Mines Physique 2 PSI 2004

Thème de l'épreuve Un indice de réfraction négatif?
Principaux outils utilisés ondes électromagnétiques dans les milieux, optique géométrique, magnétostatique
Mots clefs indice optique négatif, lois de Descartes, stigmatisme, relations de passage

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE '
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, T 
PE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
Physique Il -- Filière PSI

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, 
comporte 7 pages.
Une illustration est fournie page 8, à titre strictement documentaire.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est

amené à prendre.

Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures.

Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lors que
l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que

des qualités de rédaction de la copie.

Notations : un vecteur est noté en gras (A) ; le vecteur unitaire pour la 
coordonnée a est noté ua .

UN INDICE DE RÉF RACTION N ÉGATIF ?

Nous nous proposons d'examiner quelques implications d'un indice négatif, 
phéno--
mène dont on a spéculé l'existence dès 1964 et revendiqué l'observation en 
2001, dans
des matériaux composites réfractant la lumière dans la direction opposée à 
celle qui est
dictée par les lois ordinaires de l'optique (Fig. 1) ! La même année, une 
réfutation
détaillée des_théories et des expériences de quarante ans de travaux était 
publiée. Cette
' ' réfutation n'a pas été, à
ce jour, contredite. La
cinquième partie de ce
problème évoque un
élément (marginal) de la
réfi1tation, l'argument

F ig. la : rayon lumineux dans un milieu d'indice positif principal étant hors 
pro--

Fig. lb : rayon lumineux dans un milieu d'indice négatif g r a m m e. L e 5 "' 
0 15
' prem1ères part1es, assez

proches du cours, concernent successivement la propagation des ondes planes 
dans un

matériau homogène, le passage de la lumière du vide dans un milieu homogène et
l'optique dans un << milieu négatif». La quatrième partie présente le matériau 
étudié.

l. Ondes planes dans un matériau homogène

L'espace étant repéré par le trièdre orthonormé Oxyz, on étudie la propagation 
d'une onde
électromagnétique monochromatique plane dans un milieu isolant, neutre, 
linéaire et homo--

gène de permittivité diélectrique 8= 808, et de perméabilité magnétique [1 = 
,uour, l'une et
l'autre positives. En notation complexe standard, le champ électrique de cette 
onde, polari--
sée selon la direction de vecteur unitaire u,, , s'écrit @: E, |] ). exp j(w 
t--kz) , ce qui définit

le vecteur de propagation k : kuz et la norme, EO, de ce champ ; EO est donc 
réel.

Quelques relations d 'électromagnétisme et d'analyse vectorielle sont indiquées 
dans
l'annexe, enfin de problème.

Cl 1 ---- Déduire des équations de Maxwell l'expression du champ _B_ de cette 
onde et celle de
la valeur moyenne temporelle de son vecteur de Poynting, (S), . Préciser 
l'orientation de ces

deux vecteurs. Interpréter physiquement le vecteur de Poynting et comparer sa 
direction et
son sens à ceux du vecteur de pr0pagation k.

D 2 -- L'indice de réfraction d'une onde dans un milieu, noté n, est 
généralement défini
comme le quotient de la vitesse de cette onde dans le vide, 0 , par la vitesse 
de la lumière

dans ce milieu, 1). Établir l'équation de propagation du champ 
électromagnétique (équation
de d'Alembert) et en déduire l'expression de n =c/1) en fonction de EUR, et de 
,u,. Cet indice

est, à l'évidence, une quantité positive.

Cl 3 ---- Supposons maintenant que, par un artifice quelconque, on ait pu 
obtenir simultané--
ment £< 0 et # < 0. Reprendre l'étude des questions [1] et [2]. Comment définir 
alors le

sens de propagation de l'onde (selon le vecteur de propagation k ou selon S) ?

2. Passage de la lumière du vide dans un matériau homogène

Fig. 2 : Notations et conventions de signe pour les lois de Descartes

Considérons les lois de Descartes de la réfraction, en prêtant attention à 
l'orientation des
angles. Le plan d'équation Z = 0 sépare l'espace en deux régions ; la région Z 
< 0 contient

de l'air, dont les propriétés électro magnétiques sont celles du vide, la 
région 2 > 0 contient
un isolant, linéaire, isotrope et, pour le moment, « ordinaire » : 8 > 0 et ." 
> O.

L'onde incidente, provenant de la région 2 < 0, est monochromatique plane, de 
fréquence
angulaire &) ; son vecteur d'onde, noté ko et situé dans le plan sz, fait un 
angle 9 > 0 avec
la verticale (Fig. 2). Le champ électrique de cette onde est noté _E, ; la 
notation

_Ffl- : A,--expi wt+ k0x sin(9)-koZ cos (9) = A,- u,. exp i[w t+koxsin(9)--koz 
cos(9)]
=--k0r =A'

!

précise la structure du champ et les notations : seule la composante A,}. de 
l'amplitude A,-

n'est pas nulle ; le vecteur d'onde incident est ko : --k0 sin (6) ux + ko cos 
(â) uZ .

E] 4 -- Quelle relation géométrique doit--on avoir entre k() et A,-- ?

Cl 5 -- L'onde incidente engendre d'une part une onde réfléchie, de champ 
électrique E,,
d'amplitude A, de vecteur d'onde k, : k,,ux +kÔ.u), + k,_.uz et de fréquence 
angulaire co, ,

d'autre part une onde transmise de champ électrique E , , d'amplitude A, de 
vecteur d'onde
k , : k,,u, + k,,.u, + k,:u: et de fréquence angulaire oe, . En considérant, 
pour toute valeur de x

et de y, et à chaque instant, les relations de continuité en z = 0 des 
composantes appropriées
des champs électriques (on pourra éventuellement se référer à l'annexe), 
établir que tous les
champs ont la même fréquence angulaire &) ; établir aussi les relations

k,x : km : --kOsin(6),
ko}, : k,}, = k,}, =O.
Cl 6 ---- Montrer que l'on retrouve ainsi les lois de Descartes pour la 
réfraction et la réflexion.

El 7 -- On considère maintenant le Cas où 8< 0 et # < 0, tel qu'envisagé à la 
question [3].

Si un milieu doté de ces deux propriétés existe, on dira que ce milieu est 
négatif On
convient que, dans la région 2 > 0, la direction de propagation de l'onde 
transmise est dans

le sens des z croissant. Exprimer alors le vecteur k ,. On illustrera ce 
résultat par un schéma,
en imposant 6 > 0, c'est--à--dire kOx < 0 et kOZ > 0. On représentera les 
vecteurs d'onde des

ondes incidente et transmise, et l'on indiquera leurs directions respectives de 
propagation par
des vecteurs unitaires si et s,. Peut-on dire, au sens de la question [2], 
c'est--à--dire en termes

de rapport de vitesses, que l'indice du milieu est négatif?
sin(9)
sin(9")

direction de propagation de l'énergie. Quel est, en ce sens, le signe de n ?

Cl 8 ---- On définit maintenant l'indice de réfraction par n = , 9 et 9" se 
référant à la

3. Optique dans un milieu négatif (lame à faces parallèles) ?

Cl 9 -- On considère des ondes de très courte longueur d'onde (analogues, donc, 
à celles de
l'optique) traversant une lame transparente à faces parallèles d'épaisseur e, 
constituée d'un
matériau négatif et placée dans l'air. Tracer, en justifiant votre 
construction, le trajet d'un
rayon arrivant sur ce matériau sous l'incidence 9 et le traversant. Comparer au 
trajet dans un
matériau ordinaire.

Cl 10 -- On étudie maintenant les ondes issues d'un point source
P situé à gauche de cette lame et la traversant (Fig. ci-contre).

. EURCOS(9 9)n(l l>l)

Établir la relation H 7" HP +--------------
'in2 --sin2

° Définitif le stigmatisme. Dans quelle mesure (c'est--à-dire à
quel ordre en 9) peut--on dire que sur la lame est stigmatique pour les points 
P et P"?

' Sous quelle condition, portant sur 'n] , e et _H--13, l'image P' est-elle 
réelle '?

Cl 11 ---- Montrer que lorsque euc2 : l, le stigmatisme est rigoureux.

Cl 12 -- Toujours dans le cas d'une lame à faces parallèles d'indice négatif, 
et toujours avec
£].1c2 : 1, où est située l'image d'un point à l'infini '? Quel est alors le 
grossissement d'un tel

dispositif1 '? Une telle lame pourrait--elle servir de lentille dans un 
microscope ? d'objectif
dans un télescope '?

4. Proposition pour un milieu négatif

Aucun matériau connu n'est doté des propriétés 8 < 0 et ,a < 0. Il a été avancé 
que des

milieux composites, constitués d'éléments bien plus petits que la longueur 
d'onde de tra--
vail, pourraient y parvenir. Dans ce cas, comme dans celui de la matière 
ordinaire, les
ondes ne scruteraient pas les détails du milieu, mais seulement ses propriétés 
moyennes. On
étudie ici quelques propriétés diélectriques d'un tel milieu ; l'aspect 
magnétique étant donc
ignoré, on supposera que ,a : #0. Un ensemble de fils conducteurs parallèles à 
Oz, de lon-
gueur EUR et de rayon R, est plongé dans un matériau isolant de permittivité 
diélectrique
e(w) positive et réelle. Il forme un réseau carré illimité de côté a (Fig. 3).

Fig. 3 : Structure bidimensionnelle de permittivité diélectrique négative ?

On étudie la propagation dans ce milieu d'une onde électromagnétique plane 
homogène, de
pulsation a), de longueur d'onde À et de vecteur d'onde k= ku,... Le champ 
électrique

appliqué, Eu possède la direction de polarisation u:. Le champ 
électromagnétique appliqué
[Ea,Ba] produit dans les fils des courants volumiques variables dans le temps ; 
au niveau

d'un fil, ces courants produisent un champ électromagnétique [E,-,B,] .

Les électrons libres, de masse me , de charge électrique -- e et de vitesse v, 
d'un fil donné
sont soumis au champ électromagnétique total [ET : Ed +E,--, BT : Ba +B ,-] . 
Ces électrons

I

06
1 Le grossissement G est défini par G = _, où Ot' est l'angle sous lequel on 
voit l'objet à travers la
OC

lame et DC l'angle sous lequel on le voit à l'oeil nu.

subissent aussi la force de viscosité moyenne, qui modélise l'ensemble des 
interactions des
électrons avec le réseau, Ff : --fyv , où )! est une constante positive. On 
note N la densité

volumique des électrons dans un fil.

El 13 -- Écrire la relation fondamentale de la dynamique pour un électron, en 
négligeant les

forces magnétiques devant les forces électriques. En déduire l'équation 
différentielle sui-
vante vérifiée par la densité volumique de courant j dans un fil :

d'
m;â=--yj+NeïEa +E,--).

Cl 14 -- Dans quelle mesure est-il légitime d'utiliser l'approximation des 
régimes quasi-sta--
tionnaires pour calculer, dans un fil donné, le champ électrique E ,-- défini 
plus haut ?

Cl 15 -- Établir, par applications des propriétés de symétrie et du théorème 
d'Ampère,
l'expression du champ magnétique B,, produit par un fil unique illimité 
traversé par le cou-

rant [( t) , à une distance r 2 R de son axe. On négligera, dans cette 
question, le courant de
déplacement et l'on admettra que ce champ ne dépend que de la distance r à 
l'axe de ce fil.

[:| 16 -- Montrer que ce champ dérive du potentiel vecteur A,, = % I(t)f(r)uz 
et donner
7z

l'expression de f (r) satisfaisant f (R): O ; on pourra utiliser les relations 
u, A u: = --- ue et,

pour une fonction scalaire g et un vecteur constant V, rot(gV) : grad( g) /\ V.

El 17 -- On admet que le potentiel vecteur A produit par tous les autres fils 
au niveau d'un fil
donné ne varie pas sur la section de ce fil. On admet aussi que le champ 
électrique E,-- se

confond avec le champ électromoteur d'induction. Avec une approximation 
acceptable, le

a
potentiel vecteur A peut être mis sous la forme A=%'-- (!) {ln(î)} u_._, ce qui 
définit la
72:
&_,---J
=F(R,a)

fonction F ( R,a). Établir alors l'expression de E,-- en fonction de la densité 
de courant dans
le fil, supposée uniforme j, de R et de ,uO.

E] 18 -- En déduire, compte tenu de l'équation de la question [13], que tout se 
passe comme
si l'on avait affaire à des électrons soumis au seul champ E,, mais affectés 
d'une masse mH

différente de m, . Donner l'expression du terme « d'habillage » 5 m = m H ---- 
m, .

Cl 19 -- Donner le nombre de fils par maille carrée de côté a dans le réseau 
(attention : le

même fil appartient à plusieurs mailles simultanément). Établir l'expression de 
la densité
volumique moyenne de courant dans une maille, J m , en fonction de j.

d.]m 7L'NeZR2

+ =------E,.
dt me a2

Cl 20 ---- Établir l'équation différentielle vérifiée par J ... : mH

Cl 21 ---- En représentation complexe [oc exp(ioet)] , la densité volumique 
moyenne de courant
dans une maille s'exprime sous la forme J_...= a(w)Ê_,. Expliciter la grandeur 
complexe

a(w) en fonction de N, e, R, y, a, a) et mH.

[] 22 -- Justifier sommairement que les équations de Maxwell vérifiées par (à, 
&) font

intervenir la densité moyenne ___I_rl . En exprimant l'équation de 
Maxwell--Ampère unique-

ment en termes de _l_£_EUR et de _l_3_a , montrer que tout se passe comme si la 
permittivité diélec--

trique £(æ) était remplacée par une autre expression, SH (co) , que l'on 
précisera.

Cl 23 ---- Dans quelle gamme de fréquences peut--on considérer e,,(w) comme une 
grandeur

, , . . . me _ 2 7re 2R2N
reelle negative ? on mtrodu1ra y = --- ("L' est le temps de relaxation) et a),, 
= --5---- .
T a m,,£(æ)
Cl 24 ---- Pour estimer la plausibilité numérique de certaines relations, on 
adopte : a ==..."3 m,
R=10'6 m et 8(0)) =£0 pour tout ca. Le métal (hypothétique) constituant le fil 
est de

structure cubique simple, avec une maille de 3><10'10 m. Chaque atome du métal 
fournit un

électron libre ; enfin, #0: 47z:><10'7 H.m'1 et 80[.L0EUR2 =l .
' Vérifier la dimension et calculer la valeur numérique du terme d'habillage, 
5m,

introduit à la question 18. On trouvera mH z masse d'un noyau !
° Simplifier en conséquence l'expression de ca,, (question 23) ; calculer la 
valeur nu-

mérique de a),, et la longueur d'onde correspondante, À,, . Comment choisir a 
et R

pour que l'effet soit observable aux fréquences les plus basses possible '?
° Quelle inégalité T doit--il Satisfaire pour que l'encadrement trouvé à la 
question 23
soit possible '? A titre documentaire, le temps de relaxation pour le cuivre 
vaut

2,7><10"14 s à la température ambiante.

5. Un embryon de réfutation

Nous considérons le calcul du champ B produit par un fil de longueur finie 
(Fig. ci-dessous).
Les relations données dans la partie C de l'annexe pourront se révéler utiles.

Cl 25 -- Expliquer en quoi il est irréaliste de considérer un
courant constant circulant dans un fil rectiligne de longueur
finie. Qu'en est--il d'un courant constant circulant dans un fil
rectiligne illimité '?

E] 26 -- Vérifier que l'application sans discernement du théo--
rème d'Ampère à un élément rectiligne de fil de longueur 26
donne un champ B indépendant de EUR . En appliquant mainte--
nant la loi de Biot et Savart, calculer le champ B au point M,
de coordonnées cartésiennes (O, R, 0), situé dans le plan
médiateur et à la distance R du fil. Commenter le résultat.

On donne: ------dZ--3- =-}%;---Ë--;+C'° : Slr;e(2a)
(R2 + zz); R +z

+Cte

Cl 27 -- Une troisième méthode de calcul part directement des équations de 
Maxwell.

Plaçons à chaque extrémité du fil des charges ponctuelles variables dans le 
temps et de signe

' ' ' ' ' I ' d
oppose. La neutralité electnque est donc preservee et un courant [( t)= 
------d-g- peut s'écouler
[

dans le fil. Les charges produisent un champ électrique E(t), variable lui 
aussi dans le temps.

En utilisant la relation de Maxwell-Ampère pour les champs variables et en 
considérant le
flux du champ électrique E(t) à travers la surface plane s'appuyant sur le 
contour circulaire

de la figure, retrouver l'expression établie à la question 26.

Annexes (notations standard)

A) Ondes planes

Si A : AO expi ( wt-- k.r) , avec AO constant,

% _...(A>=_.k.A .. ...Ï : -2- 9î(AA B_Î) .

B) Équations de Maxwell, potentiels et relations constitutives (en notation 
complexe)

rot(E)=---£-Ê <=> % E dl= --dJ --- B.ndS
dl (5) dl
. 8D _ 8D
mt(H)--J+-âÏ @: iH.dl- JJ(S)(j+ Bt). ndS
E= --grad(V)-- %? B : rot(A)
.D=e...E.+£ ' .B= u..(fl+M)
=eE=eo(l+xe)_lä = ufl= uo(1+x...)fl
8 #.

C) Calcul de champ

Loi de Biot et Savart :

Flux d(p de E àtravers ds= nda :

--d--g cos (9)--
47rEUR0 r2 _ 47æ0

Angle solide correspondant à l'intérieur d'un cône de demi-angle au sommet B
.Q= 2n[l--cos(fi)] .

dw=E.nda= dQ.

D) Relations de continuité

(DZ--Dl)-HIZZÔ' (BZ--BI).nIZ=O
js : "12A(H2 ""H1) "12--A (E2 _E1)= ()

FIN DE L'ÉPREUVE

'\
\._} :\ \ \\-- 1>\«

\\\\Ê " "-- --

Une structure artificielle réputée d'indice négatif: certains éléments ont la 
forme d 'anneau
circulaire, d 'autres la forme de fil. Dans une certaine gamme defléquences, 
cette structure

macroscopique se comporte comme si elle était continue.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PSI 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Marc Legendre (Professeur en CPGE). Il a été relu par
Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Jean-David Picon (École Polytechnique).

Le sujet porte sur l'étude d'un matériau ayant la propriété peu commune d'avoir
un indice de réfraction négatif. Il se compose de cinq parties.
· Tout d'abord, dans la première partie du problème, on étudie la propagation
d'ondes planes dans un milieu diélectrique et magnétique. On définit alors,
de manière très générale, la notion d'indice de réfraction négatif.
· Dans une deuxième partie, on redémontre les lois de Descartes en utilisant les
relations de passage à l'interface entre deux milieux différents. On peut alors
affiner la définition d'un milieu d'indice négatif. Ces deux parties sont 
proches
du cours d'électromagnétisme même si la notion d'indice négatif a pu dérouter
certains candidats.
· On étudie ensuite géométriquement cette notion dans une troisième partie,
à l'aide notamment de connaissances acquises en première année. On vérifie
ainsi que le candidat a assimilé les bases de l'optique géométrique et qu'il est
capable de les appliquer dans un cadre original.
· Dans la quatrième partie, un modèle microscopique est proposé pour justifier
la définition établie dans la partie I. Une bonne connaissance du cours 
d'électromagnétisme est alors nécessaire.
· Une critique de ce modèle est suggérée dans la dernière partie, qui utilise 
les
notions d'électromagnétisme étudiées dans le cours de première année.
Ce sujet est assez long mais la difficulté principale réside dans la 
compréhension de l'énoncé, qui est parfois obscur. Même si l'ensemble peut 
paraître déroutant,
de nombreuses questions sont très abordables si l'on prend soin de bien lire le 
texte.

Indications
Partie I
3 Se rappeler qu'on définit le rayon lumineux à l'aide du vecteur de Poynting.

Partie II
5 Utiliser la continuité de la composante tangentielle du champ électrique.

-

-
8 Utiliser le fait que h S i et k sont opposés dans le milieu négatif.
Partie III
9 Regarder la figure de la première page de l'énoncé.
10 Faire attention au signe des valeurs algébriques.
12 Faire un schéma.

Partie IV

13 Se rappeler la définition de -
 = -Ne-
v.

-
.
15 Montrer que B est colinéaire à -
u

 -
-

16 Utiliser l'équation de Maxwell-flux div B = 0 .
23 Considérer d'abord que la grandeur H est réelle puis qu'elle est négative.
24 Calculer la densité d'électrons à l'aide du paramètre de maille du réseau 
cubique.

Partie V
26 Considérer un élément infinitésimal de fil, de longueur dz.
27 Calculer le champ créé par la charge q(t) en utilisant la notion d'angle 
solide
rappelée en annexe. Utiliser alors l'équation intégrale de Maxwell-Ampère (il y 
a
une erreur dans l'annexe).

I.

Ondes planes dans un matériau homogène

1 L'équation de Maxwell-Faraday s'écrit

-
-
B
- 
rot E = -
t
-
-

En convention e i ( t- k · r ) , on a alors, comme il l'est rappelé dans 
l'annexe,
f
= i f
t

-
-

 = -i k

 -
-

-
-i k  E = -i  B

L'équation s'écrit alors

On en déduit

et

 -
-

-

k E
k E0 i (t-kz) -
B =
=-
e
ux

La valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting est
-
 -

-
 -
-

1
h S it = h E  H it = Re E  H
2

-
-

B
H =
µ

Or,

et

-

k E0 i (t-kz) -
H =-
e
u
x
µ

-
,
Il vient alors, avec k = k -
u
z

-
E0 2 -
h S it =
k
2µ
Le vecteur de Poynting représente le vecteur densité de flux d'énergie 
électromagnétique. Il définit le trajet du rayon lumineux de l'onde 
électromagnétique associée.
Avec µ > 0, la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting est de sens et 
de

-
direction identiques à ceux de k .
2 L'équation de Maxwell-Ampère s'écrit, en l'absence de courants de conduction,

-

-
E
- B
rot
=
µ
t
Dérivons cette équation par rapport au temps. Il vient alors
!
-

-
2 E
-  B
rot
= µ 2
t
t
On a de plus, en utilisant l'équation de Maxwell-Faraday,
!
-

-  B
- - -
rot
= - rot (rot E )
t
d'où

-
-
2 E
- - 
- rot (rot E ) = µ 2
t

En l'absence de charges libres, l'équation de Maxwell-Gauss implique

-

-
div D = 0 d'où div E = 0
-
 --
-
-

-
- - 
- rot (rot E ) =  E - grad (div E ) =  E

Il vient

Finalement, l'équation de propagation s'écrit

-

-

-
2 E
= 0
 E - µ
2
t
La célérité v de l'onde dans le milieu est telle que :

-

-

-
1 2 E
E - 2
= 0
2
v t
Par identification,

1
v= 
µ

D'autre part, dans le vide, la célérité de l'onde est
1
c= 
µ0  0
c
On déduit de ces deux équations l'indice du matériau défini par n = ,
v

µ
c
n= = 
v
µ0  0
d'où

n=

µr  r

3 Les relations démontrées dans les deux questions précédentes ne dépendent pas
du signe de  et µ et restent donc valables. En particulier, l'équation de 
d'Alembert et
l'expression de l'indice de réfraction du milieu sont inchangées. En revanche, 
si µ est

-

-
négatif, la relation exprimant h S it en fonction de k montre que ces deux 
vecteurs
sont opposés.
Le sens de propagation de l'onde est défini par le sens de propagation de 
l'énergie,
c'est-à-dire du vecteur de Poynting. Celui-ci définit le rayon lumineux associé 
à l'onde
électromagnétique.
Habituellement, le sens de propagation de l'onde est défini par le vecteur

-
d'onde k . Ici, il faut comprendre « sens de propagation du rayon lumineux ».
Le fait que le rayon lumineux soit opposé au vecteur d'onde est exceptionnel
et est à l'origine de l'indice optique négatif. Cette remarque est essentielle
pour la compréhension de la suite du problème.