Mines Physique 1 PSI 2009

Thème de l'épreuve Le rayonnement fossile
Principaux outils utilisés mécanique du point, thermodynamique, électromagnétisme

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT­ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2009
PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PSI
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, 
TPE­EIVP, Cycle
international

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE I -- PSI.
L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
Le bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

LE RAYONNEMENT FOSSILE
Le sujet est compose de quatre parties independantes. Les deux premieres 
parties etudient l'expansion
de l'Univers. La troisieme partie etudie le positionnement d'une sonde 
d'observation du rayonnement
cosmologique. La quatrieme partie approfondit l'etude du rayonnement. Les 
donnees numeriques
-
necessaires sont en fin d'enonce. Les vecteurs sont generalement notes avec une 
fleche, 
v , sauf s'ils
sont unitaires et sont alors surmontes d'un chapeau kb
ex k = 1. Les nombres complexes sont soulignes :
z  C. On notera j2 = -1.

I. -- Expansion de l'Univers
1 -- Expliquer brievement la phrase suivante, souvent utilisee dans les revues 
de vulgarisation
scientifique : plus on regarde loin dans l'Univers, plus on regarde dans le 
passe .
On raisonne dans le cadre de la cinematique classique (non-relativiste). Le 
point O represente un observateur sur la Terre et le point M represente un 
objet celeste (etoile, galaxie, etc.). On considere le
referentiel R ou O est fixe et M est en mouvement. Le milieu interstellaire est 
assimile au vide pour
les ondes electromagnetiques et on note c la celerite de ces ondes dans R.
On convient de ne pas tenir compte de l'attenuation de l'amplitude des ondes au 
cours de leur propagation.
Soit sM (t) le signal electromagnetique emis par le point M a l'instant t. Ce 
signal est recu a l'instant
t  par le point O. On note sO (t) le signal recu par O a l'instant t. On note 
OM = r(t). D'apres les
hypotheses, sO (t  ) = sM (t).
2 -- Exprimer t  en fonction de t, c et de la distance r(t).

LE RAYONNEMENT FOSSILE

-
3 -- L'emetteur M a une vitesse notee 
v (t), de norme v(t) et
--
faisant avec OM un angle  (t) (voir figure 1). L'emetteur emet des
signaux periodiques de periode T . On suppose que la frequence des
signaux est suffisamment grande pour pouvoir negliger les variations
-
de 
v et de  sur une periode. On suppose egalement qu'a chaque
instant t, v(t)T /r(t)  1. Exprimer, au premier ordre, la difference
r(t + T ) - r(t).
4 -- En deduire, toujours au premier ordre, la periode T  des
signaux recus par l'observateur en O. On exprimera T  en fonction
de T , v, c et  .

M
v
r

O
F IG . 1 ­ Geometrie

5 -- On appelle vitesse radiale de M la quantite vr = v cos  . On note  la 
longueur d'onde du
signal emis par M et   la longueur d'onde du signal recu en O. Donner la 
relation qui existe entre  ,
  , vr et c. On mettra cette relation sous la forme   / = 1 + Z. La quantite Z 
ainsi definie s'appelle
le redshift.
6 -- On suppose que M se rapproche de O. Si M emet une longueur d'onde  situee 
dans le jaune
( = 585 nm), la longueur d'onde   recue en O est-elle decalee vers le rouge ou 
bien decalee vers
le bleu par rapport a  ? On justifiera la reponse.
En 1929, le physicien Edwin Hubble a releve
le spectre de la lumiere issue des galaxies dont
la distance a la Terre etait connue. En comparant ces spectres a ceux 
d'elements chimiques
connus, il en a deduit le redshift Z de ces
galaxies. Les points experimentaux pour plusieurs galaxies sont representes sur 
la figure 2.
En notant d la distance Terre-galaxie et vr la
vitesse radiale de la galaxie par rapport a la
Terre, les mesures suggerent une loi lineaire
du type vr = H × d. Cette loi porte le nom de
loi de Hubble et H s'appelle la constante de
Hubble (le mot constante signifie qu'il s'agit
d'une constante par rapport a l'espace et non
dans le temps).
F IG . 2 ­ Loi de Hubble
d
Z × 102

0,87

1,05

1,56

1,76

2,11

2,26

2,48

2,77

3,92

4,59

4,30

5,32

6,92

7,21

11,22

14,47

0,71

0,83

1,06

1,23

1,67

1,72

1,92

1,92

2,68

2,93

3,23

3,69

4,55

4,95

7,42

10,00

Donnees experimentales ayant permis la construction de la figure 2, d est 
exprimee en unite de 1024 m.

7 -- Donner une estimation numerique de H en unites du systeme international, 
puis en km.s-1 par
million d'annees-lumiere. Que signifie cette unite. On ne s'offusquera pas du 
fait que la loi de Hubble
puisse donner des vitesses radiales depassant c pour des galaxies tres 
eloignees. Cette impossibilite
n'apparait pas lorsque les phenomenes relativistes sont pris en compte.
8 -- La loi de Hubble suggere que l'Univers soit en expansion. Le modele du 
big-bang permet
de postuler que cette expansion a commence depuis un temps fini et donc que 
l'Univers peut se voir
attribuer un age. Avec des arguments qualitatifs simples, expliquer pourquoi 
l'inverse de la constante
Page 2/7

Physique I, annee 2009 -- filiere PSI

de Hubble est un bon ordre de grandeur de l'age de l'Univers. Estimer 
numeriquement l'age de
l'Univers en milliards d'annees.
9 -- Dans cette question, on veut savoir si l'expansion de l'Univers va un jour 
s'arreter ou non.
Pour cela, on modelise l'Univers par une boule homogene de masse volumique  
constante et dont
le rayon R(t) suit la loi d'expansion de Hubble. On considere une galaxie 
(supposee ponctuelle) de
masse m situee a la surface de la boule et s'eloignant radialement a la vitesse 
R = dR/dt du centre de
la boule. Exprimer l'energie mecanique de cette galaxie. En deduire qu'a partir 
d'une certaine masse
volumique de l'Univers, notee c , la galaxie ne pourra pas s'eloigner 
indefiniment. Exprimer c en
fonction de la constante de gravitation G et de la constante de Hubble H = R/R.
10 -- Donner la valeur numerique de c . Les observations de la matiere visible 
de l'Univers
donnent une masse volumique moyenne   3 × 10-28 kg.m-3 . D'apres cette donnee, 
l'expansion
durera-t-elle indefiniment ?
FIN DE LA PARTIE I

II. -- Le rayonnement fossile
II.A. -- Proprietes generales
Des 1948, le physicien Gamow a prevu que le big-bang a
du laisser une trace dans l'Univers sous forme de rayonnement 
electromagnetique, appele rayonnement fossile. Ce
rayonnement a ete decouvert en 1962 par Penzias et Wilson (prix Nobel 1978). La 
densite volumique w d'energie
electromagnetique de ce rayonnement par unite de longueur
d'onde  est representee sur la figure 3.
11 -- Quel type d'ondes electromagnetiques est associe
au rayonnement fossile ? On justifiera la reponse en donnant des ordres de 
grandeur connus.
F IG . 3 ­ Spectre du rayonnement fossile
La courbe de la figure 3 a exactement la meme forme que celle correspondant a 
l'emission d'un
corps chauffe (braise chaude, interieur d'un four etc.). Pour ce type de 
rayonnement, la longueur
d'onde m au maximum d'emission est liee a la temperature T du corps chauffe par 
la loi de Wien :
m × T = constante  2, 9 mm.K. Par abus de langage, T est appelee temperature du 
rayonnement.
12 -- Determiner la temperature actuelle du rayonnement fossile.
On decide qu'a chaque instant depuis son emission, on peut identifier la 
temperature de l'Univers a
celle du rayonnement fossile.
13 -- Le rayonnement fossile est le resultat d'un processus physique qui s'est 
deroule pendant
une phase tres breve de l'histoire de l'Univers durant laquelle sa temperature 
T valait environ 3000 K.
En admettant que les longueurs d'onde aient subi la meme dilatation que 
l'Univers, de quel facteur
l'Univers s'est-il dilate entre le moment de l'emission du rayonnement fossile 
et aujourd'hui ?

II.B. -- Proprietes thermodynamiques
On montre que la densite volumique d'energie electromagnetique par unite de 
frequence  associee
au rayonnement contenu dans une enceinte dont les parois sont a la temperature 
T et reflechissent
parfaitement ce rayonnement s'ecrit idealement
w ( , T ) =

1
8 h 3

c3 exp h - 1
kB T

ou h est la constante de Planck, c la celerite de la lumiere et kB la constante 
de Boltzmann.
Page 3/7

Tournez la page S.V.P.

LE RAYONNEMENT FOSSILE

14 -- Quelle est l'unite de w ? Montrer que la densite volumique totale 
d'energie electromagnetique
u du rayonnement se met sous la forme u = aT  , ou  est un nombre entier que 
l'on precisera et a
une constante que l'on exprimera en fonction de kB , h et c et dont on 
precisera la valeur numerique.
On rappelle que
Z 
x3
4
dx
=
x
15
0 e -1
L'Univers est assimile a une enceinte spherique de rayon R et de volume V . On 
admet que le rayonnement fossile est modelisable par un gaz a la temperature T 
et dont la pression p verifie l'equation
d'etat p = u/3, ou u designe toujours la densite volumique totale d'energie 
electromagnetique introduite a la question 14. Cette hypothese sera justifiee 
dans la partie IV. A cause de l'expansion de
l'Univers, ce gaz subit une detente adiabatique supposee quasistatique.
15 -- Demontrer que, dans ce modele, le rayon R de l'Univers et sa temperature 
T obeissent a une
relation du type R × T = constante. On ne demande pas d'exprimer la constante.
FIN DE LA PARTIE II

III. -- La sonde Planck
Afin d'etudier certaines proprietes du
rayonnement fossile, l'Agence Spatiale
Europeenne va placer en orbite la sonde
Planck dans le courant du mois d'avril
2009 ! De maniere a ce qu'elle ne soit
pas eblouie par le soleil lors des mesures, cette sonde a ete placee dans le
cone d'ombre de la Terre situe a l'oppose
du Soleil, comme indique sur la figure 4
(cette figure ne respecte pas les echelles).

F IG . 4 ­ Position de la sonde

16 -- Donner la position du centre de masse du systeme Terre-Soleil. Estimer 
l'erreur relative que
l'on commet si on assimile le centre du Soleil au centre de masse Terre-Soleil.
Desormais, on considere que le centre de masse du systeme Terre-Soleil et 
confondu avec le centre
du Soleil. Le referentiel heliocentrique sera considere comme galileen. On 
assimile la Terre a un
point de masse MT se deplacant sur une trajectoire circulaire de rayon r autour 
du Soleil. On neglige
l'influence des astres autres que le Soleil.
17 -- Montrer que la Terre tourne a vitesse constante autour du Soleil. 
Exprimer la periode T de
rotation de la Terre autour du Soleil ainsi que la vitesse angulaire  de cette 
rotation en fonction de la
constante de la gravitation universelle G , r et de la masse MS du Soleil. 
Calculer la valeur numerique
de T .
La sonde devant toujours etre situee dans le cone d'ombre de la Terre, on 
travaillera desormais dans
le referentiel R  centre sur le Soleil S, en rotation a la vitesse angulaire  
par rapport au referentiel
heliocentrique galileen. La Terre est donc fixe dans R  . Dans le referentiel R 
 , on choisit un repere
-
cartesien orthonorme direct (S, ebx , eby , ebz ). Le vecteur rotation 
 =  ebz est tel que  > 0. Le plan
(S, ebx , eby ) est le plan de revolution de la Terre autour du Soleil.

Page 4/7

Physique I, annee 2009 -- filiere PSI

On ne s'interesse qu'aux cas ou la sonde est
dans ce plan. La vitesse de la sonde dans R  est
supposee toujours assez faible pour que la force
d'inertie de Coriolis soit negligee. On note m
la masse de la sonde, r la distance Terre-Soleil,
rT = T M la distance sonde-Terre, rS = SM la
distance sonde-Soleil, et ebr le vecteur unitaire
qui pointe du Soleil vers la sonde

F IG . 5 ­ Referentiel lie a la Terre

18 -- Montrer que l'equation du mouvement de la sonde dans R  s'ecrit
-
-----
d2 SM
m 2 = -grad (E p )
dt
ou E p est une energie potentielle dont on donnera l'expression en fonction de  
, m, MS , MT , rS et rT .
Les positions d'equilibre de la sonde dans R  correspondent aux extrema de E p 
, on montre qu'il en
existe cinq, toutes contenues dans le plan (S, ebx , eby ). Ces positions sont 
appelees points de Lagrange.
19 -- Montrer qu'il existe trois points de Lagrange sur l'axe (S, ebx ). Puis, 
a l'aide d'arguments
energetiques, preciser si ces points d'equilibre sont stables ou instables 
vis-a-vis de perturbations
dans la direction ebx .
On s'interesse au point de Lagrange L2 , situe sur l'axe (S, ebx ) dans le cone 
d'ombre a l'oppose du
Soleil par rapport a la Terre (voir figure 4). On note  la distance entre le 
centre de la Terre et L2 .
20 -- Donner, sans la resoudre, l'equation algebrique verifiee par . En faisant 
l'hypothese que
  r, trouver une expression litterale approximative de , et en deduire sa 
valeur numerique. Verifier
a posteriori l'hypothese sur .
Il est possible de montrer que L2 est stable vis-a-vis de perturbations dans 
les directions eby et ebz . On
considerera donc, pour simplifier, que tout se passe comme si la sonde etait 
astreinte a se deplacer
uniquement sur l'axe (S, ebx ), sans frottement .
21 -- La sonde etant placee en L2 , on envisage une petite perturbation de sa 
position de la forme

-
 (t) =  (t)b
ex . Ecrire l'equation differentielle verifiee par  (t). Lineariser cette 
equation en supposant
qu'a chaque instant t on puisse ecrire r     (t). On fera apparaitre dans 
l'equation linearisee un
temps caracteristique  dont on donnera l'expression litterale en fonction de r, 
G et MS . En deduire
un ordre de grandeur numerique de l'intervalle de temps separant deux 
repositionnements consecutifs
de la sonde Planck.
FIN DE LA PARTIE III

IV. -- Pression de radiation
Le but de cette partie est de justifier l'expression de l'equation d'etat du 
rayonnement utilisee dans
la partie II.B. Le rayonnement cosmologique peut etre considere comme une 
superposition d'ondes
electromagnetiques planes progressives monochromatiques de frequences et de 
directions de propagation differentes. On note u l'energie du rayonnement par 
unite de volume, moyennee en temps
et en espace et p la pression de radiation, c'est-a-dire la force par unite de 
surface, moyennee en
temps, qu'exercerait le rayonnement sur les parois parfaitement reflechissantes 
d'une enceinte qui le
contiendrait. Avec ces notations, on veut etablir l'equation d'etat du 
rayonnement : p = u/3. Pour cela,
on commence par etudier la reflexion d'une onde electromagnetique 
monochromatique en incidence
oblique sur un miroir metallique parfaitement conducteur.
Page 5/7

Tournez la page S.V.P.

LE RAYONNEMENT FOSSILE

L'espace est rapporte au repere orthonorme direct (O, B) avec
B = (b
ex , eby , ebz ). Le demi-espace x < 0 est le vide et le demiespace x > 0 est 
rempli par un metal de conductivite electrique
infinie. L'onde incidente est une onde plane progressive monochromatique de 
pulsation  , de longueur d'onde  , polarisee rectilignement dans la direction 
ebz et se propageant dans la direction

-
donnee par le vecteur d'onde k i = k cos( ) ebx + k sin( ) eby ou
k = 2 / .

Figure 6

En un point M de coordonnees (x, y, z) dans B, a l'instant t et en 
representation complexe, le champ
electrique de cette onde incidente s'ecrit :

- --

-
E i (M,t) = E0i ej( t- k i .OM) ebz

ou

E0i = cste  R+ et j2 = -1.

-
22 -- Determiner la representation complexe des composantes du champ magnetique 
B i de l'onde
incidente dans B.
Cette onde provient des x < 0. Elle rencontre en x = 0 le miroir metallique 
parfaitement conducteur
et donne naissance a une onde plane reflechie, caracterisee par sa pulsation r 
, ses champs electrique

-

-

-
E r et magnetique B r , ainsi que par son vecteur d'onde k r . La 
representation complexe du champ
electrique associe a cette onde s'ecrit :
( 
-
-
-

- --

-

-
E 0r = cste
j(r t- k r .OM)
E r (M,t) = E 0r e
avec

-
k r = krx ebx + kry eby + krz ebz
23 -- Justifier que le champ electrique est toujours nul dans le metal. En 
traduisant les conditions
aux limites sur le champ electrique en x = 0, montrer que la pulsation de 
l'onde reflechie est la meme

-
que celle de l'onde incidente, puis determiner les composantes de k r dans B en 
fonction de k et  .
Que constatez-vous ?

-
24 -- Montrer que E 0r = -E0i ebz . Donner alors l'expression dans B de la 
representation complexe

-

-
du champ E r de l'onde reflechie. En deduire, toujours dans B celle de B r dans 
.
25 -- En utilisant les resultats obtenus precedemment, determiner les 
expressions reelles du champ

-

-
electrique E et du champ magnetique B resultant de la superposition des ondes 
incidente et reflechie
dans le demi-espace x < 0. On exprimera les resultats dans B.
26 -- Determiner l'expression de u, definie comme la moyenne temporelle et 
spatiale de la densite
volumique d'energie de l'onde resultante. Cette expression fait-elle intervenir 
 ?

-
27 -- On note j s l'expression reelle de la densite de courant surfacique qui 
prend naissance sur la
surface x = 0 du miroir. A l'aide des conditions aux limites relatives au champ 
magnetique en x = 0,

-
determiner les composantes de j s dans B.
28 -- Un element d'aire dS de la surface x = 0 du miroir est soumis a la force 
elementaire

-

-

-
d F = 12 j s  B dS. Preciser ce que represente cette force et justifier la 
presence du facteur 12 dans
l'expression. Calculer la valeur moyenne temporelle p de la quantite

-
dF
.b
ex .
 =
dS
Cette quantite p = h it est appelee pression de radiation d'une onde sous 
l'incidence  .

Page 6/7

Physique I, annee 2009 -- filiere PSI

29 -- L'onde incidente peut arriver de la region x < 0 sur le miroir dans 
toutes les directions
possibles (en trois dimensions). En supposant que toutes les directions sont 
equiprobables, donner
l'expression de la pression de radiation p, qui est definie comme la moyenne 
sur toutes les directions
de p . En deduire l'equation d'etat du rayonnement.
30 -- L'equation d'etat du rayonnement a ete etablie pour un rayonnement 
monochromatique.
Justifier qu'elle reste valable pour un rayonnement polychromatique.
Remarque : l'etude de cette partie a traite uniquement le cas ou l'onde 
incidente etait polarisee perpendiculairement au plan d'incidence. Cependant, 
le meme resultat final serait obtenu pour une onde
dont la direction de polarisation est contenue dans le plan d'incidence.
FIN DE LA PARTIE IV
FIN DE L'EPREUVE
Notations et valeurs numeriques
­ masse du Soleil : MS  1, 99 × 1030 kg ;
­ masse de la Terre : MT  5, 97 × 1024 kg ;
­ distance Terre-Soleil : r  1, 49 × 1011 m ;
­ constante de gravitation universelle : G  6, 67 × 10-11 kg-1 .m3 .s-2 ;
­ celerite de la lumiere dans le vide : c  3, 00 × 108 m.s-1 ;
­ constante de Planck : h  6, 62 × 10-34 J.s ;
­ constante de Boltzmann : kB  1, 38 × 10-23 J.K-1 ;
­ permittivite electrique du vide : 0  8, 85 × 10-12 F.m-1 ;
­ permeabilite magnetique du vide : µ0 = 4 × 10-7 H.m-1 .

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 PSI 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Aymeric Spiga (École Polytechnique) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce problème, constitué de quatre parties indépendantes, est consacré à l'étude 
du
rayonnement fossile.
· La première partie étudie l'expansion de l'Univers. Le point de départ est 
l'effet
Doppler et le décalage vers le rouge de la lumière issue des galaxies 
lointaines.
La plupart des questions ne font appel qu'à des notions simples et à des calculs
courts ; cependant, elles peuvent déstabiliser par leur originalité.
· Le problème s'intéresse dans la deuxième partie à la thermodynamique du
rayonnement fossile. Aucune notion de thermodynamique du rayonnement n'est
supposée connue (conformément au programme de la filière PSI) ; là encore,
c'est l'originalité des questions qui peut déstabiliser, plus que les aspects 
techniques.
· La troisième partie, qui décrit le positionnement de la sonde spatiale Planck,
relève de la mécanique du point de première année. Sa résolution fait appel
au cours relatif au mouvement keplerien et à la dynamique en référentiel non
galiléen. Les calculs, plus ardus, nécessitent rigueur et méthode.
· Enfin, la quatrième partie revient sur la thermodynamique du rayonnement
électromagnétique ; elle a pour but d'établir l'expression de la pression de 
radiation utilisée dans la deuxième partie. Elle fait appel au cours sur les 
ondes
électromagnétiques et propose notamment l'étude de la réflexion d'une onde
sur un conducteur parfait en incidence oblique. Bien que proche du cours, cette
partie s'avère plutôt calculatoire.
L'ensemble constitue un problème intéressant, en lien avec des recherches très
actuelles dans le domaine de la cosmologie, le tout en mobilisant des 
connaissances
relatives au programme des deux années de prépa. En dépit de l'originalité du 
thème
et de certaines questions, il constitue un bon sujet de révision.

Indications
Partie I
3 Commencer par exprimer r (t + T), puis faire un développement limité.
4 Calculer les instants de réception de deux signaux successifs émis à t et t + 
T.
9 La masse volumique  de l'Univers est supposée uniforme, mais variable dans le
temps. Il faut raisonner sur l'expression de l'énergie mécanique faisant 
intervenir
la masse totale de l'Univers (qui ne varie pas).
2

Partie II
14 Pour déterminer la densité volumique totale d'énergie, il faut intégrer la 
densité
volumique par unité de fréquence sur la fréquence.
15 Appliquer le premier principe à l'Univers et s'inspirer de la démonstration 
des
lois de Laplace pour le gaz parfait en évolution adiabatique quasistatique.
Partie III
18 On rappelle que la force d'inertie d'entraînement dérive de l'énergie 
potentielle
1
Ep = - m  2 rS 2
2
19 Commencer par établir l'expression de la dérivée de l'énergie potentielle 
pour des
mouvements sur l'axe (S, ebx ) :
dEp
G MS m
G MT m
-
=-
-
+ m 2 x
dx
|x| x
|x - r| (x - r)
Est-il nécessaire de dériver l'expression de Ep obtenue à la question 
précédente ?
Montrer ensuite qu'il y a trois positions d'équilibre et qu'elles sont 
instables.
20 Montrer que  vérifie
MS
-MS 2 - MT (r + )2 + 3 (r + )3 2 = 0
r
Faire apparaître la variable adimensionnée u = r/, et prendre soin de ne 
conserver que les termes d'ordre le plus bas en u.
21 À partir du principe fondamental de la dynamique appliqué à la sonde, montrer
que l'équation vérifiée par  est de la forme
 - 2  = 0
Partie IV
23
25
26
27

On peut utiliser la continuité de la composante tangentielle du champ 
électrique.
Calculer d'abord le champ total complexe avant de prendre la partie réelle.
Montrer que u = 0 E0i2 . On rappelle que sin2 ( t + ) = cos2 ( t + ) = 1/2.
Utiliser la condition de passage pour le champ magnétique et la formule du 
double
produit vectoriel.
28 Le champ magnétique, qui intervient dans la force de Laplace, est discontinu 
dans

-
le plan x = 0. Il faut remplacer B (x = 0, t) par

-
1 -
B (x = 0- , t) + B (x = 0+ , t)
2
30 Raisonner sur la superposition de deux ondes de pulsations différentes : 
calculer u
et p comme aux questions précédentes.

I. Expansion de l'Univers
1 Quand on observe un objet situé à une distance d, la lumière a parcouru le 
trajet
en une durée d/c. Ainsi, si l'observation a lieu à l'instant t, la lumière a 
été émise à
l'instant t - d/c. Observer à grande distance revient à observer les objets 
tels qu'ils
étaient dans un passé lointain.
Ceci n'a d'intérêt que pour des objets suffisamment éloignés, pour que le
temps de propagation soit suffisamment grand. La lumière provenant du Soleil
met ainsi un peu plus de 8 minutes pour parvenir sur la Terre ; dans le cas de
Proxima du Centaure, l'étoile la plus proche du système solaire, le temps de
parcours est de l'ordre de 4 ans. Pour la galaxie d'Andromède, l'une des plus
proches de la Terre, ce temps de parcours est voisin de 2,5 millions d'années.
2 Compte tenu de la discussion de la question précédente, on a directement
t = t +

r(t)
c

3 Si on peut négliger les variations du vecteur vitesse entre t et t + T, on a
--
--

OM(t + T) = OM(t) + -
v (t) T
-

qui donne
r2 (t + T) = r2 (t) + 2 
r (t) · -
v (t) T + v 2 (t) T2
soit

"

-

r (t) · -
v (t) T v 2 (t) T2
r(t + T) = r(t) 1 + 2
+ 2
2
r (t)
r (t)

Au premier ordre en v(t)T/r(t), il vient
"

-

r (t) · -
v (t) T
r(t + T)  r(t) 1 +
2
r (t)

d'où

#1/2

#

r(t + T) - r(t)  v(t) cos (t) T

4 Supposons qu'un maximum de l'onde est émis à l'instant t ; il est reçu en t , 
dont
l'expression est fournie par un raisonnement analogue à celui de la question 2 :
r(t)
t = t +
c
Le maximum suivant de l'onde est émis à l'instant t + T ; il est donc reçu en
r(t + T)
c
La période du signal reçu s'identifie à la durée séparant la réception de deux 
maxima
r(t + T) - r(t)
T = t - t = T +
c
Avec les approximations de la question précédente, on obtient

v cos  
T = T 1 +
c
t = t + T +

Ce phénomène, indépendant du type d'onde considéré, est connu sous le
nom d'« effet Doppler ». Dans le cas des ondes sonores, comme T > T si
cos  > 0, le son reçu est plus grave que le son émis si la source s'éloigne.
Inversement, le son reçu est plus aigu si la source s'approche. Ce phénomène
est observé couramment avec la sirène d'un véhicule de secours.
L'effet Doppler a été traité plus en détail dans le deuxième problème de
physique des Concours Communs Polytechniques de la filière PSI en 2007.
5 La relation entre T et T s'écrit en fonction de la vitesse radiale

vr 
T = T 1 +
c
Or, comme  = c T et  = c T , il vient

vr 
 =  1 +
c

=1+Z

soit

avec

Z=

vr
c

6 Si M s'approche, cos  est négatif ; ainsi, Z est négatif et  est inférieur à .
La lumière reçue est donc décalée vers le bleu.
On rappelle que le bleu correspond aux petites longueurs d'onde visibles,
alors que le rouge correspond aux grandes longueurs d'onde visibles. Le terme
anglais « redshift » se traduit justement par « décalage vers le rouge ».
Pour la plupart des galaxies, Z est en effet positif.
Le jury indique que certains candidats, sans doute induits en erreur par
le terme « redshift » ont chercher à justifier un décalage vers le rouge en
contradiction avec le résultat de leur calcul.
7 Une régression linéaire effectuée à la calculatrice donne
Z=+d

avec

  1,16.10-3

et

  6,68.10-27 m-1

La coefficient de corrélation de 0,998 assure que la modélisation rend très 
bien compte
des données expérimentales. En raison de l'ordre de grandeur de d, on peut 
écrire
Zd
au moins pour les galaxies les plus éloignées.
La loi de proportionnalité de Hubble ne semble pas bien vérifiée pour les
galaxies les plus proches, pour lesquelles le terme d'ordonnée à l'origine dans
la régression linéaire n'est pas négligeable. La loi de Hubble fait cependant
l'hypothèse implicite que la valeur du décalage vers le rouge observée est 
entièrement due à l'expansion de l'Univers. Une telle supposition est clairement
erronée dans le cas des galaxies les plus proches. En effet, leur mouvement
propre par rapport à notre galaxie n'est plus négligeable par rapport à leur
mouvement résultant de l'expansion de l'Univers et contribue significativement 
au redshift. Il est alors possible d'observer des valeurs de Z négatives ;
c'est le cas, par exemple, de la galaxie d'Andromède (Z  -1.10-3 ).