X/ENS Physique PSI 2003

SCIENCES PHYSIQUES

DURÉE: 4 HEURES

Pour les épreuves d'admissibilité, l'usage de calculatrices électroniques de 
poche & alimentation
autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorise", une 
seule à la fois
étant admise sur la table ou le poste de travail, et aucun n 'e'change n 'est 
autorisé entre les candidats.

SISMOLOGOE ET STRUCTURE INTERNE DE LA TERRE

Les secousses sismiques, naturelles ou artificielles, sont à l'origine d'ondes 
mécaniques se propa-
geant au sein ou en surface de la Terre. Le comportement de ces ondes, entre 
l'hypocentre et le lieu de
réception, est déterminé par la structure interne de la Terre. Ce problème 
aborde les principales
méthodes mises en oeuvre en sismologie pour sonder la Terre à différentes 
échelles de profondeur.

Les différentes parties du problème sont, dans une large mesure, indépendantes.

Partie I : Les ondes sismiques de volume

On établit dans cette partie les équations de propagation des ondes de 
déformation au sein d'un
solide. Le solide est immobile au repos, de masse volumique Po-- On note u(M , 
t) le déplacement, à un
instant quelconque, d'un élément de solide, en M au repos. On restreint l'étude 
aux ondes planes se

_

propageant selon ex , et aux déformations bidimensionnelles : Z(x,t) = u,,(x, 
t) _e: + u,,(x, [) E; . Les
déformations locales du milieu sont à l'origine de contraintes, forces 
surfaciques, qu'exercent les par--
ticules de solide les unes sur les autres. Avec une onde plane, Z(x,t) , il 
n'apparaît des contraintes que

_...--

sur les surfaces normales à ex . Soit dS une telle surface élémentaire (Figure 
1), située en xO au repos,

la force élastique exercée par l'élément ], x < x0, sur l'élément 2, x > xo, 
s'écrit :

y

ôuy

(x0)ex _" ax (xO)ey )

ôux
ôx

CCÏË1_,2 =71_)2dS avec 71---->2 =--(Â+2y)

2. et ,a sont les coefficients de Lamé, constantes positives, caractéristiques 
du milieu. Figure 1

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Justifier brièvement le signe négatif dans l'expression de la force. Pourquoi 
cette forme n'est--elle
valable que dans le cadre des faibles déformations ? Donner les unités des 
coefficients de Lamé.

Soit un parallélépipède élémentaire de volume dr, de dimensions dx, dy et dz 
selon les trois axes

cartésiens. La résultante des forces élastiques qu'il subit s'écrit : dÏ : Z 
dr; déterminer l'ex--

pression de la densité volumique ?; des forces élastiques.

Dans le cadre des faibles déformations, les équations seront linéarisées en se 
limitant aux termes
du premier ordre en u et ses dérivées. Effectuer un bilan de matière à l'aide 
d'une tranche

d'épaisseur dx au repos, et montrer que la masse volumique p(x, t) vérifie :

_ 1_ôux
P Po ôx -

Traduire l'approximation effectuée à l'aide d'une condition sur les longueurs 
d'onde A présentes.

En supposant que les particules de solide ne sont soumises qu'aux contraintes 
élastiques, montrer
que les déformations u,;(x, t) et u,(x, t) vérifient chacune une équation de 
d'Alembert. Exprimer

les célérités respectives Cp (onde P) et cs (onde S) de ces ondes.

Justifier à l'aide d'un schéma que l'une de ces deux ondes est dite de 
compression, alors que
l'autre est dite de cisaillement. Que dire sur l'existence de telles ondes dans 
un liquide '?

Lors d'un tremblement de Terre, des ondes sont émises dans toutes les 
directions. La connais--

sance des distances entre la source sismique (hypocenfie) et différentes 
stations réceptrices
permet la localisation de l'hypocentre. Dans un milieu homogène, exprimer la 
distance D d'une

station à la source, en fonction des célérités Cp et Cs, et de la durée At 
séparant les arrivées des
ondes P et S à la station.

Applications numériques. Dans la croûte continentale : Cp : 7,0 kms" et cs : 
4,5 kms". Calculer
la distance à la source sismique si At : 70 s. Avec quelle précision faut--il 
connaître At pour
localiser l'hypocentre à 1 km près ? A votre avis, par quoi est limitée la 
précision de cette mesure
de distance ?

Les périodes des ondes sismiques sont comprises entre 1 et 1000 secondes. 
Commenter l'approxi--
mation effectuée à la question 3 '?

Partie II : La théorie des rais

Dans un milieu hétérogène, où la célérité n'est pas uniforme, le comportement 
ondulatoire des

ondes sismiques est complexe. On utilise la théorie des rais, analogue de 
l'optique géométrique pour
les ondes lumineuses, qui étudie les trajectoires des pinceaux d'ondes 
sismiques perpendiculaires aux
surfaces d'onde. Les résultats concernant le cas des ondes planes sont 
utilisables ici. Le modèle
sismologique le plus utilisé pour la structure de la Terre (PREM) présente la 
symétrie sphérique. Il a
été obtenu à partir d'informations fournies par les ondes de volume, les ondes 
de surface et les modes
propres de la Terre. Ces différents aspects sont abordés dans les parties qui 
suivent. On donne les
célérités des ondes P et S en fonction de la profondeur (Figure 2).

1)

2)

Donner la condition sur la longueur d'onde A permettant d'utiliser une théorie 
géométrique plutôt
qu'ondulatoire. En déduire, en utilisant le modèle PREM, la gamme de fréquences 
des ondes
sismiques vérifiant cette condition. Quels types de phénomènes ne peuvent être 
décrits par la
théorie des rais ?

Soient deux milieux homogènes, séparés par un dioptre plan, dans lesquels la 
célérité des ondes P
vaut respectivement cl et c2. Un rai sismique incident dans le milieu ] 
rencontre l'interface.
Donner les analogues des lois de Descartes pour la réflexion et la réfraction 
des rais sismiques.
Effectuer un schéma indiquant les orientations des angles considérés.

PREM, Dziewonski et Anderson (1981)

12
10 '
Vitesses des 8
ondes sismiques

(km.s") 6

4 |
2

0 2000 4000 6000
Profondeur (km)
Figure 2

Détermination de l'épaisseur de la croûte terrestre par réflaction sismique

Modélisons la Terre, au voisinage de sa surface, par un milieu à deux couches 
planes homogènes :
la croûte d'épaisseur H située au-dessus du manteau (Figure 3). On ne considère 
que les ondes P de
célérité c. et c;, avec CI < cz. Un tremblement de terre se produit en A, et émet des ondes sismiques dans toutes les directions. Trois ondes de type P peuvent être reçus au point B à la distance D de A. L'onde Pg désigne celle se propageant en ligne droite dans le milieu 1. L'onde PMP désigne celle se réfléchissant sur l'interface, en I. L'onde PIl est due à un retour dans le milieu 1, de la partie de l'onde réfractée dans le milieu 2, qui se propage tangentiellement à l'interface. Figure 3 Figure 4 3) Déterminer l'angle 6 en fonction des célérités cl et cz. Montrer que l'onde PIl ne peut exister qu'à partir d'une distance critique Dc que l'on exprimera. 4) Exprimer, pour chaque onde, le temps de parcours en fonction de la distance D : At(Pg), At(PMP) et MP,). J ustifier en particulier que At(PMP) : At(Pn) pour D : Dc. 5) Représenter, sur un même graphe, les allures des trois courbes représentant At en fonction de D. De telles courbes sont appelées hodochrones. On précisera leur comportement asymptotique à grande distance, ainsi que les valeurs prises en D = 0 et D = Dc. 6) Pour l'étude de la croûte, les sismologues utilisent des sources explosives de forte puissance, et alignent des sismomètres régulièrement sur de grandes distances. Souvent, dans les hodochrones obtenus, ne sont utilisés que les temps de parcours des ondes les plus rapides. La figure 4 donne le temps d'arrivée de l'onde la plus rapide en fonction de la distance D à parcourir. Il s'agit sensi-- blement de deux portions de droite, une rupture de pente est observée pour D,-- = 150 km ; on relève également : At,-- = 23 s et AIO : 5 s. Calculer les célérités cl et 02 des ondes dans la croûte et le manteau. Exprimer l'épaisseur H en fonction de cl et cz, et l'évaluer numériquement. Modèle plus réaliste d'un gradient de célérité ' On envisage maintenant une variation linéaire de la célérité dans la croûte : cl : c...(l ---- kz) où k est une constante positive. Un rai sismique est émis en A(z : 0, x = 0) dans une direction faisant l'angle io avec l'axe Ax. 7) Établir, en utilisant les lois de Descartes entre z et 2 + dz, la relation liant dx et dz le long du rai : (] --kz)cos l'O ,/1--(1 -- kz)2 cos2 io 8) Intégrer cette relation et montrer que la trajectoire du rai est un arc de cercle; préciser les coordonnées de son centre (xo, zo) et son rayon R, en fonction de io et de k. Retrouver le cas du milieu homogène. dx=--dz 9) Tracer sur un même graphe deux rais émis du même point sous les angles i... et i02 avec i... < i02. ...) À la profondeur H commence le manteau. Montrer qu'il existe, contrairement au milieu homo- gène, une distance maximale D,... en surface pour recevoir un rai sismique ne se propageant que dans la première couche (de type Pg). Exprimer cette distance en fonction de H et k. 11) Soit maintenant un modèle à deux couches, présentant les gradients de célérité : cl : c...(l --- klz) et cz : c20(1 -- kzz). On modélise ainsi le manteau, compris entre 2 = 0 et z : --H1, et le noyau externe. L'épaisseur de la croûte est ainsi négligée. Le modèle PREM donne c1(--Hl) > cz(--HI). À
l'incidence limite io donnant la distance D ',... pour l'onde Pg dans le 
manteau, dessiner l'allure du
rai P,, réfracté dans le noyau, et justifier qu'il revient en surface à une 
distance supérieure à D ',,....

On montre alors, en envisageant les incidences supérieures qu'il existe une 
zone d'ombre à la sur-
face de la Terre dans laquelle aucune onde P n'est recueillie. Cette 
observation a prouvé l'existence
d'un noyau dans lequel les ondes sismiques se propagent moins vite que dans le 
manteau.

12) Par ailleurs, l'étude des ondes S a mis en évidence l'absence de celles--ci 
dans le noyau externe.
Que peut--on en déduire sur la nature du noyau ?

Partie III : Les ondes sismiques de surface

La réflexion des ondes de volume à la surface libre de la Terre donne naissance 
à d'autres ondes,
dites de surface, dont l'amplitude décroît avec la profondeur et qui se 
propagent parallèlement à la
surface. La réflexion d'ondes S donne ainsi naissance aux ondes de Love 
étudiées dans cette partie. La
croûte, d'épaisseur H, a pour masse volumique pl, coefficient de Lamé ,ul ; on 
y notera cl la célérité
des ondes S, supposée uniforme. En dessous, le manteau a pour masse volumique 
p2, coefficient de
Lamé ,u2; on y notera 02 > 01 la célérité des ondes 8, aussi supposée uniforme 
(Figure 5). Ces milieux
sont isotropes, l'expression de la contrainte donnée dans la première partie a 
la même forme quelle
que soit la direction envisagée. Dans chaque milieu, l'onde S caractérisée par 
la déformation
Z(M,t) vérifie une équation de d'Alembert :

.... z
62 u ---- , _ surface
6 ; --ci2Aus =0 ou := 1 ou 2. y

[

On envisage une onde de Love se propageant à la vitesse

_.

c selon x, de déformation selon y: us (M ,t)= u ey

. Dans

. . C2
chaque m111eu, en complexe : pz "2 manteau

. / Figure 5
y(x,z,t)=ff(z)e""" ") où i= 1 ou 2.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Donner les conditions aux limites vérifiées par l'onde de cisaillement 2 et/ou 
sa dérivée première
par rapport à z, à la surface libre 2 = 0, à l'interface z = --H et à grande 
profondeur.

Quelles équations différentielles vérifient f,(z) et f2(z) ? Montrer que la 
déformation a la forme :

où k2 est un réel positif. Donner les expressions de k1 et k2 en fonction de : 
a), c, cl et 02. On admet
que k] est également un réel positif, en déduire la position de c par rapport à 
cl et c2.

#2k2

flrk1

Exprimer les conditions aux limites et montrer que k] et k2 vérifient : tan(k1 
H ) =

En déduire la relation de dispersion d'une onde de Love, liant k = w / c et c 
(ne faisant pas
intervenir (0).

Les solutions c(k) sont données sur la figure 6. Justifier l'existence de 
plusieurs modes de propa--
gation, caractérisés par la donnée de l'entier n. Déterminer le vecteur d'onde 
limite k,... ,, pour
chaque mode en fonction de H, cl et @.

Pour le mode fondamental n = O, interpréter physiquement les deux cas limites 
correspondant aux
grandes et aux petites longueurs d'onde A.

Application numérique. H = 20 km ; cl : 3,5 kms"l ; c2 : 4,5 kms". Montrer que 
pour des ondes
sismiques de période T > 10 s, on n'accède qu'au mode fondamental.

Figure 8

Exprimer la vitesse de groupe Vg en fonction de la vitesse de phase c(k) et de 
sa dérivée par rap--
port à k.

Sur la figure 7 est représentée une partie d'un sismogramme représentant 
l'arrivée d'une onde de
Rayleigh. Les ondes de Rayleigh sont les ondes de surface se formant lors de la 
réflexion d'une
onde P. L'allure de c(k) pour ces ondes est similaire à celle des ondes de 
Love. Commenter cet
enregistrement.

DhioSeis ; 'on: 1. : SeismoView
z

llllll ' Ç * .Î Î

38m'm

SSID " SID IV.--'6553d1

EURñâÎfii'6Zèwliî'r}.ei...:ÎÎËSWIÏË{à.-ïäèc TÜIIEEEESIEIÏ. _ 38.72 --az_9a
]
l

Figure 7

10) On considèrele mode fondamental d'une onde de Love, aux faibles vecteurs 
d'onde: k ---> O.
Simplifier la relation de dispersion et obtenir une expression de c(k).

11) En déduire, dans cette approximation, que la vitesse de groupe se met sous 
la forme :

' 2
2
Vg(k)=c2 1----3-k2 HÏ-L{Îâ---- ]

2 #2 012

12) Le traitement des sismogrammes permet l'obtention de la vitesse de groupe 
Vg des ondes de Love
en fonction de la période T. Sur la figure 8 sont représentées les deux courbes 
Vg(T) obtenues à la
surface d'un continent @lein) et sous un océan (pointillés). En supposant que 
dans les deux cas la
composition de la croûte et du manteau est identique, que peut--on déduire de 
ces données ?

Partie IV : Les oscillations libres de la Terre

Une corde fixée à ses extrémités ne vibre librement qu'à certaines fréquences 
propres. De même, la
Terre, excitée par un séisme, oscille librement selon certains modes propres. 
Ces modes correspondent
à l'existence d'ondes stationnaires dans la Terre. Pour simplifier l'étude, on 
néglige les efforts de
cisaillement dans cette partie, et on n'envisage qu'une déformation radiale 
dans une Terre homogène à
symétrie sphérique : ; : u(r) E: ; en chaque point, la contrainte est alors 
caractérisée par la surpres-
sion P. Le champ des déformations dérive alors d'un potentiel qi, ; : grad & , 
qui vérifie une équation

de D'Alembert :

15%; 162q5_

___--__0,

" ôr2 02 ôt2

et qui est, pour une onde sinusoïdale, proportionnel àla surpression P.

1) Évaluer, sans calcul, l'ordre de grandeur des fréquences propres de la Terre.

2) On recherche une solution sous forme d'onde stationnaire : ç$(r, t) : 
R(r)H(t), où R et H sont
deux fonctions a priori quelconques. Montrer qu'elles sont solutions 
d'équations différentielles
indépendantes. Les résoudre et montrer que la solution générale est de la forme 
:

A B .
çb(r, t) : {----- cos(Kr) + ---sm(Kr)} cos(wt + gp) .
r r
3) Quelle relation lie co et K ? Montrer que les conditions aux limites 
imposent une quantification
des pulsations permises. Exprimer ces pulsations propres ca,, en fonction d'un 
entier n et du

rayon a de la Terre.

4) La détermination expérimentale de ces fréquences propres consiste à calculer 
(par analyse de
Fourier) le spectre de la déformation u(t) en un point à la surface de la 
Terre, à la suite d'un
séisme. Justifier, sans calcul, cette méthode. Sur quel ordre de grandeur de 
durée faut--il acquérir
le signal avant d'en calculer le spectre ?

5) Déterminer l'expression de la déformation u,,(r, t) du mode n. Proposer une 
méthode graphique
pour déterminer les positions des noeuds de déformation dans la Terre. Combien 
y en a--t--il pour

le mode n ?

6) En réalité, la symétrie sphérique est une hypothèse correcte, mais la 
structure radiale de la Terre

n'est pas du tout homogène (Figure 1). Expliquer en quoi la mesure de la 
fréquence propre de
chaque mode apporte des renseignements sur la structure de la Terre à 
différentes échelles de

profondeur.

Partie V : La correction gravitationnelle

Dans la première partie, les équations d'ondes sismiques ont été établies en 
supposant que les parti--
cules de solide ne subissaient que les contraintes élastiques. On envisage 
maintenant l'action supplé--
mentaire de la gravitation, en se réstreignant à l'étude d'ondes planes se 
propageant selon _eî , et aux
déformations bidimensionnelles : ; (x, t) : ux(x, t) _eî + uy(x, t) ?; . Soit E 
le champ de gravitation,
on note g1 (x, t) sa faible variation par rapport à sa valeur au repos. 
Celle--ci a pour origine la faible
variation de masse volumique pl(x, !) consécutive à la propagation d'une onde 
sismique. Les calculs

seront effectués au premier ordre, dans le cadre des faibles déformations.

___. _

]) Justifier que g! (x, t) n'a de composante que selon ex . Effectuer une 
analogie électrostatique et

donner l'équation locale reliant --gÎ(x, t) à p.(x, t).

2) Établir la relation locale liant pl à ôux / ôx.
3) Établir les nouvelles équations d'ondes sismiques, en considérant la 
correction gravitationnelle.

4) Envisager une solution sous forme d'onde plane, progressive, sinusoïdale, et 
établir les expres--
sions des vitesses de phase des ondes P et S. Mettre en particulier la vitesse 
de phase des ondes P
sous la forme :

c,. = c,... [1--A2 /AGZ],
où A est la longueur d'onde, et AG une longueur d'onde caractéristique du 
phénomène.

5) Application numérique. Évaluer la longueur d'onde caractéristique AG avec pb 
: 5500 kg.m--3 . On
rappelle la valeur de la constante de gravitation : G = 6,7.10"11 m'kg"'s"2.

6) Discuter la pertinence de la correction gravitationnelle dans les trois 
domaines de la sismologie
étudiés précédemment : la théorie des rais, les ondes de surface et les 
oscillations libres de la

Terre.

FIN