X/ENS Physique PSI 2007

Thème de l'épreuve Télescopes, turbulences atmosphériques et optique adaptative
Principaux outils utilisés optique géométrique et ondulatoire, ondes électromagnétiques
Mots clefs optique adaptative, interférences, diffraction

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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CX 7613

SCIENCES PHYSIQUES

DURÉE: 4 HEURES

Aucun document n 'est autorisé.

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non 
imprimantes et
sans document d'accompagnement, est autorisé, une seule à la fois étant admise 
sur la table
ou le poste de travail, et aucun échange n 'est autorisé entre les candidats.

Le sujet comporte 12 pages

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le signale sur
sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amené à prendre.

Télescopes, turbulences atmosphériques et optique adaptative

Observer des astres au télescope conduit à des images fortement dégradées. Ce 
phénomène est
dû au fait que la lumière émise par les astres traverse l'atmosphère. En effet, 
cette dernière est
composée de différentes masses d'air ayant chacune une vitesse de déplacement 
propre. Ces
mouvements se traduisent par des fluctuations aléatoires de densité et donc 
d'indice de réfraction de
l'air. Localement s'opèrent des avances ou des retards de phase aléatoires dont 
l'effet global est une
déformation du front d'onde et donc de l'image obtenue. L'optique adaptative a 
pour but la correction
en temps réel de cette déformation en utilisant la contre déformation d'un 
miroir déformable.

Ce problème comporte trois parties dans une large mesure indépendantes. Dans la 
première
partie on compare les caractéristiques d'un miroir sphérique simple avec celles 
d'un télescope, ainsi
que l'influence de la diffraction sur la résolution de ces systèmes optiques. 
Dans une seconde partie,
on modélise les turbulences atmosphériques, puis on établit leurs effets sur la 
forme de l'image d'une
étoile. Enfin, dans la dernière partie on étudie un dispositif d'optique 
adaptative, en particulier un
système analyseur de front d'onde, et les dispositifs mis en place pour 
corriger les effets de la
turbulence.

Lors de la correction, une grande attention sera portée aux remarques de 
caractère physique, à --
la clarté de la rédaction, ainsi qu'à la présentation. Il est demandé au 
candidat de rappeler le numéro
identifiant une question avant la solution qu'il propose.

Convention de signe et notation

A tout signal sinusoïdal de la forme : s(t) : sO cos(oet -- (j)) , on associe 
un signal complexe de la
forme : s(t) = s() exp[i(oet -- (b)] où i est le nombre complexe dont le module 
est égal à 1 et l'argument à

TC

2
Pour une grandeur se propageant, on écrit : s(Î, t) : so exp[i(oet -- d>(Î))] : 
S(Y)exp[i(oet)j
où S_(Î) : s0 exp[-- i(b(Î)] est l'amplitude complexe de l'onde en ? .

Données numériques :

Masse de l'électron : m = 9,110"31 kg
Charge de l'électron : -- q : --l,6 10"19 C
Permittivité diélectrique du vide : 80 = 8,8410'12 F.m"1
Nombre d'Avogadro : N = 6,021023

Masse molaire de l'air : Ma : 29 g.mol"
Vitesse de la lumière dans le vide : c = 3 108 ms"1

Vitesse des ondes sonores dans l'air à T=293K : cS : 343 ms"1

Constante des Gaz Parfaits : R = 8,32 J.mol"' .K"1

Partie I : Etude et propriétés des télescopes.

I.1°2 Etude d'un miroir sphérique
Question ] :

En optique géométrique, que sont les conditions de Gauss pour des rayons 
lumineux incidents sur
un système optique tel une lentille ou un miroir '? Expliquer ce qu'est 
l'approximation de Gauss.

On considère un miroir sphérique de rayon R, de centre C, de sommet S, et de
diamètre d'ouverture D, représenté sur la figure la et modélisé pour le reste de

l'épreuve par la figure l.b.

Figure l.b

Dans les conditions de Gauss, on rappelle que la relation de conjugaison 
reliant la
position d'un point objet A sur l'axe à celle de son image A' est donnée par :

l l 2

=+=------

SA SA' &
Question 2 :

Définir et donner la position des foyers objet F et image F' de ce miroir 
sphérique. On appellera

distance focale f la quantité f : 8Ï5 . Exprimer f en fonction de R.

uestion 3 :
Soit une source lumineuse ponctuelle placée en un point A sur l'axe (02), situé 
à une distance L du

sommet S du miroir.
A quelle condition sur L peut-on considérer que les rayons lumineux issus de A 
forment un

Î

faisceau de rayons parallèles à l'axe ? On justifiera sa réponse par un 
raisonnement qualitatif sur la

forme de la surface d'onde au niveau du miroir.
Quand cette condition sur L est vérifiée, où se situe l'image de A ?

Dans toute la suite du problème on s'intéressera à des étoiles considérées comme
des objets lumineux ponctuels vérifiant les conditions de la question 3.

Question 4 :

Soient deux étoiles A et B. On suppose l'étoile A sur l'axe optique (Oz), 
l'étoile B étant située au
dessus, dans une direction faisant un angle oc avec (Oz).

Donner la position de leurs images respectives A' et B'. Calculer A'B' en 
fonction de R et de oc.
On place dans le plan où se forment les images A' et B' une caméra numérique 
composée d'une
matrice rectangulaire de détecteurs élémentaires, appelés pixels, de forme 
carrée, de côtés h : 9um .

Chacun de ces pixels mesure l'intensité lumineuse qu'il reçoit et transmet 
l'information
correspondante séparément.
Quelle est la condition sur ou pour que la caméra distingue les deux étoiles A 
et B. On donnera

l'expression d'un angle minimum ou...... dont on calculera la valeur numérique 
en secondes d'arc
sachant que R = 30 m .

I.2°) Etude d'un télescope

Dans cette partie, on étudie les caractéristiques optiques d'un télescope 
constitué de
deux miroirs sphériques : M1 concave de sommet S], de rayon R1 = R = 30 m et M2

convexe de sommet SZ, de rayon R2 = 5 m disposés comme sur la figure 2 :

M1 '

D1

Figure 2

La lumière provenant de la gauche du schéma, un rayon lumineux incident se
réfléchit sur M1 puis sur M2 et traverse le miroir Ml par un trou de diamètre
D : 0,9m percé en son centre. On observe sur une caméra centrée sur l'axe (OZ)

placée à droite de M1 les images des objets lumineux étudiés.
On donne les diamètres d'ouverture des miroirs : D1 : 8m et D2 =lm . 81 et SZ

sont tels que 8281 = +d : 12,8m .
On s'intéresse aux images formées par le télescope des deux étoiles A et B de la
question 4.

Question 5 :
Soit A1 l'image de A par M1 et A2 l'image de A1 par M2. Calculer SZA2 et faire 
l'application

numérique.
On appelle encombrement d'un système optique la longueur totale du système 
suivant l'axe

optique, à partir de l'entrée du système jusqu'au plan dans lequel on observe 
les images.
Comparer l'encombrement du télescope avec celui du miroir de la partie I. 1 °). 
Conclure.

uesti0n 6 :
Faire une construction soignée et détaillée des images B1 et B2 de l'étoile B 
par les miroirs

successifs. On fera bien apparaître sur la figure la méthode utilisée.
Calculer A1B1 , puis A,_B2 (on pourra mettre A2B2 sous la forme d'un facteur 
numérique

l

multiplié par l'angle oc défini question 4).
On place la même caméra que celle définie dans la question 4, telle que sa 
surface active soit
perpendiculaire à l'axe optique et passant par A2. Quel est l'angle minimum 
d'...... au-delà duquel la

caméra sépare les images de A et B '? Calculer d'...... en seconde d'arc et 
comparer avec on.... Conclure.

Question 7 :

La puissance surfacique transportée par le faisceau de lumière issu de chaque 
étoile et mesurée au
niveau des miroirs est la puissance par unité de surface transverse à la 
direction de propagation, on la
note 10.

Calculer les puissances totales PO(A) et PO(B) arrivant sur le miroir de la 
question 4 en supposant
qu'il a le même diamètre que le miroir M1 et en négligeant l'étendue de la 
caméra. Calculer la
puissance totale PT(A), issue de A arrivant sur le télescope, ainsi que PT(B), 
celle issue de l'étoile B.

PT (A) Pi-- (B)
Po (A) Po (B)

. Conclure sur l'intensité relative des images des deux étoiles pour les

et . Conclure.

Donner les valeurs numériques des grandeurs

PT(B) Po (B)

PT (A) Po (A)
systèmes télescope et miroir seul.

Question 8 :

Le champ angulaire total du télescope correspond à l'ensemble des directions oc 
qui permettent

d'obtenir une image sur la caméra. Il est caractérisé par la valeur on,... de 
oc, angle au-delà duquel les
rayons incidents ne parviennent plus à la caméra. On supposera que ce champ 
n'est pas limité par la
taille de la surface active de la caméra, mais par le diamètre D du trou percé 
dans le miroir M].

Calculer en degré ou...... (on pourra déterminer BZ,... l'image extrême 
observable et utiliser le résultat
de la question 6). Y'a--t--il une limite au champ d'observation d'un miroir 
seul '? Conclure.

Question 9 :

Soit une lentille convergente de distance focale F. Soit A" et B" les images de 
A et B par cette
lentille. Quelle doit être la valeur de t' pour que la distance A"B" soit égale 
à la distance A2B2
obtenue avec le télescope '?

I. 3°) Prise en compte de la diffraction

Dans cette partie, on prend en compte les effets de la diffraction sur les
performances du télescope. Pour simplifier, on modélisera le télescope par la
lentille de la question 9. Celle--ci aura un diamètre égale à D], sa monture
constituant la pupille diffractante. On néglige les effets de la diffraction 
par le
miroir M2 et par le trou percé dans Ml.

Comparer et

13°) a) Généralités sur la diffraction de Fraunhofer.

Question 10 :

Rappeler en quelques lignes la signification physique du principe 
d'Huygens--Fresnel.

On rappelle que dans le cadre de la diffraction à l'infini (aussi appelée 
diffraction
de F raunhofer) par une pupille contenue dans le plan (xOy), le principe de
Huygens-Fresnel se traduit mathématiquement par l'expression suivante de la
vibration lumineuse en un point M situé à l'infini après la lentille :

5(M)=K JJ sO>exp(i-Êgÿ(u+ye)}n«u

pupille
K étant une constante, ?... la longueur d'onde dans le vide de l'onde 
incidente, n
l'indice du milieu après la pupille, P un point de la pupille, et _S_O(P(x, y))
l'amplitude complexe de l'onde incidente sur la pupille en P. ü(y,B,ç) est le

vecteur directeur unitaire du rayon passant par P diffracté vers M (on supposera
dans tout le problème y et B faibles devant l).

Question 11 :

Dans le cas d'une pupille de dimension très grande devant ?... suivant l'axe 
(Oy), comment se
simplifie l'expression de _S_(M) donnée ci--dessus '? On raisonnera de manière 
qualitative sans aucun

calcul.

Question 12 :

On se place dans la configuration expérimentale où la pupille est une fente de 
largeur a suivant

(Ox) et de longueur L>>ÀO suivant (Ov) et baignant dans un milieu d'indice n. 
On observe la figure de
diffraction sur un écran dans le plan focal d'une lentille convergente de 
distance focale f', noté
(XO'Y), O' étant l'intersection de (Oz) avec l'écran et les directions (O'X) et 
(O'Y) étant

respectivement parallèles à (Ox) et (Oy).
On cherche à déterminer l'intensité lumineuse sur l'écran quand la pupille est 
éclairée par une onde

plane dont la direction de propagation contenue dans le plan (sz) fait un angle 
ce (très petit devant ])

au--dessus de l'axe optique (Oz).
i) Faire un schéma du dispositif expérimental faisant apparaître un rayon 
incident, le point P et

le point M.
ii) Exprimer _S_O (P) en fonction de l'amplitude de l'onde incidente A0, de M, 
n, oc et x.

iii) Exprimer y en fonction de X et f".
On rappelle que l'intensité lumineuse est définie par : I(M) : k_S_(M)5 * (M) , 
k étant une constante

et _S_* le complexe conjugué de _S_.
2
. nna( X)
sm ---- oc + ----
( 7\.0 f '
I(X) = I()

iv) Montrer que I(X) s'écrit: -------------------------
una X
7»0 ( f )

, 10 étant l'intensité en O' que

l'on exprimera en fonction de k, K, L, a et A0.
v) Tracer l'allure de la courbe représentative de I(X). On s'attachera à mettre 
en évidence les

caractéristiques de la tache centrale de la figure de diffraction. Faire un 
dessin représentant l'intensité
lumineuse dans le plan (XO'Y).

Question 13 :

Donner, sans aucun calcul mais par analogie, l'expression de I(X,Y) si la 
pupille est rectangulaire
de côtés a suivant (Ox) et b suivant (Oy). Faire un dessin de l'intensité 
lumineuse dans le plan

(XO'Y).

13°) b) Propriétés de la tache d'Aig.

Le télescope est modélisé par une lentille convergente de
diamètre D1 et de focale ? , formant une pupille
diffractante circulaire. On souhaite déterminer les
caractéristiques de la tache centrale de la figure de
diffraction correspondante. La résolution mathématique
du problème étant complexe on raisonnera de manière
qualitative. Pour ce faire, on constate que la pupille
diffractante est inscrite dans un carré et qu'elle contient
un carré comme l'indique la figure 3.

Question 14 :

Quelle est la forme de la tache centrale de la figure de diffraction ? On 
justifiera le résultat en une
ou deux phrases.

Question 15 :

On souhaite évaluer un ordre de grandeur de la demi--largeur suivant (OX) de la 
tache centrale de
diffraction, que l'on notera Ro. En utilisant les résultats des questions de la 
partie I.3°)a) et en

Figure 3

À0f'
nD1

7\. f '
raisonnant sur la direction (Ox), justifier que : < RO < «Æ ---Ë-- .
n

La tache centrale de la figure de diffraction d'une pupille circulaire 
s'appelle la

X f '
tache d'Airy et dans la suite du problème on prendra R0 : 1,22--Ë-- .
n 1

13°) 0) Pouvoir de résolution du télescope.

On s'intéresse à nouveau aux images des deux étoiles A et B de la question 4 
par le
télescope. Le critère de Rayleigh stipule que deux taches lumineuses sont
séparables si leurs centres sont éloignés d'une distance supérieure ou égale à 
la

demi largeur des taches.

Question 16 :

Déterminer l'angle on minimum, noté ocd, qui permet de distinguer les images de 
A et B. Donner la
valeur numérique de ocd en seconde d'arc en prenant % = 0,5 um, l'indice de 
réfraction de l'air sera

pris pour cette question égal à 1.
Comparer la valeur de ocd avec celle de d'...... trouvée à la question 6. 
Conclure sur le choix de la
taille du miroir : est-il trop grand, trop petit, ou bien appr0prié à la caméra 
utilisée ? Justifier votre

réponse.

Partie II : Effet de la turbulence atmosphérique.

Dans un premier temps, on étudiera la dépendance de l'indice n de l'atmosphère

avec sa masse volumique p, pour ensuite modéliser les conséquences de ces
variations sur le front d'onde provenant de l'étoile observée.

II.1° Turbulence atmos héri ue et indice de réfraction

Il.l°) a) Dépendance de n en fonction de 9.

Pour déterminer la dépendance de n en fonction de p, on utilise le fait que n 
est lié
à la polarisabilité des atomes. La polarisabilité, notée x, est la capacité 
d'un atome

-->

à acquérir un moment dipolaire électrique p sous l'action d'un champ électrique

extérieur Ë . On a la relation : p : xË .
On admettra que l'indice d'un milieu est lié à la polarisabilité des atomes qui 
le

. . . , N ,
constituent par la relat1on su1vante : n : l+ VX ou Nv est le nombre d'atomes
80

par unité de volume et 80 la permittivité diélectrique du vide.

Le but de cette partie est donc de calculer x. Pour ce faire on utilisera une
modélisation extrêmement simplifiée de l'atmosphère : on considère un gaz 
parfait
monoatomique et on suppose que seul un électron par atome est soumis au champ

électromagnétique extérieur (Ê,Ë). Ce champ est celui de l'onde lumineuse issue
de l'étoile A traversant l'atmosphère. En particulier, le champ électrique lié à

l'onde lumineuse au niveau de l'atome s'écrit : Ë_ : Ë'O exp[i(oet -- kz)]

Question 1 7 :

Rappeler l'expression de la force de Lorentz que le champ électromagnétique 
(Ë,Ë) exerce sur

l'électron.
On suppose que la partie magnétique de cette force est négligeable devant la 
partie électrique. A

quelle condition sur la vitesse v de l'électron cette hypothèse est--elle 
justifiée ?

En supposant que le mouvement propre de l'électron en l'absence de champ 
extérieur est circulaire
uniforme autour du noyau, évaluer sa vitesse et vérifier la validité de 
l'hypothèse (on prendra des
ordres de grandeur plausibles pour le numéro atomique de l'atome et le rayon de 
l'orbite de

l'électron).

Par la suite, on ne tient plus compte du mouvement propre de l'électron dans
l'atome, il est donc repéré par rapport au noyau par la variable ? telle qu'en

_»

l'absence de champ électrique extérieur ? = 0 . L'action du noyau sur 
l'électron est

---v

r ' r 2--* \
modelrsee par une force de rappel de la forme F : --moeor , ou m est la masse de

I'

l'électron et (00 une constante.

Question 18 :

Evaluer l'ordre de grandeur des variations de kz lors du mouvement de 
l'électron. En déduire que

_, _> _.

le champ électrique vu par l'électron peut se simplifier en: E=EO exp(ioet). On 
donnera EO en

fonction de Ë'O , k et zo qui représente la position du noyau de l'atome 
considéré.

Question 19 :

En tenant compte des résultats des questions précédentes établir l'équation du 
mouvement pour
l'électron. Exprimer ? en régime sinusoïdal forcé.
En déduire la valeur du moment dipolaire électrique 13 constitué par une charge 
positive du noyau

et l'électron considéré. En déduire l'expression de x en fonction de q, m, 00, 
et (00.

Question 20 :

Déduire de ce qui précède l'expression de n. La simplifier si 00 << oe0 .

2
Nq 2 p où N est le nombre d'Avogadro et Ma la masse
mMa80oeo

Montrer que n s'écrit: n %

molaire du gaz considéré (ici de l'air).

Question 21 :
En supposant que l'air se comporte comme un gaz parfait avec T=293 K et P=l 05 
Pa, calculer p.
. . >< ' .
Sachant que oeo=l,l 1016 rad.s'1 en dédu1re que l'on peut écr1re : n x l + q 2 
p , express1on que
2mMa80oeo

l'on conservera par la suite.

11. 1°) b) Turbulence et variation de 9.

On souhaite montrer ici que les turbulences de l'atmosphère caractérisées par la
vitesse de l'air créent des variations de masse volumique et par conséquent
entraînent des fluctuations de l'indice de réfraction.

Question 22 :

F aire un bilan de masse sur un volume de contrôle VC quelconque et en déduire 
l'équation locale de
conservation de la masse.

Les turbulences entraînent des variations des grandeurs thermo--mécaniques, on 
note : P = P0+p,
p = po+ôp (P et p étant respectivement la pression et la masse volumique, go et 
ôp leurs variations par
rapport aux grandeurs moyennes PO et po) et v le champ de vitesse eulérien de 
l'air. Dans le cas de

turbulences de faibles amplitudes, on suppose que go, bo et &? sont des 
infiniment petits du premier

ordre.
Linéariser l'équation de conservation de la masse établie précédemment.

Question 23 :

Dans cette question nous modéliserons les variations des grandeurs 
thermo-mécaniques de
l'atmosphère par une perturbation harmonique. Nous écrirons donc :

_Ê_S_p_ : ôp exp{i(oet -- 12 - ?)} et ÿ : v exp{i(oet ----- lÊ - ?)}

Rappeler l'expression de l'équation de D'Alembert relative à la propagation 
d'ondes sonores

faisant intervenir la vitesse de ces ondes dans l'air : cs. En déduire une 
relation entre os, 00 et k.
En utilisant les résultats précédents et l'équation linéarisée de conservation 
de la masse, trouver une

relation entre po, ôp, v : "?!" et cs.

En quoi l'étude d'une perturbation harmonique peut-elle être utile pour obtenir 
des renseignements
sur une perturbation de forme plus réaliste ?

Question 24 :
Déduire de ce qui précède la relation suivante entre la variation de l'indice 
de réfraction et la
. . N '
v1tesse de l'air : ôn : ------3----892----v
2mMasooeocS

On pose ôn : KV Calculer la valeur numérique de K.
Soit une couche d'air d'épaisseur e : lOkm . Quelle doit être sa vitesse pour 
que la différence de

marche d'un rayon qui la traverse par rapport à un rayon qui traverserait la 
même couche immobile,
soit égale à ?... ? F aire l'application numérique pour ?... = 0,5 um . 
Commenter le résultat.

II.2°) Effet des turbulences sur la forme d'un front d'onde et sur l'image 
d'une étoile

II.2°) a) Effets de variations d'indice sur la structure du front d'onde.

Afin de modéliser la forme du front d'onde après la traversée de l'atmosphère
turbulente, on étudie les effets de quelques milieux inhomogènes simples.

Question 25 :

Définir ce qu'est une surface d'onde et énoncer le théorème de Malus.

Question 26 :

Dans un milieu d'indice 11, une zone cylindrique de diamètre ro et de

hauteur e suivant (Oz) (figure 4) possède un indice n+ôn (on supposera
ôn > O ). Soit une onde plane incidente de direction de propagation parallèle à

(Oz) et de longueur d'onde dans le vide ?.... En prenant comme origine des
phases le point 0 : cp(O)= O , calculer o(x,z) pour z > e (on distinguera les

r r
deux cas |x| < --â-- et |x| > --â-- .

Tracer sur un schéma similaire à la figure 4 une surface d'onde dans la zone 
z<0, puis dans la zone
z > e (on fera apparaître dans ce dernier cas sur le schéma une longueur qui 
caractérise

quantitativement la forme de cette surface et que l'on exprimera en fonction de 
n, ôn et e).

Question 2 7 :

Dans un milieu d'indice n, la zone comprise entre z = O et z = e possède un 
indice variable de la
forme n+bx avec Oe,

cp(x,z) en fonction de ?..., z, x, b, 11 et e. Tracer une surface d'onde dans 
la zone z>e (on donnera
l'expression de la grandeur géométrique qui caractérise la trace de cette 
surface d'onde dans le plan
(sz) en fonction de b, e et n).

112") b) Image d'une étoile en tenant compte de la turbulence.

Les résultats des deux questions précédentes sont utilisés pour modéliser le 
front
d'onde issu d'une étoile située sur l'axe (Oz) (étoile A) à son arrivée sur la 
pupille
d'entrée du télesc0pe, après avoir traversé les turbulences atmosphériques.

D'une part l'effet moyen des turbulences sera modélisé par une variation 
linéaire
de l'indice similaire à celle de la question 27.

D'autre part, pour tenir compte des variations plus fines de la vitesse, on 
découpe
dans le plan d'entrée du télescope perpendiculaire à (Oz) des zones d'étendue ro
dans lesquelles on suppose que la vitesse est constante. Chaque zone sera 
repérée

. . r r
par un 1nd1ce p tel que x E {pro -- -23, pro + --â--} . Dans chacune de ces 
zones, en plus

de l'effet moyen, on ajoute l'effet d'une variation aléatoire de
l'indice, ônp, équivalente à ce qui a été traité à la question 26.
Sur la figure 5 ci-contre est représentée la pupille d'entrée du
télescope de diamètre D1 et symboliquement l'effet de la
turbulence atmosphérique dans le cas simplifié où les
variations ont uniquement lieu suivant l'axe (Ox) et où l'on a
découpé le front d'onde en 7 zones.

L'onde issue de l'étoile A située sur (Oz), pénètre dans
l'atmosphère en z = 0, avec une amplitude AO_ On prend 0
comme origine des phases. Au niveau de la pupille d'entrée
du télescope en z = e , son amplitude complexe s'écrit donc :

@@ (P(x, z = e)) = AO expl-- im(P(x, z = «M

De manière plus générale et par analogie avec la figure 5, on
divise l'atmosphère devant le télescope en 2N+l zones

Figure 5 d'indice n(X) : n+bX+ônp avec p EUR [-- N,+N] et tel que
(2N + 1)r, = [)1 .

Question 28 :
Donner l'expression de l'amplitude complexe _S_O (P(x, z = e)) de l'onde issue 
de l'étoile A au
niveau de la pupille d'entrée du télescope pour x E {pro ---- %--, pro + %}, p 
EUR [--- N,+N] .

Question 29 :

Pour simplifier les calculs, on assimilera l'entrée du télescope à une fente de 
largeur D1 suivant

(Ox) et de grande taille L>>Ào, suivant (Oy) et on modélisera le télescope par 
une lentille de focale f' .
Sachant que l'expression simplifiée du principe d'Huygens-Fresnel s'écrit dans 
ce cas :

g(M)= K " _s_, (p(x, z : e))exp(i "'"X x}ixdy,

7t0f'
mettre l'amplitude complexe de l'onde diffractée en un point M du plan focal 
sous la forme :

-Ï--g(X)) ...

S(M(X)) : KLAOrO exp[-- i(Po ]l------

3° 2 exp(id>p (X))
X; g(X) ='N

Exprimer (po en fonction de n, e, ?... ; montrer que g(X) est une fonction 
affine de X et des paramètres
b, n, e, f', ro, et que CDP(X) est une fonction affine de X et des paramètres 
b, n, e, f" , l'0, ?..., p et ônp.

Question 30 :
Justifier que : Î Î exp[i(OE>p (X) ---- CD q (X))] % 2N +1 pour N>>l.

p=--N q=--N

Question 31 :

Compte tenu de l'approximation de la question 30 donner l'expression de 
l'intensité diffractée dans
le plan focal du télescope I(M(X)).

Décrire la tache de diffraction de l'étoile A en présence de turbulence et la 
comparer avec celle
obtenue pour une atmosphère d'indice n uniforme. En particulier :

i) donner la position de son centre et l'interpréter en s'aidant de la question 
27,

ii) donner sa taille et l'interpréter en fonction des fluctuations aléatoires 
ônp de l'indice,
iii) donner son intensité maximale et expliquer la différence avec le cas sans 
turbulence.

II.2°) c) Conséquence sur la résolution du télescope.
Question 32 :

En utilisant le critère de Rayleigh énoncé en 13") c), déterminer l'angle oc 
minimum, noté a..., qui
permet de distinguer les images de A et B. Le comparer avec l'angle ocd calculé 
à la question 16.

Conclure sur l'effet de la turbulence. On donne rO : 10cm pour ÀO : 0,5 um .

Question 33 :

Expliquer pourquoi les résultats précédents semblent montrer qu'il est inutile 
d'utiliser un miroir
d'ouverture supérieure à D...... que l'on précisera. Quel est toutefois 
l'intérêt d'augmenter le diamètre
des télescopes (même en présence de turbulences) '?

Partie III : Utilisation de l'O ti ue ada tative .

III.1° Princi e énéral de fonctionnement

Le principe de fonctionnement de l'optique adaptative est détaillé sur la 
figure 6 :

Front d'onde Lame Front d'onde
déformé séparatrice corrigé
\ J,
Correcteur
l' >
/ L1 î L2 ?
Foyer image Image
du télescope Analyseur finale
Calculateur
figure--6

Le faisceau de lumière incident provenant de l'étoile observée est déformé par 
la
turbulence atmosphérique. Il pénètre dans le télescope puis est envoyé par la
lentille L1 sur un système correcteur de surface d'onde. En sortie de ce 
correcteur,
une lame séparatrice prélève une copie de la surface d'onde et l'envoie sur un
dispositif qui l'analyse. Le calculateur détermine à partir des résultats qui 
lui sont
transmis par l'analyseur les commandes qui contrôlent le correcteur. Le front
d'onde corrigé est focalisé par la lentille L2 pour obtenir l'image finale.

Question 34 :

Pourquoi la séparatrice est-elle placée après le système correcteur et non pas 
avant '?

Question 35 :

On appelle temps de cohérence des turbulences atmosphériques, noté "EQ, le 
temps pendant lequel

- A ' r r ' r
les foncüons ônp(t) peuvent etre cons1derees comme constantes. TC est donne par 
la formule "CC = --O ,
v

où ro est la taille des zones de turbulences définies dans la partie II.2°) b) 
et v la vitesse moyenne de
l'air dans cette zone. Estimer l'ordre de grandeur de la fréquence avec 
laquelle l'analyseur, le
calculateur et le système mécanique du correcteur doivent être capable d'agir 
sur le front d'onde. Faire
l'application numérique pour ro = 10 cm et v = 1 ms".

10

seur de surface d'onde : interféromètre ar dédoublement latéral

On étudie l'onde issue de l'étoile A, située à l'infini sur l'axe (Oz). Les 
turbulences
atmosphériques perturbent les surfaces d'onde qui ne sont plus des plans. Dans 
un

plan 2 constant la phase de l'onde n'est donc plus constante mais vaut (pz(x). 
Pour
corriger l'effet des turbulences il faut pouvoir connaitre la fonction (pz(x). 
Un

interféromètre par dédoublement latéral permet de mesurer (pz(x). Le principe
simplifié du fonctionnement de l'interféromètre est décrit sur la figure 7 : x +

Figure 7

Le système est constitué de deux lames semi--réfléchissantes (séparant un rayon
incident en deux rayons d'intensité égale) et deux miroirs plans disposés à 45
degrés par rapport à l'axe (Oz) comme sur la figure 7 (seuls trois des sept 
rayons
réfléchis par la première lame ont été représentés). Ce dispositif permet de 
créer
deux copies de l'onde incidente, notées (l) et (2), l'onde (l) allant 
directement sur
l'écran placé en z = O, l'onde (2) se réfléchissant successivement sur la 
première
lame, les deux miroirs puis la seconde lame. La seconde lame est décalée dans la
direction (Ox) d'une distance a par rapport à la première. On a OIOZ=H et
0403 = H--a. L'effet de ce décalage est qu'en un point M de l'écran d'abscisse 
x, se
superposent le rayon de l'onde (l) issu du rayon incident en x, et le rayon de 
l'onde
(2) issu du rayon incident en x+a. On observe les interférences sur l'écran 
entre les

ondes (l) et (2).
Question 36 .'

Pour observer les interférences sur l'écran, on place à l'entrée du dispositif 
un filtre qui ne laisse
passer que les ondes lumineuses de longueurs d'onde comprises entre M et 
7...+AÀ. Pourquoi est--ce

nécessaire ? Sachant que ?... = 0,5 mm et AK = 10 nm, calculer la valeur 
maximale Hmax que l'on peut
donner au paramètre H pour observer des franges. Que pensez-vous de ce résultat?

Question 3 7 :

Soit le plan Z = ----L qui se situe avant la première lame 
semi--réfléchissante. (p_L(x) = cp(x) est la
phase de l'onde déformée que l'on cherche à mesurer. On note (p1(x) 
(respectivement (p2(x)), la phase
de l'onde (1) (respectivement (2)) en un point d'abscisse x sur l'écran. 
Calculer A(p = % (x)-- (p1 (x) en

fonction de (p(X), cp(x+a), H, a et ?... la longueur d'onde dans le vide de 
l'onde incidente (on supposera
dans cette question que nairzl).

11

Question 38 :

Calculer l'intensité lumineuse sur l'écran I(x). On appellera IO l'intensité 
d'un rayon incident avant

la première lame semi-réfléchissante.
On suppose que a<
			

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Physique PSI 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Fourmond (ENS Ulm) ; il a été relu par 
Olivier
Frantz (Professeur agrégé) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE).

Ce sujet se propose d'étudier dans le détail l'optique adaptative, c'est-à-dire 
les
techniques permettant de s'affranchir des pertes de résolution des télescopes 
dues
aux turbulences de l'atmosphère terrestre.
· Dans une première partie, on s'intéresse à un télescope classique : on 
commence
par établir sa relation de conjugaison, puis on calcule sa résolution maximale,
limitée par la diffraction. On compare ces résultats à ceux d'un simple miroir
sphérique de même diamètre.
· Dans une deuxième partie, on cherche à comprendre comment les turbulences
atmosphériques peuvent amoindrir de manière conséquente les performances du
télescope étudié précédemment. On y voit comment relier les variations d'indice
optique aux variations de masse volumique, puis on étudie une modélisation de
l'atmosphère turbulente et on voit son influence sur le télescope.
· Dans la troisième partie, on étudie de manière plutôt qualitative un système
permettant de corriger les décalages de phase induits par les turbulences 
atmosphériques pour limiter leur influence.
Le sujet dans son ensemble n'est pas facile. Les questions sont nombreuses et de
difficultés inégales. Un certain nombre de questions en apparence faciles sont 
en fait
délicates. Certaines questions (en particulier la question 29) sont très 
calculatoires.
Il est souvent fait appel au sens physique et une part importante du programme 
de
physique est abordée : optique (géométrique et ondulatoire), électromagnétisme 
dans
les milieux matériels (hors programme en PSI, mais tous les éléments sont donnés
par l'énoncé), mécanique des fluides et du point. Ce sujet est particulièrement 
adapté
pour faire un bilan des connaissances lors de la préparation des écrits.

Indications
Partie I
2 Le rayon est simplement CS...
4 Il y a 3600 secondes d'arc dans un degré.
5 Compter l'encombrement à partir de M2 .
6 Bien repérer les positions relatives des points pour faire le dessin.
7 La question est beaucoup plus simple qu'elle n'en a l'air.
8 Attention, A2 B2max > D/2 ! Considérer tous les rayons provenant de M2 
tangents aux bords de l'orifice de M1 .
12 Il y a une erreur de signe dans l'énoncé : il faut obtenir  - X/f  et non  + 
X/f  .
Par ailleurs I0 n'est pas l'intensité en O mais l'intensité maximale.
Partie II

 1 - -
-
-
17 Utiliser le fait que, pour une onde plane progressive, B = (
u  E ) où 
u est le
c
vecteur unitaire de la direction de propagation.
23 Les ondes sonores sont forcément des ondes de compression.
26 L'énoncé attend la distance entre les deux parties des surfaces de phase.
27 La grandeur attendue est l'angle d'inclinaison de la partie des surfaces de 
phase
non parallèle à (Ox).
29 Découper l'intégrale en 2N + 1 intervalles : [[ (p - 1/2)r0 ; (p - 1/2)r0 ]].
30 Supposer que les np sont indépendants. On se souviendra que la somme de N
complexes de même module et d'argument aléatoire tend vers 0 quand N tend
vers l'infini.
31 Utiliser le résultat de la question 30.
Partie III
36 Penser à la longueur du train d'onde.
37 Supposer que les séparatrices n'induisent aucun déphasage.
39 Attention, la réponse à cette question et à la suivante ne sont pas aussi 
simples
qu'elles pourraient le paraître !

I. Étude et propriétés des télescopes
1.

Étude d'un miroir sphérique

1 On considère qu'un système optique est utilisé dans les conditions de Gauss 
quand
les rayons incidents sont suffisamment peu inclinés par rapport à son axe 
optique, et
proche de ce dernier. On parle de rayons paraxiaux.
L'approximation de Gauss revient à considérer que tous ces angles sont 
suffisamment petits pour que l'on puisse effectuer un développement au premier 
ordre des
expressions les concernant (sin i  tan i  i et cos i  1).
2 Le foyer image est le point où converge un faisceau incident parallèle à l'axe
optique. Inversement, un objet placé au foyer objet donne un faisceau émergent 
parallèle à l'axe optique. Ces deux foyers sont nécessairement placés sur l'axe 
optique,
car le rayon confondu avec ce dernier n'est pas dévié par définition.
Rappelons qu'un dispositif optique n'a pas nécessairement de foyers.
Pour trouver l'abscisse du foyer image F , il suffit de placer un objet à 
l'infini, ce
qui revient à faire tendre SA vers -, ce qui implique
0+

soit

1
2
=

SF
SC

SF =

SC
2

Pour trouver l'abscisse du foyer objet F, il suffit de considérer que son image 
est
à l'infini, soit SA = -. Ceci aboutit aussi à
SF =

SC
= SF
2

Puisque R est CS par définition, on a
f =-

R
2

Le miroir sphérique possède en effet cette particularité d'avoir un foyer image
et un foyer objet confondus.
3 On peut considérer qu'un faisceau incident est parallèle quand les surfaces 
d'onde
au niveau du miroir sont assimilables à des plans. En effet, la phase des 
différents
rayons incidents au niveau du miroir impose la phase des rayons émergents au 
niveau
du miroir et donc leur direction via le théorème de Malus.
Les surfaces de phase des ondes provenant de la source A sont des sphères 
centrées
sur le point A. Pour des excursions angulaires faibles, on peut localement 
assimiler

ces surfaces à des plans. L'angle sous lequel on voit le miroir depuis A est de 
l'ordre
de R/L. Pour que la condition des angles faibles soit remplie, il faut donc
LR
Cette condition est remplie pour tous les objets qu'un astronome peut bien avoir
envie d'observer.
Il est important d'utiliser ici le rayon du miroir dans le sens SC plutôt
que le rayon de sa forme perpendiculairement à l'axe optique.
Une autre manière de démontrer ceci, qui n'était manifestement pas celle
attendue par l'énoncé, est de considérer la formule de conjugaison et de 
chercher à trouver les conditions sur L pour lesquelles le point A est très 
proche
de F , soit A F  R. On aboutit au même résultat.
Si cette condition est vérifiée, l'image de la source A est alors confondue 
avec le foyer.
4 On sait que, puisque l'objet A est à l'infini
sur l'axe optique, son image A est au foyer
du miroir. Par ailleurs, puisque la source B
est elle aussi à l'infini, son image est nécessairement dans le plan focal du 
miroir. Pour
C
F = A
connaître sa position, on trace le rayon prove
nant de B qui passe par le centre du miroir.
B

Comme celui-ci n'est pas dévié, le point B
se trouve à l'intersection entre le rayon et le
plan focal. L'expression de la tangente dans
le triangle CA B donne
A B
tan  =
R/2
soit, dans l'approximation de Gauss et vu l'orientation de l'axe des x,
A B = -

R
2

L'angle min recherché est celui pour lequel A B vaut h, soit
min =

2h
= 6,0 × 10-7 rad = 0,12
R

Le pouvoir de résolution de l'oeil humain est de l'ordre de la minute d'angle.

2.

Étude d'un télescope

5 Écrivons la relation de conjugaison du miroir M2 pour le couple (A1 , A2 )
1
1
2
+
=
S2 A1
S2 A2
S2 C2
Comme A est à l'infini sur l'axe optique, A1 est en F1 . On a par conséquent
S1 A1 =

S1 C1
2