Mines Physique 2 PSI 2013

Thème de l'épreuve Énergie éolienne
Principaux outils utilisés équation de Bernoulli, bilan de quantité de mouvement, électrocinétique, analyse spectrale
Mots clefs éolienne, transfert mécanique de puissance, onduleur, interrupteurs commandés

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT--ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2013
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI

(Durée de l'épreuve: 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE--EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE ]] -- PSI.

L'énonce' de cette épreuve comporte 8 pages.

-- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il est invité
a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives qu'il

aura été amené a prendre.

-- Il ne faudra pas hésiter a formuler des commentaires pertinents (incluant 
des considérations numé--
riques), même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème 
tiendra compte de ces

initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

ÉNERGIE EOLIENNE

L'énergie éolienne a été exploitée de tout temps
(moulins à vent, bateaux à voiles, etc.) et repré--
sente un potentiel d'énergie énorme. Actuellement,
la production d'électricité au moyen d'aérogénéra--
teurs connaît une forte croissance et fait l'objet de
nombreuses recherches. Les systèmes les plus ré--
pandus sont les éoliennes à axe horizontal, mais
des éoliennes à axe vertical sont aussi développées.
En effet, celles--ci s'adaptent mieux aux contraintes
des turbulences engendrées en milieu urbain, leurs
caractéristiques étant par exemple indépendantes
de la direction du vent. Ce problème propose d'étu--
dier le fonctionnement d'une telle éolienne de type
Darrieus (voir figure 1), du nom de l'ingénieur
français qui en déposa le brevet en 1931.

FIGURE 1 -- Eolienne de type Darrieus.

Dans la première partie, on s'intéressera à l'aspect aérodynamique de 
l'éolienne pour arriver a
une estimation de son rendement énergétique. Dans la seconde partie, on 
étudiera le raccorde--

ment au réseau électrique. Les deux parties sont totalement indépendantes.

Les vecteurs sont surmontés d'une flèche (par exemple ci) et la norme du 
vecteur ci est sim--

plement notée a.

Énergie éolienne

I. -- Eolienne de type Darrieus

On supposera que les pales de l'éolienne sont quasiment planes et verticales. 
La surface qu'elles
décrivent lors de leur rotation est un cylindre appelé «cylindre éolien », de 
hauteur H et
de rayon R (Voir figure 2). Dans tout ce qui suit, on supposera que 
l'écoulement de l'air est
permanent et incompressible de masse volumique uniforme @. La pesanteur est 
négligée dans
tout le probléme.

amont ( up )

aval ( dawn )

cylindre éolien

/-- de rayon R et
de hauteur H

FIGURE 2 * Lignes de courant du vent (en gris) et trace du cylindre éolien (en 
pointfllés)
en vue de dessus. Le segment vertical en pointillés sépare les faces amont et 
aval du cylindre
éolien. L'angle 9 de repérage sur la face amont est compris entre f1r/2 et 
1r/2. De même,
l'angle tp de repérage sur la face aval OEt compris entre f7r/2 et 1r/2. Le 
sens positif est le
sens trigonométrique (l'angle 9 est donc positif sur la situation représentée). 
On note 51
le vecteur unitaire parallèle à 1700 et de même sens que 17 0°.

En amont de l'éolienne, et loin de celle--ci, l'air arrive selon un champ de 
vitesse uniforme et
horizontal 17... avec la pression atmosphérique notée Po. L'écoulement a 
travers l'éolienne est
ralenti au niveau de la face amont ainsi qu'au niveau de la face aval. En un 
point u de la face
amont, caractérisé par l'angle EUR, la vitesse de l'air est réduite à la valeur 
17" De même, en un
point d de la face aval, caractérisé par l'angle  P..., la pression en amont de la pale juste avant le point M;

<> P..., la pression en aval de la pale juste après le point u.
De même, pour la face aval du cylindre éolien, on introduit :

<> Pd+, la pression en amont de la pale juste avant le point d ;

<> Pdf, la. pression en aval de la pale juste après le point d.
À l'intérieur du cylindre éolien, la pression retrouve rapidement la valeur Po. 
En aval et loin de
l'éohenne, l'air retrouve la pression Po et possède un champ de vitesse 
uniforme 17... parallèle
à 17 w. On introduit un point A situé loin des pales a l'intérieur du cylindre 
éolien sur la ligne
de courant u --> d. La vitesse du vent en ce point, notée 17 A, est supposée 
parallèle à 17... pour
simplifier. De même, 17" et 17 L,, sont supposées parallèles a la vitesse 1700. 
Cette modélisation
donne a la ligne de courant passant par H, A et d un aspect « tordu » avec des 
points d'infiexion
en M, A et d.

On rappelle l'équation de Navier--Stokes pour un écoulement incompressible de 
fluide newto--
nien :
517 .. _. .. _. .. ..
@ Ê+(" -grad)v :ÏgradP+gy +nAv.

Page 2/8

Physique II, ...... 2015 * filière PSI

Données numériques
<> viscosité dynamique de l'air : n : 1,8 - 10*5 Pa - s;
<> masse volumique de l'air dans les conditions normales de température et de 
pression :
g : 1,3kg-m4;
<> rayon du cylindre éolien : R : 5,0 m;
<> hauteur du cylindre éolien : H : 4,0 m.

D 1 -- Rappeler la définition et la signification du nombre de Reynolds d'un 
écoulement. Pour
un vent de vitesse U : 60 km - hÏ', estimer le nombre de Reynolds a l'échelle 
de l'éolienne. Est-il
légitime de considérer l'écoulement comme parfait ?

D 2 -- J ustifier l'allure globale des lignes de courant.

E' 3 -- En justifiant son application, appliquer deux fois le théorème de 
Bernoulli (une fois
de foo a u+ et une autre fois de u* a A). En déduire la discontinuité de 
pression P,,+ * Pr
introduite par les pales de la face amont en fonction de @, vw et UA.

D 4 -- Expliquer pourquoi il n'est pas possible d'appliquer le théorème de 
Bernoulli entre les
points M" et u*.

Pour les deux questions suivantes, on considère un fin tube de courant 
traversant le cylindre
éolien au niveau du point u (Voir figure 3). Sa section orthogonale élémentaire 
au niveau du point
M a pour aire dSu. Pour simplifier on suppose que la vitesse de l'écoulement au 
voisinage du
point u est parallèle a si. Le vecteur surface élémentaire associé a dSu est 
donc dS * ndS er.

l_ cylindre éolien

FIGURE 3 * Tube de courant élémentaire contenant le point u (en gris) et trace 
du cylindre
éolien (en pointillés) en vue de dessus.

Et 5 -- On considère le systéme fermé constitué d'une portion de ce tube de 
courant s'éten--
dant de u+ a u a. l'instant 2. En faisant un bilan de quantité de mouvement sur 
ce système,
déterminer la force dFu exercée par l' air sur l'élément de surface dSu en 
fonction de P.", P,r
et dS. Le raisonnement devra s' appuyer sur un schéma explicatif représentant 
le système a
deux instants voisins t et t + dt.

E' 6 -- On considère le système fermé constitué d'une portion de ce même tube 
de courant,
mais s'étendant cette fois de foo a A. Pour le bilan de quantité de mouvement 
demandé,
on pourra admettre que la résultante des actions de pression s'exerçant tout 
autour de cette
portion de tube est nulle.
<> Expliquer ce qui permet d'affirmer que la résultante des actions de pression 
est nulle. Ce
résultat est--il exact ou approché?
<> Faire un schéma explicatif et réaliser un bilan d_e quantité de mouvement 
sur ce système
pour déterminer une deuxième expression de dFu en fonction de g, dS... v... 
1700 et 17,4.
En déduire une relation simple entre les normes des vitesses vA, 'Un et 11m.

Page 3/8 TO'JIDOE la page S.V.P.

Énergie éolienne

D 7 -- Sur la face amont du cylindre éolien, on repère par l'angle 9 un élément 
de pale d'aire
élémentaire dAu. La force dFu précédemment déterminée peut se décomposer comme

dÉ : dT., ? + dNu 71

où le vecteur unitaire ? pointe selon la vitesse de la pale (exprimée dans le 
référentiel terrestre)
et le vecteur unitaire 5 pointe vers l'axe du cylindre éolien (Voir figure 4). 
Exprimer dT., et
dNu en fonction de dEA et de l'angle orienté @.

FIGURE 4 * Elément de paie de la face amont, d'aire
dA., et dont la vitesse est colinéaire a ? et de même
sens que ?. Sa position est repérée par l'angle 9. Ce
schéma est orienté dans le sens trigonométrique (@ est
donc positif ici).

On note W.1À le Vecteur Vitesse du Vent au point il dans le référentiel (u, ?, 
rÎ ) lie' à la pale et Wu
sa norme. On définit les coeflîcients aérodynamiques (sans dimension) CT" et 
CN" de la pale
par :

dTu :39W31 dA., CT" et dNu : 39W31 dAu ON"
2 27r 2 27r

où 17 est un coericient sans dimension appelé solidité de l'éolienne.

D 8 -- Exprimer le lien entre dA1À et l'élément de surface dSu. Projeter ] 
expression vectorielle
an :dT1À t + dN TL sur la direction moyenne e: de lécoulement. En déduire la 
relation
explicitant dFu en fonction de 17, g, 0, W... dS... CNuet CT". On ne cherchera 
pas à étudier les
éventuelles conséquences des autres projections de cette relation.

D 9 -- Montrer que l'on peut en déduire la relation :

ou Un 17 Wu 2
-- 1f-- =-->< * X(CNH+CTu tan0).
Um vw 87r vDc

La vitesse angulaire u} de rotation de l'éolienne étant supposée constante on 
note Ü la vitesse
du point 71 de la pale dans le référentiel du sol. On rappelle que le rayon du 
cylindre éolien est
noté B. On définit le coefficient de vitesse de léolienne par À * ':R. On note 
au : ( W... t)
l'angle d'attaque (angle entre l'opposé du vecteur Vitesse du Vent relatif et 
la direction de la
tangente à la paie, Voir figure 5).

3]

FIGURE 5 * Schéma de la pale et du repère (il, t n) solidaire de la pale. La 
vitesse relative
du vent Wu dans ce référentiel définit l'angle orienté au* * ( W... t). Le sens 
positif est
le sens trigonométrique (] angle an est donc positif dans la situation 
représentée).

Page 4/8

Physique II, ...... 2015 * filière PSI

D 10 -- En utilisant la loi de composition des vitesses, déterminer 
l'expression du vecteur W.,
en fonction de 17... u}, R et t . En déduire les expressions de sin au et cos 
au en fonction de v...

v 11
W... u}, R et 9, puis en fonction de z : l, 4", À et 0 (il n'est pas utile 
d'expliciter la norme

_ . voo IL
Wu pour traiter cette question).

D 11 -- Pour des valeurs de lau| inférieures a 15°, on admet que les 
coefficients aérodynæ
miques ont les expressions approximatives suivantes :

CT : *CD + 27r si.n2 au et CN" : 21r sine... cosa...

Dans la réalité, CD est une constante positive. Cependant, pour simplifier, on 
prendra Cg : 0
dans tout le probléme (profil de pale parfait). Exprimer CT" et CNu en fonction 
de :c, %, À et

À
9 et montrer que 1 : 1 f % cosfi.

"

Remarque. Une étude analogue menée sur la face aval du cylindre éolien 
permettrait de
montrer que :

* vd *] 3aÀ
yÿvoeÿ * 4 cos0

FIGURE 6 * Onduleur de tension a deux niveaux.

D 22 -- Rappeler les définitions d'une source de tension parfaite et d'une 
source de courant
parfaite.

Page 6/8

Physique II, année 2013 * filière PSI

D 23 -- Compte--tenu de la nature de la source de tension E et de la nature de 
la charge,
quelles sont les contraintes d'ouverture et de fermeture des interrupteurs K,. 
(on attend une
justification)? Compléter le tableau suivant avec les mots « ouvert » ou « 
fermé ».

K1 Kz K3 K.,

U... > 0 fermé ouvert

U... < 0 ouvert fermé

D 24 -- La tension de commande U... est générée par le montage de la figure 7, 
dans lequel
l'amplificateur opérationnel est idéal. La tension Un est constante telle que 
Ug EUR [ÏUhçUh],
où U,, > 0. La tension U,,(t), appelée porteuse, est T,;périodique et en dents 
de scie (suite de
rampes montantes). Justifier que l'amplificateur fonctionne en régime de 
saturation en tension
(on note Vm l'amplitude de la tension de sortie dans ce cas).

Up(t)

interface de Uh

commande
des

interrupteurs

FIGURE} 7 * Circuit générant la tension U...(t).

E' 25 -- On choisit U0 2 O. Tracer la courbe représentant la tension Us(t) aux 
bornes de la
charge en fonction du temps et préciser la valeur de sa période Ts.

D 26 -- Sur une période T, de Us, on note t] la durée où Us > 0. Le rapport 
cyclique est défini
t

par a : %. Exprimer la Valeur moyenne (Us) de Us en fonction de a et E, puis en 
fonction

de U... E et Uh. Quelles doivent être les valeurs de a et Uo si on veut que Us 
ait une moyenne

nulle ? On se placera dans ce cas dans la suite.

D 27 -- Le développement en série de Fourier de la tension Us (t) ainsi générée 
s'écrit :

00

2E 27r
Ut: --1ff1"sinnwt avec w:f.
.<>ëfi[ (H (> T.
Représenter graphiquement le spectre en amplitude de cette tension. Ce spectre 
est--il satisfai--
sant en vue d'un raccordement de U, au réseau de distribution électrique'.? Si 
ce n'est pas le

cas, quels en sont les défauts et quelles conséquences néfastes peut--il y 
avoir ?

E' 28 -- La charge est constituée d'une bobine d'inductance L en série avec une 
résistance H.
On pose T : %. On étudie le régime T,;périodique établi du montage. On note il 
la valeur

de is at : 0 et +] sa valeur at : %. Exprimer is(t) pour t EUR [O;TP/2] et pour 
2 & [TP/2;Tp]
en fonction de t, E, R, I, T,, et T. En déduire l'expression de I en fonction 
de E, R, T,, et T.

D 29 -- Représenter les chronogrammes de is et i.

Page 7/8 Tourna la page S.V.P.

Énergie éulienne

D 30 -- Dans la pratique, l'onduleur qui alimente la charge {résistance + 
bobine} est réalisé
avec le montage de la figure 8. Les interrupteurs commandés Ku sont des 
transistors idéaux
unidirectionnels et le circuit contient également quatre diodes idéales D". 
Expliquer le rôle des
diodes dans ce circuit.

FIGURE 8 * Réalisation pratique d'un onduleur de tension à deux niveaux.

D 31 -- Le rôle de la bobine est d'effectuer un filtrage. Les grandeurs 
soulignées désignent
les grandeurs complexes associées aux grandeurs réelles sinusoi'dales de 
pulsation temporelle

notée w. Déterminer la. fonction de transfert complexe @ : :R de la branche 
{bobine +

résistance} et faire apparaître dans son expression une pulsation 
caractéristique, notée w... a

exprimer en fonction de T. Donner l'expression du gain G(w) et du déphasage 
d$(m) associés
à @.

D 32 -- Donner le développement en série de Fourier de UR(t). En déduire le 
spectre en
amplitude de la tension U R et le représenter graphiquement. En quoi ce spectre 
est-il meilleur
que celui de Us pour un éventuel raccordement au réseau de distribution 
électrique ?

FIN DE LA PARTIE II

FIN DE L'ÉPREUVE

Page 8/8

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PSI 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Maimbourg (ENS Cachan) ; il a été relu par
Victor Bertrand (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet propose d'étudier le fonctionnement d'une éolienne à axe vertical, dite
de Darrieus, et d'un onduleur couplé à l'éolienne.
· La première partie, la plus longue, étudie le principe du transfert mécanique
de la puissance du vent aux pales de l'éolienne. À partir de l'équation d'Euler,
on utilise le théorème de Bernoulli afin de trouver des relations entre les 
grandeurs du problème. Au niveau des discontinuités de pression engendrées par
les pales, un bilan de quantité de mouvement permet de trouver une nouvelle
relation. On établit ensuite la force qu'exerce le vent sur les pales. Cette 
force
étant connue, il est alors possible de remonter au moment exercé par le vent
sur l'axe de l'éolienne puis d'en déduire la puissance mécanique disponible. 
Enfin, quelques estimations d'ordre de grandeur sont proposées afin d'estimer le
rendement du dispositif.
· La seconde partie traite du principe de l'onduleur. À partir d'une tension 
continue, on cherche à générer un courant alternatif afin de pouvoir l'injecter 
dans le
réseau électrique. L'énoncé propose dans un premier temps de générer un signal
créneau à partir d'un hacheur quatre quadrants. Dans un second temps, on se
rapproche d'un signal sinusoïdal par la mise en parallèle d'une inductance avec
la résistance de charge. Dans cette partie, l'analyse spectrale tient une place
importante.
De difficulté et de longueur raisonnables, ce sujet comporte quelques questions
d'interprétation physique délicates. Les premières questions sont plus 
difficiles et
exigent un recul suffisant sur le cours d'hydrodynamique pour être abordées 
sereinement. La suite du problème est en revanche guidée et peut être faite 
sans avoir
répondu aux premières questions.

Indications
Partie I
2 Penser à l'influence sur la vitesse d'écoulement d'une perte d'énergie du 
fluide
lors de son passage dans l'éolienne.
4 Le théorème de Bernoulli traduit la conservation de l'énergie.
5 Introduire un système ouvert fixe. La stationnarité de l'écoulement permet 
alors
d'annuler la dérivée temporelle de la quantité de mouvement relative à ce 
système.
6 Pour une pression homogène, la résultante des forces de pression sur un 
solide est
nulle quelle que soit sa forme.

-

10 Exprimer -
v dans la base (-
n , t ).
u

12 Utiliser la relation cos2 u + sin2 u = 1 afin d'exprimer v /Wu . Utiliser la
calculatrice pour montrer que l'angle u reste inférieur à 15 .
13 Utiliser la conservation du débit volumique le long d'un tube de courant.
14 Dans l'expression de Tu fournie par l'énoncé, exprimer dAu à l'aide des 
questions
précédentes.
-

15 Intégrer le moment induit par la force élémentaire Fu sur le cylindre éolien.
16 Les intégrales utilisent respectivement les jeux de variables (, ) et (, ). 
La
relation proposée entre  et  à la question 14 assure l'égalité  = . Cette
identité des variables permet alors de regrouper les intégrales afin d'obtenir 
la
relation proposée.
17 En l'absence d'éolienne, la vitesse du vent est égale à v sur toute la 
longueur
d'un tube de courant.
19 Raisonner sur la condition nécessaire pour obtenir CTu > 0.
Partie II
23 Utiliser les conditions de fonctionnement des sources parfaites pour en 
déduire
des positions interdites des interrupteurs.
24 Utiliser l'absence de boucle de rétroaction négative pour conclure.
28 La tension d'alimentation du circuit RL est constante par morceaux. Utiliser 
les
indications de l'énoncé sur les valeurs de l'intensité en t = 0 et en t = Tp /2
permet de conclure plus aisément :

Tp
= +I
is (t = 0) = -I
et
is t =
2
30 Remarquer que le courant change de signe lors d'un même mode de 
fonctionnement.

Énergie éolienne
I. Éolienne de type Darrieus
1 Le nombre de Reynolds Re est une grandeur adimensionnée qui représente, pour
un écoulement donné, le rapport entre les flux advectif et diffusif de quantité 
de mouvement. Il permet de caractériser le régime de l'écoulement (visqueux ou 
laminaire).
Il est nécessaire de se donner une taille caractéristique et une échelle de 
vitesse pour
le définir. Il semble judicieux de prendre le rayon de l'éolienne R, puisque 
c'est lui
qui donne l'échelle de l'écoulement. Ainsi,
-- 

k(-
v · grad ) · -
vk
U2 /R
Re =
=

U/R2
k-
vk
Par conséquent,

Re =

UR
 6 · 106

Puisque Re  1, les forces de viscosité sont négligeables, donc l'écoulement peut
légitimement être considéré comme parfait loin des parois.
Le terme de viscosité est alors négligé dans l'équation de Navier-Stokes. Cette
nouvelle équation est appelée équation d'Euler ; elle est valable dans le cas
des fluides parfaits.
2 L'éolienne est un système mécanique qui convertit l'énergie du vent en énergie
mécanique de ses pales. De l'énergie est donc soustraite au flux d'air la 
traversant.
Par conséquent, l'air a perdu de l'énergie lors du passage dans l'éolienne. 
Dans une
bonne approximation, le passage du vent dans l'éolienne est adiabatique. De 
plus, le
flux d'air étant horizontal, il est iso-potentiel. Seule de l'énergie cinétique 
est donc
perdue par l'air. Ainsi, la vitesse de l'air en aval est inférieure à celle en 
amont :
-
k-
v
w k < kv k.
L'écoulement étant de plus supposé incompressible, il y a conservation du débit
volumique, ce qui impose l'élargissement des tubes de courant au passage de 
l'éolienne
et donc l'écartement des lignes de courant comme suggéré par le schéma de 
l'énoncé.
3 Le fluide étant parfait d'après la question 1, et l'écoulement étant de plus 
considéré comme stationnaire et incompressible, il est possible d'appliquer le 
théorème
de Bernoulli le long d'une ligne de courant . L'énergie de pesanteur peut de 
plus
être négligée (sa variation serait de toute façon nulle, les lignes de courant 
étant
iso-hauteur). Le théorème de Bernoulli s'écrit alors simplement
v2
P
+ = Cte
2

2
v
P
vu 2
P +

0
Ainsi, de - à u+ ,
+
=
+ u
2

2

2
2
P
v
v
P
u
u
A
0
et de u- à A,
+ - =
+
2

2

d'où
Pu+ - Pu- = (v 2 - vA 2 )
2

4 Le théorème de Bernoulli traduit la conservation de l'énergie mécanique du 
fluide
lors de son mouvement. Or, lors de son passage à proximité du cylindre éolien, 
il y a
transfert d'énergie entre le vent et les pales de l'éolienne (sinon l'éolienne 
ne pourrait
pas être mise en rotation). Il n'y a donc pas conservation de l'énergie dans 
cette zone.
Le théorème de Bernoulli pourrait s'appliquer, mais dans une version 
généralisée qui contiendrait un terme de transfert entre le fluide et le système
mécanique. Ce terme étant inconnu, cela ne permettrait pas de conclure plus
aisément.
5 Dans les deux questions suivantes, les grandeurs faisant référence au système 
fermé

-
auront une étoile en exposant. Notons F la force totale s'exerçant sur le 
système
fermé. Le principe fondamental de la dynamique permet d'écrire

-
d-
p
= F
dt

-
avec 
p la quantité du mouvement du système fermé considéré.

t

-
v
u

dSu

-
v
u

dSu

Pu+

Pu-
-
v
u

t + dt
vu dt
u+

-
v
u
vu dt
-

ex

u

u-

Introduisons le système ouvert (en traits pointillés) coïncidant avec le 
système fermé
(en traits pleins) considéré à l'instant t. À cet instant, les quantités de 
mouvement
du système ouvert et du système fermé vérifient

-

p (t) = -
p (t)

À l'instant t + dt, ces deux quantités ne coïncident plus. Elles diffèrent du 
flux de
quantité de mouvement.

-
+
-

p (t + dt) = -
p (t + dt) + d-
p - d-
p
-
+

avec d-
p la quantité de mouvement ayant quitté le système ouvert et d-
p celle
étant rentrée pendant l'instant dt. Ces flux de quantité de mouvement 
s'écrivent,

en notant -
vu- et -
vu+ les vitesses du fluide respectivement en amont et en aval du
point u,
( -
-

d
p = ( v dt dS )-
v
u-

u

u-

+
-

d
p = ( vu+ dt dSu )-
vu+

Ainsi,

--
d-
p
d-
p
=
+  dSu (vu- - vu+ )
dt
dt