CONCOURS COMMUN 2003 _
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES
Épreuve de Mathématiques
(toutes filières)
Mecredi 21 mai 2003 de 14h00 à 18h00
Instruction générales :
Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées l/4, 2
/ 4, 3 / 4, 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction :
les copies illisibles ou mal présentées seront
pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette
correspondant à cette épreuve.
Aucun document n'est autorisé
L'emploi d'une calculatrice est interdit
Problème 1
Partie |
813
Nt :tEURlR .
oonsf H1+t2
C°°. Nous noterons Cf la courbe représentative de f.
Il est clair que f est définie R entier, et que cette fonction est de classe
1. ---- Quelle est la limite de f ( t) lorsque t tend vers --oo ?
2. -- Qu'en déduisez-vous au sujet de Cf ?
3. -- Complétez chacune des phrases suivantes au moyen de l'une des locutions
«est équivalent à >>,
«est négligeable devant >>, «est dominé par >> :
f (t) ......................... et lorsque t tend vers +oo
t
e
f (t) ......................... ? lorsque t tend vers +oo
t
e
f (t) ......................... {2-- lorsque t tend vers +oo
Lorsque plusieurs réponses sont acceptables, vous donnerez la plus précise.
Bien entendu, vous
justifierez votre choix.
4. -- Quelle est la limite de f (75) lorsque t tend vers +oo ?
5. -- Explicitez f'(t).
6. ---- Dressez le tableau des variations de f.
7. -- Explicitez f"(t).
8. ---- Montrez que l'équation f ' ' (t) = 0 possède deux solutions réelles :
l'une est évidente, l'autre sera
notée oz. Vous ne chercherez pas à calculer oz.
1
9. ---- Prouvez l'encadrement -----5-- < a < 0. 10. -- Explicitez le développement limité de f à l'ordre 3 au voisinage de 0. Que pouvez--vous en déduire concernant Cf ? 11. -- Tracez la courbe représentative de f. Vous préciserez son allure au voisinage du point d'abscisse 1. Partie II Au vu des expressions de f (t), ]" (t) et f" (t), nous nous proposons d'établir que l'assertion A(n) suivante est vraie pour tout 71 E N : ! P,, 15 t Il existe un polynôme P,, tel que f ("')(t) : ÎÎ--IÊ2)ÎÊÏÎ pour tout t E R Vous allez raisonner par récurrence sur n. Remarque : vous pouvez confondre polynôme et fonction polynomiale. 12. -- Il est clair que A(n) est vraie pour n EUR {0,1,2} ; vous dresserez simplement un tableau donnant l'expression de P,, pour ces valeurs de n. 13. -- Fixons % EUR N , et supposons l'assertion A(n) acquise. Établissez l'assertion A(n + 1) ; vous déterminerez l'expression de Pn+1 en fonction de P,, et P,Q. Il résulte donc des questions 12 et 13 que l'assertion A(n) est vraie pour tout n E N . 14. -- Montrez que P,, a tous ses coefficients dans Z. 15. -- Précisez le degré et le coefficient dominant de P.,. 16. --- Donnez une expression simple de C,, = P,,(7Ç), où z' est le nombre complexe de module 1 et ? . 7T d argument î. Partie III Notons F : cc E R r--> / f (t) dt. Ainsi, F est la primitive de f qui s'annuIe
en O.
0
17. -- Quel est le sens de variation de F ?
18. -- Montrez que F (a:) possède une limite EUR finie lorsque 1: tend vers
--oo. Vous ne chercherez pas
à expliciter cette limite.
19. -- Prouvez l'encadrement --1 EUR EUR < 0. 20. -- Donnez une équation de la tangente à la courbe représentative de F, au point d'abscisse O. 21. -- Explicitez le développement limité de F à l'ordre 4 au voisinage de 0. Nous nous proposons d'étudier le comportement de F (33) lorsque ac tend vers +oo. Nous noterons "' tet "' et ' "' elt J(oe) /1 (1 dt, ' (ac) /1 t3 dt et (ac) /1 t4 22. ---- Prouvez l'existence d'une constante A telle que F (a:) = f (a:) + A + 2J(oe) pour tout réel a:. 23. -- Pour 513 > 1, placez les uns par rapport aux autres les réels 0, J (a:)
et K (a:)
24. ---- Avec une intégration par parties soigneusement justifiée, montrez que
K (oe) -- 3L(a:) est
(L'
négligeable devant %-- lorsque a: tend vers +00.
25. --En découpant l'intervalle [1,113] sous la forme [1,oe3/4'] U [æ3/4,oe],
montrez que L(æ) est
négligeable devant î--î lorsque a: tend vers +00.
26. -- En déduire un équivalent simple de F (33) lorsque ac tend vers +00.
27. ---- Exploitez les résultats des questions 17, 19, 20 et 26 pour donner
l'allure de la courbe
représentative de F .
Problème 2
Partie I
Notons E le R--espace vectoriel des applications de IR dans R de classe 600 et
D : f E E l-----> f'. Il est
clair que D est un endomo'rphisme de E.
1. ---- Déterminez le noyau et l'image de D.
. Nous noterons
tx/Ë t_\/_Ë)
Soient f1 : 75 EUR R |--> et, f2 : t EUR RH e_t/2sin(--Î) et f3 : t E RH
e_t/2cos( 2
B = ( f1, f2, f3) et G le sous--espace vectoriel de E engendré par B.
Nous allons montrer que B est une famille libre de vecteurs de E. Soient a, b
et c des réels tels que
af1 + bf2 + Cf3 soit la fonction nulle.
2. ---- L'étudiante Antoinette observe que af1 (t) + b f2(t) + cf3(t) : 0 pour
tout réel t. Elle choisit
(adroitement) trois valeurs de t, obtient un système de trois équations aux
trois inconnues a, b et c,
qu'elle résout ; il ne lui reste plus qu'à conclure. Faites comme elle !
3. -- L'étudiante Lucie propose d'exploiter le développement limité à l'ordre 2
de la fonction af1 +
bf2 + cf, au voisinage de 0. Faites comme elle!
4. -- L'étudiante Nicole décide de s'intéresser au comportement de af1(t) + b
f2 (15) + cf; (t) lorsque t
tend vers +oo. Faites comme elle!
La famille 8 est donc une base de G, et ce sous--espace est de dimension 3.
5. -- Montrez que G est stable par D.
Nous noterons D l'endomorphisme de G induit par D.
6. -- Déterminez la matrice M de D dans la base B.
7. ---- Calculez M3.
8. ---- Montrez que M est inversible, et explicitez son inverse M_1.
9. -- Montrez que f) est un automorphisme de G.
A
10. ---- Exprimez (D)_1 en fonction de 15.
Partie II
Soient g et h deux éléments de G. Définissons g0(g, h) = g(0)h(0) + g'(0)h'(0)
+ g"(0)h"(0).
11. -- Dressez un tableau a trois lignes et quatre colonnes; pour 1 < i < 3, la ligne 71 présentera les valeurs de @, fi(0), f{(0) et f{' (0) dans cet ordre. Vous ne ferez pas apparaître le détail des calculs sur votre copie. 12. ---- Montrez que go est un produit scalaire sur G. 13. -- La base 8 est--elle orthogonale ? 14. ---- La base [3 est-elle orthonormée ? Partie III Nous nous intéressons dans cette partie à l'équation différentielle y'" = y, que nous noterons (£ ) Une solution sur R de (EUR ) est une fonction f définie et trois fois dérivable sur R, vérifiant f'" (t) = f (t) pour tout t G R. 15. -- Montrez que toute solution f de (EUR ) est de classe C°°. 16. -- Montrez que la fonction nulle est la seule solution polynomiale de (EUR ) Notons T = D3 -- Id, où Id est l'identité de E, et D3 = D 0 D 0 D. Le noyau de T est donc l'ensemble des solutions de (EUR ) ' 17. --- Montrez que G est contenu dans le noyau de T. Nous allons établir l'inclusion inverse; ainsi, G sera exactement l'ensemble des solutions de (£ ) Soit f une solution de (EUR ) ; nous noterons g = f" + ]" + f. 18. -- Montrez que g est solution de l'équation différentielle y' = y. 19. -- Décrivez rapidement l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y' -- y = O. 20. ---- Résolvez l'équation différentielle y' ' + y' + y = 0; vous donnerez une base de l'ensemble des solutions. 21. -- Soit A E ]R. Décrivez l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y' ' + y' + y = Àe". 22. -- Et maintenant, concluez ! FIN
