Centrale Physique PSI 2013

Thème de l'épreuve Les frottements de glissement
Principaux outils utilisés diffusion thermique, mécanique des fluides
Mots clefs ski, frottements, jonction entre deux solides, lubrification

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                    

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
        

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


(, '» P hysiq u e ...
EUR, ( FI
_/ PSI @
communs EENTHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

Les frottements de glissement

Diverses valeurs numériques sont regroupées a la fin de l'énoncé. On y trouvera 
aussi un formulaire fournissant
quelques intégrales utiles et deua: eoepressions d'analyse vectorielle.

Cet énoncé aborde quelques phénomènes associés aux frottements de deux solides 
21 et 22 en glissement relatif
le long de leur interface. Dans ce contexte, il est fondamental de distinguer 
l'aire apparente S de cette interface,
telle que l'on peut la percevoir à l'échelle macroscopique, de l'aire réelle de 
contact A. En effet, la surface
d'un solide, rugueuse à l'échelle micrométrique, présente des aspérités de 
hauteurs diverses. Seules les plus
proéminentes de chacun des solides se rencontrent et se déforment, faisant 
apparaitre de petites zones plates
appelées jonctions où l'interaction entre les solides se concentre.

I Effets thermiques aux jonctions

Lorsque 21 et 22 glissent l'un contre l'autre, les jonctions s'échauffent a 
cause de la dissipation d'énergie associée
aux frottements. Dans cette partie, on étudie quantitativement cet effet.

I.A -- Diffusion thermique dans un milieu semi-infini

On considère pour l'instant un solide indilatable, homogène et semi--infini,
situé dans le domaine 27 E [O, +oo[, latéralement limité par un cylindre de 0

section 3 et de génératrices parallèles à EUR; (figure 1). Ce solide 
cylindrique ------------------------------------
est calorifugé latéralement. On note À la conductivité thermique du maté--
riau dont est constitué le cylindre, p sa masse volumique et c sa capacité
calorifique massique, quantités indépendantes de la température. Oe mi--
lieu, présentant préalablement une température uniforme T 0, va recevoir
de l'énergie thermique au travers de sa surface d'équation z = 0 seulement. Le 
rythme auquel ce transfert
s'effectue sera précisé plus loin. On analyse l'évolution de sa température T 
supposée ne dépendre que de z et
du temps t. On note 9(z, t) = T (27, t) -- T 0 l'élévation de température 
provoquée par l'apport thermique.

Figure 1

I.A.1) Montrer que l'élévation de température 9(z, t) obéit à l'équation aux 
dérivées partielles

Ô9(z,t) _ ÀÔ29(z,t)
Ôt Ôz2
Que devient cette équation lorsque À dépend de la température T ?
I.A.2) Milieu chauffé brièvement
Dans cette question, le solide n'est chauffé que pendant une durée extrêmement 
brève entre les instants to -- ôt

et to : 0. Pendant ce très court échange, le solide reçoit la quantité de 
chaleur 5Qg : josôt. Il en résulte une
petite élévation de température notée 59(z, t).

a) Que vaut 69(z,t) pour t < --ôt et z > 0 ?
B z2

?) Onnoter,t =--ex ----
) ( ) @ p 4Dt

l'équation aux dérivées partielles établie dans la question I.A.1.

pc

À
avec D = --. Vérifier que la fonction 59(z, t) : G(z, t)ôt est solution de
pc

c) Exprimer la variation de l'énergie interne U du solide entre un instant t1 < 
--ôt et un instant t2 > 0,
d'une part en fonction de jo, d'autre part en utilisant G(z, t). En déduire 
l'expression de B en fonction de jo,
expression que l'on simplifiera en introduisant l'effusivité thermique e : 
\/Îpc.

d) Plaçons--nous maintenant dans la situation où le très bref échange thermique 
5Q0 a lieu a un instant to > O.
Exprimer 59(z, t) en distinguant deux intervalles de temps.

I.A.3) Milieu chauffé continument

a ) Le système est maintenant chauffé sans interruption a partir de l'instant 
initial avec une densité de flux
thermique jo fonction du temps.

Quelle quantité de chaleur 5Qg reçoit--il entre to -- ôt0 et to ? Quelle 
élévation de température 69(z,t) cela
provoque--t--il a la cote 27 a un instant t > to ? En déduire sous la forme 
d'une intégrale l'élévation de température
9(z, t) produite par l'apport thermique ininterrompu depuis l'instant initial.

2013-03-25 11:52:46 Page 1/7 GC) BY--NC-SA

b} Dans le cas particulier où jo ne dépend pas du temps, le calcul de 
l'intégrale précédente, non demandé,

conduit a
9 0 et 27 < 0, s'échauffent a cause 
des
frottements sur leur interface z = 0. On note 3 l'aire de cette interface, 1 
: j15
et 2 : 325 les flux thermiques reçus par chacun d'eux. Pour simplifier on 
suppose
que C1 glisse sur C2 immobile et que les deux solides n'échangent d'énergie que 
l'un (131
avec l'autre, leur ensemble étant isolé thermodynamiquement du reste de 
l'univers.

Soit ps la puissance surfacique négative des forces de frottement exercées par 
C2 l ]

C1

sur C1.

I.B.1) On note & = U,; + Eci avec i E {1,2} l'énergie totale du cylindre C,,

composée de ses énergies interne et cinétique. Appliquer le premier principe de 
la (132
thermodynamique a chacun des deux solides entres deux instants séparés de dt. C2

I.B.2) Appliquer le premier principe a l'ensemble des deux solides.

I.B.3) En déduire une relation entre ps, j1 et 32. F' 3
1gure

I.C -- Application ana: joncti0ns

Le modèle développé dans les questions précédentes permet d'estimer 
l'échauffement des jonctions décrites dans
l'introduction lorsque C1 glisse sur C2 a la vitesse @. Dans ce cas on note TC 
la force tangentielle par unité de
surface exercée par C2 sur C1. La puissance surfacique correspondante s'exprime 
par ps : --ch.

I.C.1) Quand C1 et C2 sont formés du même matériau avec le même état de 
surface, donner l'expression de
j1 et de 32 en fonction de ps.

I.C.2) Les jonctions ont un diamètre de l'ordre de 0,1 mm. Quelle est la durée 
7' du contact si @ = 1 m - s_1 ?
I.C.3) Pour estimer les effets thermiques au niveau des jonctions, on utilise 
les résultats de I.A.3.b a l'instant
t = T.

a} Comparer quantitativement les propriétés de l'acier, du granit et du Téflon 
en calculant l'élévation de tem--
pérature de l'interface et la profondeur 5 a la fin du contact.

b} Analyser la pertinence de l'approximation qui consiste a supposer les deux 
milieux semi--infinis pour étudier
la diffusion thermique dans chaque jonction (hypothèse introduite au début de 
LA).

2013-03-25 11:52:46 Page 2/7 GC) BY--NC-SA

II Un système auto-lubrifié

Les forces de frottement associées au glissement d'un solide sur la glace ou la 
neige sont fréquemment étudiées en
raison de leur importance pour diverses pratiques récréatives ou pour les 
moyens de transport dans les régions
froides. À des températures de l'ordre de --40°C, ce glissement s'effectue avec 
une résistance énorme, comparable
a celle que l'on observe sur du sable. Pour des températures de l'ordre de 
--10°C, les forces de frottement chutent
d'un ordre de grandeur et le glissement devient aisé. Ce comportement 
s'explique par la fusion superficielle de
la glace sous l'objet glissant, la fine couche d'eau liquide apparue jouant le 
rôle de lubrifiant. L'écoulement de
cette eau est supposé incompressible dans tout le problème. Nous appellerons << 
patin >> le solide 21 glissant sur
la glace, désignée par Eg.

Dans les parties II et III, il est question des forces s'exerçant sur 21 dans 
les jonctions. On note A1 l'aire d'une
jonction et Ë1 la résultante des forces que 21 y subit. On la on décompose sous 
la forme Ë1 : R1oe EUR}; + Rlz EUR}...
Le vecteur unitaire e}} est perpendiculaire a l'interface apparente des deux 
solides ; ë'oe lui est parallèle dans la
direction du glissement. La réunion de toutes les jonctions donne l'aire réelle 
de contact A sur laquelle 21 est
soumis a des efforts de résultante R : R,, EUR}, + RZ @.

II.A -- Mécanisme de fusion

Deux hypothèses ont été émises pour expliquer la fusion superficielle de la 
glace :

-- selon Reynolds, la fusion s'explique par la surpression exercée par le patin 
sur la glace ;

-- selon Bowden, la fusion s'explique par l'élévation de température provoquée 
par les frottements.
Les questions ci--dessous apportent des éléments pour trancher parmi ces deux 
propositions.

II.A.1) Considérons une paire de skis d'aire apparente S = 0,3 m2 supportant un 
skieur de 75 kg (skis compris)
glissant sur un plan horizontal. On suppose que l'aire réelle de contact A 
représente un millième de l'aire
apparente. Calculer la surpression s'exerçant sur la neige.

II.A.2) Rappeler l'allure du diagramme d'état de l'eau dans le plan (P,T ) On 
assimile la courbe relative
a l'équilibre liquide--solide a une droite. Déterminer sa pente puis 
l'abaissement de la température de fusion
provoqué par la surpression de la question précédente.

II.A.3) Considérons maintenant l'échauffement associé aux frottements pour un 
patin glissant a la vitesse
@ = 1 m-s_1 sur une glace sèche, la force surfacique de frottement valant TC : 
1 >< 107 Pa. Calculer numériquement
la puissance surfacique ps : --'UTC correspondante.

II.A.4) Pour un patin isolant, toute la chaleur produite par les frottements 
diffuse vers la glace. En utilisant
le résultat de la question I.A.3.b, exprimer l'échauffement de la surface de la 
glace pendant la durée 7' d'un
contact.

II.A.5) Calculer numériquement le temps nécessaire a un échauffement de 10°C.

II.A.6) L'expérience montre que les forces de frottement augmentent énormément 
si @ tend vers 0 et que
des patins en cuivre glissent beaucoup moins bien que des patins en bois de 
chêne. Parmi les hypothèses de
Bowden et Reynolds, laquelle est correcte ? Vous expliquerez comment chacun des 
points précédents concourt
a la conclusion ou au contraire s'y oppose.

II.B -- Frottements visqnenoe et dissipation dans la couche lubrifiants
Au niveau d'une jonction entre la glace immobile et le patin de vitesse vé}, 
existe un
film d'eau liquide d'épaisseur h et d'aire A1. Soit 77 la viscosité dynamique 
de l'eau. On patm
modélise la situation par un écoulement laminaire permanent dans lequel on 
recherche \ é},
un champ de vitesse du type ii : u(oe, z) ë'oe (figure 4). L'interface entre la 
glace et l'eau h ÿj ' ë*oe
liquide a pour cote 27 = 0, EUR; désignant la verticale ascendante.
II.B.1) Justifier que u(oe, z) ne dépend en réalité que de z. glace
II.B.2) Dans la situation étudiée ici, la force surfacique s'exerçant vers les 
27 croissants ,

F1gure 4

o o --) u --) / o
au travers d'une surface de cote 27 du fluide s'exprime par Tv : --77d-- 633. 
En déduire
z

l'expression de la force volumique de viscosité f .

II.B.3) On rappelle l'équation de Navier--Stokes régissant la dynamique des 
fluides visqueux newtoniens :
ÔÜ' _, --» _, --» _, --»
p(--+(u-V)U) = --Vp+pg+f

Aucun gradient de pression n'est appliqué selon ë}, Déterminer le champ de 
vitesse u(z).

II.B.4) Exprimer la composante tangentielle Roe1 de la force exercée sur le 
patin dans cette jonction.
II.B.5) Exprimer la puissance P1 de la force exercée par le patin sur l'eau 
d'une jonction.

II.B.6) Pour une épaisseur de film h = 0,1 nm et une vitesse @ = 1 m - s_1, 
calculer le nombre de Reynolds de
l'écoulement. Quelle hypothèse de l'énoncé cette valeur permet--elle de 
confirmer ?

2013-03-25 11:52:46 Page 3/7 GC) BY--NC-SA

II.B.7 ) On considère le système fermé constitué par l'eau contenue a l'instant 
t dans une jonction d'aire A1.
L'écoulement est toujours supposé permanent et on négligle les effets de bord.

a ) Justifier que le travail des forces de pression sur ce système est nul.

2
U A
Z)) Montrer que la puissance thermique sortant du système vaut Pth : 77 1.

h

III Détermination de l'épaisseur de la couche lubrifiante

La détermination de l'épaisseur h de la couche lubrifiante, conjointement a la 
force de frottement s'exerçant
sur l'ensemble du patin, constitue un défi théorique qui n'a été que très 
partiellement relevé a ce jour. De
nombreuses questions restent ouvertes concernant l'aire réelle de contact, le 
caractère intermittent des jonctions,
l'état de surface de la glace et du patin, etc. Cette partie du problème 
explore quelques aspects de ces questions
dans le cadre de modèles simples. Bien que l'épaisseur h dépende du temps, on 
admet que les résultats établis
dans II.B s'appliquent a chaque instant.

III.A -- Croissance du film d'eau contrôlée par les frottements seuls

Toute l'énergie thermique produite par la dissipation visqueuse avec la 
puissance calculée en II.B.7.b est
supposée disponible pour la fusion de la glace. L'eau liquide formée, de masse 
volumique p, s'accumule dans la
jonction. On note L f l'enthalpie massique de fusion de la glace.

Soit dh l'augmentation d'épaisseur du film d'eau dans une jonction d'aire A1, 
consécutive de la fusion de la

dh
glace pendant dt. Exprimer Æ en fonction de 77, u, p, L f et h(t).

III.B -- Eoepulsz'on du film d'eau

En réalité, l'eau liquide présente dans les jonctions en est expulsée sous 
l'effet des forces

verticales, ce qui limite la croissance du film lubrifiant. Dans toute la 
partie III.B, 62:
on se concentre sur ce phénomène d'expulsion pour évaluer la décroissance de h 
qu'il

provoquerait s'il intervenait seul. On omet donc momentanément la translation du

patin et la fusion de la glace.

On adopte un modèle a symétrie cylindrique (figure 5), le patin et la glace 
étant h
assimilés près d'une jonction a des disques de diamètre D = 0,1 mm séparés par 
le film

d'eau d'épaisseur h(t) de l'ordre de 0,1 um . On utilise des coordonnées 
cylindriques 0
(r, 9, z) centrées sur l'axe de révolution de la jonction. La base locale 
associée est EUR},
ë'9, @. On recherche le champ de vitesse de la forme û(M) : u,.(r, z)ë} + uZ(r, 
z)ëz.
En r = D / 2 l'eau liquide quitte la jonction et retrouve la pression 
atmosphérique PO.

eau

glace

Figure 5
III.B.1) On procède a une analyse d'ordres de grandeurs pour résoudre 
l'équation de
Navier--Stokes dont la projection sur ë} s'écrit :

%+ %+ % __@+ 52... 3% n 52...
p Ôt u,. Ôr % Ôz _ Ôr 77 Ôr2 rÔr r2 Ôz2

(1111)

On note U un ordre de grandeur de u,. et W = h / 7' un ordre de grandeur de uZ 
avec 7' = 10_4 s.
a) En exploitant l'incompressibilité de l'écoulement, relier U a W.

Z)) Analyser l'ordre de grandeur des quatre termes diffusifs. Montrer 
numériquement que l'un est dominant. On
néglige dans la suite les trois autres.

c) Montrer de la même manière qu'on peut négliger les termes convectifs devant 
celui associé aux forces vis--
queuses.

d) Faire de même pour le terme instationnaire proportionnel a
e ) En déduire l'écriture simplifiée de l'équation III.1.
Des analyses similaires, non demandées, permettent de montrer que les gradients 
axiaux de pression sont négli--
Ô
geables ce qui revient a considérer que Ô_p : 0.
27

d
III.B.2) Exprimer le champ de vitesse a, en fonction de z, h, 77 et _p_

dr
III.B.3) Exprimer le débit volumique Dv sortant d'un cylindre de rayon r < D / 
2 et de hauteur h.

dh
III.B.4) Relier d'autre part ce débit a Æ'

2013-03-25 11:52:46 Page 4/7 GC) BY--NC-SA

III.B.5) En déduire l'expression suivante du champ de pression :

3 D2 dh
p=po+_n(.2__)

h3 4 dt

III.B.6) Calculer la résultante des forces de pression Rp exercée sur le disque 
de rayon D / 2 par lequel le patin
prend appui sur le fluide.

III.B.7 ) Les termes indépendants de P0 de Rp s'identifient a Rzl, force 
normale s'exerçant sur la jonction. En
supposant Rzl constante, trouver la loi horaire de diminution de h(t). On 
notera ho la valeur de h a t = 0 et
_ 37771D4

_ 64hâRzl'

III.B.8) Calculer numériquement M7") et 71 pour ho : 100 nm et R21 : 2 >< 10_2 
N.

7'1

III.C -- Croissance isotherme du film d'eau limitée par eoepulsion

8Rzlh3
377D2 '
On reprend ici l'analyse des variations de h(t) en supposant que cet effet 
d'expulsion et celui de fusion de la
glace considéré dans III.A s'additionnent. Pour les jonctions cylindriques 
envisagées ici, A1 : 7TD2/4.

En poursuivant les calculs de III.B, on obtient une expression du débit expulsé 
de la jonction : DU :

III.C.1) Montrer que dans ce modèle, h(t) obéit a une équation différentielle 
du type

dh -- fi -- 02h3 (1112)

où Cl et 02 sont deux constantes a exprimer en fonction de 77, @, p, L f, R21 
et D.

III.C.2) Exprimer la hauteur limite hlim qu'atteindra le film.

III.C.3) Des résultats expérimentaux suggèrent qu'à des températures pas trop 
basses, la résultante des forces
de frottement tangentielles exercées sur le patin est proportionnelle a @. 
Montrer que le modèle permet
d'interpréter ce comportement.

IV Frottement entre solides non lubrifiés

Lorsque deux solides glissent l'un contre l'autre sans couche liquide 
intermédiaire, les forces de frottement qu'ils
exercent l'un sur l'autre présentent un comportement très différent de celui 
étudié dans les parties II et III.
Pour les décrire, on conserve cependant les notations A1, Ë1 : R1oe EUR}, + R12 
52 et Ë : R,, EUR}, + RZ ë'Z définies
au début de la partie II, ces efforts étant exercés directement par 22 sur 21 
et non plus par l'intermédiaire
d'une couche liquide.

Dès le XVIIème siècle ont été découvertes deux propriétés essentielles

-- lRoel est proportionnelle a RZ, le facteur de proportionnalité dépendant de 
la nature des matériaux en
contact ;

-- R,, est indépendante de la surface apparente de contact S.

L'interprétation de ces observations date de 1950 environ et repose sur 
l'analyse des phénomènes ayant lieu au

niveau des jonctions. En effet, ces jonctions se déforment sous l'effet des 
efforts perpendiculaires a l'interface et

un contact intime s'y crée entre les deux solides. Pour déplacer les uns contre 
les autres les atomes de 21 et 22

<< en contact >> dans une jonction d'aire A1, il faut exercer une force 
tangentielle minimale R... : TCA1. La force

surfacique Tc, aussi appelée contrainte de cisaillement, est liée a la nature 
des matériaux.

Deux types de déformation des jonctions sont envisagés tour a tour dans la 
suite : les déformations plastiques
d'une part et les déformations élastiques d'autre part.

I V.A -- Cas des déformations plastiques

Dans ce premier cas, on admet que R21 : aCA1 dès lors qu'il y a contact entre 
deux jonctions, quelle que soit
l'amplitude de la déformation. La grandeur ac caractérise la dureté des 
matériaux.

IV.A.1) Quelle relation existe--t--il entre A (aire de contact réelle), RZ et 
ac ?

IV.A.2) Calculer numériquement la valeur de A pour un bloc d'acier 
parallélépidédique de 300 g reposant sur

une table d'acier horizontale. Pour S = 24 cm2, quelle fraction de l'aire 
apparente S représente l'aire de contact
réelle A ?

IV.A.3) En supposant qu'il y a glissement d'un solide sur l'autre et que toutes 
les jonctions glissent en même
temps, établir le lien entre lRoel, RZ, ac et Tc.

IV.A.4) Cette modélisation permet--elle d'expliquer les deux propriétés 
introduites dans le préambule de la
partie IV ? Pourquoi ?

2013-03-25 11:52:46 Page 5/7 GC) BY--NC-SA

I V.B -- Cas des déformations élastiques

Dans ce second cas nous supposons pour simplifier que la surface de 21 est 
parfaitement lisse et indéformable
alors que celle de 22 présente N aspérités identiques modélisées par des 
sphères de rayon R (partie gauche de la
figure 6). Par rapport a un plan de référence, les sommets de ces sphères se 
trouvent initialement à la hauteur
zo. Elles se déforment lorsque la surface plane de 21 se trouve a la hauteur d 
< zo (partie droite de la figure 6).
Chacune forme alors une jonction circulaire de rayon ro et voit sa hauteur 
réduite de h. Un calcul dû à H. Hertz

montre que pour des déformations élastiques
7°0 =R1/3(HR21)1/3 h=R_1/3(HR21)2/3

où H: est une constante caractéristique du matériau constituant 22.

E1

E1
27"()
<--)
d \_/ \_/ \_/ \_/
Z0 d
22 E2

Figure 6 Contact sur une surface modélisée par une série de bosses sphériques

IV.B.1) Relier l'aire de contact A a RZ, R, H: et N.
IV.B.2) Cette modélisation permet--elle d'expliquer les deux propriétés 
introduites dans le préambule de la
partie IV ? Pourquoi ?

IV.B.3) En réalité, les sommets des aspérités de surface, ici représentées par 
les protubérances sphériques, ne se
trouvent pas tous a la même hauteur avant le contact avec 21. La diminution de 
d associée à l'augmentation de
RZ ne provoque pas seulement l'élargissement de chacun des contacts circulaires 
mais permet aussi la formation
de nouvelles jonctions. Dans le modèle de Creenwood, on note dN : OE(z) dz le 
nombre de bosses sphériques
dont le sommet se trouve initialement à une cote comprise entre z et z + dz.

00
a) Avec un nombre d'aspérités N identique a celui du modèle précédent, que vaut 
/ OE(z) dz ?
0

b) Lorsque 21 se trouve a la cote d , donner une expression intégrale du nombre 
de jonctions fermées N J.
c) Donner dans les mêmes conditions une expression intégrale de l'aire de 
contact A.
d) Faire de même pour RZ.

e) Fréquemment, la fonction OE(z) peut être approximée par OE(z) : \IJOe_O'Z. 
Calculer explicitement A et RZ
en fonction de \IJO, oz, d, R et /<:.

f) Le modèle de Creenwood permet--il d'expliquer les deux propriétés 
introduites dans le préambule de la
partie IV ? Pourquoi ?

Données numériques

Matériau p (kg - m_3) e (J - K_1 -kg_1) À (W- K_1 --m_1) Tc (Pa)

acier 7,9 >< 103 4,5 >< 102 75 2 >< 108
granit 2,7 >< 103 8,0 >< 102 2,2 2 >< 108
Téflon 2,2 >< 103 1,1 >< 103 2,3 2 >< 106
cuivre 9,0 >< 103 3,9 >< 102 3,9 >< 102
chêne 8 >< 102 2 >< 103 0,2
glace 9,2 >< 102 2,1 >< 103 2,3

Échelles de température : 0°C : 273,15 K

Pression atmosphérique : P : 101,3 kPa

Coordonnées du point triple de l'eau : Tt : 273,16 K, P,; = 0,611 kPa

Viscosité dynamique de l'eau à 0°C : 77 = 1,8 >< 10_3 Pa - s

Masse volumique de l'eau liquide : p = 1,0 >< 103 kg - m--3

Enthalpie massique de fusion de la glace 0°C : Lf : 3,3 >< 105 J -- kg--1

Dureté de l'acier : oc : 1 >< 109 Pa

Accélération de la pesanteur g = 9,8 m -- s_2.

Gc_

2013-03-25 11:52:46

Page 6/7

Formulaire

/ EUR--u2 du: äfi / ue--au du: _2 / u3/26_0... du= Æ
0 06

0 0 4a5/2
_, _, _, _)
divaA : adivA + A - grada

En coordonnées cylindriques,

. q lôrAr 16Ae ÔAZ
d"A<"9'Z)=; (ar) ËÊ az

oooFINooo

ce
2013--03-25 11:52:46 Page 7/7 ( ) BY NC SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique PSI 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Rémi Lehe (ENS Ulm) ; il a été relu par Alizée Dubois
(ENS Cachan) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet, composé de quatre parties, porte sur différents phénomènes se 
produisant
à l'interface entre deux solides qui glissent l'un sur l'autre.
· Dans la première partie, on s'intéresse à la manière dont l'énergie thermique
qui est produite par les frottements au niveau de l'interface diffuse au sein 
des
solides en contact. On aboutit ainsi à une expression de la température du
solide à l'endroit du contact, ainsi que de la profondeur de pénétration de 
cette
énergie.
· La deuxième partie porte sur le contact entre un ski et de la glace, au niveau
duquel une partie de la glace fond et réduit ainsi les frottements sur le ski. 
Après
avoir établi la raison de la fusion de la glace, on calcule la force de 
frottement
visqueux qu'exerce le film d'eau sur le ski.
· La troisième partie se concentre sur le calcul de l'épaisseur du film liquide 
qui
s'établit entre le ski et la glace. Cette épaisseur résulte de deux effets 
antagonistes : la fusion de la glace, qui tend à l'augmenter, et l'expulsion 
latérale de
l'eau sous l'effet du poids du skieur, qui tend à la réduire.
· Enfin, la quatrième partie s'intéresse à l'analyse de deux modèles 
mésoscopiques
de contact entre solides (en l'absence de film liquide intermédiaire). On 
cherche
à savoir si ces modèles reproduisent certains faits expérimentaux.
Les trois premières parties couvrent un large spectre de connaissances 
(thermodynamique, diffusion thermique, mécanique des fluides). Restant assez 
proches du
cours, elles sont de difficulté moyenne et constituent ainsi un bon exercice de 
révision. Par ailleurs, la deuxième partie est particulièrement intéressante 
pour la culture
générale, car elle permet de départager deux hypothèses (souvent évoquées à 
parts
égales dans certains écrits de vulgarisation) concernant l'origine de la fusion 
de la
glace sous un ski.
La quatrième partie peut paraître plus difficile, car elle s'éloigne du cours 
et fait
plus appel à l'intuition physique. Elle se rapproche en cela de l'esprit des 
concours
du type X/ENS.

Indications
Partie I
I.A.1 Effectuer un bilan thermodynamique sur une tranche de solide située entre 
z
et z + dz.
I.A.2.c Effectuer d'une part un bilan thermodynamique sur l'ensemble du cylindre
semi-infini, et calculer d'autre part sa variation d'énergie interne (en 
utilisant le fait que l'énergie interne d'un petit volume de solide dV s'exprime
comme dU =  c T dV).
I.B.1 Remarquer que le travail des forces de frottement exercées par C1 sur C2 
est
nul.
I.C.1 On peut supposer, dans ce cas là, que 1 = 2 .
Partie II
II.A.2 Utiliser la relation de Clapeyron pour déterminer la pente de la droite
d'équilibre solide-liquide.
II.A.4 Le patin étant isolant, j0 = -ps .

II.A.6 Dans l'hypothèse de Reynolds, la vitesse du patin et le matériau dont il 
est
fait ont-ils une influence sur le mécanisme de fusion ?
II.B.1 Utiliser l'incompressibilité de l'eau.
du 

ex .
II.B.4 Utiliser la formule -
v = - -
dz
II.B.7.b Effectuer un bilan thermodynamique sur le film d'eau, et remarquer que 
le
travail de la force de frottement qu'exerce la glace sur le film est nul.
Partie III
III.A Quelle est la masse d'eau correspondant à une élévation du film de dh ?
III.B.1.b Les termes dits « diffusifs » sont les termes

 2
 ur
1 ur
ur
 2 ur
+
- 2 +

r2
r r
r
z 2
III.B.2 Intégrer en z l'équation obtenue à la question III.B.1.e.
III.C.2 hlim correspond à la valeur de h pour laquelle les deux termes du membre
de droite de l'équation (III.2) se compensent.
III.C.3 Utiliser le résultat de la question II.B.4.
Partie IV
IV.B.1 Les jonctions étant identiques, l'aire de contact est A = Nr0 2 .
IV.B.3.c Chercher dans un premier temps l'expression de l'aire de la jonction 
que
forme une aspérité dont le sommet est initialement en z.
IV.B.3.f Utiliser le fait que Rx =  c A et exprimer A en fonction de Rz .

I. Effets thermiques aux jonctions
I.A

Diffusion thermique dans un milieu semi-infini

I.A.1 Considérons une tranche de solide infinitésimale située entre z et z + 
dz, et
appliquons-lui le 1er principe de la thermodynamique entre les instants t et t 
+ dt.
z z + dz

Le solide étant indéformable, le travail des forces de pression est nul et le 
1er principe
s'écrit
dU = Q
Il peut sembler surprenant d'utiliser la relation dU = Q, étant donné que
les transformations thermodynamique se font ici à pression constante, ce qui
implique dH = Q. Cependant, il faut garder à l'esprit que ces transformations 
se font également à volume constant (solide indéformable), si bien que
le terme PV de la relation H = U + PV est une constante. Dans ce cas précis,
on a donc bien dH = dU.
La variation infinitésimale d'énergie interne s'exprime comme
T
t
Le transfert thermique infinitésimal Q est reçu par conduction à travers les 
sections
--
circulaires en z et z + dz, et est égal au flux du vecteur -
 = - grad T à travers ces
dU = s dz  c × (T(t + dt) - T(t))

= s dt dz  c

Q

sections pendant dt, d'où

T
T
Q = -s dt (z)
(z) + s dt (z + dz)
(z + dz)
z
z

= s dt dz
z

T

z

L'écriture du 1er principe mène donc à l'équation

T

T
c
=

t
z
z
Par ailleurs, T0 étant une constante, soustraire cette quantité à T au sein de 
dérivées
ne modifie pas l'équation. On obtient alors, dans le cas général où  dépend de T
(et donc de z),

c
=

t
z
z
et, dans le cas où  ne dépend pas de T,
c

2
= 2
t
z

I.A.2.a Pour t < -t, le solide n'a pas encore été chauffé. Il reste donc dans 
son
état d'équilibre initial où T(z, t) vaut T0 pour tout z, soit
(z, t) = 0
I.A.2.b Vérifions que la fonction proposée satisfait effectivement l'équation 
établie
à la question I.A.1. Le calcul des dérivées partielles de (z, t) conduit à

B t
z2
B z 2 t
z2
 exp -
= -  exp -
+
t
4Dt
4Dt
2t t
4 D t2 t

B z t
z2
 exp -
=-
z
4Dt
2Dt t

 2 
B t
z2
B z 2 t
z2
 exp -
 exp -
et
=-
+
z 2
4Dt
4Dt
2Dt t
4 D 2 t2 t

Étant donné que D = /(c),  vérifie bien l'équation
c

 2 
 
=
t
z 2

I.A.2.c Entre t1 et t2 , le solide reçoit la densité de flux thermique j0 
pendant t.
Le transfert thermique qu'il reçoit est donc Q = j0 st, et l'application du 1er 
principe
conduit à
U = Q = j0 st
Il est par ailleurs possible de calculer directement la variation d'énergie 
interne à
partir du profil de température T(z, t) :
U = U(t2 ) - U(t1 )
Z 
(T(z, t2 ) - T(z, t1 )) dz
= sc
0

= sc

Z

(z, t2 ) dz

0

z2
dz
exp -
4Dt2
0
Z 

B t 
z
= s  c  2 Dt2
exp -u2 du
avec u = 
t2
2
Dt2
0

U = s  c B t D
d'après le formulaire de l'énoncé
B t
= sc 
t2

Z

Bien que l'expression de (z, t2 ) dépende de t2 , l'expression finale de U
n'en dépend pas. On pouvait s'attendre à cela puisque le système ne reçoit
plus d'énergie après t = 0, ce qui implique que son énergie interne reste
constante pour tout t2 > 0.
En imposant que les deux expressions obtenues pour U soient égales, on obtient
B=

j0

 c D