Mines Maths MPSI 2001

CONCOURS COMMUN SUP 2001
DES ÉCOLES DES MINES D' ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve spécifique de Mathématiques

(filière MPSI)

' Vendredi 18 mai 2001 de 08h00 à 12h00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend : 4 pages numérotées 1/4, 
2/4, 3/4 et 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : 
les copies illisibles ou
mal présentées seront pénalisées.

Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à 
code à barres
correspondante.

PROBLEME 1

Dans tout ce problème, a désigne un réel.
On se propose d'étudier les suites réelles (u,,)nEURN vérifiant une relation de 
récurrence du type :

Pour tout n de N, un+1 : ou,, + P(n)

où P est un polynôme.

Le [Fi--espace vectoriel des suites réelles est noté RN. Un élément de RN est 
noté indifféremment (u,,)nEURN
ou u.

La partie I étudie le cas où P est constant.
La partie Il étudie le cas où a # 1.
La partie III étudie le cas où a = 1.

Partie I :
Dans cette partie, on pose EE," : {U E RN; 311 EUR R; Vn E N, un+1 : ou,, + b}.

1) Soit u EUR EE,") . Il existe donc b réel tel que pour tout n de N : un+1 : 
cru,, + 6. Montrer l'unicité
de b. On notera b = b,, pour u EUR ES,".

2) 3) Déterminer EÎO) .
2) b) Déterminer 550).
Dans le reste de cette partie, a est supposé diflérent de 1.

3) Montrer que EE," est un R-espace vectoriel.

4) Soit 33 la suite constante égale à 1 (pour tout n de N, a:,, = 1) et soit y 
la suite définie, pour tout
n de N, par: y,, = a".
Montrer que (a:, y) est une famille libre de ES,". On précisera les valeurs de 
b,, et by.

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5) Soit u EUR EE,").

ÀOE0 + "% = ...,

5 a Montrer u'il existe À, E R2 uni ue tél ue .

5) b) Montrer que, pour À et ,u définis à la question précédente, pour tout n 
de N,
un = Àoe--n + uyñ

5) c) Que peut--on en conclure ?

6) Déterminer ES". On donnera en particulier la dimension de EE,") .

Partie II :

Dans cette partie, on suppose que a # 1.

On fixe un entier naturel p. On note R,, [X ] le R-esp'ace vectoriel des 
polynômes à coefficients réels de
degré inférieur ou égal à p. '

On pourra confondre polynôme et fonction polynomiale.

On pose Eâp) : {u EUR RN; ÉlP EUR R,,[X]; \in E N, un+1 : an,, + P(n)}.

1) Soit u EUR EÂP) . Il existe donc P E R,, [X ] tel que :
Vn E N, u,,+1 == cm,, + P(n)

Montrer l'unicité de P (on pourra étudier l'application tp de R,, [X ] dans 
RP+1 définie par :
@(P) = (P(O)7P(1)a-H9P(p)))-
On notera P = P,, pour U E EÂp).

2) Montrer que EE," est un R--espace vectoriel.

3) Montrer que l'application 6 définie sur EE," par 9(u) : P,, est une 
application linéaire de E,?"

dans R,, [X ] '
4) Déterminer Ker 9 (noyau de 9).
5) Pour k E N, on pose Q,, = (X + 1)'" ---- an.
5) a) Quel est le degré de Q,, ?
5) b) Montrer que la famille (Q0, Q1, . . . , Q,) est une base de R,, [X]
6) a) Montrer que pour tout le dans {O, 1, . . . , p}, Q,, est dans l'image de 
9, notée Im EUR.

6) b) Que peut--on en conclure ?

7) Déduire des questions précédentes la dimension de ES," .

8) Pour le EUR {O, 1, . . . ,p}, on pose a:... la suite définie, pour tout n de 
N, par : $$," : n'".
On rappelle que y est la suite définie, pour tout n de N, par : y,, = a".
Montrer que (m..., . . . ,æ(P),y) est une base de ES,".

9) Application : déterminer la suite (u,,)nEURN vérifiant :

VTZEN, un+1=2un--2n+7
UO=--2

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Partie III :

Dans cette partie, on suppose que a = 1.

l) En adaptant les résultats obtenus à la partie précédente, déterminer :
EÎP) = {U E RN; 3P EUR R,,[X]; Vn E N, un+1 : un + P(n)}

2) Application : déterminer la suite (un)nEURN vérifiant :

u0=----2

{VnEN, un+1=un--ôn+l

PROBLEME 2

Dans ce problème 
x(u) : / cp(t) dt.
On rappelle que x est dérivablé sur R et que pour u réel, Ç,(u) : ga(u).

' 1
1) Dans cette question seulement, go est définie, pour tout t réel, par : go(t) 
: m.
71'

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y
1) 3) Montrer que pour x et y réels, / go(t) dt < 1. 12 1) b) En déduire que pour tout a: réel, l'équation (Em) n'a pas de solution. 1) c) Que vaut EUR ? Dans tout le reste de ce problème, on suppose que EUR # O. 2) Exprimer l'équation (Ex) à l'aide de la fonction x.
3) 3) Montrer que OE est continue strictement croissante sur R. Que peut--on 
en conclure ? _

3) b) Montrer qu'il existe to réel et A > 0 tels que pour tout t _>_ to, cp(t) 
_>_ A.
On pourra distinguer les cas EUR : +00 et EUR réel.

3) EUR) En déduire que pour tout a: réel, il existe u 2 a: tel que OEx(u) > 1.
3) d) En remarquant que æ(oe) = O, montrer que l'équation (Ex) possède une 
solution unique.

Jusqu'à la fin de ce problème, f (a:) désigne pour a: réel, l'unique solution 
de l'équation (Ex).

Partie III :

1) Montrer, en justifiant l'écriture, que pour tout a: réel, f (oe) : 
6"1(O(oe) + 1)
(on pourra admettre les résultats de la question II) 3)).

2) En déduire que f est continue strictement croissante sur R.

3) a) On suppose dans cette question a), que 99 ne s'annule pas. Montrer que f 
est de classe C1 sur

oe(OEl
990" WD
3) b) On suppose dans cette question b), qu i'l existe 5130 réel tel que 
c,o(oe0) # 0 et tel que 90 reste

strictement positive sur un voisinage de f (wo) sauf en f (xD) où 99 s '.annule
Montrer que f n 'est pas dérivable en 330 mais que la courbe représentant f 
possède au point d'abscisse :1:0

une tangente verticale.

R et pour a: réel, montrer que : f ' (zz) :

4) On se propose d'étudier la branche infinie de f au voisinage de +00 dans le 
cas où EUR : +oo.
Soit 5 EUR Ri.
1

4) 3) Montrer qu'il existe a E R tel que pour t 2 a, go(t) _>_ ---.
EUR

4) b) En déduire que si a: 2 a,

5) Etudier de même la branche infinie de f au voisinage de +00 dans le cas où 
EUR EUR Ri.

) ----- :cl 5 5. Que peut--on en conclure ?

6) Dans cette question, on suppose 90 paire. On note I' le graphe de f.
6) a) Soit (a:,y) E W. Montrer que (æ,y) EUR T si et seulement si (----y, --oe) 
E P.

6) b) En déduire que la courbe représentant - f possède un axe de symétrie à 
déterminer.

Partie IV :
Dans cette partie, go est la fonction définie, pour tout a: réel, par cp(oe) = 
a:4 -- 2æ2 + 1.
l) Justifier que go vérifie les hypothèses du problème.

2) Sans calculer f(oe) et en utilisant les résultats des parties précédentes, 
esquisser le graphe de
la fonction f, en précisant les éléments remarquables (asymptotes, axe de 
symétrie, points à tangentes
horizontales ou verticales).

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