Mines Maths toutes filières 2007

Thème de l'épreuve Études de fonctions. Quelques exemples en algèbre et géométrie.
Principaux outils utilisés études de fonctions, courbes paramétrées, intégration, équations différentielles, géométrie, algèbre linéaire élémentaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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CONCOURS COMMUN 2007
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques
(toutes filières)

Jeudi 10 mai 2007 de 14h00 à 18h00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 
2/4, 3/4, 4/4.

\

Les candidats sont invités a porter une attention particulière a la rédaction : 
les copies illisibles ou mal
présentées seront pénalisées.

Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette a 
code à barres correspondant à
l'épreuve commune de Mathématiques.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

PREMIER PROBLÈME

Pour tout t E Rï on définit :

f(f) = exp (EUR) etg = @.

î

\ Partie A -- Généralités \

Prouver que f et g sont C°° sur R3; et que pour tout t E R* , tf' (t) : g(t).
Montrer que g est prolongeable par continuité en O et que le prolongement 
(encore noté g) est dérivable en 0.

Faire un tableau de variations de g sur R+, en faire un graphe sachant que e_1 
: 0,36 à 10_2 près.

PPP!"

Soit H la primitive sur R3; de ! l--> g(1/t), s'annulant en 1 :

4.a. Calculer H.

4.b. En former un développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 1.
5. Soit n 2 3 un entier naturel. On introduit l'équation (En) : f (t) = t / n, 
d'inconnue ! EUR Rï.

5.a. En utilisant la question 3, montrer que (E,) a une unique solution dans 
]0, 1[, que l'on notera an. On montrerait
identiquement (mais ce n'est pas à faire) que (En) admet une unique solution 
dans ]1, +oo[, que l'on notera Bn.
5.b. Montrer que les suites (an),,23 et (B")n23 sont monotones.

5.c. Est--il possible que l'une des deux suites converge vers une limite 1 > O 
? En déduire leurs limites.

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Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Page 1/4

Partie B -- Étude d'une courbe paramétrée

On étudie ici, dans un repère orthonormal d'origine 0, la courbe paramétrée 
définie sur K; par le point M (t) de coor--

ex --1
données X(î)=f'(t)= p(t2 /t)

t
6. Déterminer les valeurs de t pour lesquelles M (t) se situe sur la première 
bissectrice du plan d'équation cartésienne

y = x.
7. Étudier la limite de la pente de la droite (OM (t)) lorsque t tend vers 0+ 
et +00.

y =g = eXp<"1/')

8. En utilisant la question 3, faire un tableau de variation de x et y sur R3; 
avec limites aux bornes 0+ et +00.

9. En utilisant les deux questions précédentes, tracer la courbe en repérant 
les tangentes verticales ou horizontales, on
pourra utiliser que 4e_2 : O, 54 a 10_2 près.

| Partie C -- Fonctions définies par des intégrales

On prolonge maintenant f a R+ en posant f (0) = O.

10. Montrer que l'application f ainsi prolongée est de classe C1 sur R+ ; 
préciser ]" (O) et montrer que l'égalité de la
question 1 reste valable pour t = O.

11. Soit x E R* , on note:
F®=/f®fifiw=/gwü
() ()

11.a. Justifier l'existence de ces intégrales que l 'on ne cherchera surtout 
pas à calculer puis montrer que
_ l
F(x) =xe X --G(x).

11.b. En séparant l'intégrale G(x) en deux, montrer qu'il existe une constante 
C réelle telle que pour tout x 2 l,
0 £ G(x) £ C+ln(x).

11.c. En déduire que G(x) est négligeable devant x au voisinage de +00 ainsi 
qu'un équivalent de F (x) au voisinage
de +00.

12. Résoudre sur R3; l'équation différentielle (E) : x2y' + y = x2, 
l'expression générale de la solution fera apparaitre la
fonction F .

Partie D -- Étude qualitative d'une équation différentielle

On considère maintenant une application y solution de (E) : x2y' + y = x2 cette 
fois sur R+, de classe C°° sur R+. Nous
allons, sans aucun calcul explicite de y, déterminer entièrement la suite des 
un : y(") (0) a partir de l'équation (E).

13. Que vaut u0 : y(O) ?
14. En dérivant (E), calculer u1 : y' (0) et u2 : y" (0).
15. Peut--on avoir y de la forme : x l--> 06962 + Bx+ }! avec (oc, B, 7!) E R3 ?

16. Soit n un entier naturel.

16.a. On suppose ici n 2 3. Prouver a l'aide de la formule de Leibniz que pour 
tout x E R+ :
X2r("+1) (X) + (1 + 2nX)r(") (X) + "(n -- 1)r("_1) (X) = 0-

En déduire une relation de récurrence entre un et un_1.

16.b. Donner une expression de un utilisant une factorielle, valable pour tout 
n 2 2; en déduire les développements
limités (dont on justifiera l'existence) de y atout ordre au voisinage de O.

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DEUXIÈME PROBLÈME

Dans tout ce problème, on se place dans l'espace usuel dont on notera (? 
l'ensemble des points, E l'ensemble des vecteurs
% % % % _ , ,
et O le vecteur nul. (? est muni d'un repère orthonormal direct % = (0, i , j , 
k ), toutes les équations de l'énoncé seront
--> % % % -->
relatives aux éléments de ce repère. Si M EUR (EUR et OM : x i + y j +z k on 
pourra noter M : (x,y,z) et OM : (x,y,z).

On considère les ensembles P et Q d'équations cartésiennes :

P:x+z=0,Q:x+y+z--3=O.

Partie A -- Étude d'un mouvement dans l'espace

Pour toutt E R, on introduit le point N (t) de (? caractérisé dans % par les 
coordonnées { b

Prouver que N (t) appartient au plan P.

Donner une équation paramétrique de la droite D intersection de P et Q. Est--il 
possible que N (t) E D ?

Calculer a2(t) + b2(t) + c2 (t). En déduire que N (t) appartient a un cercle de 
P dont on précisera le centre et le rayon.
Calculer la distance de N (t) a la droite D puis au plan Q, on pourra vérifier 
que leur rapport est constant.

Prouver que pour tout t E R : exp(it) + exp(i(t + 27r/3)) + exp(i(t -- 27t/3)) 
: 0.

En déduire l'isobarycentre des points N (t),N (! + 27ï/3),N(t -- 27t / 3).

.°S"PS"Pt"

| Partie B -- Construction d'un polynôme |

s(t) : a(t) + b(t) + c(t)
On fixe maintenant ! E R et on note d(t) : a(t)b(t) + a(t)c(t) + b(t)c(t)
@ )

W) = (!)b(t CO)

7. Simplifier s(t).
8. Linéariser le produit de fonctions trigonométriques p(t).
9. Calculer d (t) de deux manières différentes -- on pourra utiliser un 
résultat de la question 3.
10. On considère maintenant le polynôme R(X ) = (X -- a(t)) (X -- b(t))(X -- 
c(t)), dont les racines sont donc a(t) , b(t) et
c(t) :
10.a. Dans cette question seulement ! : 7t / 2. Montrer sans calculer R(X ) ni 
R' (X) que R' (O) = O.

10.b. Exprimer maintenant R(X ) en fonction de s(t), d(t), p(t), puis en 
fonction des résultats des questions
précédentes.

| Partie C -- Endomorphismes à noyau imposé |

11. Montrer que P définit un plan vectoriel de E .

12. Est--ce le cas pour Q ? Préciser, sans preuve, la structure algébrique de Q.

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13. On introduit les vecteurs :

?- (?_î)7'--7î'--L(î+î)
--.> --.> --> , .
Montrer que ( z ' , ] ' ) est une base orthonormale de P et que k ' en est un 
vecteur normal. En dedurre que

%
B' = ( i ' , j ' , k') est une base orthonormale de l'espace.

, . % _> . . % _> . % ,
14. On des1gne par a . b le produit scalaire de deux vecteurs a et b . Sort @ E 
E. Prouver, autrement que par << c est
du cours >>, que ses coordonnées dans la base B' sont données par :

15. On considère ici une application linéaire u : E --> E telle que P C ker(u).

%
15.a. Prouver qu'il existe ? E E tel que u(Î) : (?. k ')Î pour tout ? E E.

15.b. Réciproquement, montrer qu'une application u donnée par la formule 
précédente est un endomorphisme de E
tel que P C ker(u).

. . , . --> , .
15.c. Donner une condition necessaire et suffisante sur z pour que P : ker(u). 
Donner dans ce cas le rang et l image
de u.

Partie D -- Matrices de projecteur |

On note ici p : E --> E le projecteur orthogonal sur le plan P, B la base (Y, ?
àla question 13. On introduit les matrices :

--> --> _ _
, k ) et B' = ( ' , k') la base introduite

100 100
M'=OlO,I=OIO
000 001

16. Justifier très rapidement que M' est la matrice de p dans la base B' .

17. Donner la matrice de passage P de la base B a la base B' ainsi que son 
inverse -- on détaillera le raisonnement pour
cette dernière.

18. Soit M la matrice de p dans la base B :

18.3. Justifier sans calcul que M 2 = M.
18.b. En déduire que pour tout n E N,
(M+I)" : 1+ (2" -- l)M.

18.c. Exprimer M en fonction de P, P_1 et M' . Ensuite, calculer explicitement 
M.

19. On peut traiter cette partie sans avoir trouvé explicitement M. On 
introduit l'ensemble %! des matrices du type
Ma,b : aM+ bl, où a et b sont réels :

19.a. Montrer que l'ensemble %! muni des lois usuelles sur les matrices a une 
structure de R--espace vectoriel dont
on donnera une base et la dimension.

19.b. Les réels et et 19 étant donnés, exprimer Ma,b en fonction de P, P_1 ,] 
et M' . En déduire une forme factorisée du
déterminant de Ma,b ainsi qu'une condition nécessaire et suffisante pour 
qu'elle soit inversible.

19.c. Déterminer les réels @ et f tels que Ma,b >< Mad : Me,f--

19.d. Lorsque Ma,b est inversible, exprimer son inverse sous la forme d'un 
élément de %! .

FIN DE L'ÉPREUVE

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Mines Maths toutes filières 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Perrier (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Denis
Conduché (ENS Ulm) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE).

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants.
Le premier problème, composé de quatre parties, porte surtout sur le programme
d'analyse.
· La partie A étudie les fonctions f : t 7 exp(-1/t) et g : t 7 exp(-1/t)/t,
en particulier leur régularité et leurs variations. On calcule une primitive de
t 7 g(1/t) avant de déterminer le comportement asymptotique des solutions
de l'équation f (t) = t/n.
· La partie B propose l'étude d'une courbe paramétrée, dont f  est la première
composante et g la seconde.
· Dans la partie C, on étudie les primitives F et G de f et g qui s'annulent en 
0 :
on détermine leur comportement asymptotique, puis on utilise F pour résoudre
une équation différentielle.
· Dans la partie D, on détermine le développement limité en 0 à tout ordre d'une
solution particulière de l'équation différentielle résolue à la fin de la 
partie C.
On peut regretter que beaucoup de questions de ce problème n'aient aucun but
autre que calculatoire. Ce problème demeure cependant un bon entraînement, 
puisqu'il fait appel à toutes les notions d'analyse au programme de première 
année.
Le deuxième problème est, lui aussi, composé de quatre parties.
· La partie A propose d'étudier un mouvement dans l'espace, essentiellement
à l'aide d'outils de géométrie analytique. Cette partie peut être traitée très
rapidement si l'on est à l'aise avec les formules de géométrie élémentaire en
dimension 3.
· Dans la partie B, on construit un polynôme à l'aide de ses fonctions 
symétriques.
Cette partie utilise surtout des formules trigonométriques.
· Dans la partie C, on construit les endomorphismes ayant pour noyaux un
plan P donné.
· Enfin dans la partie D, on étudie une matrice de projection M, puis on calcule
(M + I)n pour terminer par la structure algébrique de l'ensemble des matrices
de la forme aM + bI.
L'ensemble de ce sujet fait intervenir quelques « bêtes noires » des étudiants 
: géométrie, équations différentielles, et formules trigonométriques. Les 
questions concernées ne demandent pas toutefois une grande maîtrise de ces 
notions ; il semble donc
judicieux de consacrer un peu de temps à leur apprentissage pour faire la 
différence
aux concours.

Indications
Premier problème
2 Poser u = 1/t afin de se ramener à des croissances comparées en +.
4.a Effectuer une intégration par parties.
4.b Procéder à un développement limité de t 7 exp(-t) en 1, puis multiplier les
développements limités.
5.a Remarquer que la résolution de (En ) est équivalente à celle de l'équation
g(t) = 1/n
puis utiliser l'étude de g effectuée à la question 3.
5.b Utiliser la monotonie de la suite (1/n)nN , puis la monotonie de la 
fonction g.
5.c Montrer que (n )nN converge, puis que (n )nN diverge vers +.
11.a Procéder à une intégration par parties.
11.b Se servir de la relation de Chasles en 1. Dans l'une des deux intégrales, 
majorer g
par t 7 1/t.
11.c Utiliser la réponse de la question 11.a.
15 À l'aide des questions 13 et 14, appliquer la formule de Taylor en 0 pour 
obtenir
, , , puis tester le polynôme obtenu.
16.b Évaluer les premiers termes de (un )nN , sans effectuer les calculs, afin 
de conjecturer une formule pour un . Démontrer ensuite celle-ci par récurrence.
Deuxième problème
5 Factoriser l'expression par e it , puis s'aider du fait que 1, e 2i/3 e -2i/3 
sont
les racines troisièmes de l'unité.
6 Prendre la partie imaginaire et la partie réelle de l'égalité qui figure dans 
la
question 5.
9 Pour l'une des méthodes, utiliser l'identité remarquable (a + b + c)2 .
10.a Montrer que 0 est racine double de R.

-

-

-
-
14 Prouver d'abord qu'il existe i , j et k tels que 
e = i i + j j  + k k  ,
 -
-

-
puis effectuer le produit scalaire par i , j  et k  .
15.c S'aider de la réponse à la question 15.a pour déterminer le rang de u, puis
appliquer le théorème du rang.
17 Pour calculer P-1 , utiliser le fait que le changement de base entre B et B 
est
un changement de base orthonormale.
18.b Démontrer le résultat par récurrence.
19.b Pour factoriser aM + bI, écrire I sous la forme P-1 P.
19.d S'aider de la réponse de la question 19.c.

Premier problème

A.

Généralités

1 La fonction t 7 1/t est C  sur R+ , et la fonction exponentielle est C  sur R.
On en déduit que
f est C  sur R+ en tant que composée de fonctions C  .
De même,

g est C  sur R+ en tant que produit de fonctions C  .

En appliquant la règle de dérivation des fonctions composées, on obtient

1
g(t)
1

t  R+
f (t) = 2 exp -
=
t
t
t
t  R+

soit

tf  (t) = g(t)

2 Posons u = 1/t. Lorsque t tend vers 0+ , u tend vers +. Chercher une limite à 
g
en 0+ revient donc à chercher une limite à u 7 u exp(-u) lorsque u tend vers +.
Par croissance comparée, nous savons que u 7 u exp(-u) admet une limite nulle
en +. Finalement,
lim g(t) = 0

t0+

c'est-à-dire que
La fonction g est prolongeable par continuité en 0 avec g(0) = 0.
Afin d'étudier la dérivabilité de g en 0, formons son taux de variation en 0

1
exp -
g(t) - g(0)
t
=
t-0
t2
Procédons de même que pour la continuité de g en 0. Posons u = 1/t ; la 
dérivabilité
de g en 0 se ramène ainsi à la recherche d'une limite de u 7 u2 exp(-u) en +.
Par croissance comparée, cette limite est nulle, d'où
La fonction g est dérivable en 0, avec g  (0) = 0.
3 La fonction g est C 1 sur R+ , et sa dérivée, pour tout t  R+ , est égale à

1
1
1
exp -
- exp -
t
t
t
g  (t) =
t2

1
1-t
= 3 exp -
t
t

Dans l'expression de g  (t), t3 est positif sur R+ , de même que exp (-1/t).
La fonction g  est donc du même signe que 1 - t, qui est strictement positif 
sur ] 0 ; 1 [,
et strictement négatif sur ] 1 ; + [. Pour terminer l'étude de g, il reste à 
étudier sa
limite en +. La fonction t 7 1/t tend vers 0 en +, alors que t 7 exp (1/t)
tend vers 1 en +. Ainsi, g admet 0 pour limite en +. Il en découle le tableau de
variations suivant pour g :
t
g

0
0

g

1
0
1/e

+

+

-

0

0

L'étude précédente de g permet de proposer le tracé suivant :

0, 4
1/e  0, 36
0, 3

0, 2

0, 1

0
1

0

4

3

2

5

La fonction g est équivalente à t 7 1/t en +, donc la décroissance en +
est assez lente.
4.a Étant donnée la définition de g,
Z t  
Z t
1
H(t) =
g
dx =
x exp(-x) dx
x
1
1
Afin de calculer H, effectuons une intégration par parties. Posons

Ce qui donne

u(x) = x

d'où

u (x) = 1

v  (x) = exp(-x)

on choisit

v(x) = - exp(-x)

H(t) = [-x exp(-x)]t1 +

Z

t

exp(-x) dx

1

1
t
+ [- exp(-x)]1
e
1
1
= -t exp(-t) + - exp(-t) +
e
e
= -t exp(-t) +

H(t) =

2
- (t + 1) exp(-t)
e