E3A Physique PSI 2008

Thème de l'épreuve Techniques de contrôle non destructif
Principaux outils utilisés électromagnétisme dans les métaux, effet de peau, induction, physique des ondes, milieux dispersifs

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                             

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


          

a:--:+:
,-.--:- '
{.:.1. .

-=:=&:=:=:=:: : :: '

'. --: ;.;.;.;
1 :_: .,._fi,{ .......

'.fl'.'.'. . .

e 3 &:
CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Epreuve de Physique PSI

Durée 3 b

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est autorisé.

TZ52

ê:£::=£==

'. C'î--üZ'ï-ëï . :
1 ?: lî'Ï'?l'Î*ï":.'.
_ . . . . . . . . ,...
.' «v. . 4 . . . .

. 'I'Zü'î'lü'i

E 3 a
CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Epreuve de Physique PSI

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est autorisé.

Techniques de contrôle non destructif
Le problème comporte deux parties totalement indépendantes: l'étude des
courants de Foucault dans une plaque métallique, débouchant sur la technique de

contrôle associée (1ère partie) puis la propagation d'une onde ultrasonore dans 
une
barre d'acier et l'application au contrôle non destructif par ultrasons (2eme 
partie).

Remarques préliminaires importantes. Il est rappelé aux candidat(e)s que :

. les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au
même titre que les développements analytiques et les applications numériques ;

. tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italique ont pour objet d'aider 
à la
compréhension du problème ;

. tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé parla suite, 
même s'il
n'a pas été démontré par les candidat(e)s.

Tournez la page S.V.P.

2
PREMIERE PARTlE
COURANTS DE FOUCAULT DANS UNE PLAQUE METALLIQUE

Considérons une plaque métallique conductrice, de grandes dimensions considérées
comme infinies suivant Ox, Cv et Oz, de conductivité 0', de perméabilité po ,tu 
et de

permittivité ao, occupant le demi--espace x > 0 , comme le montre la figure 1 
ci--dessous.

Üz
"V Üx M
0
air métal

Cette plaque est soumise à un champ magnétique variable dont la direction est 
parallèle
à Ü,. L'inducteur b qui crée ce champ magnétique n'est pas représenté. Dans la 
plaque règne

une densité volumique de courant .7 ( M, ! ), une excitation magnétique Fi (M,t 
), un champ

magnétique Ë ( M,t ) : pop, H( M,! ) et un champ électrique Ë (M,t ). Dans 
toute cette partie,

l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS) est vérifiée et la 
densité volumique de
charge est considérée nulle dans le métal.

L'excitation magnétique l--Îl (M,t ) est considérée uniforme en tout point de 
l'air et vaut :
Fl (M,t ) = H,, cos ( cat ) ÜZ (en conséquence, à l'origine et dans l'air, l-7 
(O,t ) = H,, cos ( cat ) üz ).

La grandeur complexe associée à H,, cos ( cat + ça ) est notée : _l_--I__ : H,, 
e'"'e""'. Dans tout
le problème il n'y a pas lieu de considérer de courant surfacique.

Les équations de Maxwell dans le métal sont, dans le cadre de I'ARQS :

divË=-£'- divË=0 rotE=----â--; Fôië=pop,î
8

0

Données numériques :
80 : 8,85.10'12 F.m'1,,uo =4rt. 10 '7 H.m",,u,=10î O': 10 7 s.m°', c =3. 108 
ms".

A [ PROPAGATION D'UNE ONDE DANS UN DEMI-ESPACE INFINI METALLIQUE

Cette partie concerne uniquement le métal.

A.1 Quelle relation lie Ê(M,t) et Û(M,t) dans le métal?

_A_,_2 Montrer qu'une solution H(M,t) : H(M,t) üZ convient.
De quelle variable spatiale l'excitation magnétique H(M,t) (notée H par la 
suite)
dépend--elle ?

3

Déduire de l'équation de Maxwell--Ampère la composante de la densité volumique 
de
courant J(M,t) -- qui sera notée J par la suite. Justifier qualitatiVement ce 
résultat en

appliquant la loi de Lenz.

Ecrire, d'aprés l'équation de Maxwell--Faraday, une équation aux dérivées 
partielles
vérifiée par H. Procéder de même pour J. De quel type d'équation s'agit--il ?

En déduire les deux équations différentielles auxquelles satisfont L-l_ et _J_, 
grandeurs
complexes associées à H et J.

2

"rHO Ü(Ü

et expliciter _H_ et J

Résoudre ces deux équations en posant ô :

Quelle est la signification physique de 8 ?

Calculer la valeur numérique de 8 pour une fréquence de 10 kHz. A partir de 
quelle
profondeur x la densité de courant peut-elle être considérée comme négligeable 
dans le
métal ?

En revenant aux grandeurs réelles, préciser les expressions de FI (Mt) et 
J(M,t) dans
la plaque.

Définir puis exprimer la moyenne temporelle de la puissance volumique (%> 
dissipée
dans la plaque.

Expliquer qualitativement comment réagit la plaque au champ produit par 
l'inducteur b.

BI CONTROLE NON DESTRUCTIF PAR COURANTS DE FOUCAULT

Un fil F conducteur rectiligne d'axe Oy est posé sur la plaque précédente. Ce 
fil de

diamètre d1 négligeable et de longueur très grande (supposée infinie), est à 
l'intérieur d'une
gaine iso/ante de sorte qu'il n'y a pas de contact électrique entre la plaque 
et le fil. Le fil est

parcouru parle courant i(t) :! cos ( cat + (p ) orienté selon la direction üy. 
Dans toute la suite,

le champ produit par le fil en tout point de la plaque et de l'air sera 
considéré comme le champ
produit par un fil infini dans le vide.

_B_-.1

B.2

Représenter, à l'aide d'une figure (dans le plan 0x2) les lignes de champ du 
champ
magnétique produit parle fil dans l'air.

En un point M(x,z) de ce plan et situé dans l'air, établir l'expression du 
champ résultant
Ë(M,t) produit par I'inducteur b et le fil (utiliser les cordonnées polaires 
avec l'angle

e: O) parcourant le fil
F dans le sens de üy produit-il le même effet que la fissure ainsi modélisée '?

Un capteur électromagnétîque est constitué d'une petite bobine b' plate 
(considérée

--.

sans épaisseur) de N spires, bobinée avec un pas à droite, de surface 8 et 
d'axe u ,

Z
connectée à un oscilloscope.
L'axe de la bobine b' est à la distance D de la plaque. La bobine b' se déplace 
vers la

fissure àla vitesse Vb dans la direction ÜZ et à t = 0, elle se trouve àla cote 
zo (figure 4).

i

_________ u(t) ll... b' (à t)

agrandissement de b'

Figure 4

Dans un premier temps, l'effet de la fissure n'est pas pris en compte.

B.4 Déterminer la tension uo(t) induite aux bornes du capteur en précisant les 
orientations

choisies pour les calculs de flux à l'aide d'un schéma. Préciser la valeur 
maximale de
uo(t) . Quelle est l'influence du déplacement du capteur sur la tension uo(t) ?

L'effet de la fissure est maintenant pris en compte.

B.5 La tension induite aux bornes du capteur prend la forme : u(t) : uo(t) + 
u,(t) .

5

Exprimer u,(t) dans le cas où V|D << Doe, précisez sa valeur maximale ainsi que 
la

position zmax correspondante; tracer le graphe de u(t) et justifier la forme de
l'enveloppe. Comment la tension u(t) délivrée par le capteur renseigne--t--elle 
de la
présence d'une fissure ? Pourquoi faut-il que le capteur se déplace '?

B.6 Est--il possible de détecter des fissures à l'intérieur de la plaque? 
Jusqu'à quelle
profondeur?

B.7 Pourquoi cette configuration (orientations des axes de l'inducteur b et de 
la bobine b')
ne permet-elie pas de détecter des fissures parallèles à l'axe Oz ? Comment 
détecter
une fissure parallèle à l'axe Oz ?

DEUXIEME PARTIE

PROPAGATION D'UNE ONDE ULTRASONORE
DANS UNE BARRE METALLIQUE

AI ETUDE DE LA BARRE EN TRACTION

Considérons une barre AB d'acier de longueur L à vide (sans traction) de 
section 8 et
d'axe Ox, représentée sur la figure 5. Cette barre, soumise en A à l'effort FA 
: --- F üx et en B à

I'efion' FB : + F üx, passe alors de la longueur L à la longueur L + AL. La 
barre, sollicitée en
traction (AL > 0 ) lorsque F > 0 et en compression (AL < 0 ) lorsque F < 0, 
subit alors la

contrainte de traction a, telle que a = %.
Si la limite d'élasticité du matériau n'est pas dépassée, il y a 
propon'ionna/ité entre F et
AL, ce qui se traduit parla loi de Hooke (1635--1703) : 0' =-Ê-- : Y -,% où Y 
est le module

d'Young du matériau (le poids de la barre sera considéré comme négligeable par 
rapport à la
force de traction).

Figure 5

De quel autre scientifique célèbre Hooke était-il le contemporain ?

|?» l.--'1

Montrer simplement que la barre se comporte comme un ressort de raideur Kee| 
qu'il
conviendra d'exprimer en fonction de Y, S et L.

A3. Calculer Keq et AL avec les données suivantes : L = 0,5 m, 8 = 5 cm2, F = 
104 N, et
pour l'acier : module d'Young Y : 2,1.1011 N.m'2, masse volumique p = 7800 
kg.m'3.

Tournez la page S.V.P.

6

Il est possible de modéliser la barre par des chaines d'atomes parallèles à Ox, 
chaque
atome étant relié aux voisins les plus proches par un ressort élémentaire de 
raideur K, comme

le montre la figure 6. Chaque unité de volume renferme n atomes et au repos, 
deux atomes
sont distants de d.

_A_4; Quelle formule simple relie d et n '?

_A_ÆL_ Etablir la raideur Kpara"èle du ressort équivalent à deux ressorts 
identiques de raideur K

placés en parallèle, puis la raideur Ksérie du ressort équivalent à deux 
ressorts

identiques de raideur K placés en série (préciser pour chaque configuration la 
grandeur

---- allongement ou force --- qui est commune au ressort équivalent et aux deux 
ressorts
idenfiques)

Evaluer, dans la barre, le nombre de ressorts en série par chaîne, puis le 
nombre de
chaînes de ressorts élémentaires en parallèle.

A6. En déduire la relation entre Keq, K et d'autres paramètres, puis entre Y, K 
et d. Justifier

pourquoi, d'après la loi de Hooke, l'allongement est proportionnel à la 
longueur de la
barre.

B I MODELE DE LA CHAINE INFINIE D'OSCILLATEURS

Le métal est modélisé par un réseau parallélépipédique d'atomes de masse m dont 
les
liaisons sont représentées par des ressorts de sorte que les atomes sont 
disposés aux noeuds
d'un réseau tridimensionnel régulier mai/lé en x, y, et 2 par trois réseaux de 
droites parallèles

orientées selon üx, üy et ÜZ (figure 6). Les ressorts parallèles à Ox ont tous 
une raideur K et

une longueur au repos d. Le nombre d'atomes par unité de volume est n. ' |, , 
'I'b
a equn | re

U

Cl
N

d '\>\ K .
ressorts de raideur K

--->

Une onde ultrasonore plane longitudinale se propage selon ux et fait osciller

simultanément tous les atomes d'un plan d'onde si bien que les rangées 
parallèles au vecteur
"X vibrent toutes de la même manière. Le raisonnement se fera alors sur une 
seule chaîne

d'atomes identiques et équidistants, atomes repérés sur la chaîne par les 
indices q--1, q et q+1
(figg_r_e_Z). Soit uq le déplacement de l'atome q d'abscisse xq telle que : xq 
: q d.

Figure 6

hors équilibre

à l'équilibre

.. . .

.°.. ,. hors équilibre
.. .. OO
. ' .

81. En isolant l'atome de rang q, écrire une équation différentielle qui lie 
uq, uq_1, u..., leurs
' . l I 2 K
denvees eventuelles par rapport au temps et oeo = --.
m

BZ. A quelle condition sur (D et k une onde du type uq(t) == Acos(oet--kqd) 
peut--elle se

propager le long de la barre ?
Mettre en évidence une pulsation de coupure (oc : 27c fC , au-delà de laquelle 
la barre ne

peut plus propager une onde sinusoïdale d'amplitude constante.
Comment la barre se comporte-t-elle alors ?

L'acier est assimilé à du fer de masse molaire M = 56 g.mol", les atomes sont 
distants
de d = 250 pm et la constante d'Avogadro vaut % = 6, 02. 1023 mol ".

Calculer ainsi les valeurs de K, 000 et fo.

En utilisant une approximation de milieu continu, il est possible d'écrire:
M0 = U(x, t)lx.qd , uq.1(t) = u(x, t)l,=(q,,,d, uq-1(t) = U(x, t)lxz(q_,,d-

83. Montrer que le déplacement u(x,t) satisfait à une équation de d'Aiembert de 
la forme

2 2
g L; --%â--Ë- == 0 . Exprimer alors la vitesse de propagation V de l'onde en 
fonction de la
x
masse volumique p du matériau et de son module d'Young Y.
Donner la solution générale de cette équation. Qu'est--ce qu'une onde 
progressive ?
Quelle grandeur joue le rôle du module d'Young dans le cas de la propagation 
d'une
onde sonore dans un fluide ?

Application numérique : calculer la vitesse V de l'onde sonore dans la barre 
d'acier.

Une onde u(x, t) = A cos[w(t --- EUR)], de pulsation &) = 27: f , se propage 
dans une barre

d'acier de mêmes caractéristiques, supposée maintenant de longueur infinie.

_B__4_= Exprimer les énergies cinétiques dä; et potentielles d%Î= emmagasinées 
par une

tranche de longueur dx de la barre (considérer un ressort équivalent à cette 
tranche),

puis comparer leurs valeurs respectives.
Déterminer la contrainte de traction o(x,t) subie par l'acier en tout point de 
la barre.

ôu(x,t)
ôt

Quelle relation lie o(x,t) au champ des vitesses : v(x,t) pour l'onde 
progressive
considérée ?

Tournez la page S.V.P.

8

_B_5_._ Montrer que la puissance @ transportée par cette onde et par unité de 
surface s'écrit :
?? = --- o(x,t) v(x,t) . En déduire sa valeur moyenne (®) .

Calculer l'énergie totale emmagasinée par unité de longueur et la puissance 
moyenne
(®) , pour une amplitude A = 10 nm, une section 8 = 5 cm2 et une fréquence f = 
1 MHz.

Lorsqu'une onde acoustique longitudinale passe d'un milieu noté 1 (masse 
volumique p1
et vitesse V,) pour x < 0, à un milieu noté 2 {masse volumique ,02 et vitesse 
V2) pour x > 0, les
coefficients énergétiques de réflexion R et de transmission T valent :

2
R: E... et T=1_R_
a%+æV

2

_B_ÿ_= Calculer les coefficients R et T pour le passage acier-air, sachant que 
pour l'air à 20°C :
pa : 1,2 kg.m'3 et V8: 330 ms". Quelles conclusions peut--on en tirer ?

C ! FREQUENCES PROPRES D'UNE BARRE

Il sera admis dans la suite que la barre de longueur L (figure 5) est le siège 
d'ondes
acoustiques stationnaires longitudinales de petite amplitude, de sorte que 
l'équation de
propagation établie à la question... B3 traduit bien les phénomènes mis en jeu. 
Il sera admis que

la solution, pour le déplacement, s'écrit dans ce cas u(x, t): il", (x) 9, (t) 
avec:
f,(x)= A, cos(k, x)+B, sin(k, x) et g,(t)= C, cos(w, t)+D, sin(w, t).

C1. Comment la solution u, (x,t) : f(x) g,(t) s'appelle--t-elle ? Quelle est sa 
définition ?
Quelle relation (R,) lie k, et co, '?

La barre est fixée en x = 0 et libre en x = L.

C2. Quelles sont les conditions limites sur o(x,t) et sur u(x,t) ?
Donner les trois premières solutions particulières u,,(x,t), u,(x,t) et u,(x,t),

. . . V
d'amphtudes respectives U... U, et U2 en fonction de m,, : ÏE------

2L'
Dessiner les graphes correspondants de f0(x), f,(x) et f;_(x) (pour x variant 
de 0 à L).
Préciser les points P où la contrainte o(x,t) est maximale.

D I REGIME FORCE SINUSOIDAL

La barre est libre en x = L, tandis qu'à l'extrémité x = 0, un vibreur impose à 
la barre
un déplacement sinusoïdal de la forme : u (0, t) = A,, cos( cat) .

Q_'!_._ En cherchant des solutions du type u(x,t) : f(x) cos(oet), établir 
l'équation différentielle
vérifiée par f(x).
Exprimer la solution sous la forme f(x) = A cos(kx) + B sin(kx). Préciser les 
valeurs de

A, B et k.

p_z_._ Montrer que certaines fréquences conduisent à un phénomène de résonance
d'amplitude. A quoi ces fréquences correspondent--elles ?
Expliquer comment à partir d'un vibreur et d'un accéléromètre, il est possible 
de trouver
expérimentalement la valeur du module d'Young de la barre.

9

Pour la barre d'acier considérée, les trois premières fréquences de résonance 
ont été
évaluées à 2655 Hz, 7965 Hz et 13275 Hz. La longueur est connue au centième de 
millimètre
près, les fréquences sont déterminées au hertz prés et la masse volumique au 
kg. m'3 prés.

gg; En déduire la valeur du module d'Young de la barre et l'incertitude 
relative sur cette
détermination.

E I CONTROLE NON DESTRUCTIF PAR ULTRASONS

Les ultrasons, ondes de fréquence 5 MHz, sont produits par un « palpeur droit » 
dont la
partie essentielle est un cristal cylindrique piézo--électrique réalisé en 
titanate de baryum,
d'épaisseur e et de diamètre @ = 1 cm (figure 8). Quand un tel cristal est 
excité par une tension

électrique sinusoi'dale, il fonctionne comme un émetteur; quand il est excité 
par une vibration
mécanique, il réagit comme un capteur. Cet élément fonctionne donc comme un 
émetteur--
récepteur: excité à 5 MHz pendant la durée To, il émet alors un train d'ondes 
longitudinales.

La pièce testée est un cylindre d'acier de diamètre 2 cm et de longueur AB : 10 
cm.
Pour l'acier considéré, la célérité des ondes longitudinales {déplacement dans 
le sens de la
propagation) est VL : 5190 ms".

Le balayage d'un oscilloscope est déclenché par chaque émission ; le reste du 
temps le

palpeur joue le rôle de récepteur et transmet le signal reçu à I'oscilioscope. 
Le cycle se répète
25 fois par seconde.

Face A

Figure 8

Face 8

Figure 9

Tournez la page S.V.P.

Palpeur droit

Figure 10

E.1 Par analogie avec les ondes lumineuses et les résultats sur la diffraction 
d'une pupille
circulaire, déterminer le demi--angle au sommet du cône de divergence des ondes
ultrasonores pénétrant dans l'acier.

E.2 Quels sont les ordres de grandeur du coefficient de réflexion énergétique R 
sur la face
B « acier--air » et du coefficient de transmission énergétique T sur la face A ?
Par quel procédé est-il possible d'augmenter la valeur de T ?

La base de temps de I'oscilloscope est réglée pour que l'écho associé à un 
double aller--
retour (ABABA) soit repéré par 003 sur l'écran de l'oscilloscope, représenté 
sur la figure 9.

L'oscilloscope affiche les signaux reçus parle palpeur : le signal affiché 
entre 0 et 0,
correspond au signal émis, le signal démarrant à l'abscisse 02 correspond au 
premier écho sur
la face 8, tandis que celui démarrant en 03 correspond au deuxième écho.

E.3 Quelle est la durée de l'émission To ?

_l-_E_A Le palpeur est placé en C sur la tige d'une soupape de moteur thermique 
de longueur
CE : 15 cm (Figure 10). Que faut-il constater sur l'écran si la soupape ne 
renferme pas

de défaut ?

E.5 Certaines soupapes présentent un défaut de soudure (soudure avant forgeage 
par
friction) en D'D, repéré par la distance CD =11 cm. Comment déceler ce défaut 
sur

l'écran ? Comment confirmer sa position d'une manière différente ?

FIN DE L'EPREUVE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



E3A Physique PSI 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Éric Vernier (ENS Ulm) ; il a été relu par Stéphane
Ravier (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Cette épreuve est constituée de deux parties indépendantes, de longueur et de
difficulté comparables, traitant toutes deux de méthodes de contrôle non 
destructif.
· Dans la première partie, centrée sur le programme d'électromagnétisme, on
présente une technique de contrôle non destructif d'une plaque métallique par
les courants de Foucault. On y utilise d'abord des raisonnements classiques
d'électromagnétisme dans les métaux, puis on aboutit à une application à la
détection des fissures dans une plaque métallique.
· Dans la seconde partie, on établit des résultats sur la propagation des ondes
acoustiques dans une barre d'acier pour les appliquer à l'étude d'anomalies
de structure dans des pièces métalliques. Cette partie reste conceptuellement
proche du cours, mais nécessite une certaine aisance dans l'établissement et
l'analyse d'équations d'ondes et de relations de dispersion.
Portant essentiellement sur le programme de deuxième année, cette épreuve balaye
la plupart des notions requises en électromagnétisme et en physique des ondes.

Indications
Partie I
I.A.2 Penser à considérer les symétries et invariances du problème.

-

-
I.A.3 Utiliser la relation entre le champ magnétique B et l'excitation 
magnétique H
dans le métal.
2

1+j

= j.
I.A.6 On rappelle que
2
I.A.8 Quel est le phénomène à l'origine de la puissance dissipée P v ?
I.B.5 Calculer les dérivées successives de la tension u1 par rapport au temps en
utilisant les approximations suggérées par l'énoncé.
Partie II
II.A.4 Prendre garde à dénombrer correctement le nombre d'atomes appartenant en
propre à chaque maille.
II.A.5 Pour le cas de deux ressorts en série, utiliser la condition d'équilibre 
du point
de jonction de ces deux ressorts.
II.B.2 Utiliser la formule de factorisation

a+b
a-b
cos a + cos b = 2 cos
cos
2
2
II.B.4 Exprimer l'élongation et la vitesse instantanée de la tranche 
élémentaire de
longueur dx au repos en fonction des dérivées partielles de u(x, t). On rappelle
que cette tranche est équivalente à un ressort de raideur K = YS/dx.
II.C.1 Identifier un à un les termes associés aux différentes composantes de 
Fourier
dans l'équation de propagation trouvée à la question II.B.3.
II.D.3 Pour calculer l'incertitude relative sur un produit de facteurs mesurés, 
utiliser
la formule des différentielles logarithmiques qui donne un majorant de cette
incertitude.
II.E.1 On rappelle que dans le cas de la diffraction de la lumière par une 
ouverture
circulaire de diamètre D, la demi-largeur angulaire de la tache principale de
diffraction est
=

1,22
D

Techniques de contrôle non destructif
Si chacune des deux parties comportait de nombreuses questions très proches
du cours (courants induits et effet de peau en électromagnétisme, propagation
le long des chaînes d'oscillateurs), le jury déplore le fait que cette apparente
familiarité mène certains candidats à considérer le problème comme « la 
résolution « gentille » d'équations toutes faites, standards, avec des 
résultats eux
aussi standards, appris par coeur » dans laquelle « souvent la compréhension
physique est absente ». À cet égard, il importe d'être doublement prudent
quant aux conditions d'application des raisonnements connus et au respect
des conditions et notations de l'énoncé. Il ne faut en outre jamais perdre de
vue le sens physique des arguments énoncés et des résultats obtenus.

I. Courants de Foucault dans une plaque métallique
I.A

Propagation d'une onde dans un demi-espace infini métallique

-
I.A.1 Dans un matériau conducteur, la densité volumique de courant J est reliée

-
au champ électrique E par la loi d'Ohm locale
-

-
J (M, t) =  E (M, t)
I.A.2 En raison des dimensions infinies de la plaque, le problème est invariant 
par
translation selon les directions y et z. Toutes les solutions sont donc à 
chercher comme
fonctions du temps et de la seule variable spatiale x.
Par ailleurs, en raison du caractère pseudo-vectoriel de l'excitation magnétique
imposée dans l'air, le problème est symétrique par rapport à tout plan z = Cte .

-
L'excitation magnétique H , qui est un vecteur axial (ou pseudo-vecteur), est 
donc
en tout point orthogonale à de tels plans, d'où
-

H (M, t) = H(x, t) -
u
z
Notons également qu'en l'absence de courants superficiels à l'interface 
plaqueair, une telle solution satisfait aux relations de passage entre les deux 
milieux.

-

-
I.A.3 En remplaçant µ0 µr B par H dans l'équation de Maxwell-Ampère (qui s'écrit

-

- -
rot B = µ0 µr J dans le cadre de l'ARQS), on trouve, sachant que µ0 µr est 
uniforme
dans le métal,
 - -
-

J = rot H

-
ce qui donne, en prenant pour H une solution de la forme donnée à la question 
I.A.2,
-

H -

J =-
u
y
x

Un tel résultat s'interprète dans le cadre de la loi de Lenz : anticipant sur 
le fait
que le champ H décroît en norme quand on s'enfonce dans la plaque, si l'on prend
par exemple à une date donnée un champ orienté dans le sens des z croissants, la
H
dérivée
est négative, donc la nappe de courant dans la plaque a une densité
x

-
. Ce courant crée alors dans la plaque
volumique J orientée positivement selon -
u
y
, qui contribue donc à y
un champ magnétique supplémentaire orienté selon --
u
z
« amortir » l'excitation magnétique de départ.

-
- -
I.A.4 En remplaçant dans l'équation de Maxwell-Faraday (rot E = - B /t) le

-

-

- -
champ électrique E par J / = rot H /, on trouve
-

µ0 µr H
- -
rot J = -
t

-
D'après l'expression de J trouvée à la question précédente, la seule composante 
non

-
, et cette composante ne dépend spatialement que
nulle de J est selon la direction -
u
y

de la variable x. En utilisant la forme cartésienne du rotationnel, on en déduit
2
 -
 -
 Jy -
- -
 = - H-

rot J =   J =
u
u
z
z
x
x2
L'équation aux dérivées partielles précédentes se réécrit donc finalement, en 
projec,
tion sur -
u
z
H
2H
= µ0 µr
x2
t
En dérivant cette équation par rapport à x, on trouve, en vertu de la relation
établie à la question précédente,
2J
J
= µ0 µr
x2
t
-

-
H et J obéissent donc tous deux à une même équation aux dérivées partielles,
qui a la forme d'une équation de diffusion.
I.A.5 Pour passer à la notation complexe, il suffit de remplacer l'opérateur de
dérivation temporelle par une multiplication par j. On obtient alors
2H
= jµ0 µr H
x2

et

2J
= jµ0 µr J
x2

I.A.6 Cherchons les solutions de cette équation sous la forme H0 e rx e jt . En 
injectant de telles solutions dans l'équation précédente, les exponentielles et 
l'amplitude H0 se factorisent, et il reste
r2 - jµ0 µr = 0

Les deux racines de cette équation s'écrivent
1+j
1+j
+ 
r=-
µ0 µr = +
-

2
r
2
où
=
µ0 µr