Mines Physique 2 PSI 2001

Thème de l'épreuve Boucle à verrouillage de phase
Principaux outils utilisés électrocinétique, électronique, notations de Laplace

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2001 PHYS. PSI - Il

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUÈ ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNIÇATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2001
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE--EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
PHYSIQUE II -- Filière PSI
Cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 7 pages 
de texte.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le signale sur
sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amené à prendre.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé, même S'il n'a pas été 
démontré.

. Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent. Le barème tiendra
compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

BOUCLE À VERROUILLAGE DE PHASE

Les dispositifs à verrouillage de phase sont utilisés dans les systèmes 
nécessitant la synthèse d'un
signal dont la fréquence soit asservie à un signal de commande donné. Dans ces 
dispositifs, la variable
de boucle est la phase du signal de commande. Ce problème étudie tour à tour 
les éléments d'un tel
dispositif ; l'étude de la boucle proprement dite 'occupe la dernière partie de 
ce problème.

1 Oscillateur

Fig. 1 : Oscillateur Fig. 2 : Caractéristique du générateur

Le fonctionnement d'un oscillateur est décrit par le dispositif représenté sur 
la fig. 1. Le générateur de
courant i : f(v) attaquant le circuit R--L-C parallèle est un générateur 
linéaire par morceaux (et donc

Tournez la page S.V.P.

globalement non linéaire !), commandé par la tension v(t)l. Sa caractéristique, 
impaire, est la suite de

segments de droite précisée sur la figure 2 ; par hypothèse, on a V() > 0 et g2 
< gl.

D 1 -- En distinguant les cas |v(t)l < VO et |v(t)l > VO, écrire les deux 
formes de l'équation différentielle

relative à v(t).

Cl 2 -- L'instant initial est défini par i(0') = 0 et v(0') = 0. À quelle 
condition sur Rg1 le système est--il
instable ?

E] 3 -- En supposant cette condition réalisée, montrer que l'apparition 
d'oscillations stables, c'est-à--
dire d'amplitude bomée, est subordonnée à une seconde condition, portant 
maintenant sur Rg2.

Cl 4 -- La figure 3 représente le schéma--bloc de la fig.
1 ; elle précise succeSsivement le signal de

commande g(p)=0, le signal d'erreur 3( p) et le

signal de sortie i(p). Ce schéma-bloc est constitué

d'un organe non linéaire NL et d'un filtre de fonction
Fig-- 3 -' Représentation en SChémâ-ÜIOC de lafig. 1 de transfert 
opérationnelle F ( p) qu'on précisera en

fonction de R, L et C. Pour une fréquence propre
.. 6"o

- 2 =IOOkHZ et un facteur de qualité Q=RCwO =5, tracer le diagramme de Bode, en
72:

fo

. . , . £(jw) .2
amphtude et en phase, de la fonction de transfert redu1te _lg(oe)= R (] =--l). 
On donne
L = 100 ,uH ; calculerR et C.

V E] 5 --- La détermination de la pulsation d'accrochage et de l'amplitude 
d'éventuelles oscillations se
fera en utilisant l'approximation dite du premier harmonique, que nous allons 
établir progressivement.
_ On commence par supposer que le générateur de courant est commandé par la 
tension sinusoïdale

Vsin (th , de pulsation ca, avec V > V . On pose V : Vsin 9 , avec 0 S 6 < £. 
Exprimer formelle-
_ o o o o 2

ment, dans ces conditions, le développement en série de Fourier du courant i en 
sortie du générateur de
courant. Montrer que la moyenne du courant i est nulle et que le premier 
harmonique de son déve10p--

pement en série de Fourier est en phase avec V sin(cot).

Cl 6-- Décrire avec précision, mais sans effectuer les calculs, la méthode 
permettant de calculer
l'amplitude Il de ce premier harmonique en fonction de gl, g, 90 et V. Le gain 
du premier harmoni--

que, défini par G : %, s'en déduit et l'on admettra la solution, qui définit H 
(90) :

G ;: G(90) = g, + gl ;g2 [sin(290)+290] = g2 + & ?? H(9,).

E] 7 --L 'approximation du premier harmonique suppose que tous les signaux dans 
le schéma--bloc de
la question 4 sont sinusoïdaux de même pulsation &) et que la fonction de 
transfert non linéaire

' Typographie : le symbole v est le « v »\en italique et non pas le << v » (nu) 
grec.

Page 2 sur 7.

f(p) £[E(P)l

!(P) ÎÎËÎ

dire G(90). Dans ce cadre, établir l'équation différentielle linéaire portant 
sur la tension v(t). En

déduire la pulsation d'accrochage des oscillations et montrer que la 
sélectivité du filtre conditionne la
légitimité de la méthode.

est remplacée par le gain du premier harmonique du générateur de courant, 
c'est-à--

E] 8 -- Montrer qu'en régime d'oscillations purement sinusoïdales, 00 est 
solution de l'équation

290 +sin(2eo) = --ï--(--L--ËÀ].

D 9 -- Déduire de l'étude de H (90) = 290 + sin(2%) les inégalités établies 
dans la question 3.

E] 10 -- En examinant la manière dont le système, en régime d'oscillations 
d'équilibre, réagit à une

75

petite perturbation d'amplitude AV et en utili$ant le fait que H (60) soit 
croissante pour 0 .<. 60 < --2--,

montrer la stabilité de l'amplitude des oscillations lorsque les conditions de 
leur existence sont res--
pectées.

E] 11 -- Sans effectuer les calculs, et en supposant le générateur de courant 
autonome, décrire et justi-
fier une méthode << énergétique >> permettant de retrouver la condition 
d'oscillations d'équilibre.

II Oscillateur contrôlé en tension (OCT)

i"'"""""""'"""""""""""""'"'""'"""""'"""""l Un oscillateur contrôlé en tension 
est un
1 . . , . .
c1rcu1t, (fig. 4) de11vrant un Signal
' d'amplitude constante et de pulsation

.Q(t) : (00 + ku(t) : 600 + ka cos(oet),

Î où k est une constante, (00 la pulsation à
vide de l'oseillateur sinusoïdal de la
partie I et u(t) = acos(oet) la tension de

Oscillateur sinusoïdal //z Circuit varicap

commande, basse fréquence (co << 000).

F ig. 4 Oscillateur contrôlé en tension . _
' L'OCT se compose de l'osc1Hateur et du

circuit de charge dit varicap. Le circuit varicap comporte notamment une diode 
varicap D polarisée en
inverse par la tension positive E : EO +u(t) avec E0 >> a. La tension,appliquée 
à ses homes étant

notée uc, cette diode est équivalente à un condensateur de

capacité Cl: 7 , où 7 est une constante. On suppose que
V"c

i = f(v)

l'inégalité C1<-- ---\
] Multiplieur Filtre passe--has

Fig. 7 : Boucle à verrouillage de phase

La boucle à verrouillage de phase
Vs@ étudiée dans cette partie est un système
bouclé composé d'un multiplieur
analogique, suivi d'un filtre passe--bas

1

l+'Lp
variable de Laplace et enfin d'un
oscillateur commandé en tension OCT,

qui fournit le signal de sortie (fig. 7).
La tension d'entrée est notée ve(t)= Ve cos[OE,(t)]. L'amplitude Ve de ce 
signal est constante et sa

dd>e
dt '
vs(t)=Vscos[däs(t)], son amplitude VS est constante et sa pulsation instantanée 
est

de fonction de transfert F = en

pulsation instantanée est, par définition, Qe(t)= Le signal de sortie est noté

Qs(t)= ddîs =wo+ku(t), oùco0 désigne la pulsation & vide de l'OCT. La tension 
de sortie du
multiplieur est
v(t) : k...ve(t) vs(t) : kae cos[®e(t)] Vs cos[®s(t)]

k V

"'ZeVs {cos[>l et 0<

conditions, seule subsiste après filtrage la composante basse fréquence (phase 
9) de v(t).

km kVeV
2

D 17 -- On note A(t) : .Qe(t) -- wo. Donner la dimension de K-- -- , puis 
établir la relation

Æe d6 dA
TÜ+OE+KCOS(Û)= A(Î)+T'ä_t'- [1]

Etude de la boucle verrouillée

Cl 18-- La boucle est dite ici verrouillée lorsque Qs(t)=Qe(t). En sortie, 
v_.(t)= V,.cos[OEe(t)--GO],
avec un déphasage (--90) constant. Une fois verrouillée, la boucle peut suivre 
les variations lentes de
w__Q_

27:

Que devient chacun des membres de l'équation différentielle ... en situation de 
verrouillage ? Dans

d A
quelle mesure peut- on affirmer que 1-- peut être considéré comme nul '? 
Déterminer la plage de

dt
verrouillage. Montrer que, à une fréquence fe donnée à l'intérieur de cette 
plage, correspondent deux

la fréquence d'entrée dans un intervalle de fréquence autour de f0= appelé 
plage de verrouillage.

valeurs de 9.

4-------

...--S'I-
.r-H-m-

ll""fêi't"l-
nuagmmu
.m--fl-fl-
___-r-- fig. 8 présente un diagramme de phase de

"1' 5 "1' 25 "1"Û'75 "°' 5 "°' 25 l'équation [1]. Son observation est--elle
compatible avec vos conclusions ?

D 19-- La fréquence fe est supposée fixée.
On pose A(t) : A : Cte. L'étude générale de

la stabilité de la boucle verrouillée reste
difficile. On se contentera de linéariser [1]

autour d'une position d'équilibre caracté-

. A
risée par Q, vér1fiant cos(âe)=--k--. Poser

8 | << 75) et discuter la stabilité

0=Q+e (

de l'équilibre selon le signe de sin(98). La

1
dt - (Q,) " î Ü20 -- Déterminer numériquement la plage
de verrouillage. Etudier numériquement

comment évolue le déphasage (--Be) lorsque la fréquence fe balaie la plage de 
verrouillage par

valeurs croissantes. On donne : fi) : 100 kHz, t' =150><10"ô 5, k : 6,28><104 
s".V", ... = 0,1 et
Ve : V. : 4V.

Fig. 8 : ---- en fonction de 9 pour COS

Accrochage de la boucle

D 21 -- La boucle n'est pas verrouillée, la fréquence d'entrée est constante ; 
on admet provisoire-
ment2 que le signal de sortie du multiplicateur puisse s'écrire v(t) : V0 + Vn 
cos(fit), où V0, V9 et [2

sont des constantes. Le gain complexe du filtre F (fig. 9) à la pulsation .Q 
étant noté

2 Justification dans la question 21.

Tournez la page S.V.P.
Page 5 sur 7.

F (Q)exp[ jÇDF (Q)), (noter l'égalité F (O) = l), établir les expressions 
respectives de u(t) et de .Qs(t) ;
ngr
1+ .(22r2 '
B(t) = at-- flsin[flt+®F(û)] [2].

établir enfin que, si on a 0(0) : alors B(t) peut s'écrire :

Exprimer a en fonction dek,V0 et A et B en fonction de
k, VQ,F(Q) et a.

D 22 --- On suppose désormais que l'action du filtre passe-bas F
est suffisamment efficace pour que l'on puisse admettre que

cos((D,,)= F (0) = ---1---- et (D, = --£. Dans l'expression de la ten-

sion v(t) : --Ë-cos[9() t ()]= --Ë--(A(t)cos(oe)+ B(t)sin(æ)) déduite de

--2 --1 0 1h.- 2
Fig-- 9 -' Diagramme de 30619 de F: [2], les fonctions A(t) et B(t) peuvent 
s'exprimer comme une série
en abscme " log...(an) trigonométrique par rapport à la variable (Qt+ O.

g_ç_

Déterminer les conditions initiales 8(O') et (dt

] . Exprimer £(t).
r=0+

E] 28-- Expliquer les avantages et les inconvénients pour la boucle à 
verrouillage de phase d'une faible
constante de temps Tdu filtre F.

Fin du problème

Fin de l'épreuve

Page 7 sur 7.

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Mines Physique 2 PSI 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Matthieu Denoual (ENS Cachan) ; il a été relu par
Yannick Alméras (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (ENS Lyon).

Le sujet porte sur l'étude d'une boucle à verrouillage de phase. Ce dispositif 
est
utile dans les systèmes nécessitant la synthèse d'un signal dont la fréquence 
doit être
asservie à un signal de commande.
Dans un premier temps, différents éléments constituant cette boucle sont étudiés
successivement (oscillateur, oscillateur contrôlé en tension, comparateur de 
phases).
Ensuite, on étudie plus particulièrement le fonctionnement de la boucle, 
notamment
les plages de verrouillage et de capture.
Ce problème, très calculatoire, met en évidence, au prix de nombreuses 
hypothèses
simplificatrices, les phénomènes de capture et de poursuite de la boucle à 
verrouillage
de phase.

Indications

Partie I
1 Appliquer la loi des noeuds.
2 Étudier la partie réelle des solutions.
5 Montrer d'abord que i(t) est impaire.
8 En régime purement sinusoïdal, les racines sont imaginaires pures.
9 Montrer que 0 < H(0 ) <  et en déduire les inégalités obtenues aux questions 2
et 3.

Partie II
13 En se servant des hypothèses, effectuer des développements limités. 
Attention, k
n'intervient pas dans l'expression de k  .

Partie III
14 Attention, les entrées de l'amplificateur opérationnel ont été interverties.

Partie IV
17 Partir de l'équation temporelle du filtre.
18 C'est la tension de commande de l'OCT qui limite la plage d'excursion en 
fréquence.
19 Analyser la partie réelle des solutions.
20 Utiliser un peu de trigonométrie et suivre les hypothèses pour des 
simplifications.
21 Utiliser une méthode reposant sur la notation complexe. Penser au théorème de
superposition.
26 Utiliser les notations de Laplace.
27 Partir de l'équation [1] de la question 17.

I.

Oscillateur

1 La loi des noeuds pour le circuit de la figure ci-dessous s'écrit
i = iR + iC + iL

iC

i

en passant en notations de Laplace, on obtient
v

C

iL

L

iR

R

v(p)
1
i(p) =
+ p C v(p) +
v(p)
R
pL
On pose

di
dv
= gk
, soit en notations de Laplace
dt
dt
p i(p) = gk p v(p)

gk correspond alors à la pente des portions de la caractéristique 
courant-tension du
générateur.
· | v(t) | < V0 alors k = 1.
· | v(t) | > V0 alors k = 2.
En utilisant ces notations et en multipliant la loi des noeuds en notations de 
Laplace
par L p, on arrive à
Lp
L gk p v(p) =
v(p) + L C p2 v(p) + v(p)
R

1
soit
L C p2 v(p) + L
- gk p v(p) + v(p) = 0
R
En repassant en notations temporelles, on obtient les deux formes de l'équation 
différentielle relative à v(t) :

d2 v
1
dv

- g1
+v =0
 cas | v(t) | < V0 , gk = g1 soit LC 2 + L

dt
R
dt

d2 v
1
dv

 cas | v(t) | > V0 , gk = g2 soit LC 2 + L
- g2
+v =0
dt
R
dt
On peut également obtenir le résultat en restant dans le domaine temporel.
i = iR + iC + iL
v
dv
1
i=
+C
+
R
dt
L

Z

v dt

En dérivant par rapport à t :
di
1 dv
d2 v
1
=
+C 2 + v
dt
R dt
dt
L
L
alors

di
L dv
d2 v
=
+ LC 2 + v
dt
R dt
dt

Lgk

dv
L dv
d2 v
=
+ LC 2 + v
dt
R dt
dt

d'où

LC

 | v(t) | < V0

 | v(t) | > V0

d2 v
+L
dt2

1
- gk
R

dv
+v = 0
dt

d2 v
soit LC 2 + L
dt

1
- g1
R

dv
+v =0
dt

d2 v
+L
dt2

1
- g2
R

dv
+v =0
dt

soit LC

2 L'instant initial correspond au premier cas (v(0- ) = 0 < V0 ) de la question
précédente. Par ailleurs, on a v(0+ ) = 0 car la tension est continue aux 
bornes d'un
condensateur. L'équation caractéristique de l'équation différentielle est alors

1
LC r2 + L
- g1 r + 1 = 0
R
Le système est instable si une solution de l'équation caractéristique a une 
partie réelle
positive (exponentielle croissante). Si l'on identifie l'équation précédente à 
la forme
classique reprise ci-dessous
a r2 + b r + c = 0
il faut distinguer deux cas suivant le signe du discriminant de l'équation.
· Si  > 0 : alors il y a deux racines réelles dont la somme vaut

-b
et le produit
a

c
c
. Or ici,
est strictement positif, donc les racines ont le même signe. Ce
a
a
-b
signe est celui de
. Par conséquent, le système est instable si et seulement si
a
-b
> 0 ; c'est-à-dire, puisque a est strictement positif, si et seulement si b < 0.
a
-b
· Si  < 0 : alors il y a deux racines complexes conjuguées de partie réelle
.
2a
-b
La condition d'instabilité est alors
> 0 soit b < 0, puisque a > 0.
2a
Dans notre cas, la condition b < 0 se traduit par

1
L
- g1
R
<0
2 LC
1
Or L > 0 et C > 0, donc la condition est
- g1 < 0.
R
Soit

R g1 > 1

3 L'apparition d'oscillations stables, d'amplitude bornée, rend nécessaire la 
diminution de l'amplitude des oscillations à partir d'un certain moment. C'est 
la non linéarité
de la caractéristique du générateur qui permet d'obtenir une réponse 
décroissante du
système. Cette réponse est décroissante si les parties réelles des solutions de 
l'équation