E3A Physique et Chimie PSI 2011

Thème de l'épreuve Étude d'une turbine à gaz
Principaux outils utilisés thermodynamique, électrocinétique, thermochimie, déplacement d'équilibres
Mots clefs cycle de Brayton, turbo-alternateur, rotor, stator, tension efficace, diagramme de Watt, diagramme entropique, cycle de Carnot, bilans , échangeur thermique, combustion du méthane, diagramme d'Ostwald

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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e 3 &
CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Physique - Chimie PSI

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est autorisé.

A rendre avec la copie 1 document-réponse non plié

Le problème, consacré au fonctionnement d'un générateur à turbine, se
décompose en quatre volets :

> la première partie, introductive, est consacrée à l'étude du cycle idéal de 
Carnot ;

> la deuxième partie traite d'un générateur à turbine à gaz fonctionnant sur un 
cycle de
Brayton ; l'énergie thermique des gaz sortant de la turbine est réutilisée pour 
améliorer le
rendement de la turbine, c'est la régénération ;

> les gaz d'échappement sont encore exploités pour une production combinée 
d'énergie
thermique et d'énergie mécanique: c'est la cogénération en troisième partie;

> la quatrième partie concerne, d'un point de vue chimique, la combustion de gaz
naturel dans la turbine.

Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que :

. les explications des phénomènes étudiés intewiennent dans la notation au même 
titre que
les développements analytiques et les applications numériques ; les résultats 
exprimés
sans unité ne seront pas comptabilisés ;

. tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider 
à la
compréhension du problème mais ne donnent pas lieu à des questions ;

- tOut résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé parla suite, 
même s'il n'a pas
été démontré par le(la) candidat(e) ;

. les données numériques de chimie sont regroupées àla fin dela partie chimie ;

. un document--réponse (en partie chimie) devra être complété puis remis avec 
la copie.

Les industries, les hôpitaux et les villes sont des sites qui ont besoin d'un 
apport d'énergie
très important : les consommations d'électricité, de chaleur ou de froid y sont 
nécessaires
conjointement. De petites turbines à gaz intégrées à de grands immeubles, à des 
quartiers
administratifs, à des centres commerciaux ou à des usines assurent la stabilité 
et le contrôle local
de leurs productions. La cogénération a l'avantage d'exploiter la chaleur 
dégagée par les gaz
d'échappement, habituellement dissipée dans l'environnement, pour délivrer de 
façon combinée
de l'énergie thermique et de l'énergie mécanique. L'une peut être utilisée pour 
le chauffage des
immeubles, alors que l'autre produit de l'électricité par couplage avec un 
alternateur. "

PREMIERE PARTIE
CYCLE DE CARNOT

A I Diagramme de Watt
Le cycle réversible de Carnot décrit parle fluide est constitué des quatre 
transformations :

> deux isothermes (1-->1') et (2--+2') de températures respectives T1 et T2 ( 
T2 < T, ) au cours
desquelles sont échangés les transferts thermiques respectifs Q1 et Q2 ;

> deux adiabatiques (1 '---->2) et (2'--> 1) joignant les deux isothermes.

Ce cycle moteur est représenté dans le diagramme de Watt (P, V), visual/sant la 
pression P
du gaz en fonction du volume V qu'il occupe.

A1_. Comparer qualitativement les pentes des tangentes aux courbes représentant 
une
isotherme et une adiabatique réversible en un point commun du diagramme (P,V). 
Cette
propriété étant indépendante de la nature du fluide, exprimer, dans le cas du 
gaz parfait, le

rapport de ces deux pentes en fonction du rapport y de ses capacités thermiques 
à
pression et volume constants.

Ag, En déduire la représentation du cycle moteur de Carnot en précisant son 
orientation, les
états 1, 1', 2 et 2' du fluide, les isothermes T1 et T2. Que représente l'aire 
du cycle ?
& Définir le rendement n de ce cycle puis l'exprimer en fonction des 
températures T1 et T2.

Calculer sa valeur pour "l', = 1300 K et T2 : 300 K.

A4. Ce rendement dépend--il de la nature du fluide considéré ? Justifier que la 
valeur du
rendement de Carnot ne peut être dépassée par aucun moteur réel fonctionnant 
entre les

deux mêmes sources de chaleur.

B I Diagramme entropique

Le diagramme entropique ( T, S) est la représentation de la température T en 
fonction de
l'entropie S du système étudié.

_B_L Montrer que, lorsque la transformation subie par le fluide thermique est 
adiabatique et
réversible, son entropie est conservée.

_B_A Représenter le cycle de Carnot dans le diagramme (T,S) en précisant son 
orientation, les
états 1, 1', 2 et 2' du fluide, les températures T, et T2 ainsi que les 
entropies maximale et
minimale du système, notées respectivement Smax et S.......

83. Exprimer AS1_,1» et ASZ_.2-- en fonction de S...ax et S......, puis en 
fonction de Q1, Q2, T, et T2.

_B__£_I_= Comparer, en le justifiant, l'aire de ce cycle réversible à l'aire du 
cycle visualisé en
diagramme de Watt. Retrouver l'expression du rendement de Carnot par une méthode

graphique.

DEUXIEME PARTIE
ETUDE D'UN GENERATEUR A TURBINE A GAZ

Le schéma simplifié du générateur à turbine (figure 1 ) est représenté 
ci--dessous :

carburant
éthane)

prise d'air

. . évacuation des gaz
atmosphenque

4 alternateur

Figure 1

arbre de transmission

L'énergie thermique est fournie dans la chambre de combustion et l'énergie 
mécanique est
récupérée sur l'arbre de transmission de la turbine pour entraîner le 
compresseur et actionner
l'alternateur. Les éléments de la turbine à gaz (compresseur, chambre de 
combustion, turbine,
échangeurs thermiques) traversés parle fluide en écoulement sont des systèmes 
ouverts.

C I Premier principe pour un système ouvert

Les hypothèses suivantes seront adoptées tout au long du problème :

> le régime de fonctionnement de la machine est permanent ;
> les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle de pesanteur du 
fluide traversant

chaque partie du dispositif sont négligeables devant les autres formes 
d'énergie.

Schéma de principe : (figure 2)
titilî+dî>

-----9--MF' ... 2 ï:(t+dti

Le volume de contrôle A'BCD' définit le système machine ouvert 20. La masse de 
fluide
gazeux contenue dans ce volume est notée mo (t) àla date t et mo (t + dt) a la 
date t+ dt. Le fluide

s'écoule du réservoir de pression Pe au réservoir de pression Ps ( Pe > PS ) : 
pendant la durée dt,

une masse 5mê {contenue dans le volume AA 'D'D) entre par l'ouverture de 
section 89 et une

quantité de matière de masse 5ms (contenue dans le volume BB'CC') sort par 
l'ouverture de
section 85.

Le système fermé 2 considéré pour cette étude occupe à l'instant t le volume 
ABCD puis
à l'instant t + dt le volume A'B'C'D'.

Pour les fluides entrant et sortant, u, b et v désignent respect/vement 
l'énergie interne
massique, l'enthalpie massique et le volume massique du fluide. L'indice « e » 
est relatif aux

grandeurs d'entrée du secteur AA 'D 'D et l'indice « s » aux grandeurs de 
sortie du secteur BB'C'C.
Les grandeurs d'échange massiques entre ce système et le milieu extérieur sont :

o le transfert thermique massique q ;
- le travail massique d'écoulement ou de transvasement W,, qui est exercé par 
les forces

pressantes a l'entrée et a la sortie dela machine ;
o le travail massique utile Wu fourni à l'intérieur de la machine par des 
pièces mobi/es

(ai/ettes ou pistons).

C1 Etablir un bilan de masse pour le système 2 entre les instants t et t+dt. En 
déduire une
relation simple entre ôm$ et âme.

CZ Déterminer en fonction de Pe, Ps, v8 et vs le travail massique de 
transvasement Wp exercé
par les forces de pression sur le système 2 entre les instants t et t+ dt.

C3. En appliquant le premier principe de la thermodynamique au système 2 entre 
les instants t
et t+dt , montrer que: h5 --h9 =wu +q.

D [ Cycle de Brayton idéal

Le fluide utilisé dans les générateurs à turbine à gaz est l'air atmosphérique.
Les étapes successives du cycle de Brayton réversible décrit par l'air sont les 
suivantes :

1-->2 : l'air atmosphérique s'engage en ( 1 ) dans le compresseur où il est 
comprimé de
façon isentropique.

2---->3 : l'air frais est ensuite admis dans la chambre de combustion où le gaz 
naturel est
injecté et s'enflamme. Le fluide est porté à des températures très élevées de 
façon isobare, sans

apport de travail. Sa composition n'est pas modifiée.

3---->4: le gaz chaud subit dans la turbine une détente isentropique. Cette 
détente est
utilisée pour produire un travail mécanique dont une partie sert a faire 
fonctionner le compresseur
alors que l'autre actionne l'alternateur. A la sortie (4) de la turbine, les 
gaz d'échappement sont
évacués vers l'atmosphère.

4---->1 : le gaz chaud qui s'échappe subit un refroidissement sans apport de 
travail au
contact de la source froide (l'air atmosphérique). Le transfert thermique est 
isobare.

La puissance fournie par la turbine est modulée grâce au débit d'air envoyé 
dans le
compresseur à l'entrée ( 1 ) du dispositif et à la quantité de gaz naturel 
injecté dans la chambre de

combustion.

L'air atmosphérique, le mélange initial {air--gaz naturel} et les gaz brûlés 
d'échappement
sont assimilés à un même gaz parfait. Le rapport de ses capacités thermiques à 
pression et
volume constants est supposé constant et égal à : 7 = 1,4. Sa capacité 
thermique massique à

pression constante est : cp : 1 kJ.kg".K".

Le cycle de Brayton est représenté (figure 3) dans le diagramme entropique, où 
T est la
température du gaz ets son entropie massique :

............................................................... T,:3OOK P1=1bar
_, T3=1300K P2=1Obars

teobare * i3entwpique

Posons pour simplifier:
4 ï--f1
T. l'
2 7L : EZ-- ét 2' = L'--.
isobartæ P1 T1

L'air est aspiré dans le compresseur à la pression P, =1 bar et à la température
T, = 300 K pour y être comprimé àla pression P2 = 10 bar.

_'_l_. Démontrer la loi de Laplace relative au couple (P,T) en précisant ses 
conditions
d'utilisation. En déduire T2 et T4 en fonction de k, t et T,. Applications 
numériques.

DZ. Exprimer puis calculer le travail massique de compression w1z absorbé par 
le gaz (fourni
au gaz par le compresseur) au cours de la transformation adiabatique 1---->2, 
en fonction de

Cp, T1 et >».

A l'issue de la combustion (étape 2--->3), la chambre fournit au gaz une 
énergie thermique
massique de combustion q23 qui amène la température de celui-ci à la valeur T3 
: 1300 K.
Exprimer q23 en fonction de cp, T1, k et 'l.'. Réaliser l'application numérique.

D4 Exprimer puis calculer le travail massique WT récupéré par la turbine 
(fourni à la turbine par
le gaz) au cours de la transformation 3--->4, en fonction de op, 7», T1 et r.

Le travail wC fourni au compresseur par la turbine est intégralement transféré 
au gaz par le
compresseur au cours de la transformation 1---+2 : WC : w12.

lU
."

D5. Ecrire le travail utile wa fourni par la turbine pour actionner 
l'alternateur, puis l'exprimer en

fonction de cp, À, T1 et t ; effectuer l'application numérique.
Pour quelle valeur x,... de ?» (fonction de 1) ce travail wa est-il maximal ? 
Comparer x,... à la

valeur numérique de % adoptée pour la turbine.

DG. Calculer le rapport R =--VÏî qui évalue la répartition entre le travail wC 
que fournit la turbine

Wa
au compresseur et le travail utile wa qu'elle fournit à l'alternateur. 
Commenter.

D7. Définir le rendement thermique n du générateur à turbine et l'exprimer en 
fonction du

paramètre 7». Calculer Tl pour le travail wa fourni par la turbine à 
l'alternateur et le

comparer à celui d'un cycle de Carnot fonctionnant entre les mêmes températures
extrêmes.

D8. Exprimer puis calculer le transfert thermique massique @... reçu par le gaz 
au cours de la

phase d'échappement 4--+1, en fonction de cp, À, T1 et 13.
Cette énergie thermique est-elle une énergie récupérable ? Commenter.

E I Cycle de Brayton réel

En réalité, des phénomènes irréversibles tant au niveau du compresseur qu'au 
niveau de
la turbine se produisent et des chutes de pression apparaissent dans les 
conduits et dans la
chambre de combustion. Le cycle réel décrit par la turbine diffère alors du 
cycle idéal décrit
précédemment. Il est représenté (figure 4) dans le diagramme entropique par le 
cycle
1--+2'--+3--+4'-->1 comme schématisé ci--dessous :

3 _ _ Les irréversibi/ités dans le compresseur et dans la
ÎïÊïf'äî turbine sont prises en compte grâce aux
rendements isentropiques :

isobare
P2»_,3 : 10 bars

, h -- h h , -- h
4 77C=--2----1=O,80 et nT=--'ï----î=0,85
2 , h2' _ h1 h4 _ h3
?ÊÊZÎËOEÏÊË isobare . 1 --+ 2' et 3--> 4': adiabatiques irréversibles
. P.;... =1 bar . 2' --> 3 et 4' --9 1 : isobares

5 Figure 4

E1. Déterminer la température réelle de sortie du compresseur T2 ', puis la 
température réelle
à la sortie de la turbine T4 ', en fonction de k, T1, r, 'le et 'lT- 
Applications numériques.

E2. Exprimer puis calculer le travail massique de compression w12» absorbé par 
le gaz en
fonction de cp, T1, k et Tic-

E3. Déterminer l'énergie thermique massique de la combustion réelle q2»3, puis 
le travail réel
WT' récupéré par la turbine au cours de la transformation 3--+4', en fonction 
de cp, ?... T1, 1:,

Tic et TlT- Applications numériques.

E4. Le travail WC' fourni au compresseur par la turbine est intégralement 
transféré au gaz par
le compresseur au cours de la transformation 1->2'. Déterminer, en fonction de 
cp, k, T1,

't, Tic et m, le travail utile wa' fourni par la turbine pour actionner 
l'alternateur. Application

numérique. Pour quelle valeur Xmax de k (fonction de r, "'le et Th)» ce travail 
wa' est-il

maximal '? Comparer cette valeur numérique km a la valeur k adoptée pour la 
turbine.
Wc'
Wa'
turbine pour actionner le compresseur et le travail wa' qu'elle destine à la 
rotation de
l'alternateur. Calculer le rendement thermique n' du générateur à turbine pour 
le cycle

réel. Comparer R' au rapport idéal R et n' au rendement n du cycle théorique.
Commenter.

E5. Calculer le rapport R'= qui évalue la répartition entre le travail wc" : 
w12» que fournit la

F I Régénérateur

La température des gaz d'échappement a la sortie de la turbine est 
considérablement plus
élevée que la température de l'air comprimé admis dans la chambre de 
combustion. Une partie de
la chaleur des gaz d'échappement peut ainsi être avantageusement récupérée pour 
le
préchauffage de l'air de combustion. Le rendement du générateur à turbine, de 
faible valeur dans

le cas du cycle de Brayton réel, en est ainsi amélioré.

Le « régénérateur » est un échangeur de chaleur intercalé entre le compresseur 
et la
chambre de combustion. En traversant le régénérateur, les gaz d'échappement 
échauffent l'air
comprimé en écoulement vers la chambre de combustion, moins de chaleur issue de 
la
combustion du carburant est donc requise et moins de combustible se révèle 
nécessaire.

Régénérateur

prise d'air
atmosphérique

alternateur

Compresseur

Figure 5

Les travaux et la chaleur q2'3 échangés restent les mêmes que dans le cas 
précédent sans
régénération, seul l'apport de chaleur que doit fournir la combustion est 
modifié

Le régénérateur fonctionne de manière isobare.
Le coefficient d'efficacité a de l'échangeur est
défini comme le rapport entre le transfert

4} thermique reçu par le gaz et celui que l'on
pourrait recueillir au maximum :

isobare
Pau.,3 m 10 bars

régénérateur ZR
, 'f--'i ':g

isobare h __ h
F......" ... bar a : --Æ------Z'-- : 0,95.

8 Figure 6 ha _ h2'

F1. Préciser la valeur numérique de la température de sortie du régénérateur 
TZR .

F2. Calculer Ie transfert thermique massique q2--2R reçu parle gaz en sortie de 
l'échangeur.

E:}; Conclure sur la valeur du rendement "R du cycle de Brayton réel avec 
régénération.

TROISIEME PARTIE

COGENERATION D'ENERGIES

Le générateur à turbine alimente en électricité une usine située à proximité : 
le travail fourni
par la turbine fait tourner le rotor d'un turbo--alternateur couplé à son arbre 
de transmission. Mais
le dispositif ne génère que peu d'électricité alors qu'une importante énergie 
thermique est perdue.
Cette chaleur excédentaire des gaz de combustion très chauds peut être une 
ressource
énergétique à valoriser, par exemple dans l'alimentation d'un réseau de 
chauffage urbain. Cette
production conjointe d'énergie mécanique et d'énergie thermique constitue la « 
cogénération ».

G ! Production d'énergie électrique : le turbo--alternateur

Cette partie traite de la production d'électricité nécessaire à l'alimentation 
en énergie d'une
entreprise de transformation de métaux. Le turbo--alternateur est équivalent à 
un rotor a deux
pôles en rotation devant un bobinage fixe (stator) sous l'action de l'arbre 
dela turbine (figure 7).

stator

arbre de
la turbine

:-. ;. ....

Figure 7

Le rotor, qui tourne à n tours par minute, est équivalent à un aimant 
produisant un champ

magnétique d'intensité constante Bo tournant à la vitesse angulaire co devant 
une bobine
comportant N spires de section Sb.

g1_= Exprimer la force électromotrice (f.e.m.) e induite dans le stator en 
fonction du temps t, de

N, Bo, Sb et co, vitesse angulaire de rotation du rotor. En déduire sa valeur 
maximale Em
ainsi que sa valeur efficace E.

G2. L'alternateur doit fournir un courant électrique sinusoi'dal de fréquence f 
= 50 Hz, quelle
doit être la vitesse de rotation de l'axe de la turbine en tr.min'1 ?

Le produit A : NSb /\/2 rend compte des caractéristiques du bobinage du stator.
G3. Calculer A pour E = 5000 V et Bo : 0,8 T.

Pour son fonctionnement courant, l'entreprise a besoin d'une puissance P =1 MW.

G4. En admettant que la tension efficace aux bornes du bobinage reste égale à 
la fem.
induite, quelle intensité efficace l fournit l'alternateur débitant sur une 
installation de facteur
de puissance cosoe : 0,8 '?

En réalité, du fait des enroulements de fils et des pertes magnétiques, le 
stator est
assimilable à une fem. e en série avec une inductance {' de résistance interne 
r. Ce stator est
placé aux bornes d'une installation, modélisée par une inductance L de 
résistance interne R, qui
reçoit la totalité du courant fourni par le turbo-alternateur.

g_5_. Proposer le schéma équivalent de ce montage.

Q_6_. Exprimer la tension efficace U aux bornes de l'installation en fonction 
de R, L, r, 2, w et E.
Calculer la valeur de U pour un courant débité l = 250 A. La puissance reçue par
l'installation est-elle suffisante ? Données : r = 1 Q ; l'a) : 7 Q et cosça : 
O, 8.

Les machines des ateliers étant conçues pour fonctionner sous une tension U = 
220 V, il
convient donc d'utiliser un transformateur pour ramener la tension aux bornes 
de l'alternateur de
5000 V a 220 V efficace.

H I Production d'énergie thermique : l'échangeur de cogénération

Le générateur à turbine fournit de la puissance électrique mais il rejette 
également des gaz
de combustion très chauds. Cette puissance thermique sert à réchauffer un 
fluide pour le
chauffage de locaux de l'usine. Un échangeur thermique, dispositif dans lequel 
le gaz rejeté et
l'eau domestique échangent de l'énergie thermique sans se mélanger, est placé 
en sortie de la '
turbine.

wars ta

cheminée
%
@ l _ , entrée de l'eau
Fi r '
M ' Echangsur '
entree du thermique 93
aarburant , eau chaude

entrée de l'air

4 - Gr.-m chaud
,_ aiternatæaur

Çcmprssseur «

D... est le débit massique du fluide en régime permanent, %, et % les puissances
respectivement thermique et utile qu'il échange avec le milieu extérieur.

l_-l_1= Reprendre la question _Ç_Ci et, en appliquant le premier principe de la 
thermodynamique au
système 2 fermé entre les instants t et t+ dt, montrer que : Dm (hs -- he) = 
È%h + %.

L'échangeur thermique de cogénération est parfaitement calorifugé ; il 
fonctionne de
manière isobare et ne reçoit aucune puissance mécanique autre que la puissance 
des forces de

pression.

Une vanne de régulation permet d'adapter le débit mass/que dm de l'eau aux 
besoins de
son réchauffement. Le gaz d'échappement, de débit massique D..., est évacué 
(point 4) parla
turbine à une température 94 : 400°C, il sort par la cheminée (point 6) à une 
température de l'ordre
de 96 =150°C. Ccnjointement, l'eau entre dans l'échangeur thermique à la 
température He : 5 °C et

en sort à la température 95 = 60°C.

_le Calculer le rapport dm /D... des débits des deux circuits correspondant à 
une telle élévation
de la température de l'eau.

Données : capacité thermique massique du gaz d'échappement : cp : 1 kJ.kg".K"

capacité thermique massique de l'eau : ce : 4,18 kJ.kg"'.K"'.

QUATRI EME PARTIE

COMBUSTION DU METHANE

l I Combustion totale et complète

Considérons la réaction de combustion stoechicmétrique du gaz naturel (assimilé 
à du

méthane) dans le dioxygène : CH4(g) + 2 Og(g) : COM + 2 H20... [ 1 ]
_l_1_._ Préciser la nature de cette réaction, ainsi que les rôles joués par le 
méthane et le
dioxygène.

Dans cette combustion, quel est le combustible et quel est le comburant ?

I2. Discuter, aprés avoir écrit la variation relative du quotient réactionnel 
dQIQ, l'effet d'une
augmentation isotherme de la pression sur le déplacement de l'équilibre [1].

KB. Procéder de même pour étudier l'effet de l'introduction d' un constituant 
inactif gazeux (NZ
par exemple), à pression et température constantes.

M. A l'aide des données thermodynamiques fournies en annexe, calculer 
I'enthalpie standard
A,HÎ de la réaction [1] à 298 K.

l5. Calculer le pouvoir calorifique du méthane, représentant l'énergie libérée 
par la combustion
complète d'un volume d'un mètre--cube de méthane, initialement à 298 K, sous la 
pression

p°=1 bar ? (l'exprimer en MJ et en kWh)

L'air sec renferme 20,95 % de dioxygéne, 78,09 % de diazote et 0,96 % d'argan
{pourcentages molaires) et autres gaz rares. Afin de simplifier l'ensemble des 
calculs qui suivront,

les proportions suivantes seront retenues : 20 % pour le dioxygéne et 80 % pour 
le diazote.

!_6_. Quel est le volume d'air nécessaire à la combustion complète d'un 
mètre--cube de méthane
(à T = 298 K et p° =1 bar)?
[& Calculer la masse de méthane dont la combustion (à T = 298 K et p° =1 bar) 
peut libérer

une énergie équivalente à une tep (tonne équivalent pétrole), soit l'énergie 
libérée par la
combustion d'une tonne de pétrole : 1 tep : 42.109 J.

Intéressons nous maintenant la réaction de combustion incomplète résultant du 
mélange
non stoechiométrique CH4@ + 3/2 Ozrg).

_I_ë_= Ecrire cette réaction, notée [2], puis calculer l'enthalpie standard A 
H° qui lui est associée.

Analyser le résultat obtenu en termes de rendement énergétique et de fiabilité 
par rapport
à la réaction de combustion [1].

J I Etablissement du diagramme d'Ostwald

Dans la pratique industrielle, le bilan d'une combustion peut être représenté 
par un
diagramme représentant l'évolution de la fraction molaire en COZ en fonction de 
celle en 02, avec
la fraction molaire en C0 comme paramètre variable {représentation approchée ne 
tenant pas
compte de toutes les espèces - telles les atomes et radicaux - présentes dans 
le mélange).

Etudions la combustion du méthane dans l'air, décrite parla relation suivante 
(en fin de
réaction, les fumées ne contiennent ni suie, ni hydrocarbures imbrûlés) :

CH4 + 21 (02-- + 4 N2) =(1--k)cog +k co + 2 Hgo +[2(Â--1)+k/2]OZ + sa N2 [3]

Cette réaction, non stoechiométrique, peut être définie de plusieurs manières :
généralement par son excès d'air e (air en excès par rapport a la réaction 
stoechiométrique}, ou

son défaut d'air ( -- e), ou bien sa richesse R (rapport du nombre de moles de 
combustible dans un
mélange donné, au nombre de mo/es de combustible d'un mélange 
stoechiométrique}, ou son

inverse le facteur d'air &. Il en résulte les équivalences suivantes : /l = 1 + 
e : 1/R .
L'analyse des fumées sèches (aprés condensation et élimination de l'eau) 
fournit alors les
fractions molaires partielles du mélange.

1. Etude des courbes d'isoconcentration en monoxyde de carbone

Notons respect/vement x : [Oz] , y : [CGJ et z : [CO], les fractions molaires 
des espèces
02, 602 et C0 dans les fumées.

_J_L Montrer que la somme ): des fractions molaires partielles des différents 
produits obtenus
aprés élimination de l'eau, vérifie la relation : E : et + kl 2 , et identifier 
on.

_J_g_. Exprimer y puis 2 en fonction de k et 2, ainsi que x en fonction de ?|, 
k et Z ; en déduire
l'expression de y, puis de y + z en fonction de k et z.

J3. Ecrire X en fonction de k et Z ; réinjecter 7h dans l'expression de x. En 
déduire que les
fractions molaires [02] et [COQ] vérifient la relation algébrique : 5x + 9y : 
f(z) où la fonction

f(z) devra être explicitée.

J4. Reporter, sur le document réponse, la courbe (zo) image de la relation 
précédente, dans le
cas particulier où la fraction molaire [C0] est nulle ; préciser la 
signification de cette courbe
(dite de Grebel) ainsi que les coordonnées des points A et B, intersections 
respectives de

(zo) avec Ox et Oy, ainsi que la signification de ces points.
Positionner le point correspondant à une combustion stoechiométrique.

J5. Tracer, de façon comparable, les courbes (ZZ) associées au paramètre 2, 
quand ce dernier
prend les valeurs suivantes : z = 0,04, 2 = 0,08.

J6. Analyser l'intérêt de ces courbes, dés lors qu'une analyse annexe permet de 
connaître le
pourcentage de dioxygène dans les fumées sèches.

2. Etude des courbes d'isofacteur d'air

En utilisant les résultats obtenus précédemment (J_L et =I__2_.), il est aisé 
de montrer que les
fractions molaires [02] et [CGJ vérifient la relation algébrique : x + ,B(Â) y 
= 7701) où les grandeurs

8£+1 4Â--3

t 1 = .
201-1 8 "" 201-1

JL Reporter, sur le document réponse, la courbe (A,) image de la relation 
précédente, dans le

cas particulier où le facteur d'air ?» vaut l'unité. Préciser son intersection 
P avec l'axe des x,
ainsi que le domaine du dessin où la combustion est réalisée avec un excès 
d'air.

[? et 77, fonctions du facteur d'air Â, s'écrivent : ,B(À) :

gg_. Compléter le tracé précédent, en y ajoutant les courbes (A,) associées au 
paramètre À,
quand ce dernier prend les valeurs suivantes : X = 0,8 , k = 1,5.

Les résultats de l'analyse des fumées sèches (capteur électrochimique pour 02 
et capteur
infrarouge pour C02) fournissent, pour une combustion étudiée, les valeurs 
suivantes de fractions

molaires :x =[02] : 8,83 % ety =[COJ =3, 15 %.

g_9_. Placer le point R correspondant à ces mesures sur le diagramme d'Ostwald.
Décrire et analyser les conditions de la combustion.
Préciser l'intérêt majeur de ce type de diagramme.

DONNÉES NUMÉRIQUES

Données numériques générales :

Masses molaires atomiques (en g.mol"1) : H : 1,0 ; C : 12,0 ; N : 14,0 ; O : 
16,0
Constante des gaz parfaits : R = 8,31 J.K".mol'1

Données thermodynamiques à 298 K :

Elément Enthalpie standard Entropie molaire
ou de formation (298 K) standard (298 K)

composé AfH° en kJ.mol"1 8° en J.K".mol"1
205,0

191,6
186,2
197,6
213,6

N2

CO(9)
C02(g>

--- 74,4
-- 110,5
- 393,5
-- 285,8
-- 241,8

I
e e
a

I
N
H
9

188,7

FIN DE L'EPREUVE

EmËm0.u wEEEmED

..........o 85 9.0 9.0 ...o.o @
......0Tx . o

mod

vo...o

mod

oeo.o

oño

N_._o

«
......00T>

o...noo «. oo>m 83.2 3 ..39ano « mm.--03: ËmE:000

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



E3A Physique et Chimie PSI 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tom Morel (ENS Cachan) et Tiphaine Weber
(Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Élodie Bonnaud-Morin 
(Professeur agrégé), Olivier Frantz (Professeur agrégé en école d'ingénieur), 
Mickaël Profeta
(Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce problème, constitué de quatre parties indépendantes, porte sur l'étude d'un
générateur à turbine à gaz.
· Dans la première partie, proche du cours, on étudie le cycle moteur de Carnot
dans le diagramme de Watt puis dans le diagramme entropique.
· Le cycle thermodynamique de Brayton est au coeur de la deuxième partie.
Après avoir obtenu une écriture adaptée du premier principe, on étudie ce cycle,
d'abord dans un cas idéal, puis en prenant en compte le caractère irréversible
de certains phénomènes. On termine en regardant les conséquences de l'ajout
d'un régénérateur.
· Dans la troisième partie, on s'intéresse à la production d'électricité par 
une turbine alimentée par le cycle moteur de Brayton. On y retrouve des 
raisonnements
classiques d'induction.
· La quatrième partie, divisée en deux sous-parties indépendantes, s'intéresse
d'un point de vue chimique à la combustion du méthane dans la chambre de
combustion. La première sous-partie étudie tout d'abord l'équilibre chimique
associé à cette réaction ainsi que ses déplacements. Elle se poursuit avec le 
calcul
des quantités de chaleur fournies par les réactions de combustion. La deuxième
sous-partie, la plus longue, s'attache quant à elle à la construction et 
l'exploitation du diagramme d'Ostwald associé à cette combustion. Les calculs 
demandés
sont assez simples mais une attention particulière doit être apportée à 
l'explication du sens physique des courbes tracées. Le rapport du jury précise 
d'ailleurs
que le but de cette partie était d'évaluer « l'ingéniosité du candidat, son 
niveau
d'acuité de raisonnement face à une problématique différente, son sens pratique
voire critique quant à la technique utilisée. »
D'une longueur et d'une difficulté raisonnables, ce sujet est une bonne occasion
de réviser la thermodynamique et l'induction. Très peu de résultats 
intermédiaires
sont donnés, ce qui impose de soigner les premières questions. Notons également 
que
de nombreuses applications numériques sont demandées par l'énoncé.

Conseils du jury
Le rapport du jury rappelle que « traiter un problème de Physique-Chimie, c'est
exposer la solution de façon claire et concise » et regrette « l'absence de 
rédaction
observée dans un grand nombre de copies, alors qu'un ingénieur, dans sa vie 
professionnelle, passe beaucoup plus de temps à expliquer et à communiquer qu'à 
développer des équations ». Il souligne enfin que « le concours à mis en place 
un système
de bonus récompensant par un nombre significatif de points une rédaction 
soignée,
mais aussi les parties de problèmes traitées de façon complète et ponctuées de 
remarques physiques pertinentes afin de lutter contre les stratégies de 
grappillage de
points adoptées par bon nombre de candidats. »

Indications
Partie I
A.1 Exprimer les différentes fonctions P = f (V) pour les deux transformations 
et
calculer la pente en dérivant cette fonction par rapport à sa variable V.
A.3 Penser à l'inégalité de Clausius.
B.1 Décomposer l'entropie totale et utiliser les hypothèses de l'énoncé.
Partie II
C.3 Reprendre la démonstration de la détente de Joule-Kelvin.
D.1 Écrire la deuxième identité thermodynamique faisant intervenir l'enthalpie.
D.2 Utiliser la question C.3.
D.4 Faire attention au signe.
D.5 La turbine reçoit wT mais fournit wc .
D.7 Quelle est la grandeur valorisée et quelle est la grandeur coûteuse ?
E.1 Écrire  c en fonction des températures puis isoler T2 dans l'expression de  
c .
F.3 Comprendre que le régénérateur diminue la quantité de combustible 
nécessaire.
Partie III
G.1 Penser à la loi de Faraday.
G.2 Attention aux unités.
G.4 Donner le lien entre la puissance, la tension efficace, l'intensité 
efficace et le
facteur de puissance.
G.6 Passer en notation complexe et écrire la formule du diviseur de tension.
H.2 Utiliser la question H.1 pour l'eau et le gaz.
Partie IV
I.2 Exprimer Q en fonction de P, puis dQ pour une variation de pression dP, 
toutes
les autres variables restant constantes. Comparer Q et K.
I.3 Exprimer de même Q en fonction de ngaz .
I.5 1 Wh = 3, 6 kJ.
I.8 Seule l'oxydation du carbone n'est pas complète. Elle conduit à la 
formation de
monoxyde de carbone.
J.1  est la quantité de matière en phase sèche par mole de combustible 
introduit,
nsec
.
c'est-à-dire
n0
J.4 Dans quelles conditions peut-on avoir [CO] et [CO2 ] nulles ? De même, que 
veut
dire pour la combustion [CO] = [O2 ] = 0 ?
J.7 Que vaut e pour  = 1 ?

I. Cycle de Carnot
A.

Diagramme de Watt

A.1 Pour comparer les pentes des tangentes aux courbes, on doit calculer la 
dérivée
de P par rapport à V dans chacune des transformations en un même point (P, V).
· Pour une isotherme, PV = nRT = Cte 1 donc la pente vaut
P
nRT
P
=- 2 =-
V
V
V
· Pour une adiabatique réversible, utilisons l'équation de Laplace PV = Cte 2 ,
P
 Cte 2
P
= - +1 = -
V
V
V
Ainsi,

Le rapport des deux pentes vaut .

Or,  > 1 donc une adiabatique réversible est plus pentue qu'une isotherme.
P
A.2 Le cycle de Carnot est représenté dans
le diagramme de Watt ci-contre. Les traits en
pointillés sont des isothermes et les traits pleins
les transformations du cycle. L'aire du cycle correspond à -W où W est le 
travail reçu par
le fluide sur un cycle.

1

1
2

T1
T2
V

2

P
Considérons un cycle simplifié, à deux transformations.
Le travail entre 1 et 2 s'écrit
Z 2
W12 = - P dV

1
2

1

V
Or une petite aire dA vaut P(V) dV donc le travail 1  2 correspond à l'aire
sous la courbe 1  2. Par conséquent, dans le cas choisi, le travail est négatif
(V2 > V1 ). Or, il y a deux aires à prendre en compte ici : celle en dessous
des courbes 1  2 et 2  1. Ces deux aires ne sont pas égales car le travail
dépend du chemin suivi. Dans ce cas, le travail W12 est bien l'opposé de
l'aire sous la courbe 1  2 et celui W21 est en revanche égal à l'aire sous
celle 2  1. Ainsi, le travail total W vaut
W = W12 + W21 = -A12 + A21 = -Atot
Le travail est donc égal à l'aire du cycle.

A.3 Dans le cas général, le rendement  est défini comme
=

ce qui intéresse
ce qui coûte

Un moteur a pour but de créer du travail (ici W < 0). Pour cela, on lui fournit 
un
transfert thermique (ici Q1 > 0). Le rendement s'écrit donc ici
=-

W
Q1

Écrivons le premier principe sur le cycle,
U = 0 = W + Q1 + Q2
Remplaçons cette égalité dans l'expression du rendement
 =1+

Q2
Q1

D'après l'inégalité de Clausius, qui est dans ce cas une égalité car le cycle 
de Carnot
est composé de transformations réversibles,
Q1
Q2
+
=0
T1
T2
soit

d'où

T2
Q2
=-
Q1
T1
 =1-

T2
= 0,77
T1

Pour avoir le rendement le plus élevé, il faut des températures T1 et T2 les 
plus
éloignées possibles.
Rappelons la démonstration de l'inégalité de Clausius pour une machine M
en contact avec N thermostats (de température constante),
N Q
P
i
60
i=1 Ti

Comme S est une fonction d'état alors S = 0 sur un cycle. Or la variation
d'entropie totale de M s'écrit
S = Scréée + Séch = 0
Le second principe stipule que Scréée > 0. Ainsi pour équilibrer la valeur nulle
de l'entropie totale, l'entropie échangée doit être inférieure ou égale à 0.
A.4 La nature du fluide décrivant le cycle de Carnot n'est intervenue à aucun
moment. Par conséquent,
Le rendement est indépendant de la nature du fluide.
Pour un moteur réel, les transformations ne sont plus réversibles donc 
l'entropie créée
n'est pas nulle. Écrivons alors l'inégalité de Clausius,
Q2
Q1
+
<0
T2
T1