Mines Physique 1 PSI 2004

Thème de l'épreuve Quelques aspects de phénomènes intervenant dans le fonctionnement du corps humain
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, acoustique, diffusion
Mots clefs échographie

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE
ÉCOLE POLYTECI--INIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparenté sur la première page 
de la copie :
Physique 1 -- Filière PSI

L'énonce' de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, 
comporte 6 pages.

Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale 
sur sa copie et poursuit
sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à 
prendre.

Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent. Le barème tiendra
compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

Notations : Les vecteurs sont notés en gras : A ; vecteur unitaire ---> â. 
Norme de A : "A"

QUELQUES ASPECTS DE PHÉNOMÈNES INTERVENANT
DANS LE FONCTIONNEMENT DU CORPS HUMAIN

Le fonctionnement des organismes vivants met en jeu des phénomènes physiques et 
biochi-
miques complexes. L'étude de ces phénomènes a donné naissance à la biophysique. 
On
aborde dans ce problème une modélisation simplifiée de certains phénomè nes 
physiques mis
en jeu dans la dynamique du corps humain et dans certaines techniques 
exploratoires.

Le problème comporte deux parties indépendantes.

Partie I : quelques aspects de la circulation sanguine

Le sang joue un rôle moteur dans le transport de l'oxygène et des nutriments 
vers les organes du corps
et le transport des déchets produits par ces organes vers des organes 
spécialisés dans le traitement des
déchets. Le coeur joue le rôle d'une pompe faisant circuler le sang vers les 
organes. Le sang arrive en
contact avec les organes en passant par des artères, puis des artérioles et 
finalement des capillaires. Il
revient au coeur en partant des capillaires, transitant par les veinules pour 
aboutir aux veines.

Le sang est un fluide visqueux, considéré comme incompressible. Les notations 
étant stan-
dard (la masse volumique est notée p et le coefficient de viscosité dynamique 
est noté n),
l'équation de Navier--Stokes, donnée ci--dessous, est une forme du théorème de 
la résultante
dynamique, appliqué à une particule de fluide :

ÊV-+p v.grad v=--grad p +pg+nAv.
Pa

Toujours avec les notations standard, voici des relations utiles d'analyse 
vectorielle, pour des

phénomènes à symétrie cylindrique (-- = ) :

89
à A,. 1 2
grad(f)=äf'+äî, div(A)=l r aAZ ----È( %) âf_

Ôr âz r âr +--â?' --râr

Cl 1 -- Quelle est votre estimation du volume sanguin d'un adulte '? Définir 
les termes sui-
vants : particule fluide, fluide incompressible, écoulement incompressible, 
écoulement lami--
naire, écoulement turbulent, nombre de Reynolds R, ; préciser la nature de 
l'écoulement

(laminaire ou turbulent) selon la valeur de R,, comparée au
nombre de Reynolds critique Rec = 2000.

D 2 -- On modélise l'écoulement (supposé stationnaire) du sang
dans un tuyau cylindrique d'axe Oz par un champ de vitesses de
la forme V : vz(r, 9,z)î. Montrer que le champ des vitesses ne

dépend que de la variable r.

Cl 3 -- On néglige l'effet de la pesanteur. Montrer, à partir de l'équation de 
Navier--Stokes,
que la pression p ne dépend que de z , puis que les équations différentielles 
vérifiées par les

d}? 1 d (Ïd»u(r)) k

champs de pression et de vitesse sont, respectivement, ---- = k et ---- = -- , 
où
dz r d r d r 7]

k est une constante.

Cl 4 -- Le tuyau cylindrique est rigide, horizontal, de longueur L et de rayon 
R. On note les
pressions moyennes aux sections d'entrée et de sortie du tuyau par p(0)= p,, 
p(L)= p,...

Exprimer k en fonction de ces données. Déterminer v:(r) , compte--tenu de la 
condition à la
nmæv4m=q

Cl 5 -- Exprimer le débit volumique Q en fonction de Ap : p, --- p,, R, L et n 
; en déduire

A . . . .
la loi de Hagen--Poiseuille, Q= ÎP , en exprimant la ré51stance hydraulique R,, 
en fonction
h
de R, L et 1]. Déterminer par analyse dimensionnelle la dimension de R7 en 
fonction des
symboles M,L,T ayant respectivement les dimensions d'une masse, d'une longueur 
et d'un

temps.

D 6-- L'expérience donne la relation Q : A(p,---- p,)" où n est un exposant 
dépendant de

l'organe irrigué et A une constante dépendant de facteurs géométriques. Au vu de
l'expérience, quelles sont les hypothèses du modèle qui vous semblent les plus 
critiquables '?

Cl 7---- En utilisant la loi de Hagen--Poiseuille, déterminer (V:), vitesse 
moyenne de

l'écoulement du sang dans un capillaire où 1]: 4,5.10"3Pl, R=lO"5 m, L= 10_3m et
pe --p_,= 103 Pa. La masse volumique du sang étant p= l,05.103 kg.m"', 
déterminer la

nature, laminaire ou turbulente, de l'écoulement dans ce capillaire.

El8-- La vitesse moyenne du sang dans une artère où R=2mm etL= 10cm est
vm : 2,6 ms"1 . Calculer le débit volumique et le gradient de pression régnant 
dans l'artère.
Déterminer la nature, laminaire ou turbulente, de l'écoulement dans cette 
artère.

Cl 9 ---- La connaissance de la vitesse du sang est une aide au diagnostic. La 
mesure peut se
réaliser par vélocimétrie Doppler ultrasonore. Une sonde émet une onde 
périodique ultraso-

nore de célérité cz 1500 ms'1 dans le corps et de
fréquence f : 4MHZ . Un globule rouge, assimilé à

vf @ une sphère de rayon r= lOum, rétrodiffuse une
66'% """ partie de l'onde qu'il reçoit. Doit-- on tenir compte de
Récepteur la diffraction de l'onde ultrasonore par le globule

rouge '?

Cl 10 -- L'effet Doppler consiste en ce que la fréquence f ' d'une onde, perçue 
par un récep--
teur de vitesse v,, est différente de la fréquence f de cette onde, émise par 
un émetteur de

1--fl.cos< 10"5 m2 .s .Estimer le temps 
de diffusion d'une

molécule d' oxygène par ce mécanisme, en convenant que c'est la somme du temps 
de diffu--
sion dans l'air (alvéole) et du temps de diffusion en milieu aqueux 
(capillaire). Montrer que
l'échange d'air entre l'alvéole et le sang a maintenant le temps de s'établir.

Cl 14 -- L'alimentation d'un organe en un nutriment transporté par le sang 
s'effectue par
échange entre le sang et l'organe, à travers les parois des capillaires. Ces 
capillaires sont des

tubes cylindriques de rayon R et de longueur L, joignant

Sens de circulation du sang _ une artériole à une veinule. On note Cc(z) la 
concentra--
---->
tion molaire ( mol.m"3) d'un nutriment dans le capillaire
î / l et C org (z) celle du nutriment dans l'organe à proximité de
M % la surface du capillaire. Le capillaire cède à l'organe le
Capillaire __, Oz nutriment avec une densité de courant molaire (flux sur--
? * facique) j=y C.(z)--C (z) où }! est un paramètre
% W , (EUR °? ). . ,
/ ' constant. Determmer la d1mensron de 7. On consrdere le
régime stationnaire ; effectuer le bilan de matière en
nutriment, exprimant l'équilibre dynamique des flux
entrant et sortant entre les tranches de cotes z et z+ dz et
en déduire l'équation vérifiée par Cc(z), en supposant
que le sang a une vitesse d'écoulement constante, vs. Cette équation fait 
intervenir la fonc-
tion C0,g (z)

Artériole ' Veinule

Cl 15 ---- On admet ici que Co,g(z)= K, une constante;
déterminer alors Cc(z) en fonction de K, C C(O) et de la

, . . RV _ '
dn(z) j dn(z+d Z) lonngueur caractenst1que L0-- 27/ . On consrdere que
. , , CC(L)--K
l'organe est correctement alimente Si 2 30%,
CC(O)--K

Sachant que vs =2,8 >< 10"3 ms", R = 10"5 m et L : lmm, déterminer la valeur 
maximale du

coefficient y pour que la relation précédente soit satisfaite.

PARTIE II : UNE TECHNIQUE EXPLORATOIRE (imagerie)

Imagerie par onde ultrasonore

Cl 16 -- On considère la pr0pagation isentropique et unidimensionnelle (axe Ox) 
d'une onde
acoustique dans un milieu aqueux de masse volumique au repos #0. La célérité de 
l'onde est

notée co. On pose aussi :

° P(x,t) : PO + p(x,t) , avec 15 pression à l'équilibre et p<< PO surpression 
acoustique,

' ,u(x,t)= ,u0 + ô,u(x,t) , avec #0 masse volumique à l'équilibre et 5u << #0 
sa variation,
' v(x,t) << co, avec v vitesse vibratoire dans le milieu.

La condition d'équilibre du milieu s'exprime par grad(H,) : ,uog . Montrer que, 
au premier

ô'V
ordre, l'équation d'Euler s'écrit [JO--î: gô,u--grad(p). Donner l'équation 
locale de
_ _ 1 au . . , .
conservation de la masse. Avec la relation 15 :_}:l-- -à-- , qui traduit le 
caractere isen-
0 p p=0

tropique de l'évolution du fluide, nous disposons maintenant de trois équations.

E] 17 ---- Déterminer l'équation de propagation vérifiée par la surpression p. 
Donner
l'expression de la célérité co en fonction de #0 et du coefficient de 
compressibilité isentro-

pique %s du milieu. Dans toute la suite, nous négligerons d'une part gôu devant 
grad(p)

d'autre part div(gôu) devant Ap. Que devient sous ces hypothèses l'équation de 
propaga--
tion vérifiée par la surpression p '?

Cl 18 -- L'onde acoustique est supposée désormais sinusoïdale, de pulsation ca; 
on note res--
pectivement p... , 5um et v... les amplitudes maximales de la surpression, de 
la variation de

masse volumique et de la vitesse vibratoire ; par exemple, p(x,t)= pm exp[j(kx 
-- an)] avec,
comme déduit de l'équation de propagation, &) =cOk. Définir et déterminer 
l'expression de

. _ Pl X, t )
l'mpédance acoustique complexe Z :

v(x,t) .

Cl 19 --- On rappelle que l'intensité est [ =(pv)£, la moyenne étant prise dans 
le temps.

Exprimer [ en fonction de p,... #0 et co, et en fonction de pm et de Z . 
Exprimer "gäum " ,

"grad( p) " ; et en déduire l'expression de "_gli°äâ£(£%fi en
1

El 20 -- On donne [JO 2103 kg.m"3 ; dans les conditions de l'expérience, co 
=1470m.s-- ;

fonction de g, a) et co.

(0
l'intensité de l'onde est 1 : O,l>< 10"3 W.m--2, sa fréquence est f= ---- = 0,3 
MHZ. On pren--

272:
dra enfin g x lOm.s "2 et 15 : 105 Pa. Évaluer numériquement llgôum ", "grad( 
p) " , ô'u'" ,

#0
v _ . , . . .
% , --"l et XS ; vérifier au passage que deux de ces quantrtes sont identiques. 
Les hypothe-
0 Co

ses de l'acoustique linéaire sont--elles satisfaites '?

Cl 21 -- On modélise le pied par un os d'épaisseur
-8 = 10 cm------> " 5 = 3,1 cm, d'impédance ZOS et dont les tissus mous
ont une impédance Zea" égale à celle de l'eau. On se

propose de mesurer la masse volumique de la matière
osseuse des os du pied à l'aide du dispositif suivant :

l'émetteur E émet une onde ultrasonore de fréquence
f ajustable et d'intensité IE ; le récepteur R récep--

tionne l'onde et en mesure, d'une part le temps de traversée dans le milieu 
intermédiaire,
d'autre part l'intensité IR. On néglige dans l'analyse tout phénomène de 
réflexion multiple.

Dans une première expérience, le milieu séparant E et R est aqueux ; le temps 
de traversée
de la distance EUR est [A. Dans une seconde expérience, on insère le pied entre 
E et R et on

mesure le temps de traversée tp. Exprimer la célérité CO,. de l'onde 
ultrasonore dans {la

matière osseuse en fonction de celle de l'eau ca..., de 5 et de T= tA --tP . 
Calculer numé--
1

riquement ca, pour c... = 1470 ms" et T =1,4us.

Cl 22 -- On admet ici, (ce n'est qu'un modèle) que, à la différence de la 
matière osseuse,
l'eau et les tissus mous n'atténuent pas l'onde. La diminution de l'intensité 
acoustique [(x)

dans la matière osseuse en fonction de x , épaisseur de matière osseuse 
parcourue par l'onde,
est exponentielle : [(x) : l(0)exp(--ax) , où a = Vf est un coefficient 
proportionnel à la fré-

quence f de l'onde ( V est une constante). Donner l'expression de l'intensité 
[R, en fonction
de [E, de Vf5 et du coefficient de transmission en énergie, T , entre le milieu 
aqueux et le

milieu osseux.

E] 23 ---- Une surface plane S fixe et perpendiculaire à un axe Ox sépare deux 
milieux homo-
gènes, d'impédances acoustiques respectives Z] et &. Une onde acoustique plane 
se pro-

page parallèlement à l'axe Ox et travers S sous incidence normale. Rappelons 
alors que le

. Z Z
coefficient de transmission en énergie de cette onde est T : Tl_,2 : T2_91 : 
4Î--J--J--Y .
Z1 + 22

Les résultats de mesure ci--dessous font intervenir une intensité de référence, 
[... qui ne joue
pas de rôle dans l'interprétation des données.

Déduire de ces dernières et des analyses précédentes la valeur numérique de la 
constante V.

lnl 80Ë83 88 80â57

.
: 3 9 9 a 9
10 a .

El 24 -- Calculer la masse volumique de la matière osseuse analysée, #05-- . 
Comparer .Uas- à la
masse volumique ,u1=2,0g.cm'3 pour un sujet sain. Le coefficient T étant connu 
à AT

1--A"_a_«;

près, estimer
,uOE AT

l'imprécision relative du résultat obtenu.

FIN DE L'ÉPREUVE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 PSI 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Fourmond (ENS Ulm) ; il a été relu par
Daniel Jost (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet est divisé en deux parties totalement indépendantes dont le fil 
conducteur
est l'étude physique de quelques phénomènes biologiques.
· La première partie traite du sang et d'une modélisation des écoulements dans
les veines, puis de l'approvisionnement d'un organe ; on y trouvera aussi bien 
des
raisonnements par ordre de grandeur que des calculs plus poussés. Cette partie
permet de faire un bilan de ses connaissances sur la viscosité et de réviser les
bilans de matière.
· La deuxième décrit une méthode utilisant des ultrasons pour détecter une 
pathologie osseuse du pied. Elle comporte quelques calculs et surtout beaucoup
d'évaluations numériques. C'est une bonne révision du cours sur les ondes 
sonores.
Le sujet dans sa globalité est tout à fait accessible et ne devrait pas poser 
trop
de problèmes. Les questions sont dans l'ensemble bien guidées et proches du 
cours.
Cette épreuve peut tout à fait être résolue dans le temps imparti et constitue 
par
suite un bon entraînement à la rédaction en temps limité.

Indications
Partie I
-
2 Utiliser l'hypothèse d'un fluide incompressible : div 
v = 0.
3 Après simplification de l'équation de Navier-Stokes, remarquer que l'on peut
séparer ses termes en un membre ne dépendant que de z et un autre ne dépendant
que de r.
4 Dans l'intégration de la relation amenant à vz , éliminer la constante 
d'intégration
donnant lieu à un terme logarithmique grâce à une considération physique.
7 Remarquer que Q est précisément la section multipliée par la vitesse moyenne.
10 Appliquer deux fois la formule donnée dans l'énoncé, en faisant bien 
attention
aux orientations pour les angles.
11 dn est la quantité de molécules émettant une fréquence comprise entre f  et
f  +df  . Le spectre est quant à lui la quantité d'énergie reçue pour une 
fréquence
comprise entre f  et f  + df  .
12 L'énoncé annonce une valeur largement surestimée.
Partie II
17 Calculer la divergence de l'équation d'Euler et linéariser l'équation locale 
de
conservaton de la masse.
18 Utiliser l'équation d'Euler.
20 Utiliser la question 19 pour obtenir pm , puis exprimer tout le reste en 
fonction
de pm .
22 On peut démontrer (ou simplement regarder à la question suivante) que le 
coefficient de transfert en énergie ne dépend pas du sens dans lequel on 
traverse
l'interface.
23 Il est facile d'établir une relation linéaire entre les différents 
paramètres.
Faire ensuite une régression linéaire sur les données de l'énoncé.
24 Utiliser la dérivée logarithmique pour obtenir l'erreur relative.

I.

Quelques aspects de la circulation sanguine

1 Le volume sanguin d'un adulte est de l'ordre de 5 litres. Une particule de 
fluide
est un petit élément de fluide qu'on considère homogène et dont on peut suivre 
l'évolution. Un fluide est dit incompressible si sa masse volumique est 
constante indépendamment des conditions qui lui sont imposées. Un écoulement 
est dit incompressible

s'il vérifie div -
v = 0 en tout point.
Il faut bien comprendre qu'un écoulement peut être incompressible sans que
le fluide en question le soit ; c'est une contrainte moins forte. Par exemple,
un écoulement qui modéliserait du vent est incompressible car l'air n'y change
pas de densité, alors que l'air n'est pas un fluide incompressible.
Un écoulement laminaire est un écoulement qui présente des variations spatiales
et temporelles modérées correspondant à une distribution de vitesses bien 
ordonnée.
En revanche, un écoulement turbulent est un écoulement qui présente une 
structure
macroscopique mais aussi de fortes variations temporelles et spatiales aux 
petites
échelles.
La notion de champ de vitesse est délicate dans le cas d'écoulements 
turbulents, tout d'abord parce qu'il n'est pas possible de mesurer un champ de
vitesse avec une résolution spatiale arbitraire ; on n'a donc pas toujours accès
aux petites échelles ­ ou plus difficilement. De plus, dans certains cas, on 
doit
recourir à une description statistique du champ de vitesse. Le traitement le
plus rigoureux possible fait intervenir la probabilité pour qu'une particule
(au sens atomique) du fluide ait une position et une quantité de mouvement
données.
Le nombre de Reynolds mesure l'importance des effets convectifs par rapport aux
effets diffusifs. Il vaut
vd
Re =

où  est la masse volumique du fluide, d est une dimension caractéristique « 
transverse » au champ de vitesse, v est la vitesse caractéristique de ce champ 
et  est la
viscosité dynamique du fluide.
Il convient de remarquer que le nombre de Reynolds est adimensionné et
constitue en ce sens une réelle caractérisation de l'écoulement. Les physiciens
essaient toujours d'extraire des nombres adimensionnés des problèmes, pour
pouvoir aboutir à des classes de solutions ou du moins de méthodes de 
résolution. Par exemple, un écoulement à bas nombre de Reynolds ne se traitera
pas du tout de la même façon qu'un écoulement à haut nombre de Reynolds.
On considère qu'un écoulement est laminaire si son nombre de Reynolds est 
inférieur
à une valeur proche de 2 000, et turbulent dans le cas contraire.
La véritable valeur de transition est un peu floue et dépend énormément de
la géométrie du problème, mais 2 000 est une bonne estimation.

2 L'écoulement du sang dans un vaisseau est de la forme -
v = vz (r, , z)b
z . Puisque le

système considéré est invariant par rotation autour de l'axe (Oz), -
v est nécessairement indépendant de . On écrit la conservation de la masse,

div (-
v)+
=0
t
et, comme on est en régime permanent et que le fluide est incompressible ( est
constant), elle se simplifie en
vz
=0

z

-
v est donc également indépendant de z, ce qui laisse
-

b
v = vz (r) z

3 Réécrivons l'équation de Navier-Stokes en tenant compte des hypothèses :

--
--
1 d
dvz

b
 (-
v · grad ) vz (r)b
z = - grad p + 
r
z
r dr
dr
Rappelons que, puisque l'écoulement est stationnaire, les dérivées temporelles
sont nulles.
Ainsi,

--
grad p =

--
1 d
dvz

b

r
-  (-
v · grad ) vz (r) z
r dr
dr

--
b, grad p l'est
Puisque le second membre de cette équation est porté uniquement par z
aussi. On peut alors écrire, en projetant sur b
r,
p
=0
r
En conséquence, p ne dépend que de z. Puis, en écrivant p = p(z), on aboutit,
b, à l'équation suivante :
en projetant sur z

--
dp
1 d
dvz

=
r
- (-
v · grad )vz (r)
dz
r dr
dr
--

b et son gradient est selon b
Comme -
v est selon z
r, le terme (-
v · grad )vz (r) est nul.

Une preuve plus mathématique de cette affirmation serait de passer en 
coordonnées cartésiennes, les seules où cet opérateur a une forme simple. On 
sait

b et ne dépend que de x et y. Par conséquent,
alors que -
v est porté par z

-- -

-
 -

-

( v · grad ) v = vz
v (x, y) = 0
z

dp
1 d
dvz
=
r
dz
r dr
dr
Or, le terme de gauche ne dépend que de z et le terme de droite ne dépend que de
r ; ils sont donc tous deux égaux à une constante k. On obtient bien

dp
1 d
dvz
k
=k
et
r
=
dz
r dr
dr

On aboutit finalement à