Centrale Physique et Chimie 1 PSI 2016

Thme de l'preuve tude d'une pompe d'alimentation d'eau
Principaux outils utiliss mcanique des fluides, lectromagntisme

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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nonc obtenu par reconnaissance optique des caractres


SaA
9 ?2m`2b

*H+mHi`B+2b miQ`Bb2b

kyRe

S?vbB[m2*?BKB2 R

*2`iBM2b [m2biBQMb- `2T`2b T` mM2 #``2 2M K`;2- M2 bQMi Tb ;mB/2b 2i 
/2KM/2Mi /2 HBMBiBiBp2 /2 H
T`i /m +M/B/iX 1HH2b bQMi i`b bB;MB}+iBp2K2Mi pHQ`Bb2b /Mb H2 #`K2X JK2 bB 
2HH2b MQMi Tb #QmiBH2b TBbi2b /2 `2+?2`+?2 /QBp2Mi i`2 +QMbB;M2b T` H2 +M/B/i 
2i b2`QMi pHQ`Bb2b bB 2HH2b bQMi T2`iBM2Mi2bX G2
#`K2 iB2Mi +QKTi2 /m i2KTb M+2bbB`2 TQm` 2tTHQ`2` +2b TBbi2b 2i H#Q`2` mM 
`BbQMM2K2MiX
6BM kyRk- mM2 bQ+Bi ;`Mi H T`Q/m+iBQM 2i H /Bbi`B#miBQM /2m /2 H;;HQK`iBQM 
/m :`M/ M;QmHK2
URRy yyy ?#BiMib bm` Re +QKKmM2bV  /+B/ /2 bm#biBim2` H2b /2mt KQi2m`b 
bvM+?`QM2b 2Mi`BMMi H TQKT2
HBK2MiMi H2 +?i2m /2m /2 _m2HH2 bm` hQmp`2 T` mM b2mH KQi2m` bvM+?`QM2  BKMib 
T2`KM2Mib /2 TmBb@
bM+2 j8y q  R8yy i`KBMR +QKKM/ T` mM p`Bi2m` bT+B}[m2X JK2 bBH b;Bi H2 THmb 
bQmp2Mi /2 `;BK2
+QMiBMm- +2 /2`MB2` T`iB+BT2  `/mB`2 H 7+im`2 M2`;iB[m2 HQ`b /2 p`BiBQMb /2 
/#Bi BKTQb2bX G2b T2`i2b
`QiQ`B[m2b /mM KQi2m` bvM+?`QM2 UHB2b  H /Bz`2M+2 /2 pBi2bb2 2Mi`2 H2 `QiQ` 
2i H2 +?KT biiQ`B[m2 iQm`MMi
U;HBbb2K2MiVV `2T`b2Mi2Mi T`b /m iB2`b /2b T2`i2b iQiH2bX G2b T2`i2b /Mb mM 
`QiQ`  BKMib T2`KM2Mib bQMi
M;HB;2#H2b 2M +QKT`BbQM 2i H2 p`Bi2m` Mm;K2Mi2 H +QMbQKKiBQM M2`;iB[m2 [m2 
/2 jWX G +QMbQKK@
iBQM M2`;iB[m2 /2 HBMbiHHiBQM 2bi `/mBi2 /2 RyW T` Ki`2 +m#2 i`Mb7` 2i 
HBMbiHHiBQM T2mi bbm`2` mM
/#Bi /2 RR8W /2 bQM `;BK2 MQKBMH T2M/Mi H2b 3 ? /2 i`B7 /2 MmBi /2 
+QMbQKKiBQM H2+i`B[m2X lM2 im/2 
KQMi` [m2 H2 bm`+Qi HB  H pBi2bb2 p`B#H2 b2`Bi KQ`iB 2M R9 KQBbX
.Mb +2 bmD2i- MQmb MQmb BMi`2bb2`QMb  mM2 mi`2 BMbiHHiBQM /2 KK2 ivT2X T`b 
pQB` pHm H2b T2`i2b /2
+?`;2 /Mb H2b 39yy K /2 +QM/mBi `2HBMi H TQKT2 m +?i2m /2m- MQmb T`QTQb2`QMb 
mM2 TQKT2 +2Mi`B7m;2 m
TQBMi /2 7QM+iBQMM2K2Mi +QMp2M#H2 +QKTi2 i2Mm /m /#Bi 2i /2 H ?mi2m` 
KMQKi`B[m2 iQiH2X lM2 i`QBbBK2
T`iB2 b2` +QMb+`2  Him/2 /2 T`BM+BT2 /mM KQi2m` bvM+?`QM2  BKMib T2`KM2Mib 
+2Mb 2Mi`BM2` +?+mM2
/2b TQKT2bX

A S2`i2b /2 +?`;2 /Mb H2b +QM/mBi2b
>Q`KBb H [m2biBQM AX"Xj bm` H2b T2`i2b bBM;mHB`2b- MQmb +QMbB/`2`QMb /Mb iQmi2 
+2ii2 T`iB2 /2b +QM/mBi2b
`2+iBHB;M2b  b2+iBQM +B`+mHB`2 +QMbiMi2X
AX 

6HmB/2 2M +QmH2K2Mi ?QKQ;M2 BM+QKT`2bbB#H2 HKBMB`2

AXXRV

Zm2 /2pB2Mi H `2HiBQM /2 "2`MQmHHB /mM ~mB/2 pBb[m2mt 2M `;BK2 HKBMB`2 biiBQM@
MB`2 \

V _TT2H2` H2b /}MBiBQMb /mM +QmH2K2Mi T`7Bi /2 ~mB/2- /mM +QmH2K2Mi ?QKQ;M2 
BM+QKT`2bbB#H2- /mM
+QmH2K2Mi biiBQMMB`2X
#V .Mb H2 +b /mM ~mB/2 T`7Bi 2M +QmH2K2Mi ?QKQ;M2 BM+QKT`2bbB#H2 biiBQMMB`2- 
`2i`Qmp2` H `2HiBQM /2
"2`MQmHHB  T`iB` /m T`2KB2` T`BM+BT2 /2 H i?2`KQ/vMKB[m2 2tT`BK `2HiBp2K2Mi  
mM bvbiK2 Qmp2`i 2M
`;BK2 T2`KM2MiX S`+Bb2` HQ`b H ;`M/2m` pQHmKB[m2 M2`;iB[m2  mMB7Q`K2 bm` 
mM2 HB;M2 /2 +Qm`MiX
PM HmB bbQ+B2` mM2 ?mi2m`  TT2H2 ?mi2m` KMQKi`B[m2 Qm +?`;2 iQiH2 ,

Q  2bi HHiBim/2-  H T`2bbBQM 2i  H pBi2bb2 /m ~mB/2 m TQBMi +QMbB/`-  b Kbb2 
pQHmKB[m2 2i  H++H`iBQM
/2 H T2bMi2m` U    NT VX S`+Bb2` H `2HiBQM 2Mi`2  2i X
+V .Mb [m2HH2b xQM2b /2 H+QmH2K2Mi HKBMB`2 /mM ~mB/2 `2H- H?vTQi?b2 /mM 
+QmH2K2Mi T`7Bi 2bi@2HH2
BM2MpBb;2#H2 \
/V aB QM iB2Mi +QKTi2 /2 H pBb+QbBi /m ~mB/2 BM+QKT`2bbB#H2 2i 2M TQbimHMi 
iQmDQm`b mM `;BK2 biiBQMMB`2H ;`M/2m` pQHmKB[m2 M2`;iB[m2  /}MB2 
T`+/2KK2Mi /BKBMm2 /2    H2 HQM; /mM2 HB;M2 /2 +Qm`MiX
_2HB2` +2ii2 p`BiBQM /M2`;B2 pQHmKB[m2  mM2 BMi;`H2 /2 +B`+mHiBQM /2    /2 
H /2MbBi pQHmKB[m2 /2
 X
7Q`+2 /2 pBb+QbBi 
  - Q 
2V .Mb mM ~mB/2 BM+QKT`2bbB#H2 pBb[m2mt- H /2MbBi pQHmKB[m2 /2 7Q`+2 /2 
pBb+QbBi b+`Bi 
2bi H pBb+QbBi /vMKB[m2 /m ~mB/2 2i   H2 HTH+B2M p2+iQ`B2H /2 H pBi2bb2 HQ+H2X
1M //mB`2- bQmb 7Q`K2 BMi;`H2- H p`BiBQM      /2 ?mi2m` KMQKi`B[m2 /mM TQBMi 
  mM TQBMi
 H2 HQM; /mM2 HB;M2 /2 +Qm`Mi HHMi /2   X G [mMiBi        UTQbBiBp2 Qm MmHH2V 
bTT2HH2
H T2`i2 /2 +?`;2X
kyRe@yk@kj Rd,kd,jk

S;2 Rf3

AXXkV +QmH2K2Mi /2 SQBb2mBHH2
PM im/B2 H2 +b T`iB+mHB2` /2 H+QmH2K2Mi HKBMB`2 /mM ~mB/2 pBb[m2mt 
BM+QKT`2bbB#H2 /Mb mM2 +QM/mBi2
`2+iBHB;M2- /2 /B`2+iBQM  ?Q`BxQMiH2- /2 b2+iBQM +B`+mHB`2  +QMbiMi2 U/2 `vQM  
VX *QKTi2 i2Mm /2b bvKi`B2b
/m T`Q#HK2- H2 +?KT /2b pBi2bb2b b2tT`BK2 bQmb H 7Q`K2         Q      2bi H 
/BbiM+2
/m TQBMi   Ht2 /2 `pQHmiBQM /2 H +QM/mBi2X
V JQMi`2` [m2 H pBi2bb2    M2 T2mi /T2M/`2 /2 X

  Up2+
#V 1M bmTTQbMi H T2`i2 /2 +?`;2 HBMB[m2 mMB7Q`K2 iQmi m HQM; /2 H +QM/mBi2 2i 
2M MQiMi

  V- KQMi`2` [m2

p2+

.Mb H bvKi`B2 /m T`Q#HK2- QM 

+V G pBi2bb2 /#BiMi2  bm` mM2 b2+iBQM /`QBi2 2bi H pBi2bb2 [mB- mMB7Q`K2 bm` H 
b2+iBQM - +Q``2bTQM/ m
KK2 /#Bi pQHmKB[m2 X
1tT`BK2` +2ii2 pBi2bb2 2M 7QM+iBQM /2  2i 2M //mB`2   2M 7QM+iBQM /m /#Bi 
pQHmKB[m2  /2 ~mB/2 /Mb
H +QM/mBi2X
/V PM bQm?Bi2 mM /#Bi /2MpB`QM jy GbR /Mb mM2 +QM/mBi2 /2 /BKi`2    DNX .Mb 
mM2 +QM/mBi2
+vHBM/`B[m2- H i`MbBiBQM HKBMB`2 im`#mH2Mi2 b2 bBim2 mt H2MiQm`b /2 MQK#`2b /2 
_2vMQH/b /2 kjyy U/Mb
H2tT`2bbBQM /m MQK#`2 /2 _2vMQH/b- QM +?QBbB` `2bT2+iBp2K2Mi  2i  +QKK2 Q`/`2b 
/2 ;`M/2m` /2 H pBi2bb2
/m ~mB/2 2i /2 H /BK2MbBQM i`Mbp2`bH2 /2 H+QmH2K2MiVX
 *b /mM2 ?mBH2 Ua1@NyV TQm` H[m2HH2     1BT 2i    LHN
r *H+mH2` H T2`i2 /2 +?`;2 HBMB[m2 2i /QM+ H bm`T`2bbBQM M+2bbB`2 TQm` H2 
i`MbTQ`i /2 +2ii2 ?mBH2 bm`
mM i`QMQM /2 8y KX
r *H+mH2` H2 MQK#`2 /2 _2vMQH/b /2 H+QmH2K2MiX *QM+Hm`2X
 *b /2 H2m ,       1BT 2i       LHN X
r *H+mH2` H2 MQK#`2 /2 _2vMQH/b /2 H+QmH2K2MiX *QM+Hm`2X
AX" 

6HmB/2 pBb[m2mt ?QKQ;M2 BM+QKT`2bbB#H2 2M `;BK2 im`#mH2Mi

AX"XRV *?`;2 KQv2MM2 /Mb mM2 b2+iBQM  bvKi`B2 /2 `pQHmiBQM
G +?`;2 - 2tT`BK2 2M mM TQBMi  /2 H+QmH2K2Mi- TT`Bi +QKK2 mM2 7QM+iBQM    /2  
2i /2 X PM
~  KQv2MM2 bm` mM2 b2+iBQM /2 +QM/mBi2 T`
/}MBi mM2 +?`;2 KQv2MM2 
~       E

Q E 2bi H2 /#Bi pQHmKB[m2 i`p2`bMi mM HK2Mi /2 bm`7+2 E /2 H b2+iBQM /2 H 
+QM/mBi2 2i  H2 /#Bi
pQHmKB[m2 iQiH /2 H +QM/mBi2X
SQm` 2tT`BK2` H2 i2`K2 +BMiB[m2 /2 H +?`;2 2M 7QM+iBQM /2 H pBi2bb2 /#BiMi2  
- QM BMi`Q/mBi H2 +Q2{+B2Mi /2
 
- Q   2bi H TmBbbM+2 +BMiB[m2 i`p2`bMi H b2+iBQM  /2 +QM/mBi2 2i  
*Q`BQHBb ,  
 
H TmBbbM+2 +BMiB[m2 [mB i`p2`b2`Bi +2ii2 b2+iBQM TQm` mM2 pBi2bb2 mMB7Q`K2  
U+?[m2 T`iB+mH2 /2 ~mB/2
i`p2`b2 H b2+iBQM   H pBi2bb2   - 2KTQ`iMi p2+ 2HH2 bQM M2`;B2 +BMiB[m2 
pQHmKB[m2 HQ+H2    VX

V JQMi`2` [m2       EX

#V 1M //mB`2 [m2 H +?`;2 KQv2MM2 bm` mM2 b2+iBQM /2 H+QmH2K2Mi UHKBMB`2 Qm 
im`#mH2MiV b+`Bi
~ 

+V *H+mH2` MmK`B[m2K2Mi H2 +Q2{+B2Mi /2 *Q`BQHBb TQm` H+QmH2K2Mi mMB7Q`K2 2i 
TQm` H+QmH2K2Mi HKBMB`2
/2 SQBb2mBHH2X
/V .Mb H2 +b /2 `;BK2b im`#mH2Mib +Qm`Mib- H2b pH2m`b /m +Q2{+B2Mi Qb+BHH2Mi 
2Mi`2 R-y8 2i R-kyX *QKK2Mi2`X

kyRe@yk@kj Rd,kd,jk

S;2 kf3

AX"XkV _m;QbBi- /B;`KK2 /2 JQQ/v
G T2`i2 /2 +?`;2 `;mHB`2 KQv2MM2- TQm` mM +QmH2K2Mi BM+QKT`2bbB#H2 /Mb mM2 
+QM/mBi2 +B`+mHB`2 `2+iBHB;M2
/2 HQM;m2m`  2i /2 /BKi`2 - 2bi /QMM2 T`

~        

/}MBbbMi BMbB H2 +Q2{+B2Mi /2 T2`i2 /2 +?`;2    [mB /T2M/ /m MQK#`2 /2 
_2vMQH/b  - 2i T`
+QMb[m2Mi /m `;BK2 /+QmH2K2Mi- 2i /2 H `m;QbBi `2HiBp2  /2 H +QM/mBi2X G 
pH2m` MmK`B[m2 /2
+2 +Q2{+B2Mi 2bi /QMM2 T` H2 /B;`KK2 /2 JQQ/v U};m`2 dV- 2M 7QM+iBQM /m MQK#`2 
/2 _2vMQH/b- TQm`
/Bz`2Mi2b pH2m`b /2 H `m;QbBi `2HiBp2  UHm2  /`QBi2 /m ;`T?2VX
G `m;QbBi #bQHm2   H /BK2MbBQM /mM2 ?mi2m` bMb iQmi27QBb `2T`b2Mi2` mM2 
?mi2m` KQv2MM2 /2b bT`Bib
/2 H bm`7+2 BMi`B2m`2 /2 H +QM/mBi2 , T` 2t2KTH2- TQm` /2b +QM/mBi2b 
KiHHB[m2b `Bp2i2b- H2 `2pi2K2Mi 
T2m /BKTQ`iM+2 /2pMi H2 MQK#`2 2i H+`i2K2Mi /2b }H2b HQM;Bim/BMH2b 2i 
i`Mbp2`bH2b /2 `Bp2ibX

V JQMi`2` [m2 H+QmH2K2Mi /2 SQBb2mBHH2 +QM/mBi   

X

AMi2`T`i2` H2 7Bi [m2 H2 +Q2{+B2Mi /2 T2`i2 /2 +?`;2 BMbB Q#i2Mm M2 /T2M/ Tb 
/2 H `m;QbBiX
#V SQm` `2HB2` H biiBQM /2 TQKT;2 m +?i2m /2m- QM BMbiHH2 mM2 +QM/mBi2 2M 7QMi2 
/2 /BKi`2    DN/2 HQM;m2m`     LNX .Mb H2b +QM/BiBQMb MQKBMH2b /2 
7QM+iBQMM2K2Mi- +2ii2 +QM/mBi2 /#Bi2    -T
/2mX G `m;QbBi /2 H +QM/mBi2 2M 7QMi2 /T2M/ /2 bQM ii /2 bm`7+2- b2HQM 
[m2HH2 2bi M2mp2 Qm THmb Qm
KQBMb +Q``Q/2X PM /BbiBM;m2 i`QBb +b
 6R  7QMi2 M2mp2  ,     NN c
 6k  7QMi2 +Q``Q/2  ,     NN c
 6j  7QMi2 /TQb2  ,     NNX
~  /2 +2ii2
1M miBHBbMi H#[m2 /2 JQQ/v- pHm2` /Mb +?+mM /2 +2b +b H T2`i2 /2 +?`;2 KQv2MM2 
+QM/mBi2 /Mb b2b +QM/BiBQMb MQKBMH2b /miBHBbiBQM U   -T VX
AX"XjV S2`i2b bBM;mHB`2b
G2b T2`i2b /2 +?`;2b bBM;mHB`2b 2M `;BK2 im`#mH2Mi T2mp2Mi b+`B`2 bQmb H 7Q`K2
~   

UT2`i2b T`QTQ`iBQMM2HH2b   V- +2 [mB T`b2Mi2 mM BMi`i pB/2Mi TQm` H2 +mKmH 
/2b T2`i2b /2 +?`;2b TmBb[m2
HQM  +`Bi

~        

UT2`i2b `;mHB`2b T`QTQ`iBQMM2HH2b   VX AH T2mi b;B` /2 T2`i2b /Mb H2b 
`i`+Bbb2K2Mib- H2b 2Mi`2b- H2b ;`BHH2bH2b /Bzmb2m`b- H2b pMM2b- H2b 
`Q#BM2ib- H2b +HT2ib- H2b +Qm/2b- 2i+X
SQm` mM2 +QM/mBi2 +vHBM/`B[m2 /2 /BKi`2    DN 2i iQm`MMi /2 Ny p2+ mM `vQM /m 
+Qm/2 /2 R-8 K- QM
m` mM +Q2{+B2Mi  /2 y-kX Zm2HH2 2bi H HQM;m2m` /2 +QM/mBi2 2M  7QMi2 M2mp2  
[mBpH2Mi2  +2 +Qm/2 \

 iBi`2 /2 +QKT`BbQM- mM2 2Mi`2 bBHHMi2 /2 +2 /BKi`2  mM +Q2{+B2Mi  /2 HQ`/`2 
/2 HmMBi- mM2 pMM2
 Tbb;2 /B`2+i /2 y-R- mM `Q#BM2i  bQmTT2 /2 e 2i mM +HT2i MiB@`2iQm`  bQmTT2 
/2 dy UbQBi mM2 HQM;m2m`
[mBpH2Mi2 /2 H +QM/mBi2 T`+/2Mi2 /2 THmb /2 8yy KVX

AA SQBMi /2 7QM+iBQMM2K2Mi ?v/`mHB[m2 /mM2 BMbiHHiBQM
AAX  *`+i`BbiB[m2b ?v/`mHB[m2b /mM2 TQKT2 +2Mi`B7m;2
lM2 TQKT2 +2Mi`B7m;2 2bi +`+i`Bb2  KBMBK T` i`QBb T`Ki`2b , bQM /#Bi 
pQHmKB[m2 MQKBMH  - b ?m@
i2m` KMQKi`B[m2 iQiH2 MQKBMH2  [mB 2bi H p`BiBQM /2 ?mi2m` KMQKi`B[m2 
2M;2M/`2 T` H TQKT2
Umbm2HH2K2Mi 2tT`BK2 2M Ki`2 /2 +QHQMM2 /2m , K*1V 2i bQM `2M/2K2Mi ?v/`mHB[m2 
MQKBMH    
Q  2bi H TmBbbM+2 ?v/`mHB[m2 7Qm`MB2 T` H TQKT2 2i  H TmBbbM+2 K+MB[m2 7Qm`MB2 
 H TQKT2X G2
+QMbi`m+i2m` 7Qm`MBi H2b +Qm`#2b   2i   X PM /BbTQb2 U};m`2 kV /2 H 
+`+i`BbiB[m2 ?v/`mHB[m2 /m
ivT2 /2 TQKT2 `2i2Mm2 Uq.1 jkVX AH b;Bi /mM2 TQKT2 +2Mi`B7m;2 KmHiB@i;2b /QMi 
H2 7QM+iBQMM2K2Mi M2 b2`
Tb im/B B+BX
*2ii2 TQKT2 iMi 7#`B[m2 mt la- H /Q+mK2MiiBQM 7Qm`MB2 T` H2 +QMbi`m+i2m` 
miBHBb2 /2b mMBib M;HQ@
btQMM2b , QM MQi2` [m2- /Mb H };m`2 k- H ?mi2m` KMQKi`B[m2 iQiH2  U ?2/ V 2bi 
2tT`BK2 2M TB2/b
U7iV U ;m+?2 /2 H };m`2V 2i H2 /#Bi pQHmKB[m2  U +T+Biv V 2M ;HHQMb la T` 
KBMmi2 Ula;TKVX SQm`
+QMp2`iB` +2b mMBib M;HQ@btQMM2b- QM miBHBb2` H2b 7+i2m`b /2 +QMp2`bBQM 
BM/B[mb 2M #b  /`QBi2 /2 H };m`2 kX
AAXXRV G TmBbbM+2 ?v/`mHB[m2 /mM2 TQKT2 b+`Bi     X CmbiB}2` +2ii2 2tT`2bbBQMX
kyRe@yk@kj Rd,kd,jk

S;2 jf3

6B;m`2 R a+?K /mM2 TQKT2 +2Mi`B7m;2

SQr2` U?TV

1{+B2M+v U  V

SQBMi /2 7QM+iBQMM2K2Mi 2MpBb;
>v/`mHB+ TQr2`

ejXd ?T

SmKT bT22/

jkyy `TK

1{+B2M+v U*14RXyyV

e3XjW

_i2/ TQr2`

NjXj ?T

JtBKmK TQr2`

Ry3 ?T

.`Bp2` TQr2`

Rk8 ?T f NjXk Fq

*T+Biv Ula;TKV

*QMp2`bBQM /2b mMBib U j +?Bz`2b bB;MB}+iB7bV
Ryy la;TK U;HHQM T2` KBMmi2V 4 e-jR GbR
R `TK 4 R i`KBMR
Ryy 7i 4 jy-8 K

6B;m`2 k *`+i`BbiB[m2b /2 H TQKT2 q.1 jk

kyRe@yk@kj Rd,kd,jk

1{+B2M+v UWV

>2/ U7iV

S;2 9f3

AAXXkV *H+mH2` H TmBbbM+2 K+MB[m2   7Qm`MB` bm` Ht2 /2 H TQKT2 TQm` H2 TQBMi 
/2 7QM+iBQMM2K2Mi
  2MpBb;- `2T` T` H2 TQBMi  bm` H };m`2 k- 2M miBHBbMi H2 `2M/2K2Mi 
?v/`mHB[m2 2M +2 TQBMiX
AAX" 

SQBMi /2 7QM+iBQMM2K2Mi ?v/`mHB[m2 2i +QMbQKKiBQM H2+i`B[m2

GHBK2MiiBQM 2M 2m TQi#H2 /mM pBHH;2 M+2bbBi2 mM pQHmK2 /2m /2 keyy Kj T` DQm`X 
PM /+B/2 /2 7B`2 H2
i`Bi2K2Mi /2 H2m /B`2+i2K2Mi  +i /2 H T`Bb2 /bTB`iBQM UHiBim/2 8yk KV 2i /2 
i`MbTQ`i2` H2m TQi#H2
m +?i2m /2m /m pBHH;2 UHiBim/2 ded KV T` mM2 +QM/mBi2 /2 `27QmH2K2Mi 2M 7QMi2 
/2 /BKi`2 MQKBMH
kyy KK 2i /2 HQM;m2m` 3-j98 FKX PM M;HB;2` H2b T2`i2b bBM;mHB`2b /2pMi H2b 
T2`i2b HBMB`2b BMbB [m2 H2b
T2`i2b  HbTB`iBQM /2pMi H2b T2`i2b m `27QmH2K2MiX
AAX"XRV JQMi`2` [m2 /2mt 2t2KTHB`2b /2 H TQKT2 q.1 jk /QBp2Mi M+2bbB`2K2Mi i`2 
KQMib 2M T`HHH2X
~  +H+mH2b  H [m2biBQM AX"Xk- BMbB [m2 H2b };m`2b k
AAX"XkV 1M miBHBbMi H2b pH2m`b /2b T2`i2b `;mHB`2b 
2i d- /i2`KBM2` H2 TQBMi /2 7QM+iBQMM2K2Mi U 2i  V bmBpMi Hii /2 `m;QbBi /2 
H 7QMi2 UM2mp2- +Q``Q/2
Qm /TQb2VX
AAX"XjV .Mb mM T`2KB2` i2KTb- H2b TQKT2b bQMi 2Mi`BM2b T` /2b KQi2m`b 
bvM+?`QM2b /QMi H2 `2M/2K2Mi
H2+i`QK;MiB[m2 2bi /2 3yWX *H+mH2`- /Mb H2b i`QBb bBimiBQMb T`+/2Mi2b- H 
TmBbbM+2 H2+i`B[m2 +QMbQKK2X
*QKK2Mi2` H2z2i /m  pB2BHHBbb2K2Mi  /2 H bm`7+2 BMi`B2m`2 /2 H +MHBbiBQM bm` H 
TmBbbM+2 H2+i`B[m2
/2KM/2 2i bm` H2 `2M/2K2Mi M2`;iB[m2 ;HQ#HX
AAX"X9V *QKTi2 i2Mm /2 H pBi2bb2 /2 `QiiBQM /2b TQKT2b- 2biBK2` H2 +QmTH2 
KQi2m` K+MB[m2 /2 +?[m2
KQi2m` 2Mi`BMMi H TQKT2X *?QBbB` H2 KQi2m` bvM+?`QM2  BKMib T2`KM2Mib H2 THmb 
TT`QT`B T`KB H2b
[mi`2 /+`Bib 2M };m`2 j 2i miBHBb2` bQM `2M/2K2Mi  H pBi2bb2 /2 `QiiBQM /2 H 
TQKT2 TQm` /i2`KBM2` H
TmBbbM+2 H2+i`B[m2 +QMbQKK2X *QKT`2`  H TmBbbM+2 H2+i`B[m2 +QMbQKK2 T` mM 
KQi2m` bvM+?`QM2X

N

_2M/2K2Mi UWV

*QmTH2 ULKV

N
Ry
RR
Rk

Ry

RR

Rk

R

Ga_SJ
Ga_SJ
Ga_SJ
Ga_SJ

kyy
kyy
kyy
kyy

R

oBi2bb2 /2 `QiiBQM Ui`KBM V
N
Ry
RR
Rk

oBi2bb2 /2 `QiiBQM Ui`KBM V
Glk , jeyy i`KBMR f RR8 Fq f kRj 
GR , jeyy i`KBMR f 38 Fq f R83 
GR , jeyy i`KBMR f dy Fq f Rjy 
GR , jeyy i`KBMR f 8y Fq f Nd 

6B;m`2 j *`+i`BbiB[m2b /2 9 KQi2m`b

AAA _2KTH+2K2Mi /2b KQi2m`b bvM+?`QM2b T` /2b KQi2m`b bvM@
+?`QM2b  BKMib T2`KM2MibX pHmiBQM /m +QmTH2
G2b KQi2m`b bvM+?`QM2b  BKMib T2`KM2Mib /bb2x 7Q`i2 TmBbbM+2 U+QKK2 H2 KQ/H2 
+?QBbB T`+/2KK2MiV
bQMi 2M ;M`H HBK2Mib T` /2b p`Bi2m`b T`Q/mBbMi mM bB;MH /2 i2MbBQM 2i /QM+ 
/2b +Qm`Mib bBMmbQ/mt
i`BT?bbX S` bQm+B /2 bBKTHB}+iBQM- MQmb im/B2`QMb B+B mM bvbiK2 /2 +Qm`Mib 
biiQ`B[m2b /BT?bbX
AAAX  *?KT K;MiB[m2 `QiQ`B[m2
G2 `QiQ` b2` bbBKBH  mM #HQ+ +vHBM/`B[m2 ?QKQ;M2 /t2   - /BKMiiBQM T2`KM2Mi2 
mMB7Q`K2 /t2  X
Gt2   2bi mM t2 }t2 /Mb H2 `7`2MiB2H /m biiQ` T2`K2iiMi /2 `2T`2` H2b M;H2b 
/Mb H2 THM T2`T2M/B+mHB`2
    U};m`2 9V ,
r  `2T`2 H /B`2+iBQM /2 Ht2   c
r  `2T`2 H TQbBiBQM M;mHB`2 /mM TQBMi  [m2H+QM[m2X
.Mb H bmBi2- QM bBMi`2bb2` bm`iQmi mt TQBMib  bBimb /Mb H2Mi`272` 2Mi`2 H 
+mHbb2 biiQ`B[m2 U/2 `vQM
BMi`B2m` V 2i H2 `QiQ` U/2 `vQM 2ti`B2m`   V- bQBi i2Hb [m2       X
kyRe@yk@kj Rd,kd,jk

S;2 8f3

  - 
 2i 
 `2T`b2MiMi `2bT2+iBp2K2Mi H2 p2+i2m` +?KT K;MiB[m2- H2
AAAXXRV _TT2H2` H `2HiBQM 2Mi`2 
p2+i2m` 2t+BiiBQM K;MiB[m2 2i H2 p2+i2m` BKMiiBQM /m KBHB2m K;MiB[m2 
+QMbiBimiB7 /m `QiQ`X
     
  - Q  2bi H T2`K#BHBi
AAAXXkV m b2BM /2b BKMib T2`KM2Mib- H `2HiBQM T2mi b+`B`2 
`2HiBp2 /2  `2+mH  /2 HBKMi UH;`2K2Mi bmT`B2m`2  HmMBi TQm` H2b BKMib 
T2`7Q`KMibV 2i   H2 +?KT
K;MiB[m2 `KM2Mi /2 HBKMiX m Tbb;2 /m KBHB2m BKMi +QMbiBimMi H2 `QiQ`  
H2Mi`272`- H2b +QMiBMmBib
#QmiBbb2Mi  H2tT`2bbBQM bmBpMi2 /2b +QKTQbMi2b /m +?KT K;MiB[m2 `QiQ`B[m2

               DPT   

                 TJO   

X

a+?Mi [m2 H2Mi`272` pQBbBM2    NN 2i HHb;2    DN- QM +QMbB/`2 mM +?KT 
K;MiB[m2 /2Mi`272`
BM/T2M/Mi /2 X 1M //mB`2 H2tT`2bbBQM TT`Q+?2 /m +?KT K;MiB[m2 `QiQ`B[m2X
AAAXXjV PM MQi2  H pBi2bb2 M;mHB`2 +QMbiMi2 /m `QiQ` /Mb H2 `7`2MiB2H }t2 /m 
biiQ` 2i QM T`2M/   
MmH  HBMbiMi BMBiBHX _+`B`2 H2tT`2bbBQM bBKTHB}2 /m +?KT K;MiB[m2 
`QiQ`B[m2  mM BMbiMi  2M mM TQBMi
 /2 TQbBiBQM M;mHB`2  /Mb H2Mi`272`X
.QMM2` HHHm`2 /2 H +QKTQbMi2 `/BH2 /m +?KT `QiQ`B[m2 `2bb2MiB  HBMbiMi  /Mb 
H2Mi`272` /Mb H /B`2+iBQM
  X

TQm`        2i  

*mHbb2 K;MiB[m2 /2 ;`M/2 T2`K#BHBi
   /Mb H2 pQHmK2 /2 H +mHbb2V
U    

`vQM /Hb;2 /m biiQ`
TBbb2m` /2 H2Mi`272`
t2 /2 `pQHmiBQM
t2 TQHB`2 /2 `7`2M+2 U}t2V
t2 /2 TQH`BbiBQM K;MiB[m2
`2T`2 HQ+H

BKMi /2 +?KT K;MiB[m2 `KM2Mi   mMB7Q`K2
6B;m`2 9

AAAX"  *?KT K;MiB[m2 biiQ`B[m2

  iQm`MMi  pBi2bb2 M;mHB`2 +QMbiMi2   
PM +?2`+?2 HQ`b  `HBb2` mM +?KT K;MiB[m2 biiQ`B[m2 
U/QM+ /Mb H2 b2Mb /B`2+iV ;`+2  mM2 BKTHMiiBQM T`iB+mHB`2 /2 bTB`2b /Mb H2b 
2M+Q+?2b /m biiQ`X SQm` +2HMQmb miBHBb2`QMb /2mt 2M`QmH2K2Mib TQ`i2m`b /2 
+Qm`Mib /T?bb /2  ,

    DPT  
    DPT  

.Mb mM T`2KB2` i2KTb- mM2 b2mH2 TB`2 /2M+Q+?2b- bBim2 bm` Ht2 T2`T2M/B+mHB`2  
  U};m`2 8V 2bi #Q#BM2
  2M iQmi TQBMi  /2 H2Mi`272`X
2i T`+Qm`m2 T` H2 +Qm`Mi /BMi2MbBi   X PM +?2`+?2  /i2`KBM2` H2 +?KT 

6B;m`2 8

kyRe@yk@kj Rd,kd,jk

S;2 ef3

AAAX"XRV 1M miBHBbMi H2 b+?K /2 H };m`2 8- H2b bvKi`B2b 2i H +B`+mHiBQM /m 
p2+i2m` 2t+BiiBQM K;MiB[m2KQMi`2` [m2

TQm`   > <
TQm`   > <

AAAX"XkV CmbiB}2` [mmM2 `T`iBiBQM Dm/B+B2mb2 /2b #`BMb /Mb /2b 2M+Q+?2b 
`;mHB`2K2Mi `T`iB2b miQm` /m
biiQ` TmBbb2 7Qm`MB` mM +?KT /QMi HHHm`2 i?Q`B[m2 2bi /2 H 7Q`K2 /QMM2 };m`2 
eX
*QK#B2M /2M+Q+?2b `T`iB2b +Q``2bTQM/2Mi  H +Qm`#2 /2 H };m`2 e \ S`+Bb2x H2b 
`2T`2b M;mHB`2b bm` Ht2
/2b #b+Bbb2bX

y

6B;m`2 e
AAAX"XjV G2 +?KT biiQ`B[m2 `/BH  bTT`Q+?2 /mM2 7QM+iBQM bBMmbQ/H2 /2 H 7Q`K2    
    DPT 
[m2 HQM T`2M/` /bQ`KBb +QKK2 H +QMi`B#miBQM `2HH2 /m +Qm`Mi   /Mb 
H2M`QmH2K2MiX
.2 [mQB /T2M/ H +QMbiMi2  \
AAAX"X9V PM `DQmi2 H2 b2+QM/ 2M`QmH2K2Mi /+H bTiBH2K2Mi /2 HM;H2  U/QM+ bm` 
Ht2  VX G2 +Qm`Mi
  /2 +2i 2M`QmH2K2Mi 2bi 2M [m/`im`2 `2i`/ bm` H2 +Qm`Mi   X
JQMi`2` [m2 b T`iB+BTiBQM m +?KT `/BH biiQ`B[m2 b+`B`       TJO    TJO X
AAAX"X8V JQMi`2` [m2 H2 +?KT K;MiB[m2 biiQ`B[m2 `bmHiMi 2bi mM +?KT iQm`MMi 
/Mb H2 b2Mb i`B;QMQ@
Ki`B[m2  H pBi2bb2 M;mHB`2  /QMi QM /QMM2` HKTHBim/2X
AAAX*  M2`;B2 K;MiB[m2 /Mb H2Mi`272`
AAAX*XRV _TT2H2` H2tT`2bbBQM /2 H /2MbBi pQHmKB[m2 /M2`;B2 K;MiB[m2 /Mb mM 
KBHB2m /2 T2`K#BHBi
`2HiBp2  X
AAAX*XkV *H+mH2` HM2`;B2 K;MiB[m2 /Mb H2Mi`272` UbB;2 /2b +?KTb `QiQ`B[m2 2i 
biiQ`B[m2V 2M M;HB;2Mi
H2b 2z2ib /2 #Q`/ 2i 2M MQiMi  H HQM;m2m` /m `QiQ`X
PM TQm`` HH;2` H2tT`2bbBQM }MH2 2M 7BbMi TT`Bi`2 H2 pQHmK2 /2Mi`272`   X
AAAX.  JQK2Mi H2+i`QK;MiB[m2 b2t2`Mi bm` H2 `QiQ`
AAAX.XRV _TT2H2` H2tT`2bbBQM /m +QmTH2 /2b 7Q`+2b H2+i`QK;MiB[m2b 2t2`+2b 
bm` H2 `QiQ`-  T`iB` /2 HM2`;B2
K;MiB[m2X
1M //mB`2 H2tT`2bbBQM /2 +2 +QmTH2 2M miBHBbMi H2 `bmHii /2 H [m2biBQM 
AAAX*XkX
AAAX.XkV Zm2HH2b +QM/BiBQMb bQMi M+2bbB`2b  HQ#i2MiBQM /mM +QmTH2 KQi2m` 
KQv2M TQbBiB7 \

AAAX.XjV .Bb+mi2` H2 `H2 /2  UM;H2 /2  +H;2  /2b +Qm`MibV 2i H bi#BHBi /2 /2mt 
TQBMib /2 7QM+iBQMM2K2Mi
bbQ+Bb  /2mt pH2m`b /2  X

kyRe@yk@kj Rd,kd,jk

S;2 df3

VD for water at 20C (V in m/s, D in cm)

0.06
0.1
0.2
0.4
0.6 0.8 1
2
4
6
8 10
20
40
60
100
200
400
600
1000
2000
|______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

VD for atmospheric air at 20C
-1

10

1
|

2
|

Laminar
flow

9

4
|

6
|

8
|

 Critical 

10
|

20
|

40
|

60
|

|

100
|

200
|

Transition zone

400
|

600
|

|

1000
|

2000
|

4000
|

6000
|

|

10000
|

20000
|

40

Complete turbulence, rough pipes, R > 3500/r, 1/f = 1.14 - 2 log r

zone

8

7

6
5.5

2hDg
Darcy-Weisbach friction factor f ! """"
LV 2

5
4.5
4

3.5

3

2.5

2
1.8
1.6

1.4

1.2

-2

10

Material
""""""""""""""
Riveted steel
Concrete
Wood stave
Cast iron
Galvanized iron
Asphalted cast iron
Commercial steel
Drawn tubing

 (mm)
"""""""""
0.9-9
0.3-3
0.18-0.9
0.25
0.15
0.12
0.046
0.0015

Fluid at 20C
""""""""""""""
Water
Air (101.325 kPa)

 (m2/s)
"""""""""
1.003e-006
1.511e-005

Smooth pipes, r = 0
1/f = 2 log(R f ) - 0.8
Hagen-Poisseuille equation
R  2300, f = 64/R
Colebrook equation, R  2300
1/f = -2 log(r /3.7 + 2.51/(R f ))

r = 5e-006

Acceleration at sea level
latitude 45, g = 9.80665 m/s2

9

r = 1e-006

8
6 7 8

3

10

2

3

Moody Diagram

4

5 6 7 8

4

10

2

3

4

5 6 7 8

5

10

2

3

4

5 6 7 8

6

10

2

VD
Reynolds number R ! "" (V in m/s, D in m,  in m 2/s)

3

4

5 6 7 8

7

10

2

Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Physique et Chimie 1 PSI 2016 -- Corrig
Ce corrig est propos par Sylvie Su (ENS Lyon) et Julien Dumont (Professeur
en CPGE) ; il a t relu par Tom Morel (Professeur en CPGE).

Ce sujet propose d'tudier un systme d'alimentation d'eau constitu d'une pompe
relie  un moteur magntique ainsi que les critres permettant de choisir ce 
moteur
et son fonctionnement.
 Dans la premire partie, on s'intresse  l'coulement dans des tuyaux rels 
et
plus particulirement aux pertes de charge dont ils sont le sige. Cette partie
est longue et ncessite de bien connatre le cours de mcanique des fluides.
 Dans un deuxime temps, on tudie les caractristiques d'une pompe centrifuge
afin de la choisir pour rpondre au cahier des charges d'une installation 
relle.
Cette partie est originale et intressante. Elle permet d'appliquer le cours 
dans
un contexte pratique.
 Enfin, on tudie plus prcisment le fonctionnement du moteur magntique
synchrone utilis en association avec la pompe slectionne. Cette partie, 
beaucoup plus proche du cours, ncessite parfois de longs et fastidieux calculs 
mais
balaie une large partie du cours de sp sur la conversion de puissance.
Ce problme intressant aborde de faon indpendante des notions 
d'hydrodynamique et de conversion lectromagntomcanique. Il demande galement 
des lectures
de courbes et comporte des questions proches du cours mais qui ncessitent 
quelque
rflexion. Ce sujet est le premier  aborder les moteurs synchrones ; il offre 
donc une
occasion rare de travailler et rviser ce chapitre.

Indications
Partie I
I.A.1.e Attention  la dfinition de H, notamment  son signe.
H
I.A.2.b Penser aux caractristiques de l'coulement pour exprimer
en fonction
x
de H et pouvoir utiliser I.A.1.e.
I.B.1.d De quel rgime les valeurs proposes permettent-elles de se rapprocher ?
I.B.2.b Dans la lecture du diagramme, il faut d'abord calculer le nombre de 
Reynolds pour se positionner en abscisse, puis le rapport /D pour trouver la
courbe pertinente  partir de l'axe des ordonnes  droite.
Partie II
II.A.1 Une explication qualitative suffit.
II.B.1 valuer  partir de la figure 2 le dbit maximal que l'on peut obtenir 
avec
une pompe.
II.B.2 L encore, il faut exploiter le diagramme de Moody.
Partie III
III.B.2 Le champ total est obtenu par superposition des champs individuels.
III.C.2 La question consiste  intgrer la densit volumique d'nergie 
magntique
dans tout l'entrefer. Elle est trs (voire extrmement) calculatoire.

I. Pertes de charge dans les conduites
I.A.1.a Dtaillons les dfinitions demandes :
 un coulement parfait est un coulement pour lequel on peut ngliger la 
viscosit
et la diffusion thermique ;
 un coulement est homogne si ses proprits macroscopiques ne dpendent
pas de la position, alors qu'il est incompressible si la masse volumique d'une
particule de fluide est constante au cours de l'coulement ;
 un coulement est stationnaire si ses proprits ne dpendent pas du temps.
I.A.1.b Pour un systme ouvert, en rgime stationnaire et entre deux points d'un
mme tube de courant, le premier principe de la thermodynamique s'crit
(h + ec + ep ) = wu + q
o h, ec et ep dsignent respectivement l'enthalpie massique, et les nergies 
massiques cintique et potentielle du systme. wu et q sont respectivement le 
travail
utile massique (c'est--dire autre que celui des forces pressantes ou 
conservatives) et
le transfert thermique massique. Dans le cas d'un fluide parfait, ces deux 
dernires
grandeurs sont nulles. Sous les hypothses effectues, la variation u d'nergie 
interne
massique est nulle. Or, celle-ci intervient dans l'expression de la variation 
d'enthalpie
massique, puisque

p
h =  u +

o p est la pression et  la masse volumique. L'nergie potentielle massique se 
limite 
celle de pesanteur d'expression gz. L'nergie cintique massique est v 2 /2. 
Finalement,
on peut rcrire le premier principe selon

1 2
p
1

v + gz +
=0
et
eT = v 2 + gz + p = Cte
2

2
Ce terme eT s'identifie  l'nergie totale volumique dont on vient de dmontrer 
la
constance le long d'une ligne de courant. Par consquent,
H=

eT
g

appele hauteur manomtrique, ou charge totale, est galement une constante.
I.A.1.c Dans un fluide rel, la viscosit n'est pas nulle et joue un rle non 
ngligeable
prs des parois, o la vitesse du fluide est celle de la paroi.
C'est l'exemple d'une conduite cylindrique, dans laquelle le profil des vitesses
est parabolique si on prend en compte la viscosit, alors qu'il est uniforme 
sinon. C'est justement ce profil parabolique que l'on retrouve dans les 
questions
suivantes.
I.A.1.d Le seul mcanisme de dissipation de l'nergie prsent entre deux points
A et B est celui d aux forces de viscosit et correspond  un travail massique
supplmentaire  prendre en compte par rapport  la question I.A.1.b. Ce travail
s'identifie  la circulation des forces de viscosit et le premier principe se 
rcrit
Z B

-

-
eT (B) - eT (A) =
f visq  d
A

Remarquons qu'ici les forces de viscosit sont opposes au dplacement, ainsi
le produit scalaire est ngatif et l'intgrale galement : cela correspond bien
 une perte d'nergie sur le chemin allant de A  B.
I.A.1.e D'aprs la question I.A.1.b, H = eT /g. En divisant la rponse  la 
question
prcdente par g, la perte de charge s'crit

-
Z B-
f visq  d
H(B) - H(A) =
g
A

-
Z B

-
  v  d
=
g
A Z
B

-

-

H(B) - H(A) =
f visq  d
g A
Comme la perte de charge H est l'oppose de cette quantit,
H = -

g

Z

B

-

-
f visq  d

A

En l'absence de viscosit, la perte de charge est bien nulle. De plus, le 
caractre positif de cette quantit justifie le nom de  perte  de charge : 
l'nergie
totale ne peut que diminuer.
I.A.2.a Si v dpendait de x, la densit volumique de particules serait modifie
par accumulation ou dsertion de matire dans certaines zones de l'espace. Cela
entranerait une variation de la masse volumique des particules de fluide lors 
de
l'coulement, ce qui est incompatible avec l'hypothse d'incompressibilit.

I.A.2.b L'coulement est unidimensionnel selon -
ex , par consquent les lignes de
courant sont des droites dans cette direction. Le long d'une telle ligne, entre 
deux
points infiniment proches A et B carts de dx, on a
H(B) - H(A) 

H
dx
x

Grce  la question I.A.1.e, on parvient 

H
dx = -
x
g

Z

B

-

-
v  d

A

En appliquant les simplifications obtenues  la question I.A.2.a et en 
utilisant l'ex
pression de -
v fournie, on obtient
H
dx
x

Z

-
 x+dx 1 
v(r) -

=-
r
ex  d
g x
r r
r

 Z x+dx
 1 
v(r)
=-
r
dx
g r r
r
x

 1 
v(r)
-adx = -
r
dx
g r r
r

 1 
v(r)
a=
r
g r r
r
-adx =

et donc