Centrale Physique et Chimie PSI 2011

Thème de l'épreuve Horloge atomique. Les alcalins.
Principaux outils utilisés mécanique, électromagnétisme, atomistique, cristallographie, thermochimie, solutions aqueuses

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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EDNE[IHHS EENTHHLE'SHFËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2011

Horloge atomique

De nos jours, les horloges les plus précises sont des étalons atomiques de 
fréquence. Depuis 1967, la seconde
est ainsi définie à partir de la résonance hyperfine du niveau fondamental de 
l'atome de césium 133, fixée a
9 192 631 770 Hz. Les meilleurs étalons primaires de fréquence, des horloges de 
type fontaine atomique, atteignent
des exactitudes en fréquence relative de l'ordre de quelques 10--16. Leur 
architecture, imaginée dès les années
1950, n'a pu voir le jour que grâce aux techniques de refroidissement des 
atomes par laser développées à la fin
des années 1980.

Ce problème comprend quatre parties largement indépendantes.

I Ralentissement des atomes par laser

Dans cette partie, on étudie le ralentissement d'un jet d'atomes (de césium 133 
ou de rubidium 87) par un
faisceau laser se propageant dans la même direction que les atomes mais en sens 
opposé. On note ii le vecteur
unitaire donnant la direction et le sens de propagation du laser. La longueur 
d'onde A du laser est choisie de
sorte que les atomes puissent absorber des photons du laser.

I.A -- Force emercée par le laser sur les atomes

On suppose que l'intensité du laser est assez importante pour que le modèle 
proposé dans la suite décrive
correctement l'interaction entre le laser et les atomes. Un atome dans l'état 
fondamental qui se situe dans le
faisceau laser absorbe un photon quasi--instantanément. L'atome reste alors 
excité pendant une durée moyenne
notée 7', puis il se désexcite en émettant un photon dans une direction 
aléatoire. En moyenne, les photons réémis
ne modifient donc pas la quantité de mouvement de l'atome : seuls les photons 
absorbés contribuent à ralentir
les atomes.

I.A.1) Les photons constituant le faisceau laser sont tous identiques, ils 
possèdent une quantité de mouvement
dont la norme est égale à la constante de Planck h divisée par la longueur 
d'onde À. Déterminer l'unité de la
constante de Planck h en fonction des unités de base du Système International.

I.A.2) Lors de l'absorption d'un photon par un atome, l'ensemble {atome + 
photon} peut être considéré
comme un système isolé. Quelle relation existe--t-il entre la quantité de 
mouvement de l'atome après l'absorption
et sa quantité de mouvement avant l'absorption?

I.A.3) Déterminer la variation moyenne 55 de la quantité de mouvement d'un 
atome qui se situe dans le
faisceau laser pendant une durée ôt très supérieure à 7'.

I.A.4) En déduire l'expression de la force moyenne F exercée par le laser sur 
un atome en fonction de h, À,
T et il.

I.A.5) Pour le rubidium 87 on a A ": 0,8 nm et T ": 0,5 ,as. Déterminer l'ordre 
de grandeur de la norme a de
l'accélération subie par un atome dans le faisceau laser. Calculer 
numériquement le rapport de l'accélération a
et de l'accélération de la pesanteur, g : 10 m - s"2, commenter.

I.B -- Distance nécessaire pour arrêter les atomes

Dans le référentiel R du laboratoire, les atomes (de rubidium ou de césium) 
sortent du four a la vitesse iîg = "00635.
À partir de la position 17 = 0, ils sont soumis a une accélération constante a 
= --aê'OE. Le poids étant négligeable,
le mouvement des atomes est rectiligne. On considère un atome qui passe en x = 
0 a l'instant t = 0, on note
oe(t) sa position et v(t) sa vitesse suivant ë'oe. L'objectif de cette question 
est de déterminer la distance nécessaire
pour arrêter l'atome.

I.B.1) Déterminer v(t), en déduire la coordonnée æ(t).

I.B.2) Déterminer les expressions de la durée T du trajet ainsi que la longueur 
L nécessaire pour que l'atome
soit arrêté.

I.B.3) On suppose que les atomes présents dans le four et ceux qui viennent 
juste d'en sortir sont à l'équilibre
thermodynamique. Sachant que le four est porté à 120°O, déterminer 
numériquement la vitesse quadratique
moyenne a la sortie du four pour le césium et pour le rubidium.

I.B.4) En prenant vo égale à la vitesse quadratique moyenne a la sortie du 
four, déterminer l'ordre de
grandeur de T et de L (on prendra a : 105 m -- 5--2).

I.C -- Changement de fréquence du laser

Dans cette question, nous allons montrer que la fréquence du laser « vue » par 
l'atome varie lorsque la vitesse de
ce dernier est modifiée. On appelle R le référentiel du laboratoire, on note m 
la coordonnée cartésienne suivant
ê'gg dans R. On appelle R' un référentiel en translation par rapport a R a la 
vitesse "D' = vé}... on note sc' la
coordonnée cartésienne suivant 54 = EUR} dans R' . À l'instant t = 0, on a a" = 
oe (les origines des repères associés
à R et R' coïncident).

I.C.1) Déterminer l'expression de x' en fonction de $, 11 et du temps t dans le 
cadre de la relativité galiléenne.

I.C.2) On considère une onde électromagnétique plane progressive 
monochromatique se propageant dans le

sens des m décroissants. On note f sa fréquence et À sa longueur d'onde dans le 
référentiel R. Écrire l'expression
de la phase (1) de cette onde en fonction de a:, t, f et À.

I.C.3) On considère cette même onde dans le référentiel R', on note ]" sa 
fréquence et X sa longueur d'onde
dans R' . En supposant que la phase @ est invariante par changement de 
référentiel, déterminer l'expression de
la fréquence f en fonction de f' , X et @.

I.C.4) Avec U > D, dans quel référentiel la fréquence de l'onde est--elle la 
plus élevée? Donner une interpré--
tation simple de ce résultat.

1.0.5) En utilisant la relation de dispersion dans le vide, exprimer f en 
fonction de f' , de v et de c, célérité
de la lumière dans le vide. On constate que la fréquence de l'onde dépend de la 
vitesse 11, comment nomme-t-on
cet effet ?

I.C.6) Une approche totalement cohérente de ce problème nécessite l'utilisation 
de la relativité restreinte.
Vérifier que, au premier ordre en 'U/C, la formule relativiste

1 -- v/c
f=fdÎ----
+ v/c
redonne bien la formule obtenue dans la question précédente.

I.D -- Chirp cooling

Pour résoudre le problème posé par l'effet mis en évidence dans la question 
précédente sur le ralentissement
des atomes, nous allons étudier une solution appelée « chirp cooling >>. On 
note fg la fréquence de résonance
correspondant à l'absorption d'un photon par un atome sur la transition 
utilisée pour le ralentissement. Pour
qu'un photon soit absorbé, sa fréquence f' dans le référentiel de l'atome doit 
donc être égale à fg.

I.D.1) Montrer que, pour pouvoir arrêter le plus rapidement possible un atome 
qui passe en 1" = 0 a l'instant
t = 0, la fréquence f (dans le référentiel R du laboratoire) du laser 
ralentisseur doit dépendre du temps de la
manière suivante :

f©=h+h%<%--Ù

où Ug est la vitesse initiale de l'atome et T est le temps mis pour arrêter 
complètement l'atome.

I.D.2) Que se passe-t-il si la fréquence varie plus rapidement que dans la 
question précédente? Que se
passe--t--il si la fréquence varie moins rapidement ?

I.D.3) On note A f l'excursion en fréquence nécessaire pour arrêter un atome 
qui sort du four a la vitesse
vg : 3 >< 102 m - s_1. Déterminer numériquement l'excursion relative en 
fréquence A f / fg du laser ralentisseur,
en déduire son excursion relative en longueur d'onde AÀ/Àg.

I.D.4) Pour le rubidium, la longueur d'onde de résonance est Àg = 780 nm. Dans 
quel domaine du spectre
électromagnétique se situe cette résonance ? Calculer numériquement la 
fréquence de résonance fg et l'excursion
en fréquence A f . Calculer, en joule puis en électron-volt7 la différence 
d'énergie entre les niveaux utilisés pour
ralentir les atomes de rubidium.

I.D.5) L'atome soumis a l'onde électromagnétique du laser peut être modélisé 
comme un oscillateur harmo-
nique soumis a une excitation sinusoïdale. Le pic de la résonance en fréquence 
a une largeur totale a nui--hauteur
6 f = 5,9 MHZ. Déterminer l'ordre de grandeur du facteur de qualité de cet 
oscillateur. Déterminer la largeur
totale à mi--hauteur du pic de résonance en longueur d'onde 6À, cette valeur 
vous semble-t-elle surprenante ?

II Les alcalins

II.A -- Propriétés des alcalins

Les alcalins, formant la première colonne de la classification périodique, 
doivent leur nom a leur réaction quan--
titative et violente sur l'eau qui conduit à la formation d'une solution 
basique et de dihydrogène. Le césium
(Cs) et le rubidium (Bb) sont deux éléments de cette famille.

II.A.1) Citer deux autres alcalins.

II.A.2) L'hydrogène, situé dans la première colonne de la classification, n'est 
pas considéré comme un alcalin.
Donner une propriété distinguant l'hydrogène des alcalins.

II.A.3) Donner un argument justifiant la différence entre l'enthalpie de 
première ionisation et l'enthalpie de
deuxième ionisation des alcalins. On s'appuiera sur les valeurs données pour Cs 
et Rb.

II.A.4) Quel est l'ion le plus stable d'un alcalin M? Pourquoi? Quel est le 
type de liaison que vont former
les alcalins ?

II.A.5) Cet ion est stable dans l'eau. Ecrire la réaction entre une mole du 
métal alcalin M et l'eau. Quelle
est la nature de cette réaction ?

II .B -- Cfistallogmphie

II.B.1) Le césium et le rubidium métalliques solides possèdent une structure 
cristalline cubique centrée.
Quel est la coordinence de la structure '? Exprimer sa compacité C' et la 
calculer. C est-elle maximale?

II.B.2) Exprimer le paramètre de maille (103 puis le rayon atomique TCS du 
césium en fonction de la masse
volumique 1105, de la masse molaire MOS et du nombre d'Avogadro NA. Application 
numérique.

II.B.3) Calculer le rayon atomique du rubidium 71%. Est-ce conforme à la 
position relative des éléments Rb
et Cs dans la classification périodique, déduite des numéros atomiques ?

II.C -- Eætraction liquide-liquide

Un soluté S est soluble dans deux solvants, l'un organique, l'autre aqueux. On 
notera avec les indices org et aq
les grandeurs relatives respectivement au solvant organique et au solvant 
aqueux. Les deux solvants ne sont pas
miscibles et forment deux phases, la phase organique surnageant sur la phase 
aqueuse. V...g est le volume de la
phase organique, Vaq celui de la phase aqueuse (figure 1).

VOrg Phase organique

Phase aqueuse

Figure 1

Le soluté S peut migrer entre les phases. Il s'établit alors l'équilibre Saq = 
Sorg, de constante Keæ, appelée
constante d'extraction.

II.C.1) Soient as l'activité, 115 le potentiel chimique et N°5 le potentiel 
chimique standard du soluté S
en solution, a une température T donnée. Donner la relation entre as, /...L5, 
,u%, R et T. Si le soluté S est
en équilibre entre les deux phases, quelle relation existe-t-il entre les 
potentiels chimiques ,uS aq et 113 org ? En
déduire l'expression de la constante d'extraction Keoe en fonction de Nos aq, 
u% org, R et T.

Dans toute la suite du problème, on fait l'hypothèse que les solutions sont 
sufiisamment diluées pour que
les activités soient identifiées aux concentrations.

II.C.2) Initialement, S est uniquement présent dans la phase aqueuse, en 
quantité No (exprimée en mole).
Quelle est la quantité maximale N du soluté S que l'on peut obtenir dans la 
phase organique? On écrira N
sous la forme N : No/(1 + a) et on exprimera & en fonction de Kw, Vorg et V.... 
A.N. Pour Kw = 1,0 >< 10--5,
calculer numériquement le rapport des volumes Vmg/Vaq permettant d'extraire 99% 
du soluté de la phase
aqueuse ? Commenter.

La constante d'extraction est en général très faible pour des composés comme 
les thiocyanates alcalins M(SCN).
Pour augmenter l'efficacité de l'extraction, on utilise les propriétés 
complexantes de ligands organiques, tels les
calixarènes. Le solvant organique (dichloroéthane) contient en solution le 
ligand, neutre, noté L, susceptible de

former un complexe avec le thiocyanate alcalin M(SCN)OOE, selon la réaction, de 
constante K ; :

M(SCN) + nL...g = L,,M(SCN) Kf (11.1)

org org

Le ligand L est insoluble dans la phase aqueuse.

II.C.3) Exprimer, à l'équilibre entre les deux phases, la quantité totale N ' 
de thiocyanate alcalin extraite de
la phase aqueuse, en fonction de No, K f, [Long], 71 et &. Montrer que la 
présence du ligand revient à remplacer
la constante d'extraction Kem par une nouvelle constante Kéæ. A.N. Pour K f = 
1085, n = 1 et des volumes
va..., et V...fg égaux, calculer numériquement la concentration du ligand 
[Lorg] pour extraire 99% du thiocyanate
alcalin ? Commenter.

II.D -- Stoechz'ométrz'e de la compleoeation

On se propose de déterminer expérimentalement la valeur de l'indice de 
complexation n pour le complexe du

rubidium. Le mode opératoire est le suivant :

0 On dissout une quantité fixée de thiocyanate de rubidium dans un volume V 
d'eau distillée. La concentration
du soluté Rb(SCN)aq est co = 0,1 mol - L'].

o La solution précédente est mise en contact avec un volume V d'une solution 
organique contenant une
concentration initiale CL0 de ligand Lorg. Les deux volumes sont identiques.

. Après agitation, on laisse décanter le mélange puis on mesure la 
concentration du complexe L,,Rb(SCN)
dans la solution organique.

. Le protocole est répété plusieurs fois, en conservant la concentration co 
mais en changeant à chaque fois la
concentration CLD.

II.D.1) Montrer qu'à l'équilibre la concentration de Rb(SCN)

de CL0 si cLO << co.

II.D.2) On note 05 : [Lan(SCN)]OOE. En déduire que log...(oe) est une fonction 
affine de log...(c,;0 -- nm),

de pente n (où log... désigne le logarithme de base 10).

org

org dans le solvant organique est indépendante

II.D.3) Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :

cLO (mol - L--1) 9,60 >< 10-5 2,60 >< 10-4 6,80 >< 10-4 1,00 >< 10-3
sa (mol - L--1) 3,98 >< 10--5 1,00 >< 10--4 2,82 >< 10--4 3,98 >< 10--4

Vérifier graphiquement que la valeur n = 1 est compatible avec les valeurs 
expérimentales. On placera les points
sur un graphe où les axes seront les suivants :

o en abscisse, log10(cLo -- nsc) de --5 à --3 (3 cm par unité de log...) ;

o en ordonnée, log...(m), de --5 à --3 (3 cm par unité de log10).

Dans toute la suite du problème, on prendra n = 1.

ILE -- Eætmction par membrane liquide

Dans ce processus, trois phases liquides sont présentes, une phase organique 
(chloroforme) séparant deux phases
aqueuses I et Il (figure 2). Les interfaces entre phases sont de même aire E.

agitateurs

Phase réceptrice 11

Phase d'alimentation 1 lMI I l (75)

CD = 0,1 mol - L"1 _ Vaq = 100 mL
[M ] (t) interfaces
V _ 1001 L Membrane (phase organique)
"' _ m 0,30 = 7 >< 10_4 mol - L'1

[Mag] (t)
l/org

Figure 2

phase d'alimentation phase organique phase réceptrice

[LM(SCN)]org

interface 1 interface 2

Figure 3

La phase aqueuse I est la phase d'alimentation, de volume Van = 100 mL. Elle 
contient le thiocyanate alcalin
M(SCN)aq à la concentration initiale co = 0,1 mol - L"1. La phase aqueuse II 
est la phase réceptrice. Elle est

constituée au départ d'eau distillée. Son volume est V.... La phase organique 
forme la « membrane » liquide,
de volume VOrg = 160 mL. Elle contient le ligand Lorg à la concentration 
initiale CL0 = 7 >< 10"4 mol - L"1. Le
ligand Lorg et le complexe LM(SCN)org sont considérés ici insolubles dans les 
phases aqueuses. On négligera le
thiocyanate alcalin dans la phase organique : [M(SCN) : 0.

II.E.1) Soit c la concentration d'un soluté, j' le vecteur densité de courant 
de particules de ce soluté et D
le coefficient de diffusion du soluté. Rappeler la loi phénoménologique de Fick 
de la diffusion. Quelles sont des
unités S.I. possibles pour || j' || et D '? La valeur de D dépend-elle de la 
nature du solvant pour un soluté donné ?

org]

II.E.2) On suppose qu'il n'y a pas d'accumulation de matière aux interfaces. 
Par conservation d'une entité
que l'on précisera, établir la relation entre les vecteurs ÏM(SCN) et ÏLM(SCN) 
à chacune des interfaces (figure 4).
Déduire de l'équation 11.1 la relation entre j'L et ÏM(SCN) a chaque interface.

--» _) _»
.7L1 ëOE ( JL2
ÎM(SCN)1 ÎM(SCN)2
ÎLM(SCN)1 ÎLM(SCN)2
)
interface 1 interface 2
Figure 4

On note les concentrations des espèces contenant le métal alcalin [M1](t) dans 
la phase I, [MH](t) dans la
phase II (le thiocyanate M(SCN)3q) et [Morg](t) (le complexe LM(SCN)OOE), loin 
des interfaces. On admet que
[LM(SCN)OÏg](int1) : 01 et [LM(SCN) int2) = 0, où 01 est une constante pour une 
durée limitée 0 < t < T.

II.E.3) L'agitation mécanique permet d'homogénéiser les concentrations dans
chacune des trois phases. En conséquence, les gradients de concentration sont
localisés sur une épaisseur 5 faible devant les échelles du système, de part et
d'autre des interfaces (figure 5). Montrer que ÏLM(SCN)1 peut s'y exprimer sous

org] (

la forme approchée ÏLM(SCN)1 = --D'(c(ô) --c(0))ë} et donner l'expression de D' 
. t f
en fonction de D et 6 . Quel rôle physique peut--on donner au signe moins 
devant 1n er ace
D' ? Figure 5

II.E.4) Par souci de simplicité, D' sera pris par la suite identique dans tous
les solvants. Montrer qu'alors l'évolution des concentrations forme le système 
suivant, pour 0 < t < T :

dlM1l

dt = --k (01 -- [Morg]) (11.2)
d[AËÎÊ] = k' (c1 -- 2[Mmg]) (11.3)
dlM ] _

dt" _ k[Morg] (11.4)

et exprimer le et H en fonction de D' , coefficient de diffusion du complexe, 
E, Vorg et Vaq. Donner les dimensions
de k et k' . Quelle est l'équation différentielle vérifiée par [Lorg](t) seule?

II.E.5) Donner la solution de l'équation 11.3 et de l'équation 11.4 pour 0 < t 
< T.

II.E.6) Associer, en le justifiant, les courbes (a), (b) et (c) de la figure 6 
à l'espèce chimique concernée,
parmi M], MH, Morg ou Lorg.

concentrations

Figure 6

II.E.7) La vitesse de transfert 11 est définie par la pente de l'asymptote a 25 
grand de la courbe (b). Déterminer
numériquement les vitesses de transfert (dont on donnera l'unité) pour le 
rubidium et le césium :

Rb CS
15 (u 81.) 5,56 >< 10--4 5,09 >< 10-4

01 (mol - L_1) 1,03 >< 10_5 2,72 >< 10--5

On considère une phase d'alimentation aqueuse contenant les ions rubidium et 
césium en concentrations égales
co = 0,1 mol - L".

II.E.8) Au bout d'un temps assez long (t >> T) pour que l'équilibre soit 
atteint entre les trois phases
(saturation des solutions), quelles sont les concentrations [R,b11] et [0811] 
dans la phase réceptrice? On pourra
se contenter de donner une valeur approchée, en justifiant l'approximation.

II.E.9) Les vitesses de transfert restent celles de la question II.E.7. Si l'on 
veut enrichir la solution en
rubidium, quel est l'ordre de grandeur de la durée durant laquelle la phase 
réceptrice reste en contact avec la
membrane '? Comment pourrait-on procéder pour éviter la saturation ?

III Principe de l'horloge atomique à césium

III.A -- Principe de l'interrogation de Ramsey

L'interrogation de Ramsey consiste à appliquer aux atomes deux excita--
tions de faible durée 7' dans des cavités électromagnétiques, espacées d'une
durée longue T durant laquelle les atomes volent librement. Dans le modèle
mécanique présenté ici, on considère un oscillateur de pulsation propre ôw,
constitué d'une masse m liée à un ressort horizontal de raideur k, de masse
négligeable, et de longueur à vide 60. On néglige toute force de frottement
sur la masse. On note sc l'abscisse de la masse m, l'origine étant prise a la
position d'équilibre (figure 7).

Figure 7

III.A.1) À partir de l'instant initial t = 0 où la masse est au repos et

jusqu'à l'instant T, la masse m est soumise à une force horizontale Ë' = mwîA0 
cos(w1t) ê}c. On prendra 11117" = 7r
et 6w7' << 1. Etablir l'équation du mouvement en 220EUR) pour 0 < t < T et 
donner sa solution. Pour 75 > T,
l'oscillateur est libre; montrer que x1(t) = 2A0 cos(ôwt) est une solution 
approchée de l'équation du mouvement
pour t > T.

III.A.2) À partir d'un instant t = T + 7' ultérieur, on exerce une force Ë' = 
mwîA0 cos (w1(t -- T -- T)) ê},
pendant la même durée 7'. Pourquoi a:2(t) = m1 (t) +oe1 (t--T--7') est-elle une 
solution approchée pour t > T+27' ?
Déterminer une expression approchée de l'amplitude positive oemax des 
oscillations libres pour t > T + 27 en
fonction de 5w, A0 et T.

III.A.3) Représenter le signal x(t) de t = 0 a t > 27" + T, pour les cas ôwT = 
27m et ôwT = 27m + 71" où n
est un entier. Quelle analogie vous inspire le rôle du terme 6wT?

III.A.4) Exprimer l'énergie mécanique 8 de l'oseillateur pour t > T+ 27' en 
fonction de A0, ôw, k et T. Si la
largeur de la courbe donnant l'énergie 8 en fonction de 5 f : 5w/27r est 
estimée par l'écart entre deux minima
de l'énergie 8 , quelle est la plus faible variation de fréquence 5 f 
détectable ?

III.B -- L'horloge atomique

L'horloge est composée d'un oscillateur macroscopique (à quartz par exemple) de 
fréquence f asservie sur la
fréquence fo = 9 192 631 770 Hz de la transition entre deux niveaux d'énergie 
de l'atome de césium. On procède
de la façon suivante (figure 8).

0 On prépare un nuage d'atomes dans l'état fondamental d'énergie minimale.

. Les atomes sont sondés lors de leurs passages successifs, de durées T, dans 
deux cavités où règne un champ
électromagnétique de fréquence f. Selon l'écart de fréquence 5 f = f -- fo, les 
atomes sont excités dans une
plus ou moins grande proportion. L'énergie 5 (6 f) du nuage d'atomes a la 
sortie de la seconde cavité est
maximale si 6 f = O. Le temps de vol T entre les deux cavités est très 
supérieur à T.

0 On corrige la fréquence f de l'oscillateur de manière à rester au voisinage 
de l'énergie maximale.

Première cavité excitatrice Seconde cavité excitatrice

Détection et
mesure de 8

Jet d'atomes dans
l'état fondamental

génération des champs excitateurs
de fréquence f

Oscillateur
fréquence f

Correction
de fréquence

Figure 8

On admet que l'énergie 8 du nuage d'atomes est égale à la composante SZ d'un 
vecteur S' (appelé spin fictif) :
EUR = S' - EUR}. Le spin fictif S possède les propriétés suivantes (on ne 
cherchera pas à justifier ces équations) :

0 a l'entrée de la première cavité, S'(t = 0) = --80ê'z avec 50 > 0;
0 durant la traversée de l'horloge, Ë(t) obéit à l'équation % : (Ü /\ S', avec 
(D' = w1ê'y dans chacune des deux

cavités et 03 = ôwë} durant le vol libre entre les cavités.
On a 5w = ôf/27r = (f -- fo)/27T et 011 est choisie de sorte que w17' = 7r/2; 
de plus 501 << ....

III.B.1) Montrer que si (D' est constant, alors ||Ë(t)|| = 80 et Ë'(t) - &? : 
cte. Préciser la transformation
géométrique subie par le vecteur S'(t).

III.B.2) Tracer les vecteurs S' aux différents instants indiqués sur la figure 
9 pour 5wT : 27m où n est

_,

un entier. Quelle est l'énergie 5 du nuage a la sortie de la seconde cavité? 
Tracer les vecteurs S aux mêmes
instants pour ôwT : 27m + 7r. Quelle est l'énergie S' à la sortie de la seconde 
cavité '?

l l l +

_ _ t=71+T t=2fi+T

Figure 9

III.B.3) Déterminer l'énergie 5(ôwT) du nuage en sortie pour ôwT quelconque.

III.B.4) La fontaine atomique permet de mesurer l'énergie EUR du nuage pour 
différentes valeurs du désaccord
6 f = f -- fo. L'incertitude A f sur la fréquence f de l'horloge est estimée 
par l'écart entre deux minima d'énergie.
Déterminer l'expression de A f en fonction de T.

III.B.5) Les atomes provenant d'une source thermique se déplacent à la vitesse 
moyenne vo : 200 m - s"1.
La distance qu'ils parcourent entre les deux cavités est d = 1,0 m. Quelle 
incertitude relative AT/T sur la
période T = 1 /f peut-on attendre d'une telle horloge (on donnera la réponse en 
secondes par année) ? Comment

pourrait--on améliorer cette horloge ?
III.C -- La fontaine atomique

L'horloge est placée verticalement et les atomes sont lancés vers le haut, dans 
le
vide. Les atomes traversent une première fois une cavité d'interrogation (où 
ils inter-
agissent avec le champ excitateur), puis ils ralentissent sous l'effet de la 
pesanteur,
rebroussent chemin et traversent une deuxième fois la même cavité (où ils 
inter--

agissent a nouveau avec le champ). Ils sont ensuite détectés. Il s'agit donc 
d'une E' ca __

interrogation de Ramsey spatialement repliée. La zone d'interrogation est 
conçue de g g: %

\ ) . . ) @

façon a preserver les atomes des fluctuations de l'env1ronnement (figure 10). 
2° % Ë.
.\ . . . . . . >--*-- ("D

III.C.1) Les premieres fontaines utilisaient des jets thermiques d'atomes, de % 
m @

vitesse moyenne vo : 200 m - s"1 en sortie de cavité. Quelle est la hauteur Hg 
du jet

et la durée To séparant les deux passages des atomes dans la cavité? Commenter.
Si le jet doit avoir une hauteur H1 : 1,0 m, quelle doit être la vitesse 
verticale 121
des atomes a la sortie de la première cavité? Calculer numériquement "ul ainsi 
que
le temps de vol T1 correspondant (on prendra g = 9,8 m - 5--2).

cavité
excitatrice

III.C.2) Le refroidissement laser permet d'obtenir un jet homocinétique d'une
centaine d'atomes, de vitesse 01. Quelle incertitude relative AT/7' (en ms/ an) 
sur
la période 7' peut-on attendre d'une horloge à atomes froids? La stabilisation 
en

' ?
fréquence améliore ce rapport a AT / T = 10--16. Jet d atomes

ascendant
Figure 10

III.D -- Décalage de fréquence

Le tube a vide, protégeant le jet d'atomes, est cylindrique, de rayon R, de 
hauteur H grande devant R. Ses
parois métalliques sont supposées parfaitement conductrices et sont portées à 
la température 90. Il règne alors
dans ce tube un champ électromagnétique a symétrie cylindrique que l'on décrit 
par les vecteurs suivants :
E = Ez(r,t)ê'z; Ê = Bg(r,t)ëg.

III.D.1) Montrer que les champs proposés sont compatibles avec deux équations 
de Maxwell. Écrire deux
équations différentielles couplées en EZ et B9. Quelles sont les conditions aux 
limites imposées par le cylindre ?

III.D.2) En déduire une équation aux dérivées partielles du second ordre pour 
EZ. On cherche les solutions
sinusoïdales complexes dans le temps en posant Æ(r, t) : E(r)ejw'. Montrer que 
E(r) vérifie l'équation
d2E dE

2 _
Tfi+Ë+CLTE--O

où l'on donnera l'expression de a.

III.D.3) Les solutions de l'équation précédente s'écrivent E (T) : Jg(ar) où Jo 
est appelée fonction de Bessel
d'ordre 0. Le graphe de la fonction Jo(oe) est représenté sur la figure 11. On 
note x,, le nième zéro positif de
cette fonction. Donner les pulsations ca,, possibles du champ électrique en 
fonction de R, c et svn. La solution
appelée « mode n >> s'écrit Ezÿn(r, t) : E...]g (?"/rn) cos(wnt) où E,, et T,, 
sont des constantes. Donner l'expression
de T,, en fonction de R et a:... Calculer numériquement la pulsation ... et la 
fréquence f1 correspondante pour
R = 5,00 cm (on donne 351 = 2,40).

0.8

0.6

0.4

0.2

Figure 11

III.D.4) On note J1(æ) = --dJâÿ(cx'. Exprimer le champ magnétique Bg_n(7', t) 
du mode n en fonction de J1,
E... 7"... wn et 0. Donner l'expression de la densité d'énergie 
électromagnétique u E M(7", t) du mode n ainsi que
sa moyenne temporelle  en fonction de J0, J1, E... R, as,, et EQ.

III.D.5) On note  l'énergie électromagnétique moyenne du mode 77. = 1 dans 
toute la cavité. Exprimer
 en fonction de E... R, H, as,, et 50. On donne [0361 :E [Jâ(æ) + JÎ(OE)] 
dm : 1,56. Quelle est la valeur
maximale de l'amplitude du champ électrique du mode n = 1 si  = 16300 ?

AN. 90 = 300 K, E: 1 m.

III.D.6) L'agitation thermique des atomes de la paroi excite un nombre de modes 
N tel que %wN : k390
où h est la constante de Planck et 193 la constante de Boltzmann. En supposant 
que mn = mr pour n grand,
évaluer le nombre N de modes excités. Les modes de champs non étudiés ici 
permettent d'écrire l'énergie
électromagnétique U dans le cylindre sous la forme

7T3H

=--N3k &
U R BO

En déduire une évaluation du champ électrique moyen E dans le cylindre.

A.N. Calculer E.

III.D.7) Ce champ électrique moyen est responsable d'un décalage 5 f E de la 
fréquence propre fo des atomes
de césium, donné par ôfE : la; E2 où [@ = --2,27 >< 10_10 Hz - m2 - V"2.

Comment 6fE dépend-il de la température ? Calculer numériquement 5fE et [5 f E 
/ fg]. Commenter, sachant que
l'on peut atteindre actuellement une stabilité 5 f / fo : 10--16. Quelle serait 
l'incertitude sur la mesure du rayon
RT de la Terre si on avait la même précision qu'une horloge atomique? On donne 
RT = 6400 km.

IV Détection et asservissement

I V.A -- Détection du nombre d'atomes et mesure de l'énergie

Dans cette question, on montre comment l'énergie du nuage d'atomes est mesurée 
dans la fontaine atomique.
Contrairement au modèle classique, on considère ici que les atomes ne peuvent 
se trouver que dans deux états :
l'état 1 d'énergie --E0 < 0 ou bien l'état 2 d'énergie +E0 > 0. En tombant sous 
l'effet de la gravité, après avoir
traversé la cavité micro--onde, le nuage d'atomes traverse le faisceau laser 1 
dont la longueur d'onde est choisie
pour détecter les atomes dans l'état 1; il passe ensuite dans le laser 2 qui 
permet de détecter les atomes dans
l'état 2. Pour simplifier, on suppose que le faisceau laser 72 (i = 1 ou i = 2) 
forme une « nappe de lumière »
d'intensité uniforme, considérée comme infinie dans le plan horizontal, 
comprise entre les altitudes z,» et 2,-- + EUR
(voir la figure 12). L'épaisseur e suivant la verticale est très faible devant 
la taille du nuage atomique (cette
condition n'est pas respectée sur la figure 12). Les atomes dans l'état 1 
(respectivement dans l'état 2) sont
excités par le laser de détection 1 (resp. laser 2), puis ils émettent de la 
lumière en se désexcitant; cette lumière
dite de fluorescence est recueillie par un système optique pour être envoyée 
sur le détecteur D1 (resp. D2).

z
Z (75)
\ / Z] | EUR
\ , 251
22 + e
22

Figure 12

Lors de la détection la taille du nuage reste pratiquement constante, la 
densité d'atomes dans l'état 1 en un
point de l'espace de coordonnées (ac, y, z) a l'instant t est bien modélisée 
par :

Nl ( æ2+y2+(z--Z(t))2>

n a:, ,z,t =
1( y ) (a 271" 202

où N1 représente le nombre d'atomes dans l'état 1 et Z (15) désigne la position 
du centre du nuage d'atomes
suivant la verticale à l'instant t.

IV.A.1) Déterminer l'unité SI de a et donner sa signification physique. Par 
analogie avec la mécanique des
fluides, qualifieriez-vous la grandeur ... de Lagrangienne ou d'Eulérienne 
(justifier votre réponse) ?

IV.A.2) On note 7% la puissance lumineuse reçue par le détecteur D1 due a un 
atome dans l'état 1 situé dans
le faisceau laser 1 (on suppose que P0 est indépendante de la position de 
l'atome dans le faisceau). Déterminer la
puissance totale 791(t) reçue à l'instant t par le détecteur D1 en fonction de 
'Pg, N1, 0, Z(t), 21 et de l'épaisseur
@ des faisceaux laser; on rappelle que e est très petit devant 0 et on donne

+00 u2
/ exp (----) du = oV27r

2
_OO 20

IV.A.3) Tracer l'allure de la fonction 731(t) enregistrée par le détecteur. 
Est--elle rigoureusement symétrique
par rapport a son maximum? Pourquoi?

IV.A.4) La puissance lumineuse Pg(i) reçue à l'instant t par le détecteur D2 a 
la même expression que 731(t)

a condition de remplacer 21 par 22 et N1 par le nombre N2 d'atomes dans l'état 
2. À l'aide d'un ordinateur, on
détermine l'aire sous la courbe 'Pi (t) notée A,. Montrer que l'énergie totale 
du nuage d'atomes est proportionnelle
a % (on suppose que la vitesse du nuage reste pratiquement constante sur toute 
la zone de détection).
Sachant que cette mesure va être répétée a chaque cycle de fonctionnement de la 
fontaine pour différentes

valeurs de la fréquence micro--onde, quel est l'intérêt de diviser A1 + A2 '?

I V.B -- Asservissement de l'oseillateur macroscopique sur la fréquence atomique

Le signal de l'Horloge est donné par un OSCILLATEUR macroscopique de fréquence 
fH. Bien que très stable, la
fréquence f H (t) de cet oscillateur est susceptible d'évoluer dans le temps 
sous l'effet de différentes perturbations,
c'est pourquoi il est nécessaire de l'asservir sur une fréquence atomique de 
référence fo.

Le schéma fonctionnel de l'asservissement est représenté sur la figure 13. Le 
signal d'erreur @, est construit
dans le bloc DÉTECTION a partir de la mesure de la fluorescence de l'énergie 5 
du nuage atomique. L'énergie
5 (5 f ) dépend du désaccord 5 f = f -- fg entre la fréquence micro--onde f et 
fréquence atomique fg (interrogation
Ramsey). Comme nous le verrons dans la suite, pour asservir l'horloge sur la 
fréquence atomique fg, il n'est pas
possible d'utiliser une fréquence micro-ondes f simplement égale à la fréquence 
fH de l'horloge (comme cela
était le cas dans la partie III).

Signal

OSCILLATEUR

DÉTECTION

Figure 13

L'horloge atomique fonctionne par cycles de durées Tg, on note fk = f H (1% 
=kTg) la fréquence de l'oscillateur
macroscopique au début du k'ème cycle (pour t=kTg). Au cours de chaque cycle, 
une première expérience est
réalisée avec une fréquence micro--onde f = fk + A, puis une seconde avec une 
fréquence micro--onde f = f,, -- A,
où A est une constante positive choisie pour optimiser l'asservissement. On 
construit ainsi un signal d'erreur
6], (homogène à une fréquence) pour le k'ème cycle :

e.=G>< (5(fk+À--fO)--g(fk--A--fo))

où G est un facteur de gain constant.

Enfin, on admet que près de la résonance (pour des valeurs pas trop élevées du 
désaccord 6 f = f -- fg), l'énergie
totale du nuage est donnée par EUR (5 f ) = 8g cos (27r T5 f ) où T est le 
temps de vol des atomes dans la fontaine
et Sg une constante positive.

IV.B.1) Montrer que pour |fk -- fg| << 1/T, le signal d'erreur 6}, est 
proportionnel à 5f;ç = fk -- fg. On
exprimera la constante de proportionnalité en fonction de G et de la pente P = 
d(+gf)(A) calculée en 5 f = +A

(on rappelle que l'énergie 5 est une fonction paire de 6 f) Pourquoi n'est--il 
pas possible de générer un signal
d'erreur sur le sommet de la frange centrale 5 f = 07

IV.B.2) Pour optimiser l'asservissement, on choisit de prendre A : âT. 
Justifier ce choix. Donner alors
l'expression du signal d'erreur @ en fonction de G, Eg, T et 6fk.

IV.B.3) Déterminer la fréquence fk+1 de l'oscillateur macroscopique pour le 
cycle k + 1 en fonction de G,
Sg, T, fg et fk. Quel doit être le signe du gain G pour que l'asservissement 
fonctionne correctement (justifier
votre réponse)? On observe l'évolution de la fréquence fH(t) de l'horloge sur 
des durées très grandes devant
Tg; on rappelle que fH(kTo) = fk. Dans l'hypothèse où GEgT << 1, déterminer 
l'équation différentielle vérifiée
par fH, on introduira une constante de temps 7' à exprimer en fonction de G, 
Eg, T et Tg.

IV.B.4) L'hypothèse G8gT << 1 n'est pas vérifiée dans les vraies horloges 
atomiques car le gain est choisi pour
avoir une constante de temps de l'ordre de 3 cycles; on suppose néanmoins que 
l'équation différentielle obtenue
à la question précédente peut s'appliquer. La fréquence de l'oscillateur 
macroscopique subit une perturbation
extérieure qui cesse à l'instant to, on note A f H = fH(tg) -- fg. Déterminer 
l'expression de la fréquence fH de
l'horloge pour t > tg en fonction de fg, AfH, 7', tg et t.

Formulaire

cos(a) + cos(b) = 2 cos (" '2* ") COS  ___Ôf _13f _Ôf
gradf-erä+egïä+ezä

IÊ'ËÂ-- EUR 1 ôAZ 8A0 . ë* ÔA,... ÔAz | EUR 1 Û(T'A9) 13A,...
_ r I 9 62 37' | z ')" ôr r 69

Constantes physiques :

Célérité de la lumière dans le vide (: = 3,00 >< 108 m - 5--1
Charge élémentaire @ = 1,60 >< 10_19 C
Permittivité du vide 50 = 8,85 >< 10"12 F - tn"1
Constante de Planck h = 6,63 >< 10"34 U.S.I.
Constante de Boltzmann 165 = 1,38 >< 10"23 J -- K_1
Nombre d'Avogadro NA = 6,02 >< 1023 mol--1
Données relatives au rubidium et au césium :
Rb Cs

Numéro atomique Z 37 55

Masse molaire M (g - mol--1) 87 133

Masse volumique ,u (kg - m_3) 1532 1879

Enthalpies de première ionisation (kJ - mol--1) 403,0 375,7
Enthalpies de deuxième ionisation (kJ -- mol--1) 2633 2234

oooFINooo

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique et Chimie PSI 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Élodie Bonnaud-Morin (Professeur agrégé) et Olivier
Frantz (Professeur agrégé en école d'ingénieur) ; il a été relu par Pierrick 
Berruyer
(ENS Lyon), Tiphaine Weber (Enseignant-chercheur à l'université), Mickaël 
Profeta
(Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet est consacré à l'horloge atomique. La seconde, définie comme la durée
de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre 
les deux
niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome de césium 133, atteint grâce 
à
des techniques de refroidissement d'atomes par laser une précision relative de 
l'ordre
de 10-16 . Plus concrètement, une telle précision donnerait une incertitude 
inférieure
au nanomètre sur la mesure du rayon terrestre. Plusieurs prix Nobel ont 
récompensé
les avancées sur le sujet : Norman Ramsey en 1989 pour l'invention de la méthode
des champs alternatifs séparés ; Steven Chu, Claude Cohen-Tannoudji et William
Phillips pour le développement de méthodes pour refroidir et piéger des atomes 
avec
la lumière laser en 1997.
· Dans la première partie, on aborde le ralentissement des atomes par laser. Les
questions de mécanique sont simples, mais originales. Le calcul du décalage de
la fréquence perçue par l'atome n'est pas plus compliqué.
· L'objectif de la deuxième partie est l'enrichissement en rubidium d'une 
solution
contenant également du césium. On étudie pour cela tout d'abord les propriétés 
des alcalins en relation avec leur position dans la classification périodique
puis la cristallographie des éléments rubidium et césium. On poursuit par la
thermodynamique de l'extraction liquide-liquide d'un soluté et l'influence de sa
complexation en phase organique. L'analyse des différents phénomènes diffusifs
en jeu lors d'une extraction par membrane liquide permet enfin de déterminer
les paramètres pertinents pour enrichir une phase aqueuse en rubidium.
· Après une modélisation de l'interrogation Ramsey à l'aide d'un oscillateur 
harmonique, on aborde dans la troisième partie des questions plus originales qui
flirtent avec la mécanique quantique. La suite propose de justifier le 
refroidissement des atomes par des questions de mécanique assez techniques. 
Enfin, dans
la partie III.D, on essaye d'évaluer le décalage de fréquence induit par 
l'environnement électromagnétique. La difficulté réside ici surtout dans la 
manipulation
mathématique des expressions obtenues à partir des équations de Maxwell.
· Dans la partie IV, on étudie brièvement la partie asservissement de l'horloge.
L'état des atomes est détecté par leur fluorescence lors de leur passage 
successif
dans deux nappes de lumière laser, ce qui est l'occasion de questions sur la
compréhension du dispositif décrit.
Le sujet aborde un thème passionnant et original, mais les questions paraissent
souvent abstraites ; on a vite fait de se perdre dans les méandres des concepts 
présentés. Peu de pistes sont offertes pour aboutir à la solution, qui n'est au 
final pas si
ardue si l'on prend du recul et si l'on n'a pas peur de manipuler des 
expressions mathématiques. Notons cependant que le fait de ne pas répondre à 
certaines questions
n'empêche pas de progresser, puisque certains résultats intermédiaires sont 
fournis.

Indications
I.A.3 Combien de photons sont absorbés durant le temps t ?
I.B.3 L'énergie cinétique moyenne d'un atome vaut m u2 /2 = 3 kB T/2.
I.D.1 La fréquence f  perçue par les atomes doit être égale à f0 .
I.D.3 Montrer que /0 = f /f0 .
I.D.5 Exprimer le facteur de qualité en fonction de la largeur à mi-hauteur f et
de la fréquence centrale f0 .
II.A.3 Pour répondre à cette question, utiliser la position des alcalins dans 
la classification périodique et avoir en tête leur structure électronique à 
l'état fondamental.
II.B.2 Attention aux unités !
II.C.1 Écrire l'équilibre régissant la distribution de l'espèce dans les deux 
phases.
II.C.2 Penser à traduire la conservation du soluté, distribué entre les deux 
phases,
pour faire apparaître une relation entre N et N0 .
II.C.3 L'équilibre d'extraction du thiocyanate alcalin de la phase aqueuse à la 
phase
organique et l'équilibre (II.1) de complexation dans la phase organique sont
successifs. Ils peuvent ainsi être combinés en un seul équilibre (II.1 ) de
constante Kex .
Dresser ensuite un tableau d'avancement en quantité de matière de ce nouvel
équilibre.
II.D.1 À partir d'un tableau d'avancement en concentrations de l'équation (II.1 
)
(voir indication précédente) supposée quantitative (réaction de complexation), 
comparer l'avancement de réaction à c0 et conclure.
II.D.2 Dresser un tableau d'avancement en concentrations de l'équation (II.1).
II.E.1 Compte tenu des notations fournies par l'énoncé, une expression de la 
loi de
Fick en fonction du gradient de la concentration du soluté est attendue.
II.E.2 Raisonner en bilan net.
II.E.3 Remarquer que c() < c(0) pour discuter la signification du signe "moins"
de l'expression littérale obtenue.
II.E.4 Pour déterminer les quatre équations différentielles demandées, faire 
les bilans
à chaque interface en quantité de matière, et non en nombre de particules
(voir commentaire du II.E.1). Il s'agit ensuite de faire appel aux questions
II.E.2. et II.E.3 pour exprimer correctement en utilisant les notations de
l'énoncé les normes des vecteurs densité de courant molaire. Attention aux
signes des différences de concentrations !
II.E.5 Résolutions classiques d'équations différentielles du premier ordre.
II.E.7 Il convient d'étudier le comportement limite de [MII ](t) sur la base de 
l'expression de cette concentration déterminée pour 0 < t < T en II.E.5.
III.A.1 Écrire l'équation différentielle du mouvement et la résoudre 
complètement,
avec le pendule au repos (x(0) = 0, x(0) = 0) comme conditions initiales.
III.A.2 Utiliser la linéarité du système {masse-ressort}.
III.A.4 Évaluer l'énergie mécanique lorsque le ressort est allongé au maximum 
et la
vitesse nulle.

III.B.1 Petite coquille : lire  = 2 f juste avant la question. Montrer que les
 
-
dérivées de la norme du spin fictif et du produit scalaire S · -
 sont nulles.
 -
-
 -
-

III.B.3 Utiliser la constance de S ·  et évaluer l'angle entre S et e pour 
calculer
y

le produit scalaire.
III.C.1 Utiliser l'énergie mécanique.
III.D.1 Écrire et simplifier les équations de Maxwell avec les champs proposés 
et les
expressions des opérateurs différentiels donnés en annexe. Dans un conducteur 
parfait, le champ électromagnétique est nul.
III.D.4 Considérer qu'il n'existe pas de champ statique.
IV.A.2 Intégrer P0 n1 (x, y, z, t) sur le volume occupé par le faisceau laser.
IV.B.1 Effectuer un développement de Taylor au premier ordre de l'énergie pour
f = fk +
-  et utiliser la parité de la fonction.
1
.
IV.B.2 Erreur d'énoncé :  =
4T
IV.B.3 La dérivée de fH (t) est approchée par (fk+1 -fk )/T0 . Il faut lire |G 
E0 T|  1
dans l'énoncé car G est négatif.

Horloge atomique
I. Ralentissement des atomes par laser
I.A

Force exercée par le laser sur les atomes

I.A.1 Par définition, la norme de la quantité de mouvement d'un photon vaut
h

Or, la quantité de mouvement est homogène à une masse multipliée par une vitesse
et la longueur d'onde a la dimension d'une longueur. Ainsi,
p=

la constante de Planck h s'exprime en kg.m2 .s-1

La constante de Planck est habituellement exprimée en J.s, unité qu'on obtient 
rapidement avec l'énergie E = h f .
I.A.2 L'ensemble {atome + photon} est considéré comme un système isolé et est
situé dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Ainsi, d'après le 
principe

d'inertie, la quantité de mouvement de cet ensemble reste constante. Notons -
pi et -
pi 
les quantités de mouvement respectives de l'atome avant et après absorption, 
avant

réémission, et -
p la quantité de mouvement du photon absorbé. On obtient ainsi, par
conservation de la quantité de mouvement,

-

p +-
p =-
p
i

i

h -
-

u =
pi 
pi + -

soit

I.A.3 Notons -
pf la quantité de mouvement de l'atome après réémission d'un photon
absorbé. En moyenne, la quantité de mouvement de l'atome n'est pas modifiée par
la réémission, puisqu'elle se fait dans une direction aléatoire, ce qui donne

h-
p i=-
p
f

i

L'intensité étant assez importante, dès qu'un atome plongé dans le faisceau 
laser est
en état d'absorber un photon, il en capture un effectivement. Pendant une durée 
t
très supérieure à  , un atome absorbe ainsi en moyenne t/ photons. Par suite, la
variation moyenne de quantité de mouvement d'un atome pendant t, s'écrit,
t -
t -

h
pf - -
pi i =
(
pi  - -
pi )

En s'appuyant sur la question précédente, il vient

-
p =

-
p =

t h -

u