X/ENS Modélisation PSI 2003

Thème de l'épreuve Modélisation d'un propulseur à plasma
Principaux outils utilisés équations de la dynamique, bilans, gaz parfait électronique, étude asymptotique, approche perturbative
Mots clefs moteur ionique, plasma

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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MODÉLISATION EN SCIENCES PHYSIQUES
ET SCIENCES DE L'INGENIEUR

DURÉE: 5 HEURES

Pour les épreuves d'admissibilité, l'usage de calculatrices électroniques de 
poche & alimentation
autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé, une 
seule à la fois
étant admise sur la table ou le poste de travail, et aucun n 'e'change n 'est 
autorisé entre les candidats.

Introduction

Dans ce problème, on se propose d'étudier la modélisation d'un propulseur 
plasma susceptible d'être
embarqué sur des satellites comme moteur d'appoint de contrôle d'attitude. Le 
principe de ce
propulseur est d'injecter un gaz neutre à la rencontre d'un faisceau 
d'électrons ionisant. Les ions
produits sont fortement accélérés et leur vitesse de sortie du propulseur 
fournit l'impulsion et donc la
poussée nécessaire au satellite.

Pour que l'ionisation soit efficace, il est nécessaire de confiner les 
électrons par un champ magnétique
produit par un dispositif qui ne sera pas étudié dans ce problème. "

Les différentes parties du problème sont relativement indépendantes, à 
condition d'admettre les
expressions données dans l'énoncé. Dans la partie I. on étudie le rôle 
essentiel du champ magnétique
appliqué dans le processsus d'ionisation des atomes neutres de Xénon injectés 
dans le moteur. Une

première modélisation simple du fonctionnement en régime stationnaire est 
abordée dans la partie II.
et conduit aux courbes de la figure 4. Les insuffisances de cette modélisation 
conduisent alors à une

amélioration du modèle qui fait l'objet de la partie III. Compte tenu des 
résultats obtenus par
simulation figure 5, on développe dans la partie IV. une approche asymptotique 
simplifiée afin
d'obtenir l'expression analytique des paramètres caractéristiques importants. 
Pour garantir un bon
fonctionnement du propulseur, il est important que le flux d'ions soit stable 
et ne subisse pas,
notamment, d'oscillations temporelles, fréquentes dans les plasmas. On étudiera 
donc une de ces
oscillations en fin de problème dans la partie V.

Le schéma d'ensemble du propulseur est représenté figure 1.

Circuit magnétique

ions î

«\ /. Axe de symétrie

6166ü'on3 de révolution du
V dlSp081tlf

cathode

Dispositif d'injection des

Figure 1 électrons

Sur la figure 2, est représenté un schéma de
principe du même dispositif, en coupe (2.a.) et en
représentation quasi uni dimensionnelle simplifiée
(2.b.) dont le principe sera précisé dans la partie 1.

On distingue essentiellement trois zones, en allant

de la droite vers la gauche :
° entre la cathode et le point H, une zone

d'accélération des ions par le champ
électrique (fourni par le générateur de
tension Vd), ces ions étant créés par des
collisions électrons-neutres dans la région
H-D

° entre H et D une zone où se situe la
région d'ionisation des neutres par les
électrons

° entre D et l'anode une zone où coexistent
les neutres émis de l'anode vers la droite
avec la vitesse vn, des ions et des

B (a:)

électrons dont on verra qu'ils sont
essentiellement en régime diffusif, en
provenance des deux zones précédentes.

(b)
Figure 2

Un des paramètres cruciaux caractérisant l'efficacité d'un propulseur spatial 
est la vitesse de sortiefi

du fluide propulsif par rapport au moteur.
1. En raisonnant sur un système fermé que l'on précisera, établir que tout se 
passe comme si

dM..

l'éjection du fluide donnait lieu à une force supplémentaire (la poussée) : T : 
----------- u où M

dt

représente la masse totale de l'ensemble propulseur--fluide à l'instant t.

2. On suppose fi indépendant du temps et on souhaite accroître la vitesse du 
satellite d'une
quantité Av fixée dont on notera la norme Av. On néglige, pendant l'application 
de la poussée,

toute autre force s'exerçant sur le satellite. En déduire la masse de 
combustible dépensée Am afin
de réaliser cette variation Av en fonction de Av, u et de la masse M,, masse 
initiale avant

application de la poussée.

, , . Am . . ,
3. Tracer sur un meme graphe l'evolution de ---- en fonction de Av pour 
differentes valeurs de u.

M.

1

4. Conclure quant à l'intérêt d'avoir une valeur élevée de 11.

Un dispositif à plasma permet d'atteindre typiquement u de l'ordre de 3 104 ms1 
alors que les
propulseurs classiques à combustion chimique ne permettent que d'atteindre des 
vitesses
d'éjection dix fois plus faibles.

5. Sachant que dans les moteurs à plasma étudiés ici les débits de masse sont 
de l'ordre de la
dizaine de milligrammes par seconde, expliquer pourquoi ces moteurs sont 
utilisés pour les
contrôles d'attitude des satellites, mais pas pour le lancement et la mise sur 
orbite initiale.

Les données numériques nécessaires aux différentes applications demandées sont 
regroupées ci--
dessous.
° Constantes fondamentales :
masse de l'électron m = 9,10 10°3 ' kg
charge élémentaire e = 1,60 1049 c
constante de Boltzmann k = 1,38 10"23 JK"1
permittivité diélectrique du vide 80 = 8,84 10'12 Fm"l
° Masse d'un atome de Xénon : M = 2,1 10'25 kg
° Ordre de grandeur du champ magnétique : 2 10"2 T

° Vitesse des neutres : vn = 300 ms"'
° Débit massique des neutres à l'anode : m = 5,32 mg s'l
° Fréquences caractéristiques : ve = 106 s'1

v... = 6,4 105 s'1

° Energie d'ionisation du Xénon : E, = 12 eV

° Température électronique en B : kTeB = 1 eV

° Longueur du réacteur : d = 4 cm en Il, d = 2,5 cm en 111, IV, V
° Surface de l'anode : S = 45 cm2

° Rayons (cf. figure 2 (a)) : rl = 3,3 cm, & = 5 cm

Partie !

Rôle du champ magnétique sur la mobilité électronique et
l'efficacité de I'ionisaticn
On considère ici le réacteur, de longueur
(1, modélisé de façon quasi-bidimensionnelle
comme suit : la propagation des neutres et des

ions produits se fait suivant l'axe Ox, le champ
électrique étant aussi dirigé suivant Ox :

È=E(x)ëx
Le champ magnétique radial est supposé
ici uniforme et dirigé suivant Oz, la direction

orthoradiale étant ici modélisée comme deuxième
direction des coordonnées cartésiennes (Oy).

Figure 3

1.1. À quelle condition sur les dimensions du réacteur cette approximation 
est-elle justifiée ?

Dans toute la suite du problème on se place dans un cadre non-relativiste et on 
considère le référentiel
lié au satellite comme galiléen pendant la durée de transit des électrons dans 
le dispositif.

1.2. On considère d'abord le mouvement des électrons en l'absence de champ 
magnétique. En plus de

--.

la force électrique, ils sont soumis à une « force de frottement visqueux » 
d'expression ---mve u où m

est la masse des électrons, il leur vitesse et vEUR = Un,.
a. Rappeler la signification d'un tel terme dans l'équation du mouvement. A 
quoi correspond

la durée "Ce ? En régime permanent on peut alors écrire ü = '"eo E où Me0 est 
la mobilité.

Exprimer "ce en fonction de e, m et V.,.

b. On suppose que les électrons se meuvent dans un champ électrique uniforme 
créé par une
différence de potentiel de 300 V imposée sur la distance d = 4 cm. Les 
électrons sont
injectés dans le réacteur en x = d (par la sortie) avec une vitesse 
négligeable. Déterminer la
valeur numérique de Meo et de la vitesse atteinte en régime permanent. Si on 
suppose au

contraire que le terme de frottement est négligeable, quelle est la vitesse 
maximale atteinte
par les électrons, et la durée de leur traversée du réacteur (de x = (1 jusqu'à 
x = O) ?
Application numérique. Que conclure des résultats précédents quant à 
l'efficacité du
processus d'ionisation dans une telle situation '?

1.3. On considère à présent le mouvement d'ions de charge +e ou d'électrons 
dans un champ Ë
uniforme et permanent, en l'absence de champ électrique, les particules 
arrivant dans la zone de
champ perpendiculairement à ce champ, avec une vitesse de module vo.
a. Rappeler sans démonstration la nature des trajectoires. ,
b. Exprimer le rayon R de ces trajectoires en fonction de vo, B, e, rn (ici m 
peut être suivant
les cas la masse des électrons ou des ions).

c. En supposant que vo est la vitesse atteinte par les particules si elles sont 
accélérées par le
l

champ électrique de la question précédente sur la distance d, en déduire que R 
= Km2 où
K est une constante dont on précisera l'expression et m la masse des particules.
Application numérique : B = 2 10'2 T, calculer R pour les ions de Xénon, et 
pour les
électrons.

d. Conclure quant à l'influence du champ magnétique sur les ions dans les 
conditions de
l'expérience. Quelle est la nouvelle contrainte qui doit être vérifiée dans le 
cadre de la

question 1.1. ? Est-ce le cas ?

_.

1.4. On s'intéresse à présent au mouvement des électrons en présence des champs 
Ë et B croisés
(figure 3) et en tenant compte du terme de relaxation collisionnel --mvEUR ü 
(désormais et jusqu'à la fin

du problème, m désigne la masse de l'électron). Le champ des vitesses 
électroniques est décrit par ü(x)

en régime stationnaire. On néglige en première approximation l'accélération 
convective des électrons

dans les équations du mouvement. On pose ("be =--°Ë .

m

3. Ecrire l'équation du mouvement et la projeter sur les trois axes de 
coordonnées.
b. En déduire uz, une relation entre les composantes uX et uy, et montrer que 
l'on peut en

"(:O
2
1+ &
Ve
(1)

c. Application numérique : calculer --i et comparer Me et Meo- Calculer l'ordre 
de grandeur

V
e

déduire : u" = --ueE avec u =

EUR

de uX et de uy.

d. Conclure quant à l'efficacité du processus d'ionisation dans cette nouvelle 
configuration.

e. En analysant les équations du mouvement en l'absence de collisions, 
expliquer le rôle
déterminant du couplage champ électrique-champ magnétique pour piéger les 
électrons
tout en accélérant les ions.

f. On cherche à vérifier à présent la validité de l'approximation consistant à 
négliger
l'accélération dans les équations du mouvement des électrons. Exprimer 
l'accélération en
fonction du champ des vitesses et de ses dérivées spatiales. Évaluer un ordre 
de grandeur
des termes de l'accélération suivant ES,. et ëy; conclure sur la validité de 
l'approximation.

g. Le terme collisionnel traduit l'influence des collisions des électrons sur 
les neutres et doit
donc faire intervenir la vitesse relative (& -- vu) au lieu de ü . Montrer, 
toujours par une

étude d'ordre de grandeur, que ceci ne modifie pas de façon notable l'étude 
ci--dessus.

1.5. Etude microscopique simplifiée :
On cherche ici à retrouver directement par une étude microscopique simplifiée 
le mouvement de

...

dérive des électrons dans les champs croisés E et B dans le cas particulier où 
me >> ve. Les champs

E et B sont ici toujours supposés uniformes et perpendiculaires et on ne 
s'intéresse qu'au mouvement
d'un électron entre deux collisions, projeté perpendiculairement à B. On note 
vl(t) sa vitesse

--'
--.

perpendiculairement à B , v sa valeur juste,après une collision avec un neutre. 
On note 1:e

ro
l'intervalle de temps moyen entre deux collisions. On décompose \7_L(t) en v, + 
@@ où 6, ne dépend

pas du temps et v,... satisfait à une équation où n'intervient plus le champ 
électrique.

a. Exprimer alors v en fonction de B et B.

1

V =v +i V
h . On introduit la variable complexe V = V1 + V; avec : ' "' . 'y . Montrer que
. V2=v2X +1 v2y
dV, , , , . . .
dt" =1oeEUR V2 et en dedu1re ] expressmn de V(t) puis celle de r(t) = x(t) + 1 
y(t) en prenant

pour origine la position juste après la dernière collision.
c. En déduire moyennant quelques hypothèses que l'on précisera, dans le cas 
("Je >> 1 , que

le déplacement moyen entre deux collisions peut s'écrire (Ar) = -- i -E--r -- 
-----E--

BEUR Bd)e

d. Retrouver alors les expressions de ux et uy déterminées en I.4.b. (dans le 
cadre de
, . .
1 approx1mat10n oee >> Ve)-

Partie II

Première approche simpli iée d'une solution stationnaire

Les équations qui régissent le comportement des électrons, des ions et des 
neutres ainsi que
l'expression du champ électrique sont couplées et relativement complexes. On 
s'intéresse ici à une
mise en équation simplifiée conduisant par une résolution numérique à une 
première solution décrite
par les courbes de la figure 4. On note ni la densité particulaire des ions 
Xénon monochargés et 11EUR celle

des électrons.

Les hypothèses de ce premier modèle sont les suivantes :

(î)

(ii)
(iii)
(iV)

(V)

(Vi)

(vii)

Potentiel (V)

Taux d'ionisation (Il)" cm'3 8")

O'"NWÀM

quasi-neutralité du plasma (ni = ne) vérifiéé localement
toutes les grandeurs ne dépendent que de l'abcisse x
la distribution de champ magnétique B(x) ëz est imposée de l'extérieur (figure 
4.f)

les neutres, émis à l'anode en x = 0, ont une vitesse vn uniforme et constante 
parallèle
à l'axe du réacteur Ox
les ions positifs sont créés avec une vitesse initiale vn par impact des 
électrons sur les

neutres. Leur vitesse reste alors parallèle à l'axe Ox et ils ne subissent 
aucune collision
après leur création. Leur masse est notée M (ainsi que celle des neutres)
le mouvement des électrons est donné par les équations déterminées en I.4.b., en

particulier uX = -- ue(x) E(x) selon l'axe Ox

le nombre de collisions efficaces (conduisant à ionisation) par unité de volume 
et de
temps est décrit par S(x) = ki(Te(x)) nn(x) ne(x) où ki est une fonction connue 
(non
précisée ici) de la température des électrons Te décrivant la collision au 
niveau
microscopique.

Champ électrique (102 V cm") {\ ..:"
% _? 1'.5
:==» "2
E ;; 1.0
.S E
8 2
% $ 005
:. 3
on
1 2 3 5 5 0 1 2 3 4
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% 60 ; 2
: 50 "°
8 30 __:_r 1
'2 20 ":
ë %'
.2 ... E
' &" 0 g 0
1__234201234201...234
Posmon (cm) "' Position (cm) ' U Pos1üon (cm)

Figure 4

11.1. On note I'e(x), R(x) et I'n(x) les flux surfaciques de chaque espèce (ou 
densités volumiques de
courant particulaire) comptés algébriquement suivant l'axe orienté Ox.

a.
b.

Exprimer 1Ï,(x) en fonction de nn(x) et v...

En effectuant un bilan sur les neutres, déterminer une équation différentielle 
reliant I'n(x)
et S(x).

Relier les variations spatiales de Fe(x), I'i(x) et Pn(x), et en déduire 
l'expression de 11(x) et
Pe(x) à l'aide de l',,(x) et l',,(d), et des conditions aux limites Fn(0) et 
I'e(d) (on précisera la .
valeur choisie pour I'i(O) au vu des hypothèses du modèle).

La connaissance de I'n(x) nécessite alors celle de Te(x) et de ne(x) = ni(x).

11.2. Pour déterminer ni(x), on utilise l'hypothèse (v).

a.

On s'intéresse aux ions produits par unité de temps dans la tranche de section 
unité et
comprise entre les abcisses x0 et x0 + dxo. Exprimer la vitesse vi(x,xo) de ces 
ions lorsqu'ils
parviennent à l'abcisse x > x0 en fonction de la différence de potentiel <)
n,(X) u,(><) '

11.4. L'ensemble de la démarche ci--dessus permet alors la résolution du 
problème stationnaire par une
méthode numérique itérative par relaxation dont le détail ne sera pas abordé 
ici. Les résultats sont
représentés par les courbes de la figure 4 (on fera attention aux unités 
utilisées et à la double échelle,

potentiel à gauche, champ électrique à droite, de la figure 4 (a) ).

a.
b.
c.

d.

L'ionisation est--elle efficace ?

Pourquoi S(x) passe-t-il par un maximum ?

Le mouvement réel des ions n'étant pas tout à fait unidimensionnel, pourquoi 
choisit-on
de localiser la zone de champ magnétique plutôt vers la sortie du réacteur '?

Commenter la forme de la partie droite de la courbe 4 (b) m(x) (x > 3 cm) 
compte tenu de
l'allure de S(x) : que retrouve--t-on ici comme information concernant les ions 
?

11.5. On s'intéresse dans cette question à l'étude, à partir des courbes de la 
figure 4, de la validité de
certaines approximations effectuées dans la modélisation.

a.

On note An = (ni -- n,). En utilisant une équation de Maxwell, relier An aux 
variations

spatiales du champ électrique. En déduire un ordre de grandeur de An pour x = 2 
cm, 3
cm, 3,5 cm. Compte tenu de la courbe 4 (b) peut--on considérer que l'hypothèse 
(i) est

correctement vérifiée ici '?
On s'intéresse à l'hypothèse (vi) et on suppose que les électrons sont 
assimilables à un gaz

parfait de température Te(x) et de densité n,,(x). Quelle force n'a pas été 
prise en compte
dans le modèle pour l'étude du mouvement des électrons ? Donner son équivalent

volumique en fonction de se, nEUR et de leurs variations spatiales, puis en 
utilisant les
courbes, montrer que l'on ne peut négliger cette force dans la zone x > 1 cm.

On est donc conduit à reprendre les équations ci-dessus afin d'améliorer la 
modélisation et si possible,
en même temps, de préciser la forme du bilan énergétique. C'est l'objet de la 
troisième partie.

Partie III

Amélioration du modèle stationnaire

On considère à présent que les neutres, les ions et les électrons satisfont aux 
équations suivantes en
régime stationnaire :

(III.1.) -(%{(nêuX -- (%--(nêvi )= -- â-- nnvn )= kinenn et on note vi = k,n,1
(III.Z.) ' 'Ïxn = 0

(III.3.) Mvi%= -- egd%--ViM(Vi -- vn)

(III.4.) 0 = e neg£-Ê-- - -(--î--î--(--(ne k Te )-- vdm 11e 11" avec vd % Îî

III.].

a. À quoi correspondent les équations (III.1.) ? Quelle hypothèse est 
implicitement
conservée ici ?

b. Expliquer la forme du premier membre de l'équation (III.S.). À quoi 
correspond
physiquement le dernier terme de cette équation ?

c. En utilisant les résultats des parties 1 et Il, commenter l'équation 
(III.4.) : on identifiera
l'origine de chaque terme, on précisera quelles sont les approximations qui ont 
été
effectuées (termes manquants) et pourquoi. Pourquoi appelle--t-on vd fréquence 
effective

de diffusion axiale ?

III.2. Afin de pouvoir réaliser un bilan énergétique correct concernant les 
électrons en utilisant le
premier principe de la thermodynamique, on s'intéresse d'abord à l'étude 
simplifiée du bilan associé à
une ionisation. Lors d'une ionisation, un électron rencontre un neutre et 
provoque la création d'un ion
et d'un nouvel électron.

a. Si l'électron incident a une énergie de l'ordre de la dizaine 
d'électronvolts, et l'atome
neutre de Xénon une vitesse de l'ordre de 300 m s'1 , comparer leurs quantités 
de
mouvement.

b. Justifier alors que l'on a considéré en Il que l'ion était créé avec une 
vitesse vn égale à
celle des neutres.

c. En déduire que lors de l'ionisation, l'énergie E, nécessaire à la création 
de la nouvelle
paire (électron, ion) est essentiellement fournie par l'électron.

d. En comparant alors l'énergie disponible après le choc pour les deux 
électrons et l'énergie
de l'électron incident, montrer que tout se passe comme si l'électron incident 
perdait E, et
l'électron créé l'était avec une énergie nulle. "

e. En déduire que dans le bilan d'énergie, on peut oublier le terme associé aux 
électrons
créés en incluant seulement un terme associé aux pertes d'énergie de la forme 
-- vi ne E,-- par
unité de volume et de temps.

f. En fait, on écrit ce terme de perte II = -- V, a nEUR E, où ou est un 
coefficient sans dimension
de l'ordre de 2 à 3. En considérant que toutes les collisions n'aboutissent pas 
à une
ionisation, proposer une interprétation de on > 1.

111.3. On considère à présent le bilan énergétique issu du premier principe, en 
négligeant l'énergie
cinétique macroscopique des électrons devant leur énergie interne.
a. Quelle est l'expression de la puissance volumique cédée par le champ 
électrique aux
électrons ?

b. On considère le système ouvert constitué des électrons présents entre x et x 
+ dx évoluant
dans l'intervalle de temps (t, t + dt). Construire un système fermé adapté que 
l'on
précisera en tenant compte des conclusions de III.2.e. et Ill.2.f.. En lui 
appliquant le
premier principe, établir :

(Ill.5.) d(âneth,XuxEUR)=neu ÊÊ--vlocneEl
dx 2 dx

III.4. Une manipulation fastidieuse mais sans difficulté des équations 
précédentes permet d'obtenir les
dérivées spatiales de chaque variable en fonction de l'ensemble des variables 
du système. On obtient

dn G,=kTe--âMvÿ
ainsi par exemple : GluX ----'î = nEUR G2 avec 2 3 5
dx G2=vi[g0tiEi+ch,--gMux(2vi --vn) ""'diî'
a. Pourquoi dit-on que 61 = 0 correspond à une transition 
subsonique-supersonique pour les

ions ?
b. À quelle condition cette transition peut--elle avoir lieu de façon régulière 
(sans divergence
des dérivées spatiales) ?

1115. La résolution numérique des équations du modèle amélioré fournit alors 
les courbes de la figure
5 (On notera que la figure 5 (b) modifie les dimensions du réacteur, 
différentes dans cette simulation
de celles utilisées dans la partie H, E désignant le point de sortie, A l'anode 
de potentiel (DA et S le
point de passage sonique). Sur la figure 5 (a), 1 G = 10"4 T.

On remarque que l'ionisation est extrêmement localisée ici, en présence. d'un 
champ B qui n'est
pourtant négligeable nulle part . Proposer une explication à partir des courbes.

En s'aidant des courbes 5 (c), 5 (d) et 5 (g), expliquer pourquoi la zone 
située entre 0 et 15 mm est
appelée région de diffusion. Commenter les différences apparaissant entre les 
deux modèles dans cette

région.
100
© % ;îm
CO 100 È!
0 0 '

0 20 40 60 0 20 40 60
l?" zo "--
/'\ 60 "J;
E > _
â 4° _fi 10 Attention, courbe
0 0 'Vd =----Vd
0 20 40 60 0 20 40
/\300 A
3 E, 4 Æ--5
lâ"° "â %
| 100 | 2 lits 0.5
@ 0 A ÎÊL 0 f :
0 20 40 60 0 5 10
æ(mm) æ(mm) 2x(mm)

Figure 5

Afin de préciser les paramètres importants du modèle, on cherche, en exploitant 
les courbes, à trouver
.des expressions simplifiées des variables dans différents domaines, c'est le 
cadre de l'étude

asymptotique menée dans la partie IV.

Partie IV

Étude asymptotique : exemple dela région pré-ionisation

Compte--tenu des résultats de la figure 5 (h), l'ionisation est limitée à une 
couche de faible épaisseur en
amont du point S où l'écoulement des ions devient supersonique. On peut 
considérer en outre qu'en
amont de cette couche d'ionisation, dans la zone B-D (figure 2 (b) ), la 
fréquence effective de
diffusion axiale des électrons est à peu près constante et égale à m. Les ions 
présents dans cette zone

ont été produits en aval et donc v; < 0.

IV.1.

Que deviennent alors les équations (III.I.), (111.3.) et (III.S.) compte-tenu 
de ces
approximations ? En proposer des intégrales premières.
Les densités volumiques de courants particulaires I' - et I', ionique et 
électronique sont

toutes deux négatives dans la zone B- D considérée loi; on note I';B la valeur 
de F en B,
88 la valeur de I' ., en B et VB la valeur de la vitesse ionique associée en B.

. . . . 5kT B
Une étude plus approfondie et non abordée 101 montrera1t que viB = 
--'/--31©--î--) et que

_/1lB âï'Ïme x--p( e<®(B) )----------------)OE...(A)) à la transition entre la 
zone de quasi-neutralité et la

kT (B)

gaine très mince A-B chargée existant au voisinage de l'anode. On considère que 
xB z xA
= O. Déduire des équations précédentes la relation :

d 1 d 4 2 F dv.
(IV.1.) nkT +----nMv = ------Mv, --lB------'
dx ( ) 5 dx( ) 5 B v,2 dx
En utilisant également l'équation (III.4.) simplifiée, établir alors que :
d
(IV.2.) n MV nkT = --nev muX
dX ___--C( 12+) dX _( 6) d0
En déduire par élimination de Te entre ces deux équations que :
... Vi
dv . V! : Î \
(IV.3.) l-- -- 2--a--L-- = 2 ou on note 18 et ou on
vi X 36 = %"

précisera X0 en fonction des données en B.
En utilisant la relation entre 113 et I"eB et l'expression de Vila données en 
IV.l.b., et en

exploitant les courbes de la figure 5, donner une estimation numérique de xc en 
prenant

kTeB : 1 eV.
En intégrant (IV.3.), en déduire, en supposant que les ions sont à vitesse 
subsonique entre

D et B, que : (IV.4.) V, = 1 + î - J(1+îï _1

IV.2. L'estimation numérique effectuée en IV.l.d. montre que xc<< xD. On 
s'intéresse donc ici aux
expressions approchées des différents paramètres dans la zone de diffusion 
caractérisée par '>?" >> 1 .

a.
b.

Quel est le comportement asymptotique de Tri dans cette zone ?

En déduire que Te(x) et d 
dans cette zone

que l'on exprimera en fonction de Tag et (DB.
Comment est alors le champ électrique dans cette zone ?

d. Déduire alors de l'équation (III.4.) simplifiée l'évolution de la pression 
dans cette zone et
comparer à la courbe de la figure 5 (g). On utilisera dans la suite que, compte 
tenu de cette
figure, pB z 0. ,

e. À quoi est dû le mouvement des électrons dans cette zone '? Pourquoi 
est--elle appelée
région de diffusion ?

Les mesures expérimentales confirment bien l'existence de cette zone ainsi que 
ses caractéristiques.

IV.3. Afin de déterminer la position xD du début de la couche d'ionisation, on 
considère à présent que
vi n'est plus tout à fait nul, mais varie avec Te suivant :

(IV.5.) v. =v. e "c

tant que kTEUR reste inférieur à quelques E.

a. En utilisant les courbes, peut--on considérer que CD(x) reste constant '?
b. En utilisant alors l'expression obtenue en IV.2.d. pour la pression, en 
déduire une relation
entre T.,, uX et x où interviennent v..., et m.

c. En reprenant le bilan d'énergie (III.5.) et les équations de conservation 
(III.1.) dans ce
cas, établir alors :

d kT
(IV.6.) kT ( ") = (kT + âE.) v. de m x où â=--2--a
° dx " ' ' 5
d. Déduire de (IV.5.) que : (IV.7.) £i--Yl = E'2 dTEUR
vi kTe

e. V, variant beaucoup plus rapidement avec x que Te dans le début de la zone 
d'ionisation,
déduire alors de (IV.6.) et (IV.7.) que l'on a à peu près

1 1 _ , .
__ _ __ z A( Te,Ei,m,vdo,a ) x2 où V... est la valeur de vi dans la reg10n de

Vid V"

!

diffusion et A une expression que l'on précisera.

f. Compte tenu de la courbe 5 (h) caractérisant l'évolution de v,, en déduire 
en précisant le
raisonnement la position de l'entrée dans la couche d'ionisation en fonction de 
A et de vid.
On prend "oî = 1 . A l'aide des valeurs numériques données en introduction et 
de la valeur
de vd tirée de la courbe 5 (h), calculer n... V..., xc et xp et comparer les 
valeurs obtenues à
celles de la figure 5.

Partie V

Instabilité du plasma

Dans cette partie, on souhaite étudier un exemple d'oscillations qui peuvent 
naître spontanément dans
le plasma et entraver le bon fonctionnement du moteur.

Cet exemple est celui d'oscillations de la région d'ionisation, région 
d'extension faible en x et située à
l'abcisse xD près de la sortie du réacteur (figures 2 (b) et 5 (i) ). On 
suppose toujours valable
l'hypothèse de neutralité locale dans le réacteur. On note 1 l'extension 
typique en x de la zone
d'ionisation, l<
			

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Modélisation PSI 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) ; il a été relu par
Vincent Fourmond (ENS Ulm) et Jean-David Picon (École Polytechnique).

Ce sujet, qui comporte de très nombreuses questions, s'intéresse à la 
modélisation
d'un moteur ionique pour satellites. Il est divisé en cinq grandes parties 
précédées
d'une courte introduction :
· Les questions introductives constituent un exercice classique de mécanique 
portant sur la propulsion d'une fusée.
· La première partie étudie l'action des champs électrique et magnétique sur le
système et démontre en particulier comment la présence d'un champ magnétique 
permet d'augmenter le taux d'ionisation.
· La deuxième donne une première approche simplifiée du problème en régime
stationnaire. On y définit les notations utiles pour la suite, ainsi que la 
notion
de gaz parfait électronique.
· La troisième améliore le modèle du régime stationnaire. Des considérations
énergétiques permettent de dériver des relations supplémentaires et d'obtenir
une modélisation plus proche de la réalité.
· La quatrième se concentre sur la résolution des équations établies à la 
troisième
partie dans la région de pré-ionisation, où l'on peut négliger le taux de 
formation
d'ions. Elle nécessite d'avoir bien en tête les deux parties précédentes.
· Enfin, la cinquième partie est complètement indépendante des autres au niveau
conceptuel et propose une étude rapide et très simple des oscillations dans les
plasmas.
De nombreuses questions constituent des applications directes soit du cours, 
soit
des formules données par l'énoncé. Cela en fait un sujet abordable par tous. 
Les questions introductives ainsi que les parties I et V sont faciles et 
permettent de réviser
respectivement la propulsion des fusées, les effets des champs électrique et 
magnétique sur des électrons et les instabilités oscillatoires dans les 
plasmas. En revanche,
il est nécessaire d'avoir une idée précise du système et de son fonctionnement 
pour
aborder sereinement les parties II, III et IV, qui constituent le coeur du 
problème.
Celles-ci sont plus particulièrement axées sur les problèmes liés aux bilans de 
matière ou d'énergie, aux implications des hypothèses d'un modèle et aux 
résolutions
asymptotiques dans certaines régions.

Indications
I.1 Le champ est uniforme si la distance d'action est négligeable devant la 
courbure.
I.2.b Est-on bien dans un cadre non relativiste ?

est de l'ordre de uy /r1 , ce qui n'est pas
I.4.f L'accélération convective en uy
y
négligeable.
I.5.c Supposer que l'énergie de l'électron est entièrement absorbée dans le 
choc.
En outre, noter que pour  e  e  1,
e i e  e = 0
II.1.c Écrire une équation-bilan chimique et utiliser les connaissances 
correspondantes.
II.4.b Chercher où S(x) est presque nulle.
II.5.b Penser à la théorie cinétique des gaz : que manque-t-il pour avoir un 
vrai gaz
parfait ?
III.1.b Penser à l'accélération particulaire des ions.
III.2.f Si le choc n'aboutit pas à une ionisation, l'énergie peut être rayonnée 
par le
xénon.
III.3.b Le terme de gauche correspond à la variation d'énergie interne à 
laquelle on
soustrait le travail des forces de pression.
Considérer une tranche d'épaisseur
dx en x à l'instant initial, évoluant en une

tranche d'épaisseur dx + ux (x + dx) - ux (x) dt en x + ux dt à l'instant final.
III.4.a Estimer que 5/3 n'est pas très différent de 3.

III.5.b Regarder le potentiel et considérer que les chocs sont plus fréquents à 
mesure
que le champ magnétique augmente.
IV.1.a Lire le préliminaire de la question IV.3 pour trouver l'approximation.
Intégrer entre xB et x.
IV.1.b Isoler le membre de gauche et utiliser toutes les autres équations (y 
compris
intégrales) écrites précédemment pour mettre le membre de droite sous la
bonne forme, en introduisant TeB puis v iB .

vi
1 de
puis mettre tout ce qui reste à
IV.1.d Trouver d'abord le terme en 1 -
vei dx
droite dans la définition de xc .
1
1
IV.2 Développer d'abord en
plutôt qu'en pour simplifier les calculs
1+x
e
x
e
IV.3.f Chercher une relation très simple où intervient la densité nn de neutres
à l'anode.
Estimer  id au point B grâce à la valeur de  i0 donnée dans l'énoncé.
xc a déjà été calculé à la question IV.1.d.
V.3 Développer calmement au premier ordre et s'attendre à des simplifications.

Introduction
1 Plaçons-nous dans le référentiel galiléen géocentrique par rapport auquel on 
me
sure la vitesse -
v de la fusée.
La fusée n'a pas une masse fixe puisqu'elle éjecte constamment de la matière :
c'est, par essence, un système ouvert. Comme les principes de physique 
s'appliquent
à des systèmes fermés, on définit le système fermé coïncidant S  qui est 
composé :
· à l'instant t de la fusée de masse M(t) ;
· à l'instant t + dt de la fusée de masse M + dM et de la matière éjectée (-dM)
entre t et t + dt.
Remarquons dès à présent que la vitesse d'éjection de la matière se fait à la 
vitesse

-

u par rapport au moteur, c'est-à-dire à la vitesse -
u +-
v dans le référentiel galiléen

-
dans lequel est évaluée v .

-
S  est un système fermé. Soit P  sa quantité de mouvement. La relation 
fondamentale de la dynamique donne

-
P-

dP
=
F ext
dt

La variation de quantité de mouvement pour ce système s'écrit, au premier ordre,

-
-

-
d P  = P  (t + dt) - P  (t)
-

= -dM (-
u +-
v ) + (M + dM) (-
v + dv) - M -
v
-

-

d P  = -dM -
u + M dv

d'où

-

P-

d-
v
dM -

u +M
=
F ext
dt
dt

P-

d-
v
dM -

M
=
F ext +
u
dt
dt

Si l'on isole la variation de quantité de mouvement du système ouvert constitué 
par
la fusée, on voit qu'il est équivalent de considérer que l'éjection de matière 
donne lieu
à une force de poussée :
-

dM -

T =
u
dt

2 On suppose ici que -
u et -
v sont colinéaires à l'axe de translation (et donc de
sens contraire) : c'est le cas par exemple pour un réacteur primaire de fusée.
Toute autre force étant négligée, la projection de l'équation du mouvement donne
M

dv
dM
=
(-u)
dt
dt

dM
M
et comme u est supposée constante, on obtient, avec Mf = Mi - m,
Mf
v = -u ln
Mi

m
d'où
v = -u ln 1 -
Mi

et on en déduit
m = Mi 1 - e -v/u
On sépare les variables :

dv = -u

3 On peut tracer l'évolution de m/Mi en
fonction de v pour différentes valeurs de u
(u1 < u2 < u3 ).
4 Par conséquent, plus u est grand, plus on
peut obtenir une grande variation de vitesse
pour une même masse de carburant consommé
(v1 < v2 < v3 ).

m
M
i

u2

u1

u3

v1 v2

v3

v

5 La poussée s'exprime comme le débit que multiplie la vitesse. Un rapide calcul
donne
T = 1.10-2 × 3.104 = 300 N
La force produite est à peine suffisante pour soulever une masse d'environ 30 
kg à
la surface de la Terre. . . Par suite, on ne peut utiliser ces moteurs que 
lorsque g est
totalement négligeable, ou compensée par la rotation du satellite autour de la 
Terre.
Ils ne sont pas efficaces lors du lancement ou de la mise en orbite initiale.

I. Rôle du champ magnétique
sur la mobilité électronique
et l'efficacité de l'ionisation
I.1 Le champ magnétique peut être supposé
uniforme à condition qu'un déplacement de dr
dans l'anneau du réacteur produise une variation d'orientation d négligeable. 
Il faut donc
que l'on ait, en ordres de grandeur,

r2

r1

r2

2 (r2 - r1 )
1
r2 + r1

r1

r1

+ r2
2

Avec les données fournies par l'énoncé, on remarque que l'approximation n'est
pas vraiment justifiée, mais on verra à la question I.3.d qu'on n'a en fait 
besoin que
d'une contrainte plus faible.