CONCOURS COMMUN 2008
DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES
Epreuve de Mathematiques
(toutes filieres)
Lundi 19 mai 2008 de 14H00 a 18H00
Instructions generales :
Les candidats doivent verifier que le sujet comprend 4 pages numerotees 1/4,
2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invites a porter une attention particuliere a la redaction :
les copies illisibles
ou mal presentees seront penalisees.
Les candidats colleront sur leur premiere feuille de composition l'etiquette a
code a barres
correspondant a l'epreuve commune de Mathematiques.
L'emploi d'une calculatrice est interdit
Remarque importante :
Si au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur
d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en
expliquant les raisons des initiatives
qu'il a ete amene a prendre.
PREMIER PROBLEME
Dans tout ce probleme, n designe un entier non nul, a et b sont deux nombres
reels.
La notation Rn [X] designe le R-espace vectoriel des polynomes a coefficients
dans R et ayant
un degre inferieur ou egal a n.
Pour tout P Rn [X], on pose :
n (P ) = (X - a)(X - b)P - n X -
a + b
P
2
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Partie A : Etude de 1
Dans toute cette partie, on suppose que n = 1. On pose donc :
P R1 [X] , 1 (P ) = (X - a)(X - b)P - X -
a + b
P
2
1. Demontrer que 1 est un endomorphisme de R1 [X].
2. Soit B1 = (1, X) la base canonique de R1 [X]. Determiner M1 = MatB1 (1 ).
3. Determiner une condition necessaire et suffisante sur a et b pour que 1 soit
bijective.
4. On suppose, dans cette question seulement, que a 6= b.
(a). Demontrer que la famille B = {X - a, X - b} est une base de R1 [X].
(b). Calculer 1 (X - a) et 1 (X - b) puis deduire M = MatB (1 ).
(c). Determiner la matrice de passage de la base B a la base B1 , notee PB,B1 .
Determiner
de meme la matrice de passage de la base B1 a la base B, notee PB1 ,B .
(d). Donner, sans demonstration, une egalite reliant les matrices M , M1 ,
PB,B1 et PB1 ,B .
(e). Soit p N. Calculer M p puis en deduire, grace a la question 4.(d), une
expression de
M1p (on donnera l'expression de chacun des coefficients de cette matrice).
5. On s'interesse dans cette question a l'ensemble = {I2 + M1 + M12 + M13 , (,
, , ) R4 }.
(a). Demontrer que est un sous-espace vectoriel de M2 (R).
(b). Prouver que les matrices M12 et M13 sont des combinaisons lineaires de M1
et I2 .
(c). Determiner une base de .
6. On suppose dans cette question que a = 4 et b = 2. En utilisant les
resultats de la question
5.(b), determiner l'application 21 . En deduire la nature de 1 et preciser ses
elements
caracteristiques (on donnera une base de chacun des deux espaces vectoriels
concernes).
Partie B : Quelques generalites sur n
7. Demontrer que n est un endomorphisme de Rn [X].
8. On se propose dans cette question de determiner Ker(n ).
On pose = max(a, b) et on considere l'intervalle I =], +[.
2x - (a + b)
(a). Demontrer que la fonction f : x 7- 2
est continue sur I.
x - (a + b)x + ab
(b). Determiner une primitive F de la fonction f sur I.
(c). Resoudre sur l'intervalle I l'equation differentielle (E) :
nx - n a+b
2
y=0
y -
(x - a)(x - b)
(d). On suppose que n est pair et on ecrit n = 2p avec p N . Deduire de la
question 8.(c)
une base de l'espace vectoriel Ker(2p ).
(e). On suppose maintenant que n est impair et on ecrit n = 2p + 1 avec p N.
Deduire de
la question 8.(c) une base de l'espace vectoriel Ker(2p+1 ) (On pourra discuter
suivant
les valeurs de a et b).
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Partie C : Intersections de courbes dans le cas ou n = 2
Dans toute cette partie, on suppose que n = 2, a = b et a > 1.
-
-
-
-
On munit le plan d'un repere orthonormal R = (O, i , j ) avec k i k=k j k= 1 cm.
9. Calculer 2 (1), 2 (X) et 2 (X 2 ). Dans toute la suite, on designe par f et
g les fonctions
polynomiales associees respectivement aux polynomes 2 (1) et 2 (X 2 ). On note
Cf et Cg
les courbes representatives de ces deux fonctions.
10. (a). Montrer que les courbes Cf et Cg admettent exactement deux points
d'intersection :
les points Aa et Ba dont les coordonnees cartesiennes dans R sont respectivement
Aa (a, 0) et Ba a1 , - a2 + 2a .
(b). Demontrer que, lorsque a varie dans ]1, +[, tous les points Ba
appartiennent a un
meme ensemble E (independant de a) dont on precisera une equation cartesienne.
(c). Montrer que l'ensemble E est une conique dont on precisera (en le
justifiant) la nature
(aucune autre information n'est demandee sur E).
(d). Apres une rapide etude, tracer l'allure de la courbe E dans R.
SECOND PROBLEME
On considere dans tout ce probleme les deux fonctions F et G definies sur R+
par :
F (x) =
sin(x)
x
G(x) =
1 - cos(x)
x
Partie A : Etudes de deux fonctions
1. (a). Montrer que les fonctions F et G sont continues sur R+ .
(b). Montrer que F et G sont prolongeables par continuite en 0. On notera
encore F et G
ces prolongements.
2. (a). Montrer que les fonctions F et G sont derivables sur R+ et calculer
leurs derivees.
(b). Demontrer, a l'aide de developpements limites, que les fonctions F et G
sont derivables
en 0. Preciser les valeurs de F (0) et G (0).
3. (a). Montrer que les reels strictement positifs tels que F (x) = 0
constituent une suite
(ak )k1 strictement croissante. On donnera explicitement la valeur de ak .
(b). Montrer que les reels strictement positifs tels que G(x) = 0 constituent
une suite
(bk )k1 strictement croissante. Y-a-t'il un lien entre les suites (ak )k1 et
(bk )k1 ?
4. (a). Soit k N . Montrer sans calcul qu'il existe un reel xk ]ak , ak+1 [
tel que F (xk ) = 0.
(b). Montrer que la fonction F est de meme signe que h : x 7 x cos(x) - sin(x)
sur R+ .
(c). Demontrer que pour tout k N , la fonction h est strictement monotone sur
[ak , ak+1 ].
(d). En deduire l'unicite du reel xk defini dans la question 4.(a).
(e). Etablir que : k N , xk ]ak , ak + 2 [.
(f). Calculer lim xk puis determiner un equivalent simple de la suite (xk ).
k+
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5. Tracer l'allure de la courbe representative CF de la fonction F lorsque
l'abscisse x varie
-
-
-
dans [0, 4]. On se placera dans un repere orthogonal (O, i , j ) tel que k i k=
1cm et
-
k j k= 10 cm. On fera apparaitre clairement les tangentes horizontales a la
courbe et on
-
precisera les abscisses des points d'intersection de CF avec l'axe (O, i ).
Partie B : Deux fonctions definies par des integrales
Dans toute cette partie, E designe l'ensemble des fonctions de classe C 1 sur
[0, 1]. Si f appartient
a E, on pose, pour tout x R :
Z 1
Z 1
If (x) =
f (t) cos(xt)dt
Jf (x) =
f (t) sin(xt)dt
0
0
Soit f une fonction appartenant a E.
6. Soit x R. Justifier que les deux reels If (x) et Jf (x) sont bien definis.
On dispose donc de deux fonctions If et Jf definies sur R.
7. Determiner la parite des fonctions If et Jf .
8. On se propose de calculer dans cette question les limites de If et Jf en +
et en -.
Z
1 1
f (1)eix - f (0)
f (t)eixt dt.
-
(a). Etablir que : x > 0 , If (x) + iJf (x) =
ix
ix 0
(b). Expliquer rapidement pourquoi les fonctions f et f sont bornees sur [0, 1].
On posera par la suite M = sup |f (x)| et M = sup f (x) .
x[0,1]
x[0,1]
(c). En deduire qu'il existe A R+ tel que x > 0 , |If (x) + iJf (x)|
(d). A l'aide de la question 8.(c), calculer lim If (x) + iJf (x) .
A
.
x
x+
En deduire lim If (x) et lim Jf (x).
x+
x+
(e). En utilisant une propriete obtenue sur les fonctions If et Jf , calculer
lim If (x) et
x-
lim Jf (x).
x-
9. L'objectif de cette question est de prouver que les fonctions If et Jf sont
continues sur R.
p-q
et
sin
.
(a). Soient p et q deux reels. Rappeler la formule liant cos(p)-cos(q) a sin p+q
2
2
(b). Demontrer que : u R , |sin(u)| |u| (on pourra par exemple utiliser
l'inegalite des
accroissements finis).
Z 1
t|f (t)|dt.
(c). Soient x et y deux reels. Etablir que : |If (x) - If (y)| |x - y|
0
(d). En deduire que la fonction If est continue sur R.
Par un raisonnement analogue, on pourrait demontrer que la fonction Jf est
continue
sur R mais ce n'est pas demande ici.
10. A l'aide d'une fonction f judicieusement choisie, etablir un lien entre les
fonctions F et G
de la partie A, et les fonctions If et Jf de la partie B.
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