Mines Maths toutes filières 2003

Thème de l'épreuve Étude de la fonction t↦ et1+t2 et de l'une de ses primitives. Étude de l'opérateur dérivation dans l'espace des fonctions réelles indéfiniment dérivables.
Principaux outils utilisés équations différentielles, étude de fonctions, primitives, systèmes d'équations linéaires, développements limités, dérivation
Mots clefs opérateur de dérivation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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CONCOURS COMMUN 2003 _
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques

(toutes filières)

Mecredi 21 mai 2003 de 14h00 à 18h00

Instruction générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées l/4, 2 
/ 4, 3 / 4, 4/4.

Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : 
les copies illisibles ou mal présentées seront
pénalisées.

Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette 
correspondant à cette épreuve.

Aucun document n'est autorisé

L'emploi d'une calculatrice est interdit

Problème 1

Partie |

813

Nt :tEURlR .
oonsf H1+t2

C°°. Nous noterons Cf la courbe représentative de f.

Il est clair que f est définie R entier, et que cette fonction est de classe

1. ---- Quelle est la limite de f ( t) lorsque t tend vers --oo ?
2. -- Qu'en déduisez-vous au sujet de Cf ?

3. -- Complétez chacune des phrases suivantes au moyen de l'une des locutions 
«est équivalent à >>,
«est négligeable devant >>, «est dominé par >> :

f (t) ......................... et lorsque t tend vers +oo
t
e

f (t) ......................... ? lorsque t tend vers +oo
t
e

f (t) ......................... {2-- lorsque t tend vers +oo

Lorsque plusieurs réponses sont acceptables, vous donnerez la plus précise. 
Bien entendu, vous
justifierez votre choix.

4. -- Quelle est la limite de f (75) lorsque t tend vers +oo ?
5. -- Explicitez f'(t).

6. ---- Dressez le tableau des variations de f.

7. -- Explicitez f"(t).

8. ---- Montrez que l'équation f ' ' (t) = 0 possède deux solutions réelles : 
l'une est évidente, l'autre sera
notée oz. Vous ne chercherez pas à calculer oz.

1
9. ---- Prouvez l'encadrement -----5-- < a < 0.

10. -- Explicitez le développement limité de f à l'ordre 3 au voisinage de 0. 
Que pouvez--vous en
déduire concernant Cf ?

11. -- Tracez la courbe représentative de f. Vous préciserez son allure au 
voisinage du point
d'abscisse 1.

Partie II

Au vu des expressions de f (t), ]" (t) et f" (t), nous nous proposons d'établir 
que l'assertion A(n)
suivante est vraie pour tout 71 E N :

! P,, 15 t
Il existe un polynôme P,, tel que f ("')(t) : ÎÎ--IÊ2)ÎÊÏÎ pour tout t E R

Vous allez raisonner par récurrence sur n.
Remarque : vous pouvez confondre polynôme et fonction polynomiale.

12. -- Il est clair que A(n) est vraie pour n EUR {0,1,2} ; vous dresserez 
simplement un tableau donnant
l'expression de P,, pour ces valeurs de n.

13. -- Fixons % EUR N , et supposons l'assertion A(n) acquise. Établissez 
l'assertion A(n + 1) ; vous
déterminerez l'expression de Pn+1 en fonction de P,, et P,Q.
Il résulte donc des questions 12 et 13 que l'assertion A(n) est vraie pour tout 
n E N .
14. -- Montrez que P,, a tous ses coefficients dans Z.
15. -- Précisez le degré et le coefficient dominant de P.,.

16. --- Donnez une expression simple de C,, = P,,(7Ç), où z' est le nombre 
complexe de module 1 et

? . 7T
d argument î.

Partie III

Notons F : cc E R r--> / f (t) dt. Ainsi, F est la primitive de f qui s'annuIe 
en O.
0

17. -- Quel est le sens de variation de F ?

18. -- Montrez que F (a:) possède une limite EUR finie lorsque 1: tend vers 
--oo. Vous ne chercherez pas
à expliciter cette limite.

19. -- Prouvez l'encadrement --1 EUR EUR < 0.

20. -- Donnez une équation de la tangente à la courbe représentative de F, au 
point d'abscisse O.

21. -- Explicitez le développement limité de F à l'ordre 4 au voisinage de 0.

Nous nous proposons d'étudier le comportement de F (33) lorsque ac tend vers 
+oo. Nous noterons

"' tet "' et ' "' elt
J(oe) /1 (1 dt, ' (ac) /1 t3 dt et (ac) /1 t4

22. ---- Prouvez l'existence d'une constante A telle que F (a:) = f (a:) + A + 
2J(oe) pour tout réel a:.
23. -- Pour 513 > 1, placez les uns par rapport aux autres les réels 0, J (a:) 
et K (a:)

24. ---- Avec une intégration par parties soigneusement justifiée, montrez que 
K (oe) -- 3L(a:) est
(L'

négligeable devant %-- lorsque a: tend vers +00.

25. --En découpant l'intervalle [1,113] sous la forme [1,oe3/4'] U [æ3/4,oe], 
montrez que L(æ) est
négligeable devant î--î lorsque a: tend vers +00.

26. -- En déduire un équivalent simple de F (33) lorsque ac tend vers +00.

27. ---- Exploitez les résultats des questions 17, 19, 20 et 26 pour donner 
l'allure de la courbe

représentative de F .

Problème 2

Partie I

Notons E le R--espace vectoriel des applications de IR dans R de classe 600 et 
D : f E E l-----> f'. Il est
clair que D est un endomo'rphisme de E.

1. ---- Déterminez le noyau et l'image de D.

. Nous noterons

tx/Ë t_\/_Ë)

Soient f1 : 75 EUR R |--> et, f2 : t EUR RH e_t/2sin(--Î) et f3 : t E RH 
e_t/2cos( 2
B = ( f1, f2, f3) et G le sous--espace vectoriel de E engendré par B.

Nous allons montrer que B est une famille libre de vecteurs de E. Soient a, b 
et c des réels tels que
af1 + bf2 + Cf3 soit la fonction nulle.

2. ---- L'étudiante Antoinette observe que af1 (t) + b f2(t) + cf3(t) : 0 pour 
tout réel t. Elle choisit
(adroitement) trois valeurs de t, obtient un système de trois équations aux 
trois inconnues a, b et c,
qu'elle résout ; il ne lui reste plus qu'à conclure. Faites comme elle !

3. -- L'étudiante Lucie propose d'exploiter le développement limité à l'ordre 2 
de la fonction af1 +
bf2 + cf, au voisinage de 0. Faites comme elle!

4. -- L'étudiante Nicole décide de s'intéresser au comportement de af1(t) + b 
f2 (15) + cf; (t) lorsque t
tend vers +oo. Faites comme elle!

La famille 8 est donc une base de G, et ce sous--espace est de dimension 3.

5. -- Montrez que G est stable par D.

Nous noterons D l'endomorphisme de G induit par D.

6. -- Déterminez la matrice M de D dans la base B.

7. ---- Calculez M3.
8. ---- Montrez que M est inversible, et explicitez son inverse M_1.

9. -- Montrez que f) est un automorphisme de G.

A

10. ---- Exprimez (D)_1 en fonction de 15.

Partie II
Soient g et h deux éléments de G. Définissons g0(g, h) = g(0)h(0) + g'(0)h'(0) 
+ g"(0)h"(0).

11. -- Dressez un tableau a trois lignes et quatre colonnes; pour 1 < i < 3, la 
ligne 71 présentera les
valeurs de @, fi(0), f{(0) et f{' (0) dans cet ordre. Vous ne ferez pas 
apparaître le détail des calculs
sur votre copie.

12. ---- Montrez que go est un produit scalaire sur G.
13. -- La base 8 est--elle orthogonale ?

14. ---- La base [3 est-elle orthonormée ?

Partie III

Nous nous intéressons dans cette partie à l'équation différentielle y'" = y, 
que nous noterons (£ ) Une
solution sur R de (EUR ) est une fonction f définie et trois fois dérivable sur 
R, vérifiant f'" (t) = f (t)
pour tout t G R.

15. -- Montrez que toute solution f de (EUR ) est de classe C°°.

16. -- Montrez que la fonction nulle est la seule solution polynomiale de (EUR )
Notons T = D3 -- Id, où Id est l'identité de E, et D3 = D 0 D 0 D. Le noyau de 
T est donc l'ensemble
des solutions de (EUR ) '

17. --- Montrez que G est contenu dans le noyau de T.
Nous allons établir l'inclusion inverse; ainsi, G sera exactement l'ensemble 
des solutions de (£ ) Soit
f une solution de (EUR ) ; nous noterons g = f" + ]" + f.

18. -- Montrez que g est solution de l'équation différentielle y' = y.

19. -- Décrivez rapidement l'ensemble des solutions de l'équation 
différentielle y' -- y = O.

20. ---- Résolvez l'équation différentielle y' ' + y' + y = 0; vous donnerez 
une base de l'ensemble des
solutions.

21. -- Soit A E ]R. Décrivez l'ensemble des solutions de l'équation 
différentielle y' ' + y' + y = Àe".

22. -- Et maintenant, concluez !

FIN

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths toutes filières -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Alexis Devulder (ENS Ulm) ; il a été relu par
Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) et Aurélien Alvarez (ENS Lyon).

Ce sujet est constitué de deux problèmes indépendants. Le premier s'intéresse à
l'étude d'une fonction et d'une de ses primitives, le deuxième à 
l'endomorphisme qui
à une fonction indéfiniment dérivable associe sa dérivée, puis à l'étude d'une 
équation
différentielle. Le sujet est relativement abordable, et couvre une partie 
importante
du programme de première année.
et
· Le premier problème étudie en détails la fonction réelle f : t 7
,
1 + t2
puis sa primitive qui s'annule en 0.
­ La première partie examine en détails la fonction f : limites, comportement
asymptotique, développement limité au voisinage de 0, dérivée, zéros de
la dérivée seconde, dans le but de tracer sa courbe représentative.
­ La deuxième s'intéresse aux dérivées successives de f ; elle fait intervenir
des démonstrations par récurrence et utilise quelques propriétés des polynômes.
­ Dans la troisième partie, on étudie la primitive de f qui s'annule en 0, ainsi
que le comportement asymptotique de quelques fonctions définies par des
intégrales.
· Le deuxième problème est plus court et plus simple que le premier. On y 
introduit l'espace E des fonctions indéfiniment dérivables sur R, et 
l'opérateur D de
dérivation sur E.
­ Dans la première partie, on considère un sous-espace G de E, de dimension
finie et stable par D, et on étudie la restriction de D à ce sous-espace. On
utilise des matrices et des systèmes d'équations linéaires, mais aussi des
développements limités et des limites de fonctions.
­ Dans la deuxième partie, on introduit un produit scalaire sur G.
­ Enfin, la dernière partie s'intéresse à l'équation différentielle y  = y que
l'on résout en se ramenant à des équations différentielles linéaires de degré
un et deux.
En conclusion, ce problème, peut-être un peu long, ne comporte pas de 
difficulté insurmontable et constitue un bon sujet pour réviser une grande 
partie du programme.

Indications
Problème 1
3 Pour comparer le comportement asymptotique de f et de t 7 et , on pourra
étudier la limite de f (t)/et . De même pour t 7 et /t et t 7 et /t2 .
4 Utiliser la question 3.
8 Montrer que f  (t) = 0 si et seulement si t = 1 ou P(t) = 0, où P est une 
fonction polynomiale que l'on déterminera. Montrer que P est strictement 
monotone,
et en déduire qu'elle s'annule en un unique réel .
9 Montrer que le polynôme P défini ci-dessus prend des valeurs de signes opposés
en -1/5 et en 0.
14 Remarquer que la dérivée d'un polynôme à coefficients dans Z a aussi tous 
ses coefficients dans Z, et que le produit (ou la somme) de deux polynômes à 
coefficients
dans Z est également à coefficients dans Z.
15 Utiliser la question 13. Montrer par récurrence que Pn a pour coefficient 
dominant
1 et pour degré 2n. Pour cela, exprimer Pn+1 (t) sous la forme t2n+2 plus un
polynôme de degré strictement inférieur à 2n + 2.
16 Utiliser la question 13. Exprimer Pn+1 (i) en fonction de Pn (i), et en 
déduire
l'expression générale de Pn (i).
18 Utiliser le théorème de la limite monotone.
19 Encadrer F(x) pour x négatif ou nul, et utiliser le « théorème des gendarmes 
».
21 Utiliser la question 10.

25 Pour effectuer l'intégrale sur l'intervalle 1 ; x3/4 , remarquer que sur 1 ; 
x3/4 ,
on a et 6 ex et « sortir » ex de l'intégrale. Remarquer que lorsque x est assez
grand, x3/4 - x 6 -x/2. Utiliser une méthode similaire pour l'autre intégrale.
26 Utiliser les questions 23, 24, et 25.
Problème 2
3 Utiliser l'unicité du développement limité.
4 Examiner les limites en l'infini. Prendre ensuite des valeurs particulières.
6 Utiliser la question 5.
9 Remarquer que d'après la question 7, M-1 = M2 .
15 Montrer par récurrence que f est 3n fois dérivable pour tout entier naturel 
n non
nul.
16 Considérer les degrés de P et P .
17 Utiliser la question 8.

Problème 1
Partie I
1 On remarque tout d'abord que
lim et = 0

t-

lim (1 + t2 ) = +

et

t-

On en déduit que

lim f (t) = 0

t-

2 La question précédente nous permet d'affirmer que
La droite d'équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe Cf au 
voisinage de -.
3 Lorsque t tend vers l'infini,
f (t)
1
=
---- 0
t
e
1 + t2 t+
f (t) est négligeable devant et lorsque t tend vers plus l'infini.

donc
De même,

d'où

Enfin,

donc

f (t)
t
---- 0
t =
e
1 + t2 t+
t
f (t) est négligeable devant

et
lorsque t tend vers plus l'infini.
t

t2
1
f (t)
=1-
---- 1
t =
2
e
1+t
1 + t2 t+
t2
f (t) est équivalent à

et
lorsque t tend vers plus l'infini.
t2

et
et
La fonction f est également dominée par t 7 et , t 7
et t 7 2 , mais
t
t
« être dominé par » est moins précis que « être négligeable devant » ou « être
équivalent à ».
4 D'après la question précédente, f est équivalente à t 7 et /t2 au voisinage 
de +.
Par croissance comparée, cette dernière fonction tend vers + en +, et par 
conséquent,

f (t) ---- +
t+

5 D'après les règles sur les quotients de fonctions dérivables, f est dérivable 
sur R
et sa dérivée f  vérifie
f  (t) =

t  R

soit

et (1 + t2 ) - et 2t
2

(1 + t2 )

f (t) = e

t  R

t

1-t
1 + t2

2

6 On déduit de la question précédente que la dérivée de f est nulle en t = 1 et
strictement positive partout ailleurs. La fonction f est donc strictement 
croissante
sur R et admet pour tableau de variations
-

f

+

+

-

f

0

7 On sait que f est de classe C  . En dérivant l'expression de f  obtenue à la 
question 5, on trouve pour tout réel t,
2
2
2
2(1 - t)(-1) 1 + t2 - (1 - t) 4t(1 + t2 )
1-t
t
f (t) = e
+
e
4
1 + t2
(1 + t2 )
t

e
2
2
=
3 (1 - t) (1 - t)(1 + t ) - 2(1 + t ) - 4t(1 - t)
2
(1 + t )

t

ce qui donne, après simplifications,
t  R

f  (t) = et

(1 - t)(-t3 + 3t2 - 5t - 1)
(1 + t2 )3

8 On remarque d'abord, en utilisant la formule trouvée à la question précédente,
que
La valeur t = 1 est solution évidente de l'équation f  (t) = 0.

On s'en doutait déjà depuis la question 5, car 1 est racine double de f  .