e3a Physique et Chimie PSI 2016

Thème de l'épreuve Citerne de gazole et chimie des carburants
Principaux outils utilisés électrostatique, électronique, mécanique des fluides, solutions aqueuses, cinétique chimique, oxydoréduction, diagrammes E-pH, thermodynamique
Mots clefs citerne, vidange, condensateur plan, pertes de charge, carburant, gazole, combustion, polluant

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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119

CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH
Épreuve de Physique - Chimie PSI
Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de

L'usage de calculatrices est autorisé.
AVERTISSEMENT

Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que
! Les explications qualitatives des phénomènes étudiés interviennent dans la
notation au même titre que les développements analytiques et les applications
numériques ; les résultats exprimés sans unité ne sont pas comptabilisés ;
! Tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italique ont pour objet d'aider 
à la
compréhension du problème ;
! Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, 
même
s'il n'a pas été démontré par le(la) candidat(e) ;
! Les questions comportant le verbe "calculer" demandent une application
numérique ;
! Les données numériques nécessaires à la résolution sont regroupées en fin
d'énoncé ;
! Le document réponse devra être complété puis remis avec la copie.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la 
clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans 
l'appréciation
des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en 
compte. Les
candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Tournez la page S.V.P
A
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe 
quelconque pouvant indiquer sa provenance.

Tournez la page S.V.P.

"
"
Le problème est constitué de trois parties totalement indépendantes.
La première consiste en létude dun capteur de niveau de gazole dans une 
citerne. La seconde
sintéresse à la vidange dune telle citerne de gazole. La dernière partie de 
cette épreuve est consacrée
à la chimie des carburants.
Ce sujet comporte 16 pages dont un document-réponse à rendre avec la copie 
(Annexe 3)

PREMIÈRE PARTIE
CAPTEUR de NIVEAU
FORMULAIRE DANALYSE VECTORIELLE
Composition dopérateurs :

(
(

)
)

(
(

!!!" !!!!!"
"
rot grad f = 0
!!!!!"
div grad f = f

)

!!!" "
div rot a = 0
!!!" !!!" "
!!!!!"
" " "
rot rot a = grad ( div a ) -  a

)

A / Champ électrostatique dun condensateur plan
Considérons 2 plaques métalliques planes, de surface S, perpendiculaires à laxe 
(Ox), caractérisées par
les abscisses respectives x = 0 et x = e et portées respectivement aux 
potentiels V1 et V2.

Nous supposerons que les dimensions transversales de ces plaques sont assez 
grandes pour pouvoir
négliger les effets de bord. Ainsi nous supposerons que le potentiel entre les 
2 plaques ne dépend que de
x et sécrit V(x).
En outre, on suppose que ces 2 plaques constituent un condensateur : lespace 
entre ces 2 armatures est
vide et elles portent des charges électriques opposées (Q2 = -Q1 avec Q2 charge 
portée par la plaque
dabscisse x = e).
A1. Etablir léquation vérifiée par le potentiel V(x) entre les plaques du 
condensateur.
A2. Résoudre cette équation en utilisant les potentiels V1 et V2 et la distance 
e.

"
A3. En déduire une première expression du champ électrostatique E entre les 2 
plaques à laide de V1, V2
et e.
Quelles sont les propriétés de ce champ ? Quelle est lallure des lignes de 
champ en supposant
V1>V2 ?

!"
"

!
A4. Le champ étant nul à lextérieur, établir une deuxième expression du champ 
électrostatique E entre les
2 plaques en fonction de Q1, S et 0 où 0 est la permittivité du vide.
A5. En déduire lexpression de la capacité C0 du condensateur plan à laide de e, 
S et 0.

B / Capacité du capteur
On souhaite mesurer la hauteur h de gazole dans une citerne à laide dun capteur 
capacitif. Ce dernier
peut être assimilé à un condensateur plan de capacité C(h), fonction de h et 
constitué de 2 armatures
rectangulaires en cuivre de hauteur H, de largeur L et distantes de e.
H correspond également à la hauteur maximale de gazole dans la citerne.
Lespace entre les armatures est rempli en partie de gazole sur une hauteur h et 
en partie dair.
*(+&),&'

*$,-&,."+&/)'

"()'
'$
#$
#$
!"#$%&'

%$

%$

&$
On admet que la capacité dun condensateur plan rempli dun isolant de 
permittivité relative r vaut
S
C= 0 r "
e
B1. Montrer que lassociation en parallèle de deux condensateurs de capacités C1 
et C2 est équivalente à
un seul condensateur de capacité Ceq = C1 + C2 .
B2. En déduire lexpression de C(h) en fonction de h, H, L, e, r (permittivité 
relative du gazole) et 0.
B3. Vérifier que C(h) peut sécrire numériquement suivant la formule suivante :
C(h) = 118.(1,00 + 4,00.h) avec C(h) en pF et h en m
Calculer les valeurs Cmin et Cmax de C(h) quand la citerne est respectivement 
vide et pleine.

!

Tournez
la page
S.V.P.
Tournez
la page
S.V.P.

C / Chaine de mesure
La chaine de mesure est décrite de manière synoptique sur le schéma ci-dessous. 
Lobjectif est dobtenir
une tension v3(t) proportionnelle à C(h).
,"

#$%&'()"
#$%$#*&*+"
45,6"

+*.&)'""

0-1-2&$3.'"

,-).-/'"
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!'#$%&

478"

8"

!(#$%"

Un monostable est un circuit possédant deux états en sortie. Un état stable 
(durée indéfinie) et un état
instable de durée T0 fixe. Le passage à l'état instable se produit sous l'effet 
d'une impulsion de
commande délivrée par le signal dhorloge de période T = 2,00 ms et dont létat 
haut a une durée  très
petite devant T (voir document ci-après). On impose T0 < T.

Le condensateur étudié en partie B est inséré dans le circuit électronique (non 
étudié ici) du monostable ;
on admet que dans ces conditions T0 (appelée durée propre du monostable) est 
proportionnelle à C(h) :
T0 = R.C(h) où R est un facteur de proportionnalité.
La notice technique du monostable indique par ailleurs quen fonctionnement 
normal :
·

T0 est supérieure à 10,0 µs

·

La bascule de létat stable à létat instable se réalise quasi-instantanément sur 
front montant du
signal dhorloge.

·

La bascule de létat instable à létat stable se réalise quasi-instantanément au 
bout dun temps T0

·

Létat instable en sortie a pour valeur U0 = 5,00 V ; létat stable en sortie a 
pour valeur 0,00 V.

C1. Expliquer qualitativement pourquoi il est nécessaire dimposer T0 < T.
C2. Déterminer la plage de variation de R pour que le monostable fonctionne 
correctement.
C3. On choisit dorénavant R = 2,00 M.
Déterminer la plage de variation de T0 lors du fonctionnement du capteur 
capacitif.

!"
"

C4. Tracer sur la copie, en justifiant, une allure du graphe de v2(t) pour t 
entre 0 et 2T en y plaçant U0, T0 et
T.
C5. Etablir lexpression de la valeur moyenne V2moy de v2(t) à laide de U0, T et 
T0.
En déduire la plage de variation de V2moy lors du fonctionnement du capteur 
capacitif.

C6. On désire obtenir en sortie du filtre mentionné dans le schéma synoptique 
v3(t) = V2moy.
Proposer un montage simple, constitué dun conducteur ohmique de résistance R1 = 
220 k et dun
condensateur de capacité C1, réalisant cette opération.
Déterminer une condition sur la valeur numérique de C1 afin dobtenir en sortie 
du filtre cette valeur
moyenne.
On souhaite visualiser le résultat de la mesure de h à laide dun afficheur 
numérique. Pour cela, on utilise
préalablement un CAN (convertisseur analogique numérique) permettant la 
numérisation de la tension v3
en un nombre N binaire exprimé sur 8 bits. La valeur maximale admise en entrée 
du CAN est Vmax = 5,00
V. La valeur minimale est 0,00 V.

C7. Que vaut le pas (ou quantum) q du CAN ?
C8. En déduire la plus petite variation de hauteur de liquide h mesurable.
C9. Que vaut la valeur Nmin de N (exprimé en base 10) quand la citerne est vide 
?
Que vaut la valeur Nmax de N (exprimé en base 10) quand la citerne est pleine ?
On se restreint au cas particulier où T0 = 1,00 ms. On donne la décomposition 
en série de Fourier de la
tension v2(t) :

v2 (t ) = V2,moy +

2 U0

1
2 "
!
' 2k + 1sin #% ( 2k + 1) T t &$

k =0

C10. En raisonnant uniquement sur la première harmonique de v2(t) (c'est-à-dire 
k = 0), déterminer une
condition sur C1 de manière à ce que la fluctuation de v3(t) due à cette 
harmonique nengendre pas en
sortie du CAN de modification de la valeur du nombre binaire N correspondant à 
V2moy.

DEUXIEME PARTIE
VIDANGE de la CITERNE
D / Ecoulement parfait
La citerne est munie dun orifice par lequel le gazole peut sécouler.
On suppose que toutes les conditions sont réunies pour quon puisse appliquer la 
relation de Bernoulli
entre un point A de la surface libre du gazole et un point B au niveau de 
louverture (voir figure ci-après) :

1
 VB2 -VA2 + g ( zB - zA ) + ( pB - pA ) = 0 "
2

(

)

où

 est la masse volumique du gazole,
VA (respectivement VB) correspond à la vitesse moyenne (encore appelée vitesse 
débitante) de
lécoulement supposée constante au niveau de la section SA (respectivement SB),
pA (respectivement pB) correspond à la pression de lécoulement supposée 
constante au niveau de la
section SA (respectivement SB),
g est lintensité du champ de pesanteur.
!

Tournez
la page
S.V.P.
Tournez
la page
S.V.P.

#'
1)2&*.&'
SA : section de la citerne au niveau du point A (en m²)
()*''+'%"',*&--)$.'/0'
#"

('

·"
!"#$%&'

$"

SB : section de lorifice découlement au niveau du point B
(en m²)
SB << SA
"
3'4'5&'%6")*'+'%"',*&--)$.'/0''

·"

7'

D1. Quelles sont les conditions dapplication de la relation de Bernoulli ?
D2. Comment se traduit la conservation de la masse lors de lécoulement ?
En déduire une relation entre les vitesses moyennes en A et B.
D3. Sachant que la section en A est nettement plus grande que celle en B, 
exprimer la vitesse moyenne VB
de lécoulement en B à laide de h et g.
D4. La citerne est initialement pleine.
Exprimer le temps nécessaire T pour la vidanger complètement, à laide de SA, 
SB, H et g.
Calculer T.

E / Prise en compte dune perte de charge singulière
Au niveau du convergent (rétrécissement de section sur la ligne de courant AB), 
on constate une zone de
perturbation caractérisée énergétiquement par une « perte de charge singulière 
» : le bilan dénergie se
traduit par une perte dénergie mécanique volumique modélisable par la formule 
suivante :

1
1
 VB2 -VA2 + g ( zB - zA ) + ( pB - pA ) = - KC VB2
2
2

(

)

avec Kc  0,55 (sans dimension)

E1. Déterminer une nouvelle expression de VB en tenant compte de la perte de 
charge singulière.
E2. Exprimer à nouveau le temps nécessaire T pour vidanger complètement la 
citerne, à laide de T et Kc.
Calculer T. Commenter.

!"
"

F / Prise en compte dune perte de charge régulière
On accroche au niveau de B une conduite
cylindrique verticale de grande longueur et de
diamètre d = 2a. La figure ci-contre ne représente
quune portion ! =C1C2 de cette conduite.
Létude de lécoulement entre C1 et C2 nécessite
alors la prise en compte de la dissipation dénergie
par frottement dû à la viscosité du gazole.
Dans la suite, on considère que le gazole est un
fluide incompressible, de masse volumique
constante , de viscosité dynamique , en
écoulement stationnaire.
On suppose de plus que lécoulement est laminaire et que le champ de vitesse est 
à symétrie cylindrique "

"
"
V ( r ) = V ( r ) ez

avec V(r) > 0 et une vitesse nulle le long des parois et maximale sur laxe de 
la conduite. Les pressions
sont supposées constantes pour une altitude donnée : pC1 est la pression en C1 
à laltitude zC1, pC2 est la
pression en C2 à laltitude zC2.

&"

&"

#%"

'"

#%"

'"

*"

!"

()%"
#$"

#$"
&#$"

"

""""" "! "

!"

!"

On isole par la pensée un cylindre de fluide de rayon r inférieur à a et de 
longueur ! #"Ce cylindre subit des
forces pressantes en C1 et C2, son poids et des forces visqueuses modélisées 
par la loi suivante :

"
dV "
f =
 ez "
dr
Où  "représente la surface latérale de contact entre le fluide contenu dans le 
cylindre et celui à lextérieur
du cylindre.

!

Tournezlala
page
S.V.P.
Tournez
page
S.V.P.

F1. Faire un bilan de quantité de mouvement pour ce cylindre et établir la 
relation suivante :"""

dV
= -  ( p!C1 - p!C2 )  r """
dr
avec p! = p + gz "et  un facteur que lon exprimera à laide de  et " 
#"$%&&'()'*"+'",-.('"/'".

! r2 "
!C1 - p!C 2 ) .
V
r
=
V
F2. Montrer que V(r) sécrit : ( )
max #1- 2 $ . Exprimer Vmax à laide de , a et ( p
a
%
&
F3. Déterminer lexpression du débit volumique QV à laide de , a et ( p!C1 - p!C 
2 ) .
F4. En déduire lexpression de la vitesse moyenne Vmoy dans une section de la 
conduite (encore appelée
vitesse débitante) à laide de , a et ( p!C1 - p!C 2 ) .

La « perte de charge régulière » (due à la dissipation dénergie à cause des 
frottements visqueux) est
définie par pr = 

1 2 !
V
2 moy d

où  " est une constante sans dimension dépendant de la nature de

lécoulement et de la rugosité de la conduite," " la longueur de la conduite et 
d son diamètre.

# -p
# = -p "pour une canalisation de section constante."
C1
r

On a par ailleurs:" pC2

F5. Déterminer lexpression de  à laide de , , Vmoy et a.
F6. Rappeler lexpression du nombre de Reynolds Re pour une conduite cylindrique 
en fonction de son
diamètre d, de la vitesse moyenne Vmoy, de la masse volumique  et de la 
viscosité .
Pour un écoulement laminaire, en déduire lexpression de  à laide du nombre de 
Reynolds, Re.
F7. Calculer le nombre de Reynolds Re à laide des données numériques fournies 
en fin de sujet.
F8. Rappeler comment le nombre de Reynolds, Re peut être utilisé pour 
caractériser la nature de
lécoulement.
Lhypothèse découlement laminaire utilisée jusquà la question F7 est-elle valide 
?

G / Remplissage du réservoir dune voiture
On utilise une pompe centrifuge pour déplacer le gazole de la citerne au 
réservoir dune voiture. Le schéma
suivant modélise simplement le circuit du fluide (la citerne étant enterrée, on 
a bien évidemment zE > zA)
La « perte de charge singulière » (due à la dissipation dénergie à cause des 
coudes, des raccords entre
canalisations de diamètres différents...) est définie par ps = K

1
2
Vmoy
où K est une constante sans
2

dimension dépendant de la nature de la singularité rencontrée. On admettra que 
la pompe utilisée ici
génère une perte de charge singulière de coefficient Kpompe = 6.

!"
"

G1. Utiliser le document, page 12, intitulé « Données numériques » pour 
déterminer la valeur numérique du
coefficient Ktotal correspondant à lensemble des singularités détaillées sur le 
schéma ci-dessus. On
prendra soin de préciser les différents termes intervenant dans Ktotal.
G2. Calculer la valeur totale des pertes de charge singulières
fournies en fin de sujet.

ps ,tot à laide des données numériques

G3. La totalité des longueurs droites de la conduite vaut approximativement ! = 
10 m.
On admettra la valeur suivante pour le coefficient de perte de charge régulière 
:  = 2,45.10-2.
Calculer la valeur totale des pertes de charge régulières
fournies en fin de sujet.

pr ,tot à laide des données numériques

Linsertion dun élément actif (ici la pompe électrique) dans le circuit du 
fluide modifie le bilan énergétique
appliqué au gazole. En tenant compte des pertes de charge, on admet la relation 
suivante appliquée entre
les points A et E :

1
P
 VE2 -VA2 + g ( zE - zA ) + ( pE - pA ) = - ( pr ,tot + ps,tot ) + u
2
QV

(

)

"

où Pu est la puissance utile fournie par la pompe au fluide et QV est le débit 
volumique.
G4. Calculer le débit volumique dans les conduites QV à laide des données 
numériques fournies.
G5. Sachant que la pompe a un rendement de 80%, déterminer lexpression de Pe, 
puissance électrique
alimentant la pompe. Calculer Pe (on prendra zE - zA  5 m).

!

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TROISIEME PARTIE
AUTOUR DE LA CHIMIE DES CARBURANTS

H / Etude de la combustion complète du gazole
Lire le texte fourni en ANNEXE 1 et intitulé « la combustion des carburants » 
puis répondre aux questions
suivantes.
H1. Ecrire la réaction de combustion complète de gazole dans lair : les 
affirmations des lignes 15 à 19
sont-elles valides ?
H2. Le taux démission de CO2 (indiqué sur le document 2 en ANNEXE 1) est-il en 
accord avec la
consommation du véhicule ?
H3. Vérifier quil sagit dune réaction doxydoréduction. Quelle est la molécule 
oxydée ? Justifier.
H4. Déterminer lenthalpie standard de réaction associée à cette transformation 
chimique. On fera le calcul
à partir dune équation de réaction écrite pour un coefficient de 1 pour le 
gazole. Laffirmation des lignes
21 à 25 est-elle valide ?
H5. Justifier thermodynamiquement que la réaction est totale à 298 K.
H6. Déterminer et calculer la température de flamme adiabatique maximale TF 
liée à cette transformation.
H7. La température de flamme réellement atteinte est en général plus faible. 
Proposer des explications.

I / Etude de quelques polluants azotés
I1. Daprès le texte, quelle est la cause de la présence de polluants composés 
doxygène et dazote dans
les gaz déchappement des véhicules ?
La transformation suivante est une des nombreuses transformations se déroulant 
dans les gaz
déchappement des moteurs à explosion :

NO2 + CO ! NO + CO2
On souhaite étudier la cinétique de la transformation. Dans ce but, on réalise 
plusieurs expériences à
différentes concentrations initiales et on mesure la vitesse initiale de la 
réaction. Les résultats sont reportés
dans le tableau ci-dessous.
Expérience

Concentration initiale en
NO2 (mol.L-1)

Concentration initiale en
CO (mol.L-1)

Vitesse initiale
(mol.L-1.s-1)

1

0,1

0,1

0,5.10-2

2

0,1

0,4

8,0.10-2

3

0,2

0,1

0,5.10-2

I2. Déterminer les ordres partiels par rapport à chacun des réactifs.
Donner une valeur numérique de la constante de vitesse.
I3. Proposer une formule de Lewis pour chacune des entités intervenant dans 
cette transformation.

!"#
#

Dans latmosphère, le dioxyde dazote NO2 entre dans une chaine de plusieurs 
réactions menant à la
fabrication dozone O3, gaz toxique. On obtient par ailleurs de nombreux 
produits dérivés et notamment du
pentaoxyde de diazote N2O5.!En atmosphère humide, N2O5 réagit au cours dun 
mécanisme non détaillé ici
mais dont le bilan est le suivant :

N2O5 (g) + H2O(liq) ! 2 NO3- (aq) + 2 H+ (aq)
On obtient donc une solution aqueuse dacide nitrique. Cette réaction 
atmosphérique (supposée totale)
amplifiée par les polluants issus des pots déchappement contribue au phénomène 
des pluies acides.
On souhaite ici utiliser cette réaction pour déterminer la concentration en N2O5

(g)

présent dans les gaz

déchappement dun moteur thermique dun groupe électrogène alimenté avec du 
gazole. Pour cela, on fait
barboter 1 m3 de gaz déchappement dans un 1L deau. On admet que la totalité des 
nitrates NO3- se
retrouve en solution aqueuse acide. On souhaite alors doser les nitrates NO3- 
(aq) suivant le protocole décrit
en ANNEXE 2.
I4. Dans le cadre dun diagramme potentiel-pH, déterminer léquation de la droite 
donnant les variations du
potentiel du couple NO3-(aq) / NO2-(aq) en fonction du pH. On prendra [NO3-(aq) 
] = [NO2-(aq)] comme
convention de frontière.
I5. Calculer le coefficient directeur de la frontière oblique séparant les 
domaines ! et " du diagramme
potentiel ­ pH simplifié du Cadmium.
I6. En utilisant le document-réponse (en fin de sujet en ANNEXE 3 et à rendre 
avec la copie), justifier
graphiquement que la réaction entre le cadmium métallique et les ions nitrate 
est quantitative.
Ecrire léquation de la transformation chimique correspondante, en milieu acide.
I7. Pourquoi a-t-on choisi une longueur donde de 540 nm ?
I8. La loi de Beer-Lambert est-elle vérifiée au cours du protocole réalisé ?
I9. Déterminer la concentration massique en acide nitrique initialement présent 
dans la solution S0.
En déduire la concentration massique initiale en N2O5 (exprimée en mg par m3 de 
gaz déchappement).

Fin de lépreuve.

!!

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DONNEES NUMÉRIQUES
Pour la première partie:
0 = 8,85.10-12 F.m-1
r = 5,00
H = 1,00 m
L = 4,00 cm
e = 3,00 mm

Permittivité du vide :
Permittivité relative du gazole :
Hauteur du capteur capacitif :
Largeur du capteur capacitif :
Distance entre les armatures :
Pour la seconde partie:
Section de la citerne au point A :
Section de louverture au point B :
Rayon des sections des conduites et des coudes :
Intensité du champ de pesanteur :
Masse volumique du gazole :
Viscosité dynamique du gazole :
Vitesse moyenne des les conduites :

SA = 1,00 m²
SB = 1,00.10-3 m²
a = 1,80 cm
g = 9,81 m.s-2
 = 840 kg.m-3
 = 5.10-3 kg.m-1.s-1
Vmoy = 4,50 m.s-1

Coefficient K pour les pertes de charge singulière :
#

#

Coude brusque :

Coude arrondi de rayon de courbure RC et de diamètre d ( est en
degré) :

#
#

#

Pour la troisième partie:
Eléments chimiques :
Elément
Masse molaire
atomique (g.mol-1)
Numéro atomique
Electronégativité
(échelle de Pauling)

H

C

N

O

1,0

12,0

14,0

16,0

1

6

7

8

2,20

2,55

3,04

3,44

Formule chimique de lair : 3,7 mol de N2 pour 1,0 mol de O2
Données thermodynamiques : constante thermodynamique R = 8,314 J.mol-1.K-1
composé
fH0 (kJ.mol-1)
0

-1

-1

CPm (J.mol .K )
0

-1

-1

Sm (J.mol .K )

gazole (liq)

O2 (vap)

CO2 (vap)

H2O(vap)

N2(vap)

- 245

0

- 393

- 242

224,6

29,4

44,2

30,0

0
27,9

329

205

214

189

192

où fH0, CPm0 et Sm0 sont respectivement lenthalpies standard de formation, la 
capacité thermique
molaire standard (à pression constante) et lentropie molaire standard des 
espèces à 298 K (ces
grandeurs sont supposées constantes).

!"#
#

ANNEXE 1 :
DOCUMENT 1 : Texte extrait du site de lassociation adilca : www.adilca.com ©
Association pour la Diffusion d'Informations sur les Lois physiques de 
l'Automobile.
Association à but non lucratif créée en mai 2000 à l'initiative d'anciens 
élèves des sections
scientifiques du Conservatoire National des Arts et Métiers de Paris.

LA COMBUSTION DES CARBURANTS
Les carburants

#$

!%$

Cest la proportion des composants qui permet de distinguer les carburants.
Lanalyse en laboratoire dun échantillon de gazole pur non additivé montre que 
celui-ci est
constitué (en masse) de 87 % de carbone (symbole chimique C) et 13 % dhydrogène 
(symbole
chimique H) [...]
Ces proportions permettent détablir les formules chimiques fictives de chacun 
de ces carburants,
formules qui seront utilisées par la suite pour calculer tous les autres 
paramètres de la
combustion. Ainsi, le gazole a pour formule chimique fictive C7,25H13, lessence 
C7H16, le GPL
C3,5H9.
La combustion des hydrocarbures

!#$

La stoechiométrie désigne létude des proportions idéales déléments qui 
autorisent une réaction
chimique complète, propre et sans gaspillage.
Les lois de la stoechiométrie appliquées à la combustion des hydrocarbures nous 
montrent que
pour brûler 1 kg de gazole, il faut disposer de 14,3 kg dair (soit, étant donné 
la composition de
lair, 10,9 kg de diazote et 3,4 kg de dioxygène) ; la réaction produit 10,9 kg 
de diazote (ce gaz
étant chimiquement neutre, il na pas participé à la combustion), 3,2 kg de 
dioxyde de carbone
(CO2) et 1,2 kg deau (H2O). [...]

&%$
Lénergie libérée par la combustion

&#$

Connaissant la composition massique dun hydrocarbure, il est alors facile den 
déduire lénergie
quil peut libérer lors de sa combustion la combustion dun kg de gazole de 
formule C7,25H13 libère
une énergie nette denviron 42 millions de joules, soit, compte tenu de la masse 
volumique du
produit (840 kg.m-3), environ 35 millions de joules par litre [...]
La combustion en conditions réelles

"%$

"#$

Sagissant de la combustion des carburants dans le cadre du fonctionnement dun 
moteur
dautomobile, une stoechiométrie parfaite est toujours difficile à garantir.
En effet, non seulement le carburant peut présenter des différences de 
composition selon les
pays et les distributeurs, mais en plus, la masse dair introduite dans le 
moteur, jamais
parfaitement pure, varie en permanence en fonction de la température ambiante 
et de la pression
atmosphérique.
Les rejets polluants
Lorsque les lois de la stoechiométrie sont respectées, les gaz déchappement ne 
contiennent que
de lazote gazeux (N2), du dioxyde de carbone (CO2) et de leau à létat de vapeur 
(H2O). Mais
que se passe-t-il lorsque les lois de la stoechiométrie ne sont plus respectées 
?

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Tournez la
Tournez
lapage
pageS.V.P.
S.V.P.

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%$#

Pour simplifier le problème, considérons deux configurations opposées : mélange 
riche (trop de
carburant, pas assez dair) et mélange pauvre (peu de carburant, trop dair).
Dans la première configuration, certains atomes qui constituent la molécule 
dhydrocarbure ne
trouvent pas de partenaire oxygène en nombre suffisant puisque lair manque, ils 
ne sont donc
pas oxydés complètement et se retrouvent dans les gaz déchappement sous forme 
de particules
carbonées, dhydrocarbures imbrûlés (symbole chimique HC) ou de monoxyde de 
carbone
(symbole chimique CO), gaz quil ne faut surtout pas confondre avec le CO2 : lun 
est très
toxique, lautre pas du tout.
Dans la seconde configuration, un excès dair (cest toujours le cas lorsque le 
moteur est
suralimenté) fortement comprimé à température élevée (cest particulièrement le 
cas des moteurs
diesel) peut entraîner la formation de monoxyde dazote (symbole chimique NO), 
suite à une
réaction entre loxygène (O2) et lazote (N2) de lair aspiré. Une fois expulsé, 
le monoxyde dazote
présente la particularité de se transformer spontanément en dioxyde dazote 
(symbole chimique
NO2), générant au passage une mutation de loxygène atmosphérique en ozone 
(symbole
chimique O3), deux gaz très toxiques pour les organismes vivants.

DOCUMENT 2 : Fiche technique partielle dune voiture diesel :
Réservoir : 45 L
Consommation moyenne : 4,5 L aux 100 kms
Emission de CO2 : 121 g / km

!"#
#

ANNEXE 2 :
Dosage des nitrates NO3- (aq) dans une solution acide.
La solution S0 à doser a un volume dun litre et a été obtenue en faisant 
barboter 1 m3 de gaz de
pot déchappement.
! Mode opératoire :
1) Faire passer la totalité de la solution S0 dans une colonne à 
chromatographie contenant des
grains de Cadmium métallique Cd.
2) Prélever précisément 50 mL du filtrat et les placer dans une fiole jaugée de 
100 mL. Ajouter
précisément 1 mL de solution de réactif R0 fournie par le labo. La solution se 
colore en rose.
Compléter au trait de jauge.
A partir dune solution mère (appelée S1) acide et contenant des ions nitrates de
concentration connue, on a fabriqué (au laboratoire) plusieurs solutions filles 
par dilution
successives auxquelles on a appliqué le même protocole expérimental. Elles sont 
nommées
S2, S3, S4 et S5.
3) Régler le spectrophotomètre sur la longueur donde égale à 540 nm puis faire 
« le blanc » à
leau distillée. Mesurer labsorbance des solutions traitées à partir de S1, S2, 
S3, S4, S5 et S0.
! Tableau des résultats :
Solution
Concentration
massique initiale
en nitrate (mg/L)
Absorbance A

Eau
distillée

S5

S4

S3

S2

S1

S0

0

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

?

0,000

0,127

0,254

0,382

0,509

0,636

0,231

! Documents et données complémentaires :
· Potentiel standard du couple NO3- / NO2- :
E° = 0,94 V

· Allure du diagramme potentiel-pH simplifié
du Cadmium
&'()#

· Réaction entre les nitrites NO2-(aq) et R0 :
NO2-(aq)

+ R0 " P0

*+!#

$

Réaction totale et mole à mole
R0 et P0 sont des espèces non explicitées
(formules non utiles)

-.+/0#

!!+,#

%#
12'5%)3#

$%#

&#
%1253-#

P0 est la seule espèce absorbante : elle est
colorée en rose

""#

#
#
!"

Tournez la page S.V.P.

Document-réponse, à compléter et à rendre avec la copie

!"#
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe 
quelconque pouvant indiquer

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



e3a Physique et Chimie PSI 2016 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Dumont (Professeur en CPGE) et Vincent Wieczny
(ENS Lyon) ; il a été relu par Cyril Ravat (Professeur en CPGE) et Alexandre 
Herault
(Professeur en CPGE).

Le sujet est composé de trois problèmes indépendants, deux de physique et un de
chimie.
· Le premier problème de physique porte sur l'étude d'un capteur capacitif 
utilisé
pour déterminer le niveau de gazole dans une citerne. Ce problème, très proche
du cours d'électrostatique, permet de vérifier si le cours est bien assimilé 
tout
en proposant une application concrète.
· Le second problème de physique étudie la vidange d'une telle citerne. La 
relation de Bernoulli étant donnée, on construit progressivement les éléments
permettant d'évaluer le temps de cette vidange.
· La dernière partie a pour thème la chimie des carburants. L'étude commence
par le cas idéal d'une combustion complète du gazole, permettant de confirmer 
des données numériques issues d'un document en annexe. Néanmoins, la
combustion est en pratique incomplète, d'où l'émission de polluants azotés :
deux d'entre eux sont abordés pour juger de leur stabilité cinétique ou pour
les quantifier à la sortie du pot d'échappement. Les questions sont classiques
et certaines applications numériques peuvent être confortées par les données en
annexe.
Le sujet est tout à fait adapté à la filière car il couvre des domaines variés 
du
programme tout en restant assez proche du cours et des exercices de base. Sa 
longueur
nécessitait d'avoir de bons réflexes si l'on voulait avancer suffisamment dans 
le temps
imparti. C'est un très bon sujet de révision qui vaut la peine que l'on s'y 
attarde.

Indications
Partie I
A.1 Donner l'équation de Maxwell-Gauss et la combiner avec la relation entre le
champ électrique et le potentiel.
A.5 Il faut utiliser les deux expressions du champ électrique qui ont été 
établies
dans les questions précédentes.
B.3 Attention aux unités : la formule donne la capacité en pF.
C.6 Si on veut retenir la valeur moyenne, il faut utiliser un filtre ne 
retenant que la
composante continue : c'est un filtre passe-bas.
C.10 Calculer l'atténuation due au filtre qui s'applique à la première 
harmonique.
Partie II
D.4 Effectuer une intégration par séparation de variables.
F.1 De nombreuses questions de cette partie sont indépendantes et sont 
uniquement
des applications numériques. Ne pas hésiter à en sauter certaines.
G.1 Attention à bien compter deux coudes brusques. Les formules donnant les 
valeurs numériques des coefficients sont indiquées dans l'annexe.
Partie III
H.1 Une réaction de combustion complète ne produit que du dioxyde de carbone
CO2(g) et de la vapeur d'eau H2 O(g) .
H.3 Déterminer les nombres d'oxydation moyens de l'élément carbone au sein des
espèces carbonées pour déterminer leur nature oxydante ou réductrice.
H.5 Calculer la constante d'équilibre de la réaction de combustion complète du
gazole.
H.7 Montrer en quoi les hypothèses auxquelles on fait appel pour le calcul de 
température de flamme ne sont pas vérifiées.
I.6 Une réaction d'oxydoréduction est considérée comme quantitative dès lors que
la différence de potentiel entre les deux couples est supérieure à 0,25 V.
I.7 La couleur absorbée est complémentaire de la couleur observée en solution.
I.9 Passer en quantité de matière pour trouver à la concentration massique 
initiale
en pentaoxyde de diazote N2 O5 (g) .

I. Capteur de niveau

-
A.1 Le champ électrique E dérive du potentiel V qui ne dépend, d'après l'énoncé,
que de x entre les armatures. On sait de plus que l'espace est vide de charges 
électriques, ainsi l'équation de Maxwell-Gauss et la relation champ-potentiel 
s'écrivent
--

-

-
div E = 0
et
E = - grad V
soit

V = 0

Autrement dit

2V
=0
x2

A.2 En intégrant deux fois, on obtient
V(x) = c1 x + c2
où c1 et c2 sont des constantes d'intégration. Or,
V(0) = c2 = V1

et

V(e) = c1 e + c2 = V2

c2 = V1

et

c1 =

soit
et finalement

V(x) =

V2 - V1
e

V2 - V1
x + V1
e

A.3 En utilisant la relation indiquée à la question A.1, on a
--
-

V -

E = - grad V = -
ex
x
-

V2 - V1 -

E =-
ex
e

et donc

Il s'agit donc d'un champ uniforme (c'est-à-dire indépendant de la position dans
l'espace, ici la variable x) dont les lignes de champs sont des droites 
parallèles

à -
ex . Si V1 > V2 , ces lignes de champs sont orientées depuis la plaque de 
potentiel
V1 vers celle de potentiel V2 .
A.4 Considérons un cylindre C d'axe (Ox), dont l'une des bases est positionnée à
une abscisse x comprise entre 0 et e et l'autre à une abscisse négative. Notons 
Sb
la surface de cette base (S+ pour celle située à l'abscisse positive, S- à 
l'abscisse
négative, avec bien entendu S+ = S- = Sb ) et L la surface latérale. 
Décomposons le
-

flux du champ E à travers la surface totale de ce cylindre, qui est une surface 
fermée.
I
ZZ
ZZ
ZZ

-
 -
-

 -
-

 -
-

 -
-

C ( E ) =
E · dS =
E · dS +
E · dS +
E · dS
S-

C

S+

L

-
Or, les lignes de champ électrique sont colinéaires à 
ex , ce qui signifie qu'elles sont

-
perpendiculaires à d S sur toute la surface latérale du cylindre : le produit 
scalaire
est donc nul. Le champ étant nul sur la base S- d'après l'énoncé, il ne reste 
que
l'intégrale sur S+. Sur cette base, le champ est constant puisque tous les 
points de la

-
surface sont à une même valeur de x ; de plus, d S est alors colinéaire avec le 
champ.
Finalement
I
ZZ
ZZ
ZZ

-
 -
-

 -
-

C ( E ) =
E · dS =
E · dS =
E(x) dS = E(x)
dS = E Sb
C

S+

S+

S+

Le théorème de Gauss affirme que ce flux vaut la charge contenue dans le 
cylindre
divisée par la permittivité électrique du milieu. La plaque située en x = 0 
porte la
charge surfacique  = Q1 /S ; par conséquent la charge contenue dans le cylindre 
vaut
Q1 Sb
S
Sb Q1
Sb E =
S 0

Qin = Sb =
soit

-

Q1 
-
ex
E =
S 0

donc

Il est amusant de remarquer que la forme de la surface de base n'importe
pas dans la démonstration. En effet, le flux latéral reste nul et l'intégrale 
sur
S+ ne dépend que de la valeur de la surface et non de sa forme. On peut
donc tout à fait prendre une surface de base ayant la forme d'un carré, d'un
triangle, d'une banane, d'un éléphant... et obtenir le résultat.
A.5 En utilisant les résultats des questions A.3 et A.4, on parvient à
V2 - V1
Q1
=
e
S 0
0 S
autrement dit
Q1 =
(V1 - V2 )
e
Or, par définition de la capacité C d'un condensateur, on a la relation
-

Q1 = CU = C(V1 - V2 )
soit par identification

C=

0 S
e

B.1 Deux condensateurs en parallèle sont soumis à la même tension U (puisqu'elle
se conserve en dérivation). Soit Q1 et Q2 les charges portées respectivement 
par les
armatures des condensateurs C1 et C2 . On a
Q 1 = C1 U
et
Q 2 = C2 U
La charge totale portée est Q = Q1 + Q2 , soit
Q = CU = C1 U + C2 U = (C1 + C2 )U
La capacité du condensateur équivalent à deux condensateurs
en parallèle est la somme de leurs capacités.
B.2 Le condensateur constitué par le système étudié est équivalent à la mise en
parallèle de deux condensateurs plan, de capacités respectives d'après l'énoncé
0 (H - h)L
0 r hL
Cair =
et
Cgazole =
e
e
La difficulté de cette question est de bien calculer les surfaces totales des
armatures correspondant aux deux condensateurs plans étudiés.
Notons également que l'expression proposée au début de cette partie pour
la capacité permet de confirmer le résultat obtenu à la question A.5.
D'après la question B.1, la capacité recherchée est la somme de ces deux 
capacités.
C(h) =

0 L
((H - h) + r h)
e