niveau des panneaux solaires est de 300 W/m2 et que 
toute l'énergie
solaireyest absorbée. ' '

2) Pour contrôler l'ensoleillement, on utilise une photorésistance R(E), 
résistance dont la valeur
' dépend de l'éclairement E. Dans le tableau suivant, on donne les valeurs 
expérimentales de la
résistance en fonction de l'éclairement réel. Pour ne pas endommager la 
photorésistance, les
données expérimentales ont été obtenues en plaçant un verre teinté devant la 
photorésistance.
Les valeurs d'éclairement correspondent aux valeurs effectivement mesurées à la 
surface de la

terre.

Eclairement
E en W/m2

Résistance
R(E) en kQ

L'éclairement pour la mise en marche est E... = 230 W/m2 et l'éclairement 
correspondant à l'arrêt du
système est Ea = 117 W/m2. '
a. Soient EO = 307 W/mî l'éclairement maximum et R0 = 0,67 kfl la résistance 
correspondante.
Tracer sur la feuille de papier millimètré jointe ln(E/Eo) en fonction de 
ln(R/Ro).
On prendra l'échelle suivante : Axe des abscisses 1 cm<-->0,25 ; Axe des 
ordonnées

1 cm+-->0,5.

b. En déduire une forme approchée de l'expression de R(E) en fonction de E et 
donc les valeurs
' R... et Ra correspondant aux valeurs de la photorésistance pour E... et Ea.

0. On place cette photorésistance dans le montage de la figure 3. 61 est "un 
générateur de
tension idéal de f.e.m. constante e1. Soit V1 la tension de sortie de 
l'amplificateur opérationnel.
Donner la valeur de V1 en fonction de e1, R1 et R(E).

Figure 3

d. On ajoute ensuite le montage de la figure 4. G2 est un générateur de tension 
idéal de f.e.m.
constante ez. Expliquer le rôle de chaque montage à amplificateur opérationnel 
et exprimer V2
en fonction de e1, ez, R1 et R(E).

Faire l'application numérique avec R, = 1 kQ, e1 = ez =10 V et montrer que pour 
un
éclairement E..., V2 = 2 V et pour un éclairement Ea, V2 % -2 V.

Figure 4

...e. _ On ajoute enfin le montage de la figure 5. Quel est le nom de ce 
montage ? Expliquer le
fonctionnement de ce montage en traçant sur une courbe la valeur de la tension 
de sortie V3
en fonction de la tension d'entrée V2. On donnera l'expression des valeurs 
particulières de V2.

f. La pompe se met en marche si la tension V3 reçue sur le boîtier de commande 
est négative et
inférieure à -5V. Préciser comment choisir le rapport R3/R2 pour que la pompe 
s'allume pour

une luminosité E... et s'éteigne lorsque la luminosité est Ea.

g. Le système fonctionne normalement le jour mais se met accidentellement en 
marche la nuit
car la photorésistance se trouve proche d'un éclairage à tubes néons 
(éclairement Ep et
fréquence 100 Hz). Proposer une modification du montage pour remédier à ce 
problème.

III - Produdion de vagues

Pour créer des vagues dans la piscine, on fait effectuer des oscillations 
verticales à une grosse masse
M immergée, située sur un coté du bassin. La perturbation engendrée se traduit 
par des vagues à l'intérieur

dela piscine.

On considère une masse M homogène de masse volumique p et de volume V, plongée 
dans l'eau
(masse volumique peau). Cette masse est suspendue à un ressort de raideur k et 
de longueur à vide 10,

accroché en un point A (voir figure 6).
' Soit (Oz) un axe vertical orienté vers le bas, le point A est fixe à la cote 
zA = 0. On s'intéresse au

mouvement suivant (Oz) de la masse et on note 2 la cote du centre de gravité G 
de la masse. A l'équilibre la

masse est située en z = h. On négligera la hauteur de la masse M devant h.
Soit R le référentiel terrestre supposé galiiéen. '

M -----z

Figure 6

1) Ecrire la condition d'équilibre de la masse M dans R.

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

En déduire l'équation différentielle du mouvement de l'oscillation de M. On 
écrira une équation
reliant z et ses dérivées, M, k et h. Donner la pulsation propre wo de cet 
oscillateur. On négligera
les frottements dansÏcette question. '

Commenter le fait que wo ne dépende pas de l'intensité de la poussée 
d'Archimède. Y a-t-il un

terme de l'équation différentielle précédente qui en dépende ?

On tient compte d'une force de frottement visqueux, colinéaire à la vitesse et 
d'intensité
F =--0t\7 (identique dans tous les référentiels) de l'eau sur la masse M. 
Donner la nouvelle

équation différentielle vérifiée par 2. En se plaçant dans le cas d'un 
amortisSement faible, donner
sans calcul l'allure de la fonction z(t) avec les conditions initiales 
suivantes : à t = 0, z = h1 > h et la

vitesse initiale est nulle.

A l'aide d'un piston, on impose à l'extrémité A du ressort, un mouvement 
vertical sinusoïdal

' d'amplitude 2... (voir figUre 7) ; donc zA(t) = zA...cos(wt). Ecrire dans le 
référentiel R ' , lié à A,

l'équation différentielle vérifiée par z' cote de G dans R '

0 .
A ,
_. 'ZA_
M -- -z
Figure 7

Calculer l'amplitude des oscillations de la masse M dans R ' . On utilisera la 
notation complexe

- _ (D
et on fera apparaitre les constantes wo, 1:=------ et la variable X =--------.

oc 000
Dans ce dispositif, l'intérêt du ressort est de permettre d'obtenir des 
oscillations de la masse
d'amplitude supérieure à celle de l'excitation. Chercher un intervalle de 
pulsations pour lequel
cette condition est vérifiée. Vous montrerez que cet intervalle existe si la 
masse M est supérieure
à une certaine valeur que vous préciserez.

Si la condition précédente est vérifiée, pour quelle pulsation l'amplitude 
d'oscillation de la masse M

est-elie maximale ?

FIN DE L'EPREUVE