Centrale Physique PSI 2010

Thème de l'épreuve Étude de la photographie Lippmann et de l'holographie
Principaux outils utilisés électromagnétisme, optique ondulatoire, électronique en régime sinusoïdal forcé

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours Centrale - Supélec 2010

Épreuve :

PHYSIQUE

Filière

PSI

PHYSIQUE

Filière PSI

PHYSIQUE
Calculatrices autorisées.
Formulaire : rotrotu = grad div u ­ u
Données numériques :
­ 12

Permittivité diélectrique du vide :

 0 = 8, 85  10

Perméabilité magnétique du vide :

µ 0 = 4  10

Vitesse de la lumière dans le vide :

c = 3, 0  10 m  s

Masse d'un électron :

m e = 9, 1  10

Charge d'un électron :

­ e = ­ 1, 6  10

Constante de Boltzmann :

k B = 1, 38  10

Constante de Planck

h = 6, 63  10

­7

Fm

Hm

8

­ 31

­1

­1

kg

­ 19

­ 23

­ 34

­1

C

JK

­1

Js

Notations :  f  représente la valeur moyenne temporelle de f .

De la photographie à l'holographie
Partie I - La photographie Lippmann
Le 2 février 1891, le physicien Gabriel Lippmann (1845-1921) rendait publique 
une invention aujourd'hui trop méconnue, celle de la photographie des couleurs 
par la méthode
interférentielle. L'image présentée, celle d'un spectre de la lumière solaire, 
était le premier
résultat d'une recherche menée durant une douzaine d'années, qui devait 
révolutionner
l'histoire de la photographie et lui valoir, en 1908, le prix Nobel pour ses 
travaux sur « sa
méthode de reproduction photographique des couleurs basée sur le phénomène
d'interférence ».

I.A - Ondes électromagnétiques stationnaires
Le demi-espace x > 0 est occupé par un métal non magnétique et parfaitement
conducteur, c'est à dire de conductivité infinie. Une onde électromagnétique
plane, progressive, monochromatique, polarisée rectilignement, se propage
dans le vide ( x < 0 ) dans le sens des x croissants et arrive sous

Concours Centrale-Supélec 2010

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Filière PSI

. . \ ; à / ° ° /
1nc1dence normale a la surface du metal. On note E,-- le champ electr1que 
assoc1e
à cette onde et on pose :

+ +
Ei(x,t) : Eocos(oet--kx)ey . Âly

I.A.l) En utilisant la relation de structure de . ,
, . . _ v1de metal
londe plane progress1ve monochromat1que dans le Ei

vide, donner l'expression du champ magnétique

B (x, t) de l'onde incidente.

I.A.2) Dorg1er , _sans démonstration, les valeurs onde incidente 2
des champs E et B à l'intérieur du métal parfait. En

tilisant la relation de passage du champ électrique
E àl'interface entre le vide et le métal, montrer
l'existence d' une onde réfléchie dont on donnera les champs électrique E (x, t)
et magnétique B (x, t).

"*

I.A.3) Quelle est l' expression du champ électrique total Êt(x, t) dans le demi-
espace 36 < 0 ? Même question pour le champ magnétique B,(x, t) .

Interpréter physiquement cette solution : on pourra faire des tracés de l'ampli-
tude des champs électrique et magnétique, indiquer et nommer les points carac-
téristiques ainsi que les distances qui les séparent.

I.A.4) Déterminer l'expression du vecteur de Poynting associé à cette onde.
Quelle est sa valeur moyenne temporelle ? Interpréter physiquement.

I. A. 5) On se place entre deux plans nodaux successifs pour le champ électri--
que (E est nul en tout point de ces plans). Que peut- on dire du vecteur de 
Poyn-
ting dans ces plans ? Calculer l'énergie électrique Uem, E et l'énergie
magnétique U em, B emmagasinées dans un volume situé entre ces deux plans et
de section 8 rectangulaire (ly, le) . Montrer qu'il y a échange permanent entre
énergie électrique et énergie magnétique. Pouvait-on prévoir ce résultat ?

Les résultats de la question I.A.3 sont à la base de la photographie Lippmann.

I.B - Enregistrement et développement d'une photographie Lippmann
monochromatique (1891)

Principe de la photographie Lippmann monochromatique : on envoie une onde 
lumineuse
monochromatique (longueur d'onde ?... dans le vide) sous incidence normale, sur 
une pla-

Concours Centrale-Supé/ec 2010 2/16

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que photosensible. Cette plaque est constituée d'une émulsion de gélatine 
épaisse (épais-
seur e égale à une cinquantaine de um ), à grains fins d'halogénure d'argent et
transparente. Le dos de l émulsion est mis en contact avec un miroir de mercure.

plaque photographique :

miroir de mercure y x , .
verre + gelatme

, \ Ay
onde lumineuse _
monochromatique \ onde incidente miroir de mercure
plaque photographique ):---<
(verre + gélatine) EUR

Le principe des émulsions photographiques d'halogénures est la réactivité des 
halogénu-
res d'argent lors d'une insolation puis la mise en oeuvre d'un traitement 
chimique. Les
zones non insolées sont, elles, insensibles a ce traitement. Les variations 
d'indice obtenues
sont toujours très faibles. On notera no l'indice optique moyen de la plaque 
photosensible
après traitement et on prendra n air : 1 pour l'indice optique de l'air.

Dans tout le problème, bien que la lame de verre soit représentée sur les 
schémas, on
supposera qu'elle n'est pas présente et on note e l'épaisseur de la gélatine.

I.B.l) Premier modèle
On admet que le champ électrique au sein de la plaque photosensible est donné
par :
+ . . + , 2313
E(x, t) : 2E0sm(oet) - s1n(hx)ey avec EO reel et k : Î'
a) Exprimer ?» en fonction de 7\0 et no . L'émulsion est supposée « épaisse >> 
par

rapport à quelle autre grandeur ? Qu'elle en est la conséquence ?

b) Soit n(x) l'indice de la couche photosensible après développement. On sup-
pose qu'après un traitement chimique adapté, on obtient dans le milieu une
variation de l'indice proportionnelle à l'éclairement. On écrit donc
n(x) : n0+ôn(x) avec ôn(x) : a- >.

On suppose dans les questions I.B.1.d) et I.B.1.e) que l'onde incidente n'est 
plus
normale au miroir. Elle reste tout de même plane, progressive, monochromati-
que de même pulsation et polarisée rectilignement perpendiculairement au
plan d'incidence. On se place dans la gélatine et on suppose que les vecteur
d'onde (de même module) ki et k,... appartiennent au plan d'incidence (Oxy) per-

Concours Centrale-Supé/ec 2010 3/16

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pendiculaire au miroir. On note 6 l'angle entre l'axe Ox et le vecteur d'onde 
kÎ .
On admet que l'onde réfléchie est également plane, progressive, monochromati-
que, polarisée rectilignement perpendiculairement au plan d'incidence et que
les deux ondes ont des directions de propagation symétriques par rapport à la
normale au plan du miroir. On admet également que la composante tangentielle
du champ total au niveau de l'interface gélatine-miroir est nulle.

On enregistre le phénomène
comme précédemment (I.B.1-a a

I.B.l-C). verre
(1) Pourquoi peut--on utiliser le 9 9
modèle scalaire de la lumière en gélatine __ __ EUR
° ' ' ki kr
<< oubhant >> le caractere vector1el :
du champ électrique ? Détermi- cuve demercure 0 y

ner alors le pas de l'enregistre- (mlmlr)

ment (on pourra utiliser les
résultats du cours sur les interfé-
rences obtenues par superposition de deux ondes planes monochromatiques).
Retrouver le résultat de la question I.B.l.c.

VX

e) Expliquer alors comment il est possible d'obtenir un miroir de Bragg pour
une longueur d'onde À1 (identique à celui obtenu en incidence normale avec une
source de longueur d'onde k1 ) en travaillant avec une longueur d'onde À2 
diffé--
rente.

I.B.2) Second modèle.

On suppose dans cette partie que l'onde incidente est normale à la surface pho-
tosensible. Dans certains cas, selon le matériau photosensible utilisé, le champ
électrique incident dans la gélatine est donné par une expression de la forme (a
est une constante positive) :

à +
Ei(x, t) = E() - exp[--a(e +x)] - cos(oet--kx)ey .

a) Interpréter physiquement l'expression précédente. On pourra donner deux
longueurs caractéristiques des évolutions spatiales du champ électrique inci-
dent.

b) En raisonnant comme àla question I.A.3, et en tenant compte de la nouvelle
propriété du milieu, donner l'expression du champ électrique E,...(x, t) de 
l'onde
réfléchie.

c) On admet que 1/a est très grand devant la longueur d'onde. On peut donc
considérer que localement on a la superposition d'une onde plane progressive
monochromatique avec une onde plane régressive monochromatique (méme lon-
gueur d'onde) et d'amplitude plus faible. En ne considérant que la partie 
station-

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naire de cette superposition et sans aucun calcul, donner l'allure des 
variations
de l'indice n(x) dans l'émulsion en fonction de x . Conclure.

En pratique, pour obtenir un miroir de Bragg pour une longueur d'onde M et
limiter les conséquences de l'absorption, on préférera travailler avec une autre
longueur d'onde (pour laquelle le matériau photosensible est moins absorbant)
et utiliser les résultats de I.B.1.e.

I.C - Observation de la photographie en lumière blanche.
Pour observer la photographie réalisée
avec une longueur d'onde ?» (dans la
plaque), on retourne la plaque photo-
sensible et on l'éclaire sous incidence '
normale. On considère tout d'abord un _) "| |
éclairage monochromatique de lon- _) 0 _ '
gueur d'onde xe (dans la plaque). Cette _ "|...

6

plaque photographique :
gélatine + verre

>». En déduire, en fonction de i, le et X, 
le
déphasage cpi du i'eme rayon réfléchi par rapport au rayon 1 réfléchi sur 
l'inter-

face d'abscisse x1 . Exprimer alors si en fonction de so, ke, 7», t, r et i .

I.C.2) Exprimer alors le signal lumineux de la sup--erposition des N premiers
rayons réfléchis en fonction de 30 , ke , ?» , t , r , et N .

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I.C.3) Les variations d'indice au sein de l'émulsion étant faibles, que peut--on
dire des valeurs de r et t ? Quelle est alors, à priori, la valeur que l'on 
doit pren-
dre pour N ? Quelle autre hypothèse concernant la plaque photosensible est
indispensable pour pouvoir faire ce choix ? On rappelle que la gélatine à une
épaisseur e égale à une cinquantaine de um ; en supposant que la longueur
d'onde ?» appartient au domaine du visible, conclure. On suppose dans la suite
que l'on peut passer à la limite.

I.C.4) Exprimer alors l'éclairement I (ke) réfléchi par la photographie; on
justifiera la convergence et on donnera le résultat sous la forme :
Io

1-- 2t2cos(2nÀ/Àe) +1f4

I(Àe) :

avec I 0 constante que l'on exprimera en fonction des données.

I.C.5) Tracer l'éclairement en fonction de la longueur d'onde pour ke variant
entre 0 et l'infini. Que voit-on si on observe, à l'oeil, en réflexion, la 
photogra-
phie éclairée en lumière blanche ? Justifier.

I.C.6) On éclaire maintenant la plaque

sous incidence oblique. On suppose que le 6
modèle précédent est encore valable
(notamment les coefficients r et t). Soit 6
l'angle entre le vecteur d'onde k,-- de
l'onde incidente et l'axe Ox . On néglige
toute déviation de l'onde incidente à
l'entrée dans la gélatine. Faire un
tracé des rayons lumineux. Déterminer le
déphasage du ileme rayon réfléchi par "
rapport au rayon incident 0. En déduire

la longueur d'onde xe, @ pour laquelle l'observation de la photographie sous 
inci-
dence oblique 6 donne la même chose qu'en incidence normale avec ke. On
pourra s'inspirer de la question I.B.l-e).

Fl

gélatine 6

verre

I.C.7 ) On enregistre une photographie en lumière jaune sous incidence nor-
male. On l'éclaire sous incidence oblique avec 6 : 30° . Qu'observe-t-on ?

I.C.8) Quelle utilisation peut-on faire d'un tel système utilisé en
transmission ? Comment améliorer ses performances ?

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I.D - Cas d'une photographie d'une source bicolore
On enregistre comme précédemment une photographie Lippmann mais on suppose dans 
cette partie que l'onde incidente est la superposition de deux ondes
planes, progressives, monochromatiques de pulsation  1 et  2 :
E 1i ( x, t ) = E 10 cos (  1 t ­ k 1 x )e y et E 2i ( x, t ) = E 20 cos (  2 t 
­ k 2 x )e y

I.D.1)
On suppose que l'indice de la couche photosensible après développe2
ment est toujours de la forme n ( x ) = n 0 + n ( x ) avec n ( x ) =    E total 
( x, t ) .
Montrer que l'on a : n ( x ) = n 1 ( x ) + n 2 ( x ) + f ( x )   g ( t )
où n i ( x ) représente la variation d'indice associée à la longueur d'onde  i 
seule
(voir la question I.B.1-b). f et g sont deux fonctions que l'on précisera. Sur
quelle durée doit-on calculer la valeur moyenne temporelle de g ? Donner un
ordre de grandeur. On estime que le nombre de couleur que peut distinguer l'oeil
humain est de quelques millions. En déduire un ordre de grandeur de 
l'intervalle minimum en pulsation qui sépare deux couleurs distinctes pour 
l'oeil. En
supposant que l'on cherche à enregistrer, dans une photographie Lippmann,
deux couleurs différentes (pour l'oeil) que peut-on dire de la moyenne 
temporelle
de g .
I.D.2)
En déduire qualitativement la structure en termes d'indice optique de
la couche photosensible après exposition et développement.
I.D.3)
Donner l'allure de l'éclairement, en fonction de la longueur d'onde,
obtenu en observant par réflexion la photographie Lippmann précédente. On se
restreindra à des longueurs d'onde variant dans le spectre visible.
I.E - Cas d'une photographie d'une source multicolore
On considère maintenant la photographie d'un objet réel multicolore.
I.E.1)
On suppose qu'un dispositif optique forme l'image de l'objet sur la plaque 
photosensible. Décrire, en quelques lignes, la structure de la plaque après
développement et le principe de son observation.
Un des points forts de la photographie Lippmann est la « grande qualité de la
reproduction des couleurs » : en effet cette photographie interférentielle 
enregistre toute les longueurs d'onde contrairement aux procédés actuels 
trichromiques.
I.E.2)
Parmi les points faibles de la photographie Lippmann, on peut citer :
a) Les problèmes liés à la dilatation ou à la contraction de la gélatine ; 
justifier.
b) La grande complexité technique de l'enregistrement pour n'obtenir au final
qu'une unique photographie ; justifier.

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PHYSIQUE

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c) La nécessité d'utiliser un dispositif à prisme et un éclairage sous une 
certaine incidence pour observer ces photographies. Quel phénomène négligé dans
l'étude précédente impose un tel dispositif ? Justifier.

Partie II - Holographie
Le physicien Dennis Gabor (Prix Nobel de Physique en 1971), impressionné par
la méthode de photographie interférentielle de Gabriel Lippman, conçut dès 1947
le procédé permettant de garder, en plus de l'amplitude, la phase d'un objet 
donnant ainsi la sensation de relief. Le premier hologramme (holos signifiant « 
tout »
en grec) ne vît le jour qu'un quinzaine d'années plus tard, en 1964 après la 
mise
au point des Lasers, grâce aux efforts de Leith et Upatnieks aux USA, et de 
Denisyuk en URSS. Commençons donc par voir le fonctionnement d'un Laser, de
façon très sommaire.
II.A - Le Laser comme système bouclé
L'objectif de cette partie est de montrer qu'un Laser peut être considéré comme
un oscillateur optique au même titre qu'un oscillateur électronique.
II.A.1) Émission
Nous nous intéressons au cas d'un laser à gaz Hélium-Néon ( He ­ Ne ) typique
d'une salle de Travaux Pratiques de lycée.
a) Rappeler une expérience historique permettant de conclure que l'énergie
d'un atome est quantifiée.
b) Comment nomme-t-on l'état de plus basse énergie ? Et les autres états ?
Considérons deux niveaux d'énergie E 1 et E 2 avec E 2 > E 1 , et N 1 et N 2 
respectivement le nombre d'atomes du gaz ayant ces énergies.
c) Calculer la fréquence v 0 et la longueur d'onde  0 correspondant à la lumière
émise lors de la désexcitation d'un atome du niveau E 2 au niveau E 1 . On 
rappelle la relation : E = hv .
Données : E 2 = 20, 66 eV ; E 1 = 18, 70 eV . On rappelle que l'électron-volt, 
noté
­ 19
eV , vaut 1, 6  10
J.
Quelle est la couleur de la lumière émise par un Laser de ce type ?
d) On suppose que Ni = A exp ( ­ E i / k B T ) pour les indices 1 et 2 , où A 
est une
constante, k B la constante de Boltzmann, et T la température. Comment
s'appelle une telle répartition ? Interpréter physiquement. Calculer le rapport
N 2 / N 1 et conclure.
Données : T = 300 K .

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II.A.2) Modes propres

Un Laser est constitué en partie d'une
cavité résonante composée de deux plans
infinis conducteurs parfaits situés en x = 0
et x = L et séparés, pour l'instant, par du
vide.

Conducteurs parfaits

Parmi toutes les fréquences possibles des
ondes électromagnétiques se propageant a
l'intérieur de la cavité, seules certaines
sont compatibles avec la géométrie du pro- P1
blème.

x=O

x=L P2

a) En admettant que le champ électrique à l'intérieur de la cavité s'écrive
comme celui de la question I.B.1, et en introduisant un entier n de quantifica-
tion, déterminer les pulsations (on , longueur d'onde ?... et module de vecteur
d'onde kn possibles.

Interpréter simplement l'expression de X,, .

b) En pratique, cette cavité a des pertes. En donner les causes possibles. 
Décrire
qualitativement l'évolution du champ électrique dans la cavité résonante réelle.
II.A.3) Analogies avec un oscillateur électronique

L'objectif de cette partie est de montrer qu'on retrouve des analogies fortes 
entre

le Laser et un oscillateur électrique à réaction. Pour cela, on va s'intéresser 
à

l'oseillateur de Colpitts.
Le montage ci-contre est constitué de trois résistances R , R1 et R2 (variable),
d'une inductance L et de deux condensateurs de capacité C1 et 02 . On posera
C1C2
C _ C1 + 02° (1)

L'amplificateur opérationnel (A.O.) est supposé idéal.

a) Montrer que la fonction de transfert --|Ê
V BU (0) À

... = =<-->

@
ll--

s'écrit sous la forme :

:
K.
fil
le
l
Jâ
<
:u
@
NII

Identifier la pulsation centrale (00 , le gain maxi
mal [50 et le facteur de qualité Q en fonction de C , 77}7Ü
02 , L et R .

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PHYSIQUE
Préciser la nature et l'ordre de ce filtre.
b) Données : R = 1, 0 k ; L = 10 mH ; C 2 = 47 nF et
C 1 = 100 nF . Calculer le facteur de qualité Q et la fréquence centrale 
associée à  0 . Tracer l'allure du diagramme de Bode en gain et phase.
c) Déterminer la fonction de transfert

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R2

R1
­

V S ( j )
 ( j ) = --------------------- .
V E ( j )

d) On associe les deux circuits précédents et l'interrupteur K est maintenu 
ouvert (voir figure ci-dessous).
Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte :

+
VS
VE

V R ( j )
H ( j ) = --------------------- .
V E ( j )

e) L'interrupteur est finalement fermé. À quelle condition sur R 2 en fonction 
de
R 1 , C 1 et C 2 , peut-il y avoir des oscillations ? Quelle est alors la 
fréquence de
ces oscillations ? Calculer R 2 pour R 1 = 10 k .
f) Déterminer une équation différentielle en V E et retrouver les résultats de 
la
question précédente.
g) Quel(s) phénomène(s) est
R2
(sont)
à
l'origine
des
oscillations ? Quelle inégalité
R1
faut-il en réalité vérifier pour
R
­
R 2 ? Que peut-on dire alors,
d'un point de vue mathémati+
C1
que, de l'évolution temporelle
VS
de la solution de l'équation
L
différentielle ?
K
h) Dessiner en fonction du
VE
VR C
temps l'allure de la tension de
2
sortie de l'A.O. Quel phénomène physique limite l'amplitude des oscillations ?
II.A.4) Nécessité d'un milieu amplificateur
La question II.A.2. a montré la nécessité d'un milieu amplificateur pour 
compenser les pertes de la cavité. Cela peut s'obtenir par « pompage », mais 
l'on ne
rentrera pas dans les détails de ce procédé.

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a) Considérons tout d'abord une onde plane progressive amortie se propageant
selon les x croissants à l'intérieur de la cavité de la forme :
E ( x, t ) = E 0 e

j ( t ­ k x )

ey .

En posant k = k + jk avec k et k deux nombres réels, écrire l'expression du
champ électrique sous forme réelle.
Quels sont dans le cas général les signes de k et k ?
b) Pour que le système « Laser » puisse exister, quel doit être le signe de k ?
c) La mécanique quantique permet de modéliser le milieu situé entre les
miroirs par un milieu diélectrique de permittivité relative  r :
( N1 ­ N2)
1
 r (  ) = 1 + g --------------------------- -----------------------------0
 0 ­  + j

où g ,  0 et  sont des constantes réelles positives.
Rappeler la relation de dispersion pour un milieu de permittivité relative  r . 
En
supposant le deuxième terme de l'expression précédente très petit devant 1 , en
déduire k et k .
d) Qu'implique la condition de la question b) ? En rappelant les résultats de la
première partie, pourquoi parle-t-on alors d'inversion de population ?
II.A.5) Condition d'oscillations
On suppose ici que le miroir 1 ( P 1 ) est parfait (coefficient de réflexion 
égal à 1 )
et que l'autre, le miroir ( P 2 ) , transmet une fraction T de la lumière et 
réfléchit
la fraction complémentaire R = 1 ­ T en énergie.
a) Justifier le choix précédent.
b) Soit G le gain en amplitude que subit une onde effectuant le trajet de ( P 1 
)
vers ( P 2 ) entre les deux miroirs ; Exprimer G en fonction de k et L .
c) On suppose que le retour de la lumière de ( P 2 ) vers ( P 1 ) se fait sans 
amplification ni atténuation. Écrire la relation entre G et R traduisant la 
condition
du maintien des oscillations de la cavité optique.
d) En s'inspirant des résultats obtenus pour l'oscillateur électrique, justifier
que l'égalité précédente est en réalité une inégalité que l'on donnera.
II.B - Holographie
La réalisation d'un hologramme est constituée de deux étapes. La première,
l'enregistrement, consiste à garder une trace de la phase d'un objet par 
interférométrie en utilisant une onde de référence. La seconde, la restitution, 
permet
de récupérer la phase en éclairant le film de l'enregistrement par la même onde
de référence.

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II.B.1) Enregistrement

On considère une source ponctuelle monochromatique (Laser) que l'on place au
foyer objet d'une lentille convergente de focale f' . Le faisceau émergent 
arrive
sur un interféromètre de Michelson réglé en coin d'air. Par rapport àla position
des miroirs correspondant au contact optique, le miroir M2 est incliné d'un
angle oc. S p correspond à la séparatrice qui divise le faisceau en deux sans
apporter de modification dans le chemin optique : on suppose donc que la sépa-
ratrice n'introduit aucun déphasage supplémentaire.

L'air a le même indice que le vide: a x
nai? : 1. M2 /_ >
0

a) Comment est l'onde a la sortie de la

lentille convergente L, lentille paral-- /
lèle à M1 ? Dans le repère orthogonal S'
Al

Oxyz l'axe Oy est confondu avec l'arête /
du coin d'air, déterminer les composan--

tes des vecteurs d'ondes des deux fais-- Sp
ceaux issus du Michelson et qui L
interfèrent, en fonction de la longueur

d'onde ?... . Préciser au mieux la nature Écran
de ces ondes. Y z

b) Déterminer le déphasage A

O frange i puis la valeur numérique.. Données : )»0 : 632,8 nm ; oc : 1°. / |...| f) On intercale maintenant entre la S' M lame séparatrice S p et le miroir M1 , une / lame de verre à faces parallèles d'épais- seur e et d'indice n {représentée en S p pointillés sur la figure ci-contre). Cette D lame est disposée parallèlement à M1- . , . On néglige les phénomènes de réflexion Ecran sur cette lame ' 2 b. v>< Concours Centrale-Supé/ec 2010 12/16 PHYSIQUE Filière PSI Quel déphasage supplémentaire cela implique-t-il pour un rayon traversant deux fois cette lame de verre ? Cette lame occasionne-t-elle une avance ou un retard de phase ? La lame atténue l'amplitude de l'onde incidente et celle--ci, qui valait A0 avant le passage dans la lame, vaut 8 A0 après deux passages, avec 8 << 1 . g) Déterminer l'amplitude résultante au même point M que précédemment. h) Exprimer l'éclairement. Simplifier en tenant compte de la très faible valeur de e (développement à l'ordre 1 ). i) Donner l'expression du nouvel interfrange et comparer avec la valeur précé- dente. Quelle est l'influence de la lame sur la figure d'interférence ? j) On enregistre cette figure d'interférences sur une plaque photographique de hauteur L dans une direction perpendiculaire aux franges, disposée sur l'écran précédent. Combien voit--on, a une frange près, de franges brillantes sur cette plaque ? Données : L = 2,0 cm. II.B.2) Restitution La plaque photographique a un facteur de transparence (ou transmittance) t(x, y) = a + !) I (x, y) si l'on choisit convenablement le temps de pause, avec a et 19 deux constantes réelles, et I l'intensité lumineuse au niveau de la plaque, que l'on a précédemment déterminée en présence de la lame de verre. a) Déterminer la transmittance t(x, y) de ce film développé que l'on appelle également holo- A gramme. On retire maintenant la plaque photo- graphique du dispositif précédent et on la place au niveau d'un trou percé dans un écran opaque. y Les dimensions du trou rectangulaire sont L et O " h avec h » L » 7'0 . On éclaire ensuite ce trou par une onde plane en incidence normale monochro-- matique de longueur d'onde 7»0, identique à la source utilisée pour l'enregistrement. ' b) Rappeler en quelques mots la signification 4--> Q"... PeTCé physique du principe d'Huygens-Fresnel. L c) Pourquoi peut-on se contenter d'étudier la diffraction selon une direction parallèle à Ox ? Concours Centrale-Supé/ec 2010 13/16 PHYSIQUE Filière PSI d) Établir sous la forme d'une intégrale, x l'amplitude diffractée à l'infini dans la direction faisant un angle petit par rapport à l'axe Oz . Objet diffractant + e) En écrivant le cosinus intervenant dans l'expression du facteur de transparence sous z forme de deux exponentielles complexes, montrer que cette amplitude diffractée à l'infini s'exprime comme la superposition de trois termes dont on donnera l'amplitude et Onde plane la direction du maximum de chacun. 0 f) À quelle condition ces trois termes sont-ils séparés deux à deux ? g) Montrer que l'un de ces trois termes reconstitue l'onde initiale réfléchie par le miroir M 1 . Comment peut-on alors justifier la sensation de relief ? h) Un autre terme est souvent nommé « onde jumelle ». Justifier également une telle appellation. II.B.3) Une application parmi d'autres : réseau zoné de Fresnel Considérons maintenant l'interféromètre de Michelson en configuration lame d'air éclairé par une source spatialement large et monochromatique, de longueur d'onde 0 identique à celle du Laser étudié. On a donc enlevé la lame de verre précédente. a) Décrire : · la position relative des miroirs M 1 et M 2 ; · la façon d'éclairer l'interféromètre ; · le lieu de localisation des franges ; · la façon d'observer les interférences. b) L'épaisseur de la lame d'air est e . Pour un rayon arrivant sur la lame avec une incidence i par rapport à la normale, déterminer la différence de marche en fonction de e et i . c) Donner la nature des franges observées. Justifier. d) On choisit 2e / un entier naturel. Que peut-on dire sur la frange située au centre de la figure d'interférences ? ième e) Dans la limite des faibles angles, déterminer le rayon r k de la k frange brillante comptée depuis le centre (pour cette dernière on choisit donc k = 0 ) en fonction de 0 , k , e et f distance focale de la lentille convergente utilisée pour l'observation des interférences. Concours Centrale-Supélec 2010 14/16 PHYSIQUE Filière PSI f) Expérimentalement, on mesure les rayons suivants : k 1 2 3 4 5 r k ( cm ) 2, 8 4, 0 4, 9 5, 5 6, 2 Vérifier graphiquement que la loi précédente convient et en déduire la valeur de e . Données : f = 1m , 0 = 632, 8nm g) On imprime la figure d'interférences ainsi obtenue sur une diapositive puis on l'éclaire par une onde plane monochromatique de longueur d'onde 0 . On utilise le modèle suivant : · la transparence de la diapositive vaut 1 là où l'éclairement est maximal, c'est-à-dire en r k ; · la transparence vaut 0 ailleurs. Ainsi, la diapositive est analogue à un réseau bidimenZ sionnel à pas variable de fentes infiniment fines. Dans le cas d'un réseau classique (= succession de fentes fines identiquement espacées) rappeler à quelle condition sur la différence de marche entre deux rayons passant par deux fentes successives, on peut observer des interférences constructives à l'infini ? h) Considérons un point F distant de la diapositive d'une distance f m . Déterminer M la différence de marche entre les rayons pasN Z sant par M et N et convergents en F . Les deux points M et N sont situés sur un O F même diamètre de la diapositive et appar- Onde plane tiennent à deux franges brillantes successi- incidente Diapositive ves de la figure d'interférences. On se placera dans l'hypothèse où la distance f m est très supérieure aux r k . i) En utilisant le résultat de la question g), donner la position f m = OF m (où m ZZ ) des points de l'axe OZ où les interférences sont constructives. j) Le nom donné à ce dispositif est également « lentille multifocales » : justifier. Concours Centrale-Supélec 2010 15/16 PHYSIQUE Filière PSI k) Tracer les foyers pour m variant de ­ 3 à + 3 et préciser le comportement convergente ou divergente de la lentille équivalente dans chacun des cas. ··· FIN ··· Concours Centrale-Supélec 2010 16/16

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique PSI 2010 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Wahb Ettoumi (ENS Cachan) ; il a été relu par Julien
Dumont (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Le sujet explore différents aspects pratiques de l'optique ondulatoire. Il 
s'intéresse
à la photographie Lippmann ainsi qu'à la production d'hologrammes.
· Dans la première partie, on étudie la fabrication et le comportement d'un 
miroir appelé miroir de Bragg, dont la réflectivité dépend de son orientation.
Le problème suit d'abord globalement le cheminement du cours sur les ondes
électromagnétiques, avant de s'en éloigner et de faire appel au sens physique
du candidat à travers des questions qualitatives, et délicates, sur la 
réalisation
expérimentale d'une photographie prise avec le procédé Lippmann.
· La seconde partie survole le principe du Laser grâce à une analogie 
électronique,
puis se consacre à l'étude des hologrammes. La sous-partie sur l'interféromètre
de Michelson est calquée sur le cours, et aucune difficulté particulière n'est à
signaler. Cette partie se termine par l'étude d'une diapositive qui se comporte
comme une lentille multifocale.
L'énoncé comporte deux parties indépendantes, pour lesquelles peu de résultats
intermédiaires sont fournis. Cependant, la réutilisation de résultats établis 
dans la
première partie fait gagner beaucoup de temps dans la seconde. Il s'agit d'un 
problème
très long permettant de faire la synthèse entre les ondes électromagnétiques 
dans
le vide et l'optique ondulatoire. Certaines questions, notamment dans la 
première
partie, plus difficile que la seconde, sont de plus relativement ambiguës et 
pouvaient
déstabiliser les candidats. L'épreuve peut être entièrement traitée par un 
étudiant des
filières MP et PC. Pour les élèves frustrés par l'approche un peu trop 
superficielle
du Laser, signalons que le sujet X/ENS PSI de cette année s'intéressait aussi à 
ce
thème, qui est d'actualité puisque l'on en célèbre les 50 ans : c'est en mai 
1960 que
cette technologie fut créée par l'américain Théodore Maiman.

Indications
Partie I
I.A.5 Calculer les énergies électrique et magnétique emmagasinées entre un plan
nodal électrique et le plan nodal magnétique suivant. Il faut ensuite observer
que la somme de ces deux termes est constante.
I.B.1.d Exprimer la superposition des ondes planes présentes dans la gélatine 
pour
aboutir à une formule du cours.
I.B.2.b Raisonner sur les distances parcourues dans la gélatine.
I.C.4 Effectuer la somme géométrique de l'expression obtenue pour les 
amplitudes,
et prendre le module au carré.
I.C.6 Le calcul du déphasage se fait comme pour un Michelson en lame d'air, en
prenant soin de ne pas oublier l'indice de la gélatine, différent de celui de
l'air, ainsi que le déphasage supplémentaire dû à la réflexion vitreuse du
rayon incident.
I.E.2.b Utiliser le résultat de la question I.B.1.c.
Partie II
II.A.3.a Commencer par déterminer la tension aux bornes de la bobine.
II.A.3.e Des oscillations peuvent avoir lieu s'il existe  6= 0 satisfaisant la 
fonction
de transfert dans le cas où K est fermé.
II.A.3.f Repartir de la fonction de transfert puis identifier une équation 
différentielle
à partir de la relation algébrique entre les paramètres du problème et VE .
II.B.2.e Calculer chaque intégrale en faisant apparaître un sinus cardinal.
II.B.3.e Développer le cosinus à l'ordre deux, puis écrire la différence de 
marche pour
les franges brillantes en fonction de l'ordre d'interférence au centre.

II.B.3.h Calculer au premier ordre en r/fm
la différence MF - NF , puis remplacer
l'expression des rayons par celle de la question II.B.3.e.

De la photographie à l'holographie
I. La photographie Lippmann
I.A

Ondes électromagnétiques stationnaires

 -
-

I.A.1 Lorsque E et B sont des ondes planes monochromatiques de pulsation  et

-

-

-
de vecteur d'onde k , la relation liant le champ Ei au champ Bi s'écrit
 -
-

-
k  Ei
Bi =

Or,

-

k =k-
ex

d'où

-

E0

Bi (x, t) =
cos(t - kx) -
ez
c
h
 i
-

-
-

La relation de structure pour une onde plane A = A0 exp j(t - k · -
r)

-
de pulsation  et de vecteur d'onde k se retrouve à partir des relations
 -
-
 -
-

-

- -
div A = -j k · A
et
rot A = -j k  A
Les dérivées temporelles vérifient de plus

-

-
A
= j A
t
Dans le vide, l'équation de Maxwell-Faraday se réécrit
 -
-

-
-j k  E = -j B
 -
-

-
k E
d'où
B =

I.A.2 À l'intérieur du métal parfait, c'est-à-dire de conductivité infinie, les 
champs
électrique et magnétique sont nuls,
-

-
B = 0

et

-

-
E = 0

De plus, la relation de passage pour le champ électrique à l'interface x = 0 
s'écrit
 +
-

-
 -

E (0 , t) - E (0- , t) =
ex
0
 désignant la charge surfacique de cette interface. Cette relation traduit la 
continuité
de la composante tangentielle du champ et la discontinuité de sa composante 
normale.
Or, à tout instant t, le champ électrique dans le métal vérifie
 +
-

-
E (0 , t) = 0

Le champ extérieur total en 0- doit donc être nul, ce qui ne peut pas être le 
cas avec

-
la seule onde incidente, le champ E étant purement tangentiel.
Il existe donc une onde réfléchie.
Le fait d'avoir un champ électrique purement tangentiel, et donc de composante 
normale nulle impose l'absence de charge surfacique à l'interface, cette
dernière devant assurer la continuité de la composante normale du champ.
Cherchons l'onde réfléchie sous la forme
-

Er = E0r cos(t + kx)-
ey
Le champ électrique total dans le demi-espace x < 0 s'écrit alors
 -
-
 -

E = Ei + Er
et la relation de passage impose donc, à tout instant t,
-

-
Er (0- , t) = - Ei (0- , t)
On en déduit l'amplitude de l'onde réfléchie
E0r = -E0
En utilisant la même relation qu'à la question I.A.1, il vient
-

Er = -E0 cos(t + kx)-
ey

et

-
 E0

Br =
cos(t + kx)-
ez
c

I.A.3 Réécrivons les champs totaux dans le demi-espace x < 0 à l'aide des 
expressions obtenues à la question précédente :
-

Et (x, t) = E0 [cos(t - kx) - cos(t + kx)] -
ey
-

Et (x, t) = 2 E0 sin(t) sin(kx) -
ey

soit

De même pour le champ magnétique,
-

E0

Bt (x, t) =
[cos(t - kx) + cos(t + kx)] -
ez
c
-

E0

Bt (x, t) = 2
cos(t) cos(kx) -
ez
c

soit

Ce sont des ondes stationnaires, les ventres du champ électrique coïncidant avec
les noeuds du champ magnétique et réciproquement. Les annulations du champ 
électrique à tout instant t (les noeuds) sont distantes de /k, soit /2.
2 E0

-
k
-

2
k

cB
E

0

x

-2 E0