CONCOURS COMMUN 2007
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES
Épreuve Spécifique de Mathématiques
(filière MPSI)
Vendredi 11 mai 2007 de 08h00 à 12h00
Instructions générales :
Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées l/4,
2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction :
les copies illisibles ou
mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à
code à barres
correspondant à l'épreuve spécifique.
L'emploi d'une calculatrice est interdit
Barème indicatif : 10 points pour chaque problème
Premier problème
I. Etude d'une fonction
On considère la fonction numérique f de la variable réelle 3: définie par :
1 __1
f(OE)=--2EURæ siæi0
a:
f (0) = 0
]. Etudier la continuité a gauche et a droite, la dérivabilité a gauche et a
droite de f en O.
2. Etudier les limites et variations de f (à résumer dans un tableau) ;
préciser les branches
infinies.
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3. Etudier la convexité ; préciser les points d'inflexion éventuels.
4. Tracer la courbe représentative (%) de cette fonction relativement a un
repère
orthonormal (O,Î,Î) (unité : 2 cm).
On donne les valeurs approchées suivantes : e_2 = 0,135 , e_1 = 0,36 , e = 2,72.
On précisera les points remarquables utilisés.
II. Calcul d'aires
5. Etant donné un nombre réel h, h EUR ]0,1[ , déterminer l'aire % (h) de la
partie du plan
limitée par l'axe des abscisses, la courbe (%) et les droites d'équations oe =
h et a: = 1.
6. En déduire l'aire de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la
courbe (%), la
droite d'équation a: = 1 et l'axe des ordonnées, c'est a dire }lim % (h).
III. Résolution d'une équation différentielle
7. Résoudre l'équation différentielle (E) æ2y' + (23: -- 1)y = 0 sur chacun des
intervalles
]O,+oe[ et ]--oo,0[ .
8. Cette équation (E) a--t--elle des solutions sur lR ? Si oui, les préciser.
IV. Dérivées successives et polynômes associés
9. Démontrer que fest de classe 000 sur ]0,+oo[.
10. Démontrer que, pour tout 77. EUR N , il existe un polynôme P,, tel que
--1
P _
Va: EUR ]0,+oc[ f...) (a:) = 'â;îÿ EUR 93 et que :
a:
(I) P +1(a:) = a:2P,; (a:) + [I -- 2(n + I)OE]Pn (a:).
TL
11.0alculer PÛ,H,P2,P3 et P4.
12. Calculer le degré, le coefficient dominant et le terme constant de Pn.
13. On considère la fonction 9 telle que g(a:) = æ2f(æ).
Démontrer que g("+1) : f...)
1.4. Rappeler la formule de Leibniz relative a la dérivée n--ième d'un produit
de fonctions en
indiquant les hypothèses.
(n)
15. En utilisant la formule de Leibniz pour calculer 9 ($), démontrer que :
(2) P +1(a:) = (I --2(n + I)OE)Pn (a:) --n(n + 1):132Pn_1 (a:).
TL
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16. En déduire que : (3) PT; (a:) = --n(n + 1)Pn_1(æ).
17. Déduire de (1) que : (4) OE2PÂ'(OE) + (1 -- 2næ)Pé (a:) + n(n + 1) Pn (a:)
= 0.
Deuxième problème
On désigne par R [X] l'espace vectoriel des polynômes a coefficients réels et
par
R2 [X] le sous espace vectoriel formé des polynômes de degré inférieur ou égal
a 2 et le
polynôme nul. On rappelle que la base canonique de R2 [X] est % = (1, X , X 2).
I. Changement de bases et division euclidienne
18. Etant donné trois réels deux a deux distincts al, % et a3, on considère
trois polynômes
Q@J=Oäiij
Qi (0.2) i 0
Démontrer que Q1, Q2 et 623 sont linéairement indépendants.
Q1, Q2 et 623 de R[X] tels que V(i,j) EUR {12,3}2
19.0n pose:
' 1
a=gx--s>
=_Î1
_P.=â
Calculer P@(1)7P1(3) et R(5) pour ZE {12,3}.
20. En déduire que @ =(P1, P2, P3) est une base de R2 [X].
2]. Déterminer la matrice A de passage de la base % a la base @ .
22. Démontrer que A est inversible et calculer son inverse.
23. On pose P (X) : (X--1)(X--3)(X--5).
0
Pour tout polynôme P (X) de R [X ], on note ? (X) le reste de la division
euclidienne
de Ppar PO et par f l'application de R[X] dans R[X] définie par f(P) = ?.
Démontrer que f est linéaire.
2.4. Déterminer l'image de f.
25. Déterminer le noyau de f.
2 . , , , . .
26. Comparer f et f ; reconnaitre f et en donner les elements caracteristiques.
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27.Démontrer que B(X) = P(1)H(X)+P(3)Æ(X)+P(5)Æ)(X).
28. Retrouver ainsi la matrice inverse de A.
II. Calcul matriciel
Onpose:
32 0 1 00
M=2 30etl=O 1 O.
003 00 1
2.9. Calculer le produit (M -- I)(M -- 31 )(M -- 51), ainsi que chacun des
produits se
déduisant par permutation des trois facteurs.
30. On note E l'ensemble des matrices de la forme a.] --l-- bM --l-- c]\Æ2 avec
a., b, c réels.
Démontrer que E est un sous espace vectoriel de l'espace vectoriel % (R) des
matrices
carrées d'ordre 3 a coefficients réels.
3]. Déterminer la dimension de E.
32. Pour tout polynôme P(X) = a. + bX + cX2, on pose P(M) = a.] --l-- bM --l--
c]\Æ2 et on note
(13 l'application de T dans E définie par [P(X)] = P(M).
Démontrer que (I) est un isomorphisme d'espaces vectoriels
33. On pose B.-- = B (M) pour i EUR {1,23}. En utilisant la question 27. et le
résultat
/ / ° 2 o o o , .
recedent ex r1mer ] M et M sous forme de combinaison lineaire de B B et B .
' 7 17 2 3
3.4. Déduire de la question 29. la valeur des produits B@Bj pour i = j.
FIN DU SUJET
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