Mines Maths MPSI 2001

Thème de l'épreuve Étude de suites récurrentes linéaires. Étude qualitative des solutions d'une équation fonctionnelle.
Principaux outils utilisés récurrence, espaces vectoriels, accroissements finis, relation de Chasles, théorèmes de comparaison, homéomorphismes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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CONCOURS COMMUN SUP 2001
DES ÉCOLES DES MINES D' ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve spécifique de Mathématiques

(filière MPSI)

' Vendredi 18 mai 2001 de 08h00 à 12h00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend : 4 pages numérotées 1/4, 
2/4, 3/4 et 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : 
les copies illisibles ou
mal présentées seront pénalisées.

Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à 
code à barres
correspondante.

PROBLEME 1

Dans tout ce problème, a désigne un réel.
On se propose d'étudier les suites réelles (u,,)nEURN vérifiant une relation de 
récurrence du type :

Pour tout n de N, un+1 : ou,, + P(n)

où P est un polynôme.

Le [Fi--espace vectoriel des suites réelles est noté RN. Un élément de RN est 
noté indifféremment (u,,)nEURN
ou u.

La partie I étudie le cas où P est constant.
La partie Il étudie le cas où a # 1.
La partie III étudie le cas où a = 1.

Partie I :
Dans cette partie, on pose EE," : {U E RN; 311 EUR R; Vn E N, un+1 : ou,, + b}.

1) Soit u EUR EE,") . Il existe donc b réel tel que pour tout n de N : un+1 : 
cru,, + 6. Montrer l'unicité
de b. On notera b = b,, pour u EUR ES,".

2) 3) Déterminer EÎO) .
2) b) Déterminer 550).
Dans le reste de cette partie, a est supposé diflérent de 1.

3) Montrer que EE," est un R-espace vectoriel.

4) Soit 33 la suite constante égale à 1 (pour tout n de N, a:,, = 1) et soit y 
la suite définie, pour tout
n de N, par: y,, = a".
Montrer que (a:, y) est une famille libre de ES,". On précisera les valeurs de 
b,, et by.

Épreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) page 1/4

CONCOURS COMMUN SUP 2001 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALËS, DOUAI, NANTES

5) Soit u EUR EE,").

ÀOE0 + "% = ...,

5 a Montrer u'il existe À, E R2 uni ue tél ue .

5) b) Montrer que, pour À et ,u définis à la question précédente, pour tout n 
de N,
un = Àoe--n + uyñ

5) c) Que peut--on en conclure ?

6) Déterminer ES". On donnera en particulier la dimension de EE,") .

Partie II :

Dans cette partie, on suppose que a # 1.

On fixe un entier naturel p. On note R,, [X ] le R-esp'ace vectoriel des 
polynômes à coefficients réels de
degré inférieur ou égal à p. '

On pourra confondre polynôme et fonction polynomiale.

On pose Eâp) : {u EUR RN; ÉlP EUR R,,[X]; \in E N, un+1 : an,, + P(n)}.

1) Soit u EUR EÂP) . Il existe donc P E R,, [X ] tel que :
Vn E N, u,,+1 == cm,, + P(n)

Montrer l'unicité de P (on pourra étudier l'application tp de R,, [X ] dans 
RP+1 définie par :
@(P) = (P(O)7P(1)a-H9P(p)))-
On notera P = P,, pour U E EÂp).

2) Montrer que EE," est un R--espace vectoriel.

3) Montrer que l'application 6 définie sur EE," par 9(u) : P,, est une 
application linéaire de E,?"

dans R,, [X ] '
4) Déterminer Ker 9 (noyau de 9).
5) Pour k E N, on pose Q,, = (X + 1)'" ---- an.
5) a) Quel est le degré de Q,, ?
5) b) Montrer que la famille (Q0, Q1, . . . , Q,) est une base de R,, [X]
6) a) Montrer que pour tout le dans {O, 1, . . . , p}, Q,, est dans l'image de 
9, notée Im EUR.

6) b) Que peut--on en conclure ?

7) Déduire des questions précédentes la dimension de ES," .

8) Pour le EUR {O, 1, . . . ,p}, on pose a:... la suite définie, pour tout n de 
N, par : $$," : n'".
On rappelle que y est la suite définie, pour tout n de N, par : y,, = a".
Montrer que (m..., . . . ,æ(P),y) est une base de ES,".

9) Application : déterminer la suite (u,,)nEURN vérifiant :

VTZEN, un+1=2un--2n+7
UO=--2

Épreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) page 2/4

CONCOURS COMMUN SUP 2001 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Partie III :

Dans cette partie, on suppose que a = 1.

l) En adaptant les résultats obtenus à la partie précédente, déterminer :
EÎP) = {U E RN; 3P EUR R,,[X]; Vn E N, un+1 : un + P(n)}

2) Application : déterminer la suite (un)nEURN vérifiant :

u0=----2

{VnEN, un+1=un--ôn+l

PROBLEME 2

Dans ce problème 

x(u) : / cp(t) dt. On rappelle que x est dérivablé sur R et que pour u réel, Ç,(u) : ga(u). ' 1 1) Dans cette question seulement, go est définie, pour tout t réel, par : go(t) : m. 71' Épreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) ' page 3/4 CONCOURS COMMUN SUP 2001 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES y 1) 3) Montrer que pour x et y réels, / go(t) dt < 1. 12 1) b) En déduire que pour tout a: réel, l'équation (Em) n'a pas de solution. 1) c) Que vaut EUR ? Dans tout le reste de ce problème, on suppose que EUR # O. 2) Exprimer l'équation (Ex) à l'aide de la fonction x. 3) 3) Montrer que OE est continue strictement croissante sur R. Que peut--on en conclure ? _ 3) b) Montrer qu'il existe to réel et A > 0 tels que pour tout t _>_ to, cp(t) _>_ A. On pourra distinguer les cas EUR : +00 et EUR réel. 3) EUR) En déduire que pour tout a: réel, il existe u 2 a: tel que OEx(u) > 1. 3) d) En remarquant que æ(oe) = O, montrer que l'équation (Ex) possède une solution unique. Jusqu'à la fin de ce problème, f (a:) désigne pour a: réel, l'unique solution de l'équation (Ex). Partie III : 1) Montrer, en justifiant l'écriture, que pour tout a: réel, f (oe) : 6"1(O(oe) + 1) (on pourra admettre les résultats de la question II) 3)). 2) En déduire que f est continue strictement croissante sur R. 3) a) On suppose dans cette question a), que 99 ne s'annule pas. Montrer que f est de classe C1 sur oe(OEl 990" WD 3) b) On suppose dans cette question b), qu i'l existe 5130 réel tel que c,o(oe0) # 0 et tel que 90 reste strictement positive sur un voisinage de f (wo) sauf en f (xD) où 99 s '.annule Montrer que f n 'est pas dérivable en 330 mais que la courbe représentant f possède au point d'abscisse :1:0 une tangente verticale. R et pour a: réel, montrer que : f ' (zz) : 4) On se propose d'étudier la branche infinie de f au voisinage de +00 dans le cas où EUR : +oo. Soit 5 EUR Ri. 1 4) 3) Montrer qu'il existe a E R tel que pour t 2 a, go(t) _>_ ---. EUR 4) b) En déduire que si a: 2 a, 5) Etudier de même la branche infinie de f au voisinage de +00 dans le cas où EUR EUR Ri. ) ----- :cl 5 5. Que peut--on en conclure ? 6) Dans cette question, on suppose 90 paire. On note I' le graphe de f. 6) a) Soit (a:,y) E W. Montrer que (æ,y) EUR T si et seulement si (----y, --oe) E P. 6) b) En déduire que la courbe représentant - f possède un axe de symétrie à déterminer. Partie IV : Dans cette partie, go est la fonction définie, pour tout a: réel, par cp(oe) = a:4 -- 2æ2 + 1. l) Justifier que go vérifie les hypothèses du problème. 2) Sans calculer f(oe) et en utilisant les résultats des parties précédentes, esquisser le graphe de la fonction f, en précisant les éléments remarquables (asymptotes, axe de symétrie, points à tangentes horizontales ou verticales). Épreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) page 4/4

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Mines Maths MPSI 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Yacine Dolivet (ENS Ulm) ; il a été relu par Emmanuel
Delsinne (ENS Cachan) et Laurent Thomann (ENS Cachan).

Ce sujet est constitué de deux problèmes indépendants.
Dans le premier, on se propose de déterminer les suites récurrentes linéaires 
satisfaisant l'équation un+1 = aun + P(n), où a est un réel quelconque et P un 
polynôme
quelconque lui aussi. C'est un exemple concret d'application des techniques 
usuelles
d'algèbre linéaire et, en cela, il constitue un exercice intéressant pour qui 
cherche à
se familiariser avec cette partie du cours.
Dans le second problème, consacré à l'analyse, on étudie de façon qualitative la
solution de l'équation d'inconnue y
Z y
(t) dt = 1
(Ex ) :
x

lorsque  est une fonction dont on connaît quelques propriétés. N'étant pas fondé
sur le calcul, il demande d'être attentif à l'enchaînement des questions afin 
de bien
effectuer la synthèse requise lors de l'étude finale d'un exemple.
Dans l'ensemble, ce problème est assez difficile vu le nombre de questions 
ouvertes qu'il pose. Il exige donc qu'on ne perde jamais le fil du raisonnement 
global et
constitue également un bon exercice d'entraînement en raison de l'esprit de 
synthèse
qu'il requiert.

Indications
Premier problème
I.2.a Que dire d'une suite pour laquelle un+1 - un est constant ?
I.4 Écrire x + µy = 0 pour n  {0, 1} et résoudre le système afin de conclure
sur la liberté.
I.5.b Effectuer une récurrence sur n et remarquer que bx+µy = bx + µby , 
c'est-àdire que b : x 7 bx est une application linéaire.
I.5.c Montrer que (x, y) est une base de E0a .
II.1 Considérer deux polynômes satisfaisant la relation demandée et montrer que
leur différence admet une infinité de racines.
II.4 Penser aux suites géométriques.
II.5.b Que dire d'une famille de polynômes à degrés échelonnés ?
II.6.a Considérer les suites (nk )nN .
II.6.b Montrer que  est surjective.
II.7 Utiliser le théorème du rang.
II.8 Montrer d'abord que (x(0) , . . . , x(p) ) est libre, puis qu'en rajoutant 
y on a
encore une famille libre. Montrer enfin qu'on peut conclure sans prouver 
explicitement que la famille est génératrice.
II.9 Utiliser les résultats précédents pour obtenir une base simple sur laquelle
décomposer u.
III.1 Que vaut le noyau de  à présent ? Quel est le nouveau degré des Qk ? Que
vaut Q0 ? Changer légèrement la base de polynômes utilisée dans la deuxième
partie. La suite également est complètement similaire au travail précédent.
Conclure que (x, x(1) , . . . , x(p+1) ) est la base recherchée.

Second problème
I.3 Trouver le signe de f (x) - x au voisinage de + .
I.4 Le développement limité jusqu'à l'ordre 1 permet de lire quelle est la 
tangente
à C en 0. Développer un cran plus loin permet de connaître leurs positions
relatives.
1
II.1 Une primitive de  est Arctan .

II.3.a Utiliser la relation de Chasles.
II.3.c Utiliser le résultat de la question précédente afin de minorer x et de 
montrer
qu'elle tend vers + en + .
II.3.d Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
III.1 Introduire 0 via la relation de Chasles. Montrer que 0 est un 
homéomorphisme de R sur son image.
III.3.a Si  ne s'annule pas, montrer que 0 est en fait même un C 1 
-difféomorphisme.

III.3.b Passer par le taux d'accroissement pour montrer la non dérivabilité et 
utiliser
le théorème des accroissements finis.
III.4.b Minorer x (x + ) pour x assez grand afin de localiser f (x) .

1
1
et majorer x x +
III.5 Comme précédemment, minorer x x +
l-
l+
pour x assez grand et  suffisamment petit.
III.6.a Faire le changement de variable u = -t .
III.6.b Montrer que y = -x est un axe de symétrie.
IV.2 Utiliser la symétrie une première fois pour obtenir une asymptote en - puis
une deuxième fois pour déterminer quels sont les points à tangente horizontale
lorsqu'on connaît déjà d'autres points particuliers de f .

Premier problème

Première partie

(0)

I.1 Soit u  Ea . On a b = u1 - au0 ; donc, pour une suite donnée, il n'existe 
qu'un
seul b.
b est unique.
(0)

I.2.a Les éléments de E1 vérifient par définition un+1 = un + bu pour tout n. Ce
sont donc les suites arithmétiques de raison bu et on connaît leur expression 
pour
tout n.
(0)

E1 = {u  RN | b  R, n  N, un = nb + u0 }
(0)

I.2.b Les éléments de E0 vérifient par définition un+1 = bu pour tout n. Ce sont
donc les suites constantes à partir du rang 1.
Attention, il n'y a pas que les suites constantes. La suite (1, 0, 0 . . .) est 
aussi
(0)
dans E0 par exemple.
(0)

I.3 Ea  RN est stable par addition et par multiplication par tout réel, c'est 
donc
un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites réelles RN .
(0)

Ainsi

Ea est un espace vectoriel.

Il est quasiment toujours plus facile de vérifier qu'un ensemble est un espace
vectoriel en montrant qu'il s'agit, en fait, d'un sous-espace vectoriel d'un
autre espace vectoriel connu.
(0)

I.4 La suite constante égale à 1 est dans Ea puisque b = 1 - a convient. Il en 
va
de même pour (yn ) car, pour tout n, yn+1 = ayn et on s'aperçoit que b = 0 
convient.
Montrons maintenant que (x, y) est libre. Soit (, µ)  R2 vérifiant x + µy = 0.
En particularisant l'égalité précédente pour n = 0 et n = 1, on obtient le 
système
linéaire suivant

+ µ = 0
 + aµ = 0
qui est de Cramer puisque son déterminant vaut a - 1 6= 0 par hypothèse. Il 
admet
donc comme seule solution (, µ) = (0, 0). La famille (x, y) est donc libre.
En conclusion

(x, y) est libre ; bx = 1 - a et by = 0.

I.5.a D'après les définitions de x et y, on cherche donc à résoudre le système 
suivant