Mines Physique 2 PSI 2009

Thème de l'épreuve Modélisation fréquentielle de dipôles
Principaux outils utilisés circuits à AO, dipôles, oscillations auto-entretenues, électromagnétisme
Mots clefs amplificateur opérationnel, bobine, oscillateur, milieux conducteurs

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT­ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2009
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PSI
(Duree de l'epreuve: 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, 
TPE­EIVP, Cycle
international

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE II -- PSI.
L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
Le bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

MODELISATION FREQUENTIELLE DE DIPOLES
Dans tout ce probleme, les vecteurs sont surmontes d'un chapeau ab s'ils sont 
unitaires ou d'une fleche

-
a sinon. Les nombres complexes sont soulignes : z  C. On notera j2 = -1.
Ce probleme se propose tout d'abord d'etudier un circuit a amplificateur 
operationnel et son application a l'etude d'une bobine a air, puis de fournir 
une interpretation du comportement frequentiel
de cette bobine. Plus precisement, il se compose deux parties tres largement 
independantes : la
premiere concerne l'existence et la stabilite des points de fonctionnement du 
circuit a amplificateur
operationnel, l'oscillation auto-entretenue du circuit, la modelisation 
electrocinetique de la bobine ;
la seconde va justifier que dans un domaine de basses et moyennes pulsations, 
la resistance d'un fil
rectiligne est une fonction quadratique de la pulsation du courant qui 
l'alimente.

I. -- Etude d'un circuit a amplificateur operationnel
Dans tout le probleme, on suppose que la seule cause de fonctionnement en 
regime non-lineaire d'un
amplificateur operationnel est la saturation de sa tension de sortie : les 
tensions de saturation sont
supposees opposees et notees Vsat et -Vsat .
On rappelle qu'un amplificateur operationnel ideal est tel que les courants 
d'entree i+ et i- sont
toujours nuls et que dans la zone de linearite V+ -V- = 0.

Modelisation frequentielle de dipoles

I.A. -- Etude d'un dipole
On considere le circuit de la figure 1 dans lequel l'amplificateur operationnel 
est suppose ideal.
1 -- Dans l'hypothese d'un fonctionnement ideal de
l'amplificateur operationnel en regime lineaire, determiner
l'impedance d'entree Ze = Ve /Ie du circuit de la figure 1.
Tracer la partie de la caracteristique Ve = f (Ie ) en regime
lineaire : on exprimera les limites du domaine de validite de
Ve en fonction de Vsat , R2 et R3
F IG . 1 ­ Montage a amplificateur
2 -- Completer la caracteristique Ve = f (Ie ) du circuit de la figure 1 dans 
les regions qui correspondent a un fonctionnement non-lineaire de 
l'amplificateur operationnel : on donnera les expressions
Ve = f (Ie ) correspondantes en justifiant precisement les domaines de Ve sur 
lesquels elles sont valides.
On precisera les points remarquables.

I.B. -- Visualisation experimentale de la caracteristique du dipole
On considere a present le montage de la figure 2.
Ce dernier est celui de la figure 1 auquel on a rajoute une resistance Rg et un 
generateur de fonction
ideal qui delivre une tension E(t).
Lorsque la tension du generateur est continue
E(t) = E0 = cste, le couple (Ve , Ie ) prend la valeur
(Ve0 , Ie0 ). Ce point de la caracteristique Ve = f (Ie )
est appele point de fonctionnement du circuit.
L'amplificateur operationnel est encore suppose
ideal.

F IG . 2 ­ Montage avec entree

3 -- Indiquer comment le montage de la figure 2 permet une visualisation a 
l'oscilloscope de la
caracteristique Ve = f (Ie ) : on precisera les branchements a effectuer et les 
eventuelles precautions
materielles a prendre.
4 -- Etudier en fonction de la valeur de Rg , les differentes possibilites pour 
le point de fonctionnement du circuit dans le cas E0 = 0V.

I.C. -- Stabilite du point de fonctionnement
Lorsque l'on realise experimentalement le montage de la figure 2 avec E = 0V et 
Rg < R1 R3 /R2 ,
on constate que le point de fonctionnement du montage se trouve arbitrairement 
soit en un point
M(Ie01 ,Ve01 ) associe a un courant Ie01 negatif, soit en un point P(Ie02 ,Ve02 
) associe a un courant Ie02
positif. Ces deux points sont distincts et presentent la propriete d'etre 
symetriques l'un de l'autre par
rapport a l'origine O du plan (Ie , Ve ).
5 -- Dans quel regime se trouve l'amplificateur operationnel si le point de 
fonctionnement du
montage est situe en M ou en P ? On justifiera la reponse en precisant les 
coordonnees de ces points.

Page 2/6

Physique II, annee 2009 -- filiere PSI

Pour expliquer que les seuls points de fonctionnement accessibles
soient les points M ou P lorsque Rg < R1 R3 /R2 et E = 0V, on ne
peut plus supposer que l'amplificateur operationnel soit de gain
infini. Dans le regime lineaire, on peut le modeliser comme indique sur la 
figure 3 : les courants d'entree i+ et i- sont toujours
nuls, mais  (t) = V+ -V- 6= 0. Dans ce regime et pour des signaux
sinusoidaux, on peut modeliser l'amplificateur operationnel par
une relation entre les representations complexes de  (t) et VS (t) :
F IG . 3 ­ Amplificateur operationnel

(j

)
reel

1+j
0
6 -- Rappeler les ordres de grandeurs des constantes A0 et f0 = 0 /2 pour un 
amplificateur
operationnel usuel. En utilisant la modelisation de l'amplificateur 
operationnel definie par la figure 3,
etablir l'equation differentielle verifiee en regime lineaire par le courant Ie 
(t) du montage de la figure
2 dans le cas ou E(t) = 0V. On utilisera les parametres A0 , 0 , Rg , R1 et A = 
R3 /(R2 + R3 ).
7 -- En prenant en compte le fait que AA0  1, montrer que, l'equation 
differentielle de la question
6 permet de justifier l'observation experimentale relative aux points de 
fonctionnement. Expliquer
qualitativement, comment s'etablit le basculement vers M ou P.
Vs (j ) =

A0

I.D. -- Realisation d'un oscillateur
L'amplificateur operationnel est a nouveau suppose ideal.
On adjoint maintenant au circuit de la figure 1 une
resistance R, un condensateur C et une bobine ideale d'inductance L pour 
obtenir le montage de la figure 4.
8 -- Ecrire l'equation differentielle regissant le courant
Ie traversant la resistance R en supposant que le circuit de la
figure 1 soit modelisable en premiere approximation par un
dipole d'impedance Ze calculee a la question 1.
9 -- A quelle condition le montage de la figure 4
est-il le siege d'une oscillation purement sinusoidale ?
Que vaut alors la frequence fc d'oscillation ? La condition precedente n'etant 
jamais rigoureusement realisable
experimentalement, indiquer a quelle condition on constate
effectivement le demarrage d'une oscillation.

F IG . 4 ­ Oscillateur a amplificateur
operationnel

10 -- En fait, la bobine presente dans le montage de la figure 4 est une bobine 
a air de resistance
rb et d'inductance L. Quelle est l'origine physique du terme de resistance rb ?
On constate experimentalement que la valeur de la resistance rb de la bobine a 
air depend de la
pulsation  du courant sinusoidal qui la parcourt. Dans un domaine de basse et 
moyenne pulsation,
la dependance frequentielle de rb s'ecrit :

(1)
rb ( ) = r0 1 +   2
Typiquement, pour une bobine a air d'inductance egale a 100 mH comprenant 1000 
spires reparties
sur plusieurs couches, la loi precedente est tres bien verifiee pour  < 2, 00 × 
104 rad.s-1 ; on trouve
experimentalement r0 = 92, 0  et  = 5, 00 × 10-10 s2 .
11 -- Comment pourrait-on, a l'aide du montage de la figure 4, valider la 
dependance quadratique
en la pulsation de rb ( ) ? On decrira avec soin le protocole experimental 
propose. Estimer la variation
relative de la resistance rb de la bobine a air precedente composee de 1000 
spires pour des pulsations
variant de 0 a 2, 00 × 104 rad.s-1 .
Page 3/6

Tournez la page S.V.P.

Modelisation frequentielle de dipoles

I.E. -- Modelisation electrocinetique de la bobine
On souhaite traduire le comportement frequentiel de la bobine de la figure 4 
par la modelisation electrocinetique de
la figure 5. On fixe r0 = 92, 0 , L = 100 mH, le parametre
de cette modelisation etant l'expression et la valeur de la
resistance R p .
F IG . 5 ­ Bobine reelle
12 -- Montrer que, sous les hypotheses r0  R p et L2  2  R2p , la loi 
experimentale de l'equation
(1) est compatible avec l'impedance complexe Z( ) du dipole de la figure 5. On 
exprimera R p en
fonction de  , r0 et L et on calculera sa valeur numerique. Verifier a 
posteriori les hypotheses de
calcul pour des pulsations variant de 0 a 2, 00 × 104 rad.s-1 .
13 -- On considere le montage de la figure 4. Ecrire l'equation differentielle 
regissant le courant
Ie en supposant toujours que le circuit de la figure 1 soit modelisable en 
premiere approximation
par un dipole d'impedance Ze calculee a la question 1 mais en remplacant la 
bobine ideale par sa
modelisation electrocinetique definie a la figure 5. Cette equation 
differentielle sera etablie sans faire
les hypotheses de la question 12.
14 -- Simplifier l'equation differentielle de la question 13 en considerant que 
simultanement
r0  R p et (R + Ze )  R p . On presentera l'equation simplifiee sous la forme
L

dIe 1
d 2 Ie
+
R
+ Ie = 0
T
dt 2
dt C

(2)

dans laquelle on exprimera RT en fonction de R, Ze , r0 , R p , L et C. Donner 
l'expression du coefficient
de qualite Q et de la pulsation propre 0 du circuit RT L C serie equivalent a 
celui de la figure 4.
15 -- Dans le cas RT < 0 et R2T < 4L/C, exprimer la solution generale de 
l'equation differentielle
(2) en fonction de Q et 0 . Tracer l'allure de Ie (t) correspondante. Que se 
passe-t-il lorsque RT  0- ?
Interpreter alors l'expression de RT a l'aide de l'equation (1).

I.F. -- Stabilisation de l'amplitude des oscillations
16 -- On considere encore le montage de la figure 4. Dans le cas ou la bobine a 
air est une
inductance ideale L, comment se reecrit l'equation differentielle (2) ? Que 
vaut alors RT ? Dans quel
type d'oscillations se trouve l'amplitude du courant Ie si RT < 0 ?
17 -- On constate experimentalement que sous la condition RT < 0, une 
oscillation d'amplitude
constante apparait apres un regime transitoire. Quelle est l'origine physique 
de la limitation de l'amplitude des oscillations ? Cette limitation 
apparait-elle dans l'equation differentielle de la question
16 ?
18 -- Afin de mieux comprendre le mecanisme de stabilisation de l'amplitude des 
oscillations,
on se propose de tenir compte du caractere non-lineaire de la caracteristique 
Ve = f (Ie ) etablie dans
la question 2. Pour ce faire, on modelise cette caracteristique par un polynome 
du troisieme degre
passant par les zeros de la caracteristique et ayant meme pente a l'origine : 
determiner dans ces
conditions l'expression de Ve en fonction de Ie .
19 -- Reecrire l'equation differentielle regissant le courant Ie (t) en 
incorporant l'expression de la
caracteristique determinee dans la question precedente. Interpreter 
qualitativement la stabilisation de
l'amplitude de Ie (t).
FIN DE LA PARTIE I

Page 4/6

Physique II, annee 2009 -- filiere PSI

II. -- Comportement frequentiel d'un fil conducteur
Pour expliquer le comportement frequentiel de la bobine a air,
on se propose de modeliser le comportement frequentiel du fil de
cuivre avec lequel elle est realisee : on supposera dans cette partie
que le fil n'est pas enroule autour d'un cylindre pour former la bobine, mais 
etendu en ligne droite. Pour ce faire, considerons (cf.
figure 6) un conducteur ohmique cylindrique de conductivite  ,
de rayon a, illimite suivant son axe de revolution Oz. On adopte
un systeme de coordonnees cylindriques d'axe Oz de base orthonormee directe 
(ubr , uc
 , ubz ) : un point M est repere par ses coordonnees cylindriques (r,  , z). Ce 
conducteur est parcouru par
un courant I(t) = I0 cos( t) oriente positivement dans le sens Oz
croissant. La distribution de courant correspondante est decrite

-
par le vecteur densite volumique de courant J (r,  , z,t) dont la

-
representation complexe s'ecrit J (r,  , z,t).

F IG . 6 ­ Le fil conducteur

-
Dans le systeme de coordonnees cylindriques, le rotationnel d'un champ de 
vecteurs V = Vr ubr +
V uc
 +Vz ubz s'ecrit

---

 Vr  Vz
1  Vz  V
1  (rV )  Vr
-
ubr +
uc
-
-
ubz ,
rot V =
-
+
r 
z
z
r
r
r

-
le laplacien vectoriel d'un champ de vecteurs W = Wz ubz n'ayant qu'une 
composante selon ubz s'ecrit
 2

--

 Wz 1  Wz 1  2Wz  2Wz
-
+
+ 2
ubz .
W =
+
 r2
r r
r 2
 z2

-
Par ailleurs, on rappelle que pour tout champ de vecteurs X :
---
--
--
-
-
 ----
-
---
--

-
-  --

-
rot rot X = grad div X -  X

Pour les applications numeriques, on utilisera les valeurs suivantes :
a = 2, 50×10-4 m,  = 5, 80×107 -1 .m-1 , µ0 = 4 ×10-7 H.m-1 , o = (36 )-1 ×10-9 
F.m-1 .

-

-
Finalement, on notera E (r,  , z,t) le champ electrique, et E (r,  , z,t) sa 
representation complexe,

-

-
ainsi que B (r,  , z,t) le champ magnetique et B (r,  , z,t) sa representation 
complexe.

-
20 -- Montrer que J (r,  , z,t) ne depend spatialement que de la variable r. 
Expliquer qualitativement pourquoi l'on recherche une distribution de courant 
non uniforme. Dans la suite, on ecrira

-
J (r,  , z,t) = J(r)ej t ubz .
21 -- La pulsation  du courant sinusoidal I(t) alimentant le conducteur etant 
inferieure a
2, 00 × 104 rad.s-1 , justifier l'utilisation de l'approximation des regimes 
quasi-stationnaires dans
la suite des questions de cette partie.
22 -- En precisant clairement les etapes de votre raisonnement, etablir 
l'equation differentielle du
second ordre verifiee par J(r). En posant
s
2
r
a
=
, r = , et a = ,
µ0  

etablir l'equation differentielle verifiee par la fonction G = J/J(0) de la 
variable r . Calculer la valeur
maximale de a2 pour des pulsations variant de 0 a 2, 00 × 104 rad.s-1 . Dans la 
suite du probleme, sur
l'intervalle de pulsations considerees, on suppose que r2  1 des que r 6 a.
Page 5/6

Tournez la page S.V.P.

Modelisation frequentielle de dipoles

23 -- On fait l'hypothese que G(r ) est une fonction paire. On admet que la 
solution cherchee de
l'equation differentielle de la question precedente se met sous la forme
+

G(r ) =

 gn rn

n=0

Donner la relation liant gn et gn-2 pour tout n > 2. En deduire que

j 2 1 4
j 6
J(r ) = J(0) · 1 + r - r -
 + o r6
2
16
288 r
24 -- En supposant dans toute la suite du probleme que J(0) soit en fait une 
quantite J0 reelle,
deduire de la question precedente l'expression a l'ordre 4 en r du champ 
electrique complexe

-

-
E (r,  , z,t) a l'interieur du conducteur. On donnera egalement l'expression 
reelle de E (r,  , z,t).
25 -- Montrer que la valeur moyenne temporelle de I 2 (t) s'ecrit
< I 2 (t) >=

2 

1
J0  a2 1 + a4 + o a4
2

ou  est un facteur numerique que l'on precisera.
26 -- Preciser, en la justifiant, la direction et la dependance vis a vis des 
variables d'espace du

-
champ magnetique B (r,  , z,t). Determiner, a l'interieur du conducteur, 
l'expression de la quantite
2 
-
B (r,  , z,t) a l'ordre 4 en r (on pourra supposer que le module du champ 
magnetique reste
µ0 J0 r

-

-
borne en r = 0). En deduire celles de B (r,  , z,t) et de B (r,  , z,t).

- 
-
27 -- Que represente la quantite J · E ? Quelle est son unite ? Definir par une 
integrale (que l'on
ne cherchera pas a calculer) la puissance P (t) cedee par le champ 
electromagnetique a une portion
de longueur  selon Oz du conducteur ohmique.
Pour la suite du probleme, on admet que la valeur moyenne temporelle de P (t) 
s'ecrit

1 4
1  a2 J02
4
1 + a + o a
< P (t) >=
2 
24
28 -- On definit la resistance R d'une portion de longueur  selon Oz du 
conducteur ohmique par :
R =

< P (t) >
< I 2 (t) >

Justifier la definition choisie. Calculer a l'ordre 4 en a l'expression de R . 
Donner l'expression R ( )
de R en fonction de la pulsation  du courant I(t) parcourant le conducteur 
ohmique. Commenter le
resultat et le comparer precisement a l'expression de rb ( ) definie dans 
l'equation (1). Proposer une
interpretation.
29 -- Calculer a l'ordre 4 en a la valeur moyenne temporelle <  > du flux du 
vecteur de
Poynting a travers une portion de longueur l de la surface laterale du 
conducteur orientee localement
selon -ubr : on exprimera le resultat en fonction de J0 , a, ,  et  . En 
deduire a l'ordre 4 en a , une
expression de la quantite <  > / < I 2 (t) >. Interpreter avec soin le resultat 
obtenu.
FIN DE LA PARTIE II
FIN DE L'EPREUVE

Page 6/6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PSI 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Mehdi Nehmé (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE).

Le problème concerne l'impédance des bobines à air, plus particulièrement les
écarts au modèle de bobine idéale d'impédance imaginaire pure. Il s'attache à 
montrer que l'impédance d'une bobine réelle comporte une partie réelle 
quadratique en
fréquence, du moins dans un domaine limité de basses fréquences. Il se compose 
de
deux parties largement indépendantes.
· La première partie commence par l'étude (théorique puis expérimentale) d'un
montage à amplificateur opérationnel et de ses points de fonctionnement 
(existence, stabilité). Ce montage est ensuite utilisé comme élément actif dans 
la
réalisation d'un oscillateur permettant d'accéder expérimentalement à la 
dépendance fréquentielle de la partie réelle de l'impédance d'une bobine à air.
On retrouve alors certaines propriétés des oscillations observées à l'aide d'un
modèle simple de bobine réelle. Cette partie repose principalement sur les
connaissances d'électronique acquises en première année.
· La seconde partie, plus courte mais aussi plus technique, exploite les 
connaissances de deuxième année en électromagnétisme. Dans le cadre de l'ARQS,
on étudie l'effet de peau dans un fil cylindrique conducteur qui tient lieu de
bobine à air. On retrouve ainsi la dépendance fréquentielle introduite dans la
partie I. Parfois calculatoire, cette partie reste abordable car certains 
résultats
sont donnés dans l'énoncé et permettent de contrôler sa progression.
D'une difficulté graduelle, ce problème est conçu pour classer efficacement les
candidats.

Indications
Première partie
2 Le problème est non-linéaire. Pour le résoudre, faire une hypothèse sur Vs et
vérifier son domaine de validité a posteriori.
3 Penser aux problèmes de masses électriques.
4 On dispose de deux relations reliant Ve à Ie : penser à une discussion 
graphique.
6 Passer de la description fréquentielle à la description temporelle afin 
d'obtenir
une équation différentielle : une multiplication par j revient à dériver une 
fois
par rapport au temps.
11 Pour accéder à r0 , il suffit de faire circuler un courant continu dans la 
bobine et
de mesurer la tension à ses bornes. Sur quel composant peut-on agir pour faire
varier la fréquence des oscillations ?
14 Une fois l'équation différentielle obtenue, la mettre sous forme canonique 
afin
d'obtenir les caractéristiques de l'oscillateur.
19 Revenir à la mise en équation initiale, c'est-à-dire à l'écriture de la loi 
des mailles
(question 8). La modifier pour prendre en compte les non-linéarités.
Seconde partie
22 Écrire les équations de Maxwell dans le cadre de l'ARQS, puis les 
particulariser
pour un conducteur. Ne pas oublier d'utiliser le formulaire d'analyse 
vectorielle
fourni par l'énoncé.
24 Prudence lors du passage au champ électrique réel, car ejt possède une partie
imaginaire non nulle.
25 Calculer le flux du vecteur densité de courant à travers une section droite 
du fil.
Dans l'intégrale, faire le changement de variable r = r/. Après avoir élevé au
carré, écrire directement les valeurs moyennes de produits de fonctions 
sinusoïdales : hcos2 ti = hsin2 ti = 1/2 et hsin t cos ti = 0.
26 Intégrer l'équation de Maxwell-Ampère en utilisant le fait que le champ 
magnétique est supposé borné sur l'axe. Ici aussi, prudence lors du passage au 
champ
magnétique réel.
28 Penser à l'effet Joule et à l'expression de la puissance moyenne dissipée 
dans un
résistor en régime périodique.
29 Calculer la moyenne temporelle du vecteur de Poynting, soit à partir des 
grandeurs
complexes en utilisant la formule
-

1
h  (r, t)i = Re
2

-

-

E (r, t)  B (r, t)
µ0

soit à partir des champs réels en développant

-

-
-

E (r, t)  B (r, t)
 (r, t) =
µ0
puis en prenant la valeur moyenne.

I. Étude d'un circuit à amplificateur opérationnel
I.A

Étude d'un dipôle

1 L'AO est idéal donc i- = 0. La tension aux bornes de la résistance R1 s'écrit,
d'après la loi d'Ohm
Vs - Ve = -R1 Ie
Pour la même raison, i+ = 0. On reconnaît alors un pont diviseur de tension sur 
la
figure ci-contre, et
V+ =

R3
Vs
R2 + R3

i+ = 0

L'AO idéal fonctionnant en régime linéaire

R2

V+ = V- = Ve

V+

On élimine Vs dans les relations précédentes :

R2 + R3
- 1 Ve = -R1 Ie
R3
Finalement,

Ze =

R3

Vs

Ve
R1 R3
=-
Ie
R2

Le fait que l'impédance trouvée soit négative ne doit pas surprendre : dans
une portion de sa caractéristique, le dipôle vu depuis son entrée est équivalent
à une résistance négative. Cela n'a rien de choquant du fait de la présence
d'un élément actif, l'AO.
Le calcul précédent est valable tant que l'AO fonctionne en régime linéaire, 
c'està-dire si |Vs | < Vsat , ce qui donne les limites du domaine de validité :
|Ve | <

R3
Vsat
R2 + R3

Traçons la partie de la caractéristique qui décrit le régime linéaire.
Ve
R3
Vsat
R2 + R3
Ie

0
R3
-
Vsat
R2 + R3

2 Le fonctionnement non-linéaire regroupe les cas de saturation positive et 
négative
de la tension de sortie.
· Si Vs = +Vsat , la loi d'Ohm aux bornes de R1 donne
Ve = R1 Ie + Vsat
C'est le cas pour V+ > V- , soit
Ve <

R3
Vsat
R2 + R3

· Si Vs = -Vsat , la loi d'Ohm aux bornes de R1 donne
Ve = R1 Ie - Vsat
C'est le cas pour V+ < V- , soit
Ve > -

R3
Vsat
R2 + R3

La caractéristique est donc affine par morceaux. Définissons les points A et B
comme les points où se produisent des changements de pente.

R3

 Ve (A) = R + R Vsat
2
3

R3

 Ve (B) = -
Vsat
R2 + R3

En reportant dans l'équation Ve = f (Ie ) donnant la forme de la 
caractéristique, on
trouve les intensités des courants associés, soit

R2

 Ie (A) = - R (R + R ) Vsat
1
2
3

R2

 Ie (B) =
Vsat
R1 (R2 + R3 )
On peut maintenant tracer la totalité de la caractéristique Ve = f (Ie ) du 
dipôle
à résistance négative.
Ve
Vs = +Vsat

Régime linéaire
A

Vs = -Vsat

Ie

0
B

On remarque que cette caractéristique est symétrique par rapport à l'origine.
Ainsi, le sens de branchement du dipôle est sans importance.