X/ENS Physique PSI 2003

Thème de l'épreuve Les ondes sismiques
Principaux outils utilisés ondes, ondes sonores, optique géométrique, gravitation
Mots clefs onde sismique, théorie des rais

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SCIENCES PHYSIQUES

DURÉE: 4 HEURES

Pour les épreuves d'admissibilité, l'usage de calculatrices électroniques de 
poche & alimentation
autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorise", une 
seule à la fois
étant admise sur la table ou le poste de travail, et aucun n 'e'change n 'est 
autorisé entre les candidats.

SISMOLOGOE ET STRUCTURE INTERNE DE LA TERRE

Les secousses sismiques, naturelles ou artificielles, sont à l'origine d'ondes 
mécaniques se propa-
geant au sein ou en surface de la Terre. Le comportement de ces ondes, entre 
l'hypocentre et le lieu de
réception, est déterminé par la structure interne de la Terre. Ce problème 
aborde les principales
méthodes mises en oeuvre en sismologie pour sonder la Terre à différentes 
échelles de profondeur.

Les différentes parties du problème sont, dans une large mesure, indépendantes.

Partie I : Les ondes sismiques de volume

On établit dans cette partie les équations de propagation des ondes de 
déformation au sein d'un
solide. Le solide est immobile au repos, de masse volumique Po-- On note u(M , 
t) le déplacement, à un
instant quelconque, d'un élément de solide, en M au repos. On restreint l'étude 
aux ondes planes se

_

propageant selon ex , et aux déformations bidimensionnelles : Z(x,t) = u,,(x, 
t) _e: + u,,(x, [) E; . Les
déformations locales du milieu sont à l'origine de contraintes, forces 
surfaciques, qu'exercent les par--
ticules de solide les unes sur les autres. Avec une onde plane, Z(x,t) , il 
n'apparaît des contraintes que

_...--

sur les surfaces normales à ex . Soit dS une telle surface élémentaire (Figure 
1), située en xO au repos,

la force élastique exercée par l'élément ], x < x0, sur l'élément 2, x > xo, 
s'écrit :

y

ôuy

(x0)ex _" ax (xO)ey )

ôux
ôx

CCÏË1_,2 =71_)2dS avec 71---->2 =--(Â+2y)

2. et ,a sont les coefficients de Lamé, constantes positives, caractéristiques 
du milieu. Figure 1

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Justifier brièvement le signe négatif dans l'expression de la force. Pourquoi 
cette forme n'est--elle
valable que dans le cadre des faibles déformations ? Donner les unités des 
coefficients de Lamé.

Soit un parallélépipède élémentaire de volume dr, de dimensions dx, dy et dz 
selon les trois axes

cartésiens. La résultante des forces élastiques qu'il subit s'écrit : dÏ : Z 
dr; déterminer l'ex--

pression de la densité volumique ?; des forces élastiques.

Dans le cadre des faibles déformations, les équations seront linéarisées en se 
limitant aux termes
du premier ordre en u et ses dérivées. Effectuer un bilan de matière à l'aide 
d'une tranche

d'épaisseur dx au repos, et montrer que la masse volumique p(x, t) vérifie :

_ 1_ôux
P Po ôx -

Traduire l'approximation effectuée à l'aide d'une condition sur les longueurs 
d'onde A présentes.

En supposant que les particules de solide ne sont soumises qu'aux contraintes 
élastiques, montrer
que les déformations u,;(x, t) et u,(x, t) vérifient chacune une équation de 
d'Alembert. Exprimer

les célérités respectives Cp (onde P) et cs (onde S) de ces ondes.

Justifier à l'aide d'un schéma que l'une de ces deux ondes est dite de 
compression, alors que
l'autre est dite de cisaillement. Que dire sur l'existence de telles ondes dans 
un liquide '?

Lors d'un tremblement de Terre, des ondes sont émises dans toutes les 
directions. La connais--

sance des distances entre la source sismique (hypocenfie) et différentes 
stations réceptrices
permet la localisation de l'hypocentre. Dans un milieu homogène, exprimer la 
distance D d'une

station à la source, en fonction des célérités Cp et Cs, et de la durée At 
séparant les arrivées des
ondes P et S à la station.

Applications numériques. Dans la croûte continentale : Cp : 7,0 kms" et cs : 
4,5 kms". Calculer
la distance à la source sismique si At : 70 s. Avec quelle précision faut--il 
connaître At pour
localiser l'hypocentre à 1 km près ? A votre avis, par quoi est limitée la 
précision de cette mesure
de distance ?

Les périodes des ondes sismiques sont comprises entre 1 et 1000 secondes. 
Commenter l'approxi--
mation effectuée à la question 3 '?

Partie II : La théorie des rais

Dans un milieu hétérogène, où la célérité n'est pas uniforme, le comportement 
ondulatoire des

ondes sismiques est complexe. On utilise la théorie des rais, analogue de 
l'optique géométrique pour
les ondes lumineuses, qui étudie les trajectoires des pinceaux d'ondes 
sismiques perpendiculaires aux
surfaces d'onde. Les résultats concernant le cas des ondes planes sont 
utilisables ici. Le modèle
sismologique le plus utilisé pour la structure de la Terre (PREM) présente la 
symétrie sphérique. Il a
été obtenu à partir d'informations fournies par les ondes de volume, les ondes 
de surface et les modes
propres de la Terre. Ces différents aspects sont abordés dans les parties qui 
suivent. On donne les
célérités des ondes P et S en fonction de la profondeur (Figure 2).

1)

2)

Donner la condition sur la longueur d'onde A permettant d'utiliser une théorie 
géométrique plutôt
qu'ondulatoire. En déduire, en utilisant le modèle PREM, la gamme de fréquences 
des ondes
sismiques vérifiant cette condition. Quels types de phénomènes ne peuvent être 
décrits par la
théorie des rais ?

Soient deux milieux homogènes, séparés par un dioptre plan, dans lesquels la 
célérité des ondes P
vaut respectivement cl et c2. Un rai sismique incident dans le milieu ] 
rencontre l'interface.
Donner les analogues des lois de Descartes pour la réflexion et la réfraction 
des rais sismiques.
Effectuer un schéma indiquant les orientations des angles considérés.

PREM, Dziewonski et Anderson (1981)

12
10 '
Vitesses des 8
ondes sismiques

(km.s") 6

4 |
2

0 2000 4000 6000
Profondeur (km)
Figure 2

Détermination de l'épaisseur de la croûte terrestre par réflaction sismique

Modélisons la Terre, au voisinage de sa surface, par un milieu à deux couches 
planes homogènes :
la croûte d'épaisseur H située au-dessus du manteau (Figure 3). On ne considère 
que les ondes P de
célérité c. et c;, avec CI < cz. Un tremblement de terre se produit en A, et 
émet des ondes sismiques
dans toutes les directions. Trois ondes de type P peuvent être reçus au point B 
à la distance D de A.
L'onde Pg désigne celle se propageant en ligne droite dans le milieu 1. L'onde 
PMP désigne celle se
réfléchissant sur l'interface, en I. L'onde PIl est due à un retour dans le 
milieu 1, de la partie de l'onde
réfractée dans le milieu 2, qui se propage tangentiellement à l'interface.

Figure 3 Figure 4

3) Déterminer l'angle 6 en fonction des célérités cl et cz. Montrer que l'onde 
PIl ne peut exister qu'à
partir d'une distance critique Dc que l'on exprimera.

4) Exprimer, pour chaque onde, le temps de parcours en fonction de la distance 
D : At(Pg), At(PMP)
et MP,). J ustifier en particulier que At(PMP) : At(Pn) pour D : Dc.

5) Représenter, sur un même graphe, les allures des trois courbes représentant 
At en fonction de D.
De telles courbes sont appelées hodochrones. On précisera leur comportement 
asymptotique à
grande distance, ainsi que les valeurs prises en D = 0 et D = Dc.

6) Pour l'étude de la croûte, les sismologues utilisent des sources explosives 
de forte puissance, et
alignent des sismomètres régulièrement sur de grandes distances. Souvent, dans 
les hodochrones
obtenus, ne sont utilisés que les temps de parcours des ondes les plus rapides. 
La figure 4 donne
le temps d'arrivée de l'onde la plus rapide en fonction de la distance D à 
parcourir. Il s'agit sensi--
blement de deux portions de droite, une rupture de pente est observée pour D,-- 
= 150 km ; on
relève également : At,-- = 23 s et AIO : 5 s. Calculer les célérités cl et 02 
des ondes dans la croûte et
le manteau. Exprimer l'épaisseur H en fonction de cl et cz, et l'évaluer 
numériquement.

Modèle plus réaliste d'un gradient de célérité '

On envisage maintenant une variation linéaire de la célérité dans la croûte :
cl : c...(l ---- kz) où k est une constante positive. Un rai sismique est émis 
en
A(z : 0, x = 0) dans une direction faisant l'angle io avec l'axe Ax.

7) Établir, en utilisant les lois de Descartes entre z et 2 + dz, la relation 
liant dx et dz le long du rai :

(] --kz)cos l'O
,/1--(1 -- kz)2 cos2 io

8) Intégrer cette relation et montrer que la trajectoire du rai est un arc de 
cercle; préciser les
coordonnées de son centre (xo, zo) et son rayon R, en fonction de io et de k. 
Retrouver le cas du

milieu homogène.

dx=--dz

9) Tracer sur un même graphe deux rais émis du même point sous les angles i... 
et i02 avec i... < i02.

...) À la profondeur H commence le manteau. Montrer qu'il existe, contrairement 
au milieu homo-
gène, une distance maximale D,... en surface pour recevoir un rai sismique ne 
se propageant que
dans la première couche (de type Pg). Exprimer cette distance en fonction de H 
et k.

11) Soit maintenant un modèle à deux couches, présentant les gradients de 
célérité : cl : c...(l --- klz)
et cz : c20(1 -- kzz). On modélise ainsi le manteau, compris entre 2 = 0 et z : 
--H1, et le noyau

externe. L'épaisseur de la croûte est ainsi négligée. Le modèle PREM donne 
c1(--Hl) > cz(--HI). À
l'incidence limite io donnant la distance D ',... pour l'onde Pg dans le 
manteau, dessiner l'allure du
rai P,, réfracté dans le noyau, et justifier qu'il revient en surface à une 
distance supérieure à D ',,....

On montre alors, en envisageant les incidences supérieures qu'il existe une 
zone d'ombre à la sur-
face de la Terre dans laquelle aucune onde P n'est recueillie. Cette 
observation a prouvé l'existence
d'un noyau dans lequel les ondes sismiques se propagent moins vite que dans le 
manteau.

12) Par ailleurs, l'étude des ondes S a mis en évidence l'absence de celles--ci 
dans le noyau externe.
Que peut--on en déduire sur la nature du noyau ?

Partie III : Les ondes sismiques de surface

La réflexion des ondes de volume à la surface libre de la Terre donne naissance 
à d'autres ondes,
dites de surface, dont l'amplitude décroît avec la profondeur et qui se 
propagent parallèlement à la
surface. La réflexion d'ondes S donne ainsi naissance aux ondes de Love 
étudiées dans cette partie. La
croûte, d'épaisseur H, a pour masse volumique pl, coefficient de Lamé ,ul ; on 
y notera cl la célérité
des ondes S, supposée uniforme. En dessous, le manteau a pour masse volumique 
p2, coefficient de
Lamé ,u2; on y notera 02 > 01 la célérité des ondes 8, aussi supposée uniforme 
(Figure 5). Ces milieux
sont isotropes, l'expression de la contrainte donnée dans la première partie a 
la même forme quelle
que soit la direction envisagée. Dans chaque milieu, l'onde S caractérisée par 
la déformation
Z(M,t) vérifie une équation de d'Alembert :

.... z
62 u ---- , _ surface
6 ; --ci2Aus =0 ou := 1 ou 2. y

[

On envisage une onde de Love se propageant à la vitesse

_.

c selon x, de déformation selon y: us (M ,t)= u ey

. Dans

. . C2
chaque m111eu, en complexe : pz "2 manteau

. / Figure 5
y(x,z,t)=ff(z)e""" ") où i= 1 ou 2.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Donner les conditions aux limites vérifiées par l'onde de cisaillement 2 et/ou 
sa dérivée première
par rapport à z, à la surface libre 2 = 0, à l'interface z = --H et à grande 
profondeur.

Quelles équations différentielles vérifient f,(z) et f2(z) ? Montrer que la 
déformation a la forme :

où k2 est un réel positif. Donner les expressions de k1 et k2 en fonction de : 
a), c, cl et 02. On admet
que k] est également un réel positif, en déduire la position de c par rapport à 
cl et c2.

#2k2

flrk1

Exprimer les conditions aux limites et montrer que k] et k2 vérifient : tan(k1 
H ) =

En déduire la relation de dispersion d'une onde de Love, liant k = w / c et c 
(ne faisant pas
intervenir (0).

Les solutions c(k) sont données sur la figure 6. Justifier l'existence de 
plusieurs modes de propa--
gation, caractérisés par la donnée de l'entier n. Déterminer le vecteur d'onde 
limite k,... ,, pour
chaque mode en fonction de H, cl et @.

Pour le mode fondamental n = O, interpréter physiquement les deux cas limites 
correspondant aux
grandes et aux petites longueurs d'onde A.

Application numérique. H = 20 km ; cl : 3,5 kms"l ; c2 : 4,5 kms". Montrer que 
pour des ondes
sismiques de période T > 10 s, on n'accède qu'au mode fondamental.

Figure 8

Exprimer la vitesse de groupe Vg en fonction de la vitesse de phase c(k) et de 
sa dérivée par rap--
port à k.

Sur la figure 7 est représentée une partie d'un sismogramme représentant 
l'arrivée d'une onde de
Rayleigh. Les ondes de Rayleigh sont les ondes de surface se formant lors de la 
réflexion d'une
onde P. L'allure de c(k) pour ces ondes est similaire à celle des ondes de 
Love. Commenter cet
enregistrement.

DhioSeis ; 'on: 1. : SeismoView
z

llllll ' Ç * .Î Î

38m'm

SSID " SID IV.--'6553d1

EURñâÎfii'6Zèwliî'r}.ei...:ÎÎËSWIÏË{à.-ïäèc TÜIIEEEESIEIÏ. _ 38.72 --az_9a
]
l

Figure 7

10) On considèrele mode fondamental d'une onde de Love, aux faibles vecteurs 
d'onde: k ---> O.
Simplifier la relation de dispersion et obtenir une expression de c(k).

11) En déduire, dans cette approximation, que la vitesse de groupe se met sous 
la forme :

' 2
2
Vg(k)=c2 1----3-k2 HÏ-L{Îâ---- ]

2 #2 012

12) Le traitement des sismogrammes permet l'obtention de la vitesse de groupe 
Vg des ondes de Love
en fonction de la période T. Sur la figure 8 sont représentées les deux courbes 
Vg(T) obtenues à la
surface d'un continent @lein) et sous un océan (pointillés). En supposant que 
dans les deux cas la
composition de la croûte et du manteau est identique, que peut--on déduire de 
ces données ?

Partie IV : Les oscillations libres de la Terre

Une corde fixée à ses extrémités ne vibre librement qu'à certaines fréquences 
propres. De même, la
Terre, excitée par un séisme, oscille librement selon certains modes propres. 
Ces modes correspondent
à l'existence d'ondes stationnaires dans la Terre. Pour simplifier l'étude, on 
néglige les efforts de
cisaillement dans cette partie, et on n'envisage qu'une déformation radiale 
dans une Terre homogène à
symétrie sphérique : ; : u(r) E: ; en chaque point, la contrainte est alors 
caractérisée par la surpres-
sion P. Le champ des déformations dérive alors d'un potentiel qi, ; : grad & , 
qui vérifie une équation

de D'Alembert :

15%; 162q5_

___--__0,

" ôr2 02 ôt2

et qui est, pour une onde sinusoïdale, proportionnel àla surpression P.

1) Évaluer, sans calcul, l'ordre de grandeur des fréquences propres de la Terre.

2) On recherche une solution sous forme d'onde stationnaire : ç$(r, t) : 
R(r)H(t), où R et H sont
deux fonctions a priori quelconques. Montrer qu'elles sont solutions 
d'équations différentielles
indépendantes. Les résoudre et montrer que la solution générale est de la forme 
:

A B .
çb(r, t) : {----- cos(Kr) + ---sm(Kr)} cos(wt + gp) .
r r
3) Quelle relation lie co et K ? Montrer que les conditions aux limites 
imposent une quantification
des pulsations permises. Exprimer ces pulsations propres ca,, en fonction d'un 
entier n et du

rayon a de la Terre.

4) La détermination expérimentale de ces fréquences propres consiste à calculer 
(par analyse de
Fourier) le spectre de la déformation u(t) en un point à la surface de la 
Terre, à la suite d'un
séisme. Justifier, sans calcul, cette méthode. Sur quel ordre de grandeur de 
durée faut--il acquérir
le signal avant d'en calculer le spectre ?

5) Déterminer l'expression de la déformation u,,(r, t) du mode n. Proposer une 
méthode graphique
pour déterminer les positions des noeuds de déformation dans la Terre. Combien 
y en a--t--il pour

le mode n ?

6) En réalité, la symétrie sphérique est une hypothèse correcte, mais la 
structure radiale de la Terre

n'est pas du tout homogène (Figure 1). Expliquer en quoi la mesure de la 
fréquence propre de
chaque mode apporte des renseignements sur la structure de la Terre à 
différentes échelles de

profondeur.

Partie V : La correction gravitationnelle

Dans la première partie, les équations d'ondes sismiques ont été établies en 
supposant que les parti--
cules de solide ne subissaient que les contraintes élastiques. On envisage 
maintenant l'action supplé--
mentaire de la gravitation, en se réstreignant à l'étude d'ondes planes se 
propageant selon _eî , et aux
déformations bidimensionnelles : ; (x, t) : ux(x, t) _eî + uy(x, t) ?; . Soit E 
le champ de gravitation,
on note g1 (x, t) sa faible variation par rapport à sa valeur au repos. 
Celle--ci a pour origine la faible
variation de masse volumique pl(x, !) consécutive à la propagation d'une onde 
sismique. Les calculs

seront effectués au premier ordre, dans le cadre des faibles déformations.

___. _

]) Justifier que g! (x, t) n'a de composante que selon ex . Effectuer une 
analogie électrostatique et

donner l'équation locale reliant --gÎ(x, t) à p.(x, t).

2) Établir la relation locale liant pl à ôux / ôx.
3) Établir les nouvelles équations d'ondes sismiques, en considérant la 
correction gravitationnelle.

4) Envisager une solution sous forme d'onde plane, progressive, sinusoïdale, et 
établir les expres--
sions des vitesses de phase des ondes P et S. Mettre en particulier la vitesse 
de phase des ondes P
sous la forme :

c,. = c,... [1--A2 /AGZ],
où A est la longueur d'onde, et AG une longueur d'onde caractéristique du 
phénomène.

5) Application numérique. Évaluer la longueur d'onde caractéristique AG avec pb 
: 5500 kg.m--3 . On
rappelle la valeur de la constante de gravitation : G = 6,7.10"11 m'kg"'s"2.

6) Discuter la pertinence de la correction gravitationnelle dans les trois 
domaines de la sismologie
étudiés précédemment : la théorie des rais, les ondes de surface et les 
oscillations libres de la

Terre.

FIN

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Physique PSI 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Fourmond (ENS Ulm) ; il a été relu par
Brahim Lamine (Enseignant-chercheur à l'Université) et Jean-Julien Fleck (ENS
Ulm).

Ce sujet, long et complet, traite de manière assez exhaustive les ondes 
sismiques
dans la Terre.
· On voit dans la première partie comment modéliser une onde sismique se 
propageant dans un milieu homogène. Cette partie fait intervenir des notions de
mécanique, et constitue un complément à la connaissance du cours sur les ondes
sonores dans les fluides.
· La deuxième se fonde sur la constatation expérimentale que la Terre n'est pas
homogène, et introduit le modèle des rais, analogue pour les ondes sismiques de
l'optique géométrique. On y redémontre quelques résultats intéressants 
d'optique géométrique, dont la trajectoire d'un rai dans un milieu soumis à un
gradient d'indice.
· La troisième s'intéresse aux ondes de surface. Cette partie peut constituer 
une
bonne révision des guides d'ondes. Elle est sensiblement plus calculatoire que
les précédentes.
· La quatrième est, quant à elle, axée autour des modes propres d'oscillation
en compression de la Terre. Une des questions (IV.3) est difficile et nécessite
beaucoup d'initiatives, même si on peut la contourner.
· La dernière partie discute de la correction gravitationnelle à apporter aux 
calculs des parties précédentes.
Il s'agit d'un sujet long et assez difficile dans l'ensemble. De nombreuses 
questions
des parties III et IV nécessite d'avoir bien compris la première partie. Les 
questions
sont dans l'ensemble beaucoup moins guidées que dans la plupart des sujets des
autres concours, et nécessitent de prendre des initiatives. Cela en fait un 
sujet très
formateur, qui juge aussi bien le sens physique que la capacité à mener des 
calculs
proprement.

Indications
Partie I
ux
(x) quant à la variation d'épaisseur d'une tranche
I.1 Qu'implique le signe de
x
de matériau située en x ?
I.3 Considérer une tranche du matériau, de section S et d'épaisseur dx. Quelle 
est

sa variation de volume si elle est soumise à un champ de déplacements -
u (x) ?
I.4 Appliquer les lois fondamentales de la dynamique à un parallélépipède de
volume d et utiliser les question I.2 et I.3.
Partie II
créférence
II.2 Se souvenir que n =
. La loi de la réflexion n'a pas de raisons de
cmilieu
changer.
II.3 Bien voir que l'angle entre AJ et JN vaut lui aussi .
II.4 Pour PM P, considérer le triangle rectangle d'hypoténuse AI.
II.6 Utiliser simplement les indications de pentes pour trouver c1 et c2 . Ne 
pas
oublier d'éliminer Dc dans la relation pour trouver H.
sin (z)
II.7 Montrer qu'on peut définir un angle (z) qui vérifie
= Cte le long de
c1 (z)
la trajectoire du rayon. Le relier à dx et dz.
u
II.8 Remarquer que le terme en z est une dérivée en  pour effectuer 
l'intégration.
u
II.10 Montrer que la profondeur maximale d'une trajectoire s'exprime simplement
en fonction de R et z0 .
II.12 Utiliser la question I.5.
Partie III
III.1 Il faut trouver une condition en z = 0, une en z = - et deux en z = -H.

III.2 Utiliser la condition à la limite z = - pour aboutir à la forme demandée
pour f 2 .
III.4 Utiliser les deux questions précédentes. Ne pas trop chercher à 
simplifier, la
relation n'est pas simple.
III.6 Interpréter  comme une épaisseur de pénétration.
d
III.8 Par définition, la vitesse de groupe est Vg =
.
dk
III.9 Interpréter les trois modes comme issus du même paquet d'onde initial.
III.10 Chercher une solution sous la forme c(k) = c2 (1 - (k)), et développer au
premier ordre en .
Partie IV
IV.2 Montrer que l'on peut écrire l'équation différentielle sous la forme
f (R) = g(H)
où f et g font intervenir aussi les dérivées de R et H. En déduire que ces 
termes
sont constants.

IV.3 C'est la question la plus difficile du sujet. Redémontrer la forme 
générale de
la force élastique dans le cas de coordonnées sphériques en considérant la
variation de volume d'une tranche sphérique et en supposant une réponse
linéaire. En déduire la valeur de la force en r = a, et utiliser le fait 
qu'elle est
nulle. Il est aussi acceptable, faute de pouvoir le démontrer rigoureusement,
de supposer que (r = a) = 0.
IV.4 Le spectre d'un événement brusque contient toutes les fréquences.
IV.6 On pourra effectuer une analogie avec les conclusions de la partie III.
Partie V
V.1 Se souvenir de la correspondance électrostatique-gravitation, et utiliser 
l'équivalent du théorème de Gauss sous sa forme locale.
V.2 Utiliser I.3.
V.3 Employer une démarche semblable à celle de la question I.4.
V.5 Utiliser les valeurs numériques de la question I.7.

I.

Les ondes sismiques de volume

I.1 Le signe moins sert à s'assurer qu'on a bien une force de rappel. En effet, 
si
ux
< 0, le bloc d'épaisseur dx au repos voit sa largeur diminuer. Il est donc 
normal
x
que les forces du bloc sur l'extérieur soient orientées vers l'extérieur.
uy
De même, si
> 0, le côté x < x du bloc est plus bas que le côté en x .
x
À nouveau, la force considérée est une force de rappel.
Cette force est une réponse linéaire du matériau à une déformation. Elle 
s'apparente à la loi de Hooke pour les ressorts. Il s'agit bien sûr d'une 
approximation,
valable seulement dans le cas des faibles déformations. Des forces plus 
complexes
doivent être envisagées dans le cas de déformations plus importantes, comme par
exemple dans le cadre de la théorie de la plasticité (le matériau ne revient 
plus à sa
position initiale) ou de la rupture.
On peut traduire l'équation de l'élasticité du matériau par une équation aux
dimensions :
[F] = [S] [µ]

dont on déduit que

[u]
[x]

[µ] = [] = [F] [S]

-1

µ et  sont donc homogènes à des pressions.
De façon générale, il est normal que la force élastique ne dépende pas de

la valeur de -
u , mais seulement de ses dérivées, car ajouter un déplacement

-
u uniforme revient à effectuer une translation globale du matériau.
Ce terme linéaire correspond simplement au premier terme d'un développement en 
série de la force en fonction des dérivées du déplacement. On retrouve ici 
l'idée des petites déformations (développement au premier ordre).

I.2 Examinons les forces élastiques qui s'appliquent sur le parallélépipède 
élémentaire. Il n'apparaît, par hypothèse de l'énoncé, que des contraintes sur 
les surfaces en
x et en x + dx. On a donc

1
-

dF1  2
x

2

3
-

dF3  2
x + dx

-

-

-
f v d = d F 12 + d F 32