CONCOURS COMMUN 2004
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES
Epreuve de Mathématiques
(toutes filières)
Mardi 18 mai 2004 de 14h00 à 18h00
Instructions générales :
Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4,
2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière a la rédaction :
les copies illisibles ou
mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette a
code à barres corres--
pondante.
L'emploi d'une calculatrice est interdit
ANALYSE
PREMIERE PARTIE
Soit (E) l'équation différentielle : (1 -- x)2 y' = (2 -- x) y .
On note 1 l'intervalle ] - oo, 1[.
. . . . . 2--
1. Calculer une pr1m1twe A de la foncüon a défime sur I par : a(x) = x .
(1 -- X)2
2. Intégrer (E) sur I.
1
Soit f la fonction définie sur I par : f(x) = 1 1 e 1" .
-- x
3. Calculer le développement limité de f au voisinage de 0 à l'ordre 3.
DEUXIEME PARTIE
4. Prouver par récurrence que, pour tout entier naturel 11, il existe un
polynôme Pn tel que :
1
1 __
f(") (x) = P,,(1 )e 1" pour tout réel x appartenant à I.
-- x
La démonstration permet d'exprimer Pn+1 (X) en fonction de Pn (X), P',1 (X) et
X . Expliciter
cette relation.
5. Préciser PO , P1 , P2 et P3.
6. En dérivant n fois les deux membres de l'équation (E), prouver que pour tout
entier positif n :
Pn+1(X) = [<2n+1)X + X2] Pn (X) -- n2 X2 P...(X) TROISIEME PARTIE Le but de cette partie est d'établir quelques propriétés des nombres an = fin) (0). 7. Pour tout entier positif n, exprimer an+1 en fonction de n, an et 311--1-- 8. a) Préciser, sans nouveau calcul : ao , a1 , a2 , a3. En déduire a4. b) Préciser le développement limité de f au voisinage de 0 à l'ordre 4. p 1 9. On désigne par (up) la suite définie pour tout entier naturel p par : u p = ; . i=0 - En appliquant une formule de Taylor à la fonction exponentielle, prouver que la suite (up) converge vers e. p et n désignant des entiers naturels quelconques, on pose : p (n + 1)! .=0 (i 02 Sp(n)= 10. a) Exprimer Sp(O) et Sp(l) à l'aide de up et up_1 pour p 2 1. b) Prouver que les suites p ----) Sp(0) et p --> Sp(l) convergent et préciser
leur limite en fonction
de e.
11. Prouver que quels que soient les entiers p et n supérieurs ou égaux à l :
Sp(n+l) --(2n+2) Sp(n) +n2 Sp(n-l) = Sp_1(n) -- Sp(n)
12. En déduire que pour tout entier naturel 11, la suite p ----> Sp(n) converge.
p ' ! , p n +i
13. Prouver que : an = lim 2 (n +1) : 11m n!Z ( )--1--
i=0 "
,...... @ (i!)2 p-->+oe 'i!
FIN DU PROBLEME D'ANALYSE ,
ALGEBRE ET GEOMETRIE
PREMIERE PARTIE
1 0 O 0 1 0
Soient I et ] les matrices définies par : 1 = O 1 O et J = 0 O 1 .
0 0 1 1 0 0
--> ----> --> -->
E désigne l'espace vectoriel usuel orienté muni d'une base orthonormée directe
B = ( i , j , k ) .
_,
Soit : f l'endomorphisme de E défini par sa matrice J relativement à la base B
et
--> 1 --> --> -->
u=-- i+ '+k
3( ] )
f
_)
1. Calculer f ( u ) et prouver que le plan Q d'équation : x + y + z = 0 est
stable par f (c'est-à-dire
que l'image par f de tout vecteur de Q appartient à Q).
-->-->1-->-->-->
2. Onpose v =i+î(--j--k) et w=ûA17..
a) Vérifier que (i7 , îv) est une base du plan Q.
----> --> --> ---->
b) (u , v , w )est--elle une base orthonormée directe de E ?
c) Trouver un réelâ tel que : f (3) = cos(6) iî + sin(9) îv et f (W) = --sin(H)
17 + cos(â) VT».
d) Que pensez vous de la nature géométrique de la restriction de f à Q '?
DEUXIEME PARTIE
x
--> --> --> --> --> ---->
Pour tout vecteur t = x i + y j+ z k , on note [t] = y la matrice de t
relativement à la base B.
Z
--> ----> -->
On définit ainsi les matrices colonnes à coefficients complexes Xl =«/ä . [u] ,
X2 = [v] +i [w] et
----> -->
X3 = [v] -i [w] et on désigne par P la matrice carrée d'ordre 3 : P = [X1 X2 X3]
3.
a) Exprimer les coefficients non réels de P en fonction de j et j 2.
217:
(On rappelle que j désigne le nombre complexe e 3 ).
b) Soit ? la matrice dont les coefficients sont les conjugués de ceux de P.
Exprimer le produit
P.P en fonction de la matrice l.
4.
a) Pouri & {l, 2 ,3 }, calculer JXi en fonction de Xi .
b) En déduire une matrice diagonale A telle que : PA = JP.
5.
a) Prouver que l'ensemble C(J) = { M EUR M3(C) / M] = JM } des matrices M qui
commutent
avec J est le sous-espace vectoriel de M3(C) engendré par I, J et J2.
b) Donner une base et la dimension de C(J).
6. a, b etc désignant des nombres complexes quelconques, on note : M(a, b, c) =
al + bJ + 0 V.
a) Calculer la matrice D (a, b, c) = P"1 M(a, b, c) P, en utilisant le résultat
de la question 4.b).
b) Calculer de façon indépendante les déterminants de M(a, b, c) et D (a, b, c).
c) En déduire que l'expression : a3 + b3 + c3 ---- 3abc, est le produit de
trois expressions de la forme
oca +Bb + yc où a, B et y représentent des nombres complexes à préciser.
(1) On suppose que a, b, 0 sont distincts et on considère ces nombres comme les
affixes respectives
des sommets A, B, C d'un triangle (T) dans un plan complexe d'origine O.
Prouver que la matrice M(a, b, c) est singulière (autrement dit : non
inversible ) si et seulement si
(T) est équilatéral ou si O est son centre de gravité.
TROISIEME PARTIE
On reprend les notations de la question précédente et on construit par
récurrence une suite(Tn ) de
triangles de sommets An , B11 et CD en posant :
.) (To) = (T). '
.) % désignant un nombre réel, pour tout entier naturel n, (Tn+1) est le
triangle dont les sommets
An+1, Bn+1 et Cn+1 sont tels que :
An+1 est le barycentre des points pondérés (BH, k ) et (CH, l--7c ),
Bn+l est le barycentre des points pondérés (CH, À ) et (An, l-X ),
Cn+1 est le barycentre des points pondérés (An, ?» ) et (BH, l-7y ).
On note : an, bn et on les affixes respectives des sommets An , BD et C11
Y,,= b et Zn=P'1.Yn
7. Prouver que pour tout entier n : Zn+1 = D( 0, À , l-7v ). Zn.
8. Expliciter les coefficients de la matrice (D ( 0, À , l-À ))".
9.
a) On admet qu'une suite géométrique non nulle de raison complexe q converge si
et seulement si
q = l ou| q| < 1. Prouver que la suite définie pour tout entier n par (À j + (1 -- xl) j 2 ).. converge si et seulement si  appartient à un intervalle à préciser. b) Prouver que si cette condition est réalisée, les suites (an) , (bn) et (cn) convergent. 10. a) Exprimer an+1 + bn+1 + cn+1 en fonction de an + bn + cn. b) Prouver que les suites (an) , (bn) et (en) ont même limite. c) Exprimer cette limite en fonction de a , b et c. FIN DU PROBLEME D'ALGEBRE ET GEOMETRIE - FIN DU SUJET
