CCP Modélisation et Ingénierie numérique PSI 2015

Thème de l'épreuve Dispositif médical d'injection
Principaux outils utilisés asservissements, mécanique du solide, mécanique des fluides, diffusion thermique, informatique
Mots clefs pivot de Gauss, écoulement de Poiseuille, débitmètre à fil chaud

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2015 PSIMIO6

_:â=_ CONCOURS COMMUNS
- - POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MODELISATION ET INGENIERIE NUMERIQUE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'noncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

'Les calculatrices sont autorisées

Le sujet comporte 16 pages dont :
-- 14 pages de texte de présentation et énoncé du sujet;
-- 2 pages d'annexes.

Toute documentation autre que celle fournie est interdite.
REMARQUES PRELIMINAIRES
Les développements mathématiques, les schémas, les graphes et les courbes 
seront rendus dans

leur forme définitive sur la copie (les brouillons ne seront pas acceptés).

Il est demandé au candidat de bien vouloir inscrire les résultats et les 
développements nécessaires
aux différentes questions sur sa c0pie7 en précisant bien le numéro de la 
question traitée
et, si possible, dans l'ordre des questions. Les résultats attendus seront 
obligatoirement
entourés.

1/16

Dispositif Médical d'Injection

I Présentation du système

Les problèmes de contamination ont engendré le développement de systèmes pour 
protéger
les aiguilles d'injection et ainsi limiter les risques d'accidents.

De nombreux dispositifs sont ac--
tuellement développés afin d'améliorer
la qualité des injections ou l'ergono--
mie pour les patients pour améliorer
l'adhésion au traitement.

Actuellement, il existe deux types
de contenant pour les solutions médica--
menteuses : le Vial et la cartouche (fi--
gures 1).

(b) Cartouche

Figures 1 -- Différents contenants actuels

I.1 Dispositifs Médicaux d'Injection innovants (DMI)

Eveon, jeune start--up dans le monde des dispositifs médicaux d'injection, a 
l'ambition de
réaliser un DMI sécurisé, automatisé et facile d'utilisation. Le dispositif 
réalisé est un DMI
monodose, miniaturisé, automatique et adapté a tout type d'injection. Ce 
dispositif est présenté
schématiquement sur les figures 2.

V1al
ou cafloucfi'e'.'

Coque "\

Perfomæur
Acüonneur de
descente d'aiguifle
et perforation

\ Carte de commande

' Micmpompe
Packaging

Anguille Capteurs de tissus ......-- ---- ...._.._.,,/--'

Figure 2 -- Dispositif médicalisé d'injection de l'entreprise Eveon

La solution retenue pour la pompe est l'utilisation d'une micropompe a membrane 
MEMS,
permettant de résoudre les problèmes liés a l'utilisation d'un piston.

2/16

Le principe est simple : il s'agit de déformer une membrane délimitant un 
volume donné afin
de créer successivement dans celui--ci des phases de dépression et de 
sur--pression, permettant
via un système de clapet de respectivement aspirer le liquide puis de le 
refouler. Le principe est
décrit sur les figures 3.

Solution du vial

Actionneur .
piezoelectrique

Membrane
Membrane \ /

« ,_ »
[w. Clapet

Clapets \ , /

Cavité à
volume variable

Solution vers aiguille

(b) Fonctionnement des clapets : a) membrane au
repos, b) aspiration du liquide, c) refoulement du
liquide

(a) Structure

Figures 3 -- Micropompe a membrane

La déformation de la membrane est assurée par un actionneur thermique collé sur 
la face
supérieure de la membrane, mais également par un actionneur piézoélectrique 
permettant d'as--
surer une action mécanique suffisante sur la membrane en cas de pression élevée 
dans la cavité
de la pompe. En effet, l'actionneur thermique étant peu puissant et la 
température d'échauf--
fement limitée pour ne pas dégrader le liquide médicamenteux, il est nécessaire 
de prévoir un
actionneur de secours pour assurer les mouvements de la membrane.

Le système d'injection ainsi asservi par un système de capteurs de débit 
(débimètre) est
ainsi modélisé par le schéma--bloc fonctionnel simplifié donné sur la figure 15 
-- annexe 1.

1.2 Exigences du système

Un extrait des exigences du système est donné sur la figure 4 :

<< Requirement >>
Injection automatique

de réaliser des injections
--v automatiquement.

Le système doit permettre '__

«
;
;
o
4
;
;
4
4
;
;
O
«
;
.;
«

<< Requireinent >>
Intégrité solution

La solution doit rester à
température controlée

([10 °C ; 45 °C])

"
'
\

<< Requirement >>
Rapidité

<< Requirement >>
Précision injection

On doit avoir t5% 5 15 s

La dose injectée doit avoir un
volume précis à i 0,01 mL

Figure 4 -- Diagramme partiel des exigences

3/16

Objectif

L'objectif de ce sujet est de modéliser le système médicalisé d'injection afin 
de
vérifier les performances du cahier des charges concernant le contrôle de la 
quantité
de solution injectée.

II Modélisation de l'asservissement du volume injecté

Objectif
L'objectif de cette partie est de modéliser l'ensemble de l'asservissement du 
volume
injecté afin de vérifier que le systéme respecte l'exigence du cahier des 
charges.

Dans la suite du sujet, la transformée de Laplace d'une fonction f(t) sera 
notée F(p).

II.1 Actionneur thermique

Objectif
L'objectif de cette partie est de modéliser le fonctionnement de l'actionneur 
ther-
mique.

L'actionneur thermique est une membrane bimétallique qui, sous l'effet 
thermique, se dé--
forme. Elle fonctionne sur le principe suivant : si on accole deux matériaux 
possédant des
coefficients de dilatation thermique différents, une élévation de la 
température va provoquer la
déformation de la membrane du côté du matériau possédant le coefficient de 
dilatation le plus
élevé (figures 5).

Afin d'identifier le comportement de l'actionneur thermique, on réalise un 
essai en alimen--
tant l'actionneur sous un échelon de tension ut}, : 12 V.

Q1. A l'aide de la courbe de réponse obtenue (figure 5b), déterminer la 
fonction de transfert

F K
de l'actionneur thermique (supposée du premier ordre) : Hath(p) : "'(p) -- "'

Uth(p) _ 1 + Tthp'

Effort (N)

T° élevée

' / l-- 0 0004 0.008 0.012 0.016 002
T0 basse temps (8)
(a) Actionneur thermique (b) Réponse a un échelon de tension

Figures 5 -- Actionneur thermique et réponse a un échelon de tension

En réalité, l'actionneur thermique est alimenté par une tension hachée, 
puisqu'il est succes--
sivement chargé et déchargé pour obtenir l'effet de pompage.

4/16

II.2 Ecoulement dans le canal de l'aiguille

Objectif
L'objectif de cette partie est de modéliser l'écoulement dans une conduite afin 
de
déterminer la relation entre le débit dans la conduite et la pression en entrée 
de
conduite.

Le canal de l'aiguille est modélisé par un tube cylindrique d'axe (0.2), de 
longueur L et
de section circulaire de rayon R. Le fluide médicamenteux est assimilé à de 
l'eau de masse
volumique p et de viscosité dynamique 77. L'écoulement unidirectionnel et 
stationnaire se fait
dans le sens des ?: croissants. On note P(0) : P(z : 0) la pression à l'entrée 
du canal et
P(L) : P(z : L) la pression à la sortie du canal.

Q2. Rappeler les hypothèses à vérifier pour pouvoir appliquer le théorème de 
Bernoulli. Si le
canal est horizontal, comment s'exprime le théorème de Bernoulli entre l'entrée 
et la sortie en
fonction de la perte de charge Ah homogène à une longueur ?

Q3. Définir et évaluer le nombre de Reynolds correspondant à l'écoulement dans 
l'aiguille de
longueur 5 cm et de diamètre intérieur 200 mn dans le cas d'un débit de 5 
mL-min_l. La
viscosité du fluide est 77 : 1,0.10_3 Pas.

Aa: < v2 >

Q4. Les pertes de charge régulières sont données par la relation Ah : AË 2
9

est l'accélération de la pesanteur et A le paramètre dit de frottements, sans 
dimension. Que
représente < ?? > ? Quelle est la dimension de Aa: ? Que peut représenter Aa: ? 
En déduire la
perte de charge entre l'entrée et la sortie de l'aiguille.

oùg

Q5. Un calcul non demandé ici montre que la vitesse moyenne de l'écoulement 
dans la seringue
fï0)---FTL)

877L
du fluide noté Q pour cet écoulement.

est donnée par la relation < ?} > = R2. En déduire l'expression du débit 
volumique

Q6. Pour une aiguille de longueur 50,0 mm et de diamètre intérieur 0,2 mm, 
calculer, toujours
en négligeant la pesanteur, la valeur numérique de la pression à exercer au 
sommet de la co--
lonne de liquide pour assurer un débit de 5,0 mL-min_1 a la sortie de 
l'aiguille. On prendra
77 = 1,0 - 10_3 Pas .

Pour la suite du sujet, on supposera que la fonction de transfert 
représentative du compor--

----ÊKËL----==KQ==9ÆîMY1nYS_ËNFÏ

tement de la conduite s'écrit : Hconduioe(p) : F ( )
charges p

II.3 Membrane de la micropompe

Objectif

L'objectif de cette partie est de modéliser le fonctionnement de la membrane de 
la
micropompe afin de lier les efforts exercés sur la membrane avec le débit 
effectif
de la pompe.

II.3.1 Modélisation générale

Le comportement de la membrane est modélisé par un assemblage de segments 
reliés entre
eux par des liaisons pivots comme décrit sur la figure 6 page 6.

5/16

Actionneur \v

Fmembrane

. (, Ê
yo Segmen n

* .

\

: Segment 2 P 0

: Segment 1 Un "+1
\ Segment 0 . » ÿ * .
: P \ 50
' />>_4

3 P "announeur
\

.

WJ,,,ol

-- la raideur de torsion kt est identique pour chaque noeud avec kt : 5 N / rad;
-- la norme de l'effort exercé par l'actionneur Fmembrane est : F = 8 N;
-- on suppose par la suite que 93 est nul (93 = O).

"actionneur

__________ 50

Figure 7 -- Modélisation de la membrane avec 2 segments

Les 6 équations issues du Principe Fondamental de la Statique appliqué 
successivement au
segment 1 au point 01 puis au segment 2 au point 02, ainsi que les deux 
conditions limites
portant sur 331 et % permettent d'obtenir le système matriciel ci--dessous :

_1 0 --19 ---1 0 0 ' }n_ _ 0 _
0 1 0 0 ---1 0 y1 _}?
() 0 ---2kt 0 --:L0 kt 0 91 ---£%9
0 () 0 1 0 --19 -1 () æ2 __ 0
0 0 0 0 1 0 () --1 ' y2 _-- --}>
0 0 kt 0 0 --2@ 0 ---L0 (@ --£%l
1 0 0 0 0 0 0 fig 0
_0 0 0 0 0 0 1 _ }Æ_ _ F'_

Le problème discret mis en équation peut ainsi être traité numériquement. Pour 
déterminer
les déplacements de la membrane en fonction des actions mécaniques, il est 
nécessaire d'inverser
le système matriciel précédent.

Pour cela, il est décidé d'utiliser un algorithme basé sur la méthode du pivot 
de Gauss,
permettant de déduire les inconnues de liaisons a:1,y1, &...

Une version de l'algorithme du pivot de Gauss est donnée dans l'annexe 2.

7/16

On appelle pour la résolution le programme Gauss et on entre la ligne de 
commande
sol : Gauss(H,G) avec les matrices [H] et [G] suivantes :

_1 0 ---10 ---1 0 0 0 0 _ _ 0 _

0 1_ 0 0 ---1 0 0 0 --10

0 0 ---10 () --(r00125 5 0 0 --(r00625
ÜÎl== 0 () 0 1 0 --10 ---1 0 KH== 0

0 () 0 0 1 0 0 ---1 ---10

0 0 5 0 0 ---10 () --(r00125 --lL00625

1 () 0 0 0 0 0 0 0

_0 () 0 0 0 0 0 1 _ _ 8 _

Q9. Donner la sortie affichée par la ligne de commande A fichage 1 (ligne 37 
pour le code
Python et 42 pour le code Scilab) a la première itération (i=1) .

Remarque : la fonction NP.CONCATENATE(A,B.T), ligne 5 du code python, permet 
d'as--
sembler A avec la transposée de B par la droite.

Le résultat donné par l'application du programme est le vecteur solution 
suivant :

T T
501=[æ1 gn_ 91 aa y2 65 fig gg] ==[0 ---12 (L000916 () ---2 (L0000833 () 8

Q10. En déduire le déplacement de la membrane noté uactionneur sur la figure 7.

II.3.3 Modélisation dynamique

La modélisation permet de connaitre le comportement statique de la membrane et 
donc son
comportement sous charge. Néanmoins, il est nécessaire d'étudier son 
comportement dynamique
pour évaluer la fonction de transfert de la membrane. Ainsi, la modélisation 
dynamique revient
a écrire le système matriciel suivant :

0 ---J ê1_+ k, --2@ 91 _
--J--nu? --mL2 è2 --aa @ 92

Or, il a été vu a la Q6 que le débit est directement proportionnel a P (via les 
pertes de
charge dans la conduite). Ainsi, le système matriciel précédent peut s'écrire 
sous la forme :

LFfiaP%
--LF + P%

VHKN-+lBHCÜ+-KËKX==lFl (1)

où [O] = [9192] et [F] est une matrice 2 >< 1 exprimée en fonction de F et L.

On cherche a résoudre l'équation différentielle (l) a l'aide de la méthode 
d'Euler a deux
pas. Pour simplifier la programmation, nous nous intéressons dans la suite a la 
résolution d'une
équation différentielle d'ordre 2 non matricielle, de la forme :

aÿ+bÿ+oy=f

où a, b, c et f sont des scalaires et y la solution recherchée. Une partie du 
programme de résolu--
tion de cette équation par la méthode d'Euler est donnée ci--après, la 
déclaration des variables

8/16

&, b, c et f étant supposée déjà effectuée. De plus, dt et nbdt correspondent 
respectivement au
pas de temps et au nombre de pas de temps de la simulation.

Version Python Version Scilab
1 import numpy as np 1function ddy=derivee2(y,dy)
2 def derivee2(y,dy) 2 ddy : (f--c*y--b*dy)/a
3 ddy : (f--c*y--b*dy)/a 3endfunction
4 return ddy

4function y=Euler_ordre2 (dt ,nbdt)

5 def Euler_ordre2(dt,nbdt): 5 y=[0] //c0nditlon finit .nulle
6 y=[0] #condition finit. nulle 6 dy=[0] //c0nditlon finit. nulle
7 dy=[0] #condition finit. nulle 7 for i=1:nbdt

9 for i in range(nbdt): 8 dy(i+1)= //a completer
10 dy=dy+.... #a. completer 9 y(i+1)=y(i)+dt*dy(i)

11 y=y+[y[i]+dt*dy[i]] 10 end

13 return y 11endfunction

Q11. Ecrire la ligne a compléter dans le code précédent permettant d'effectuer 
une résolution
de l'équation différentielle précédente par la méthode d'Euler.

Le résultat donne l'évolution de @ en fonction du temps. Il est alors possible 
de déterminer
le déplacement de la membrane en fonction du temps et donc le débit effectif de 
fluide.
On prendra par la suite comme fonction de transfert de la membrane :

QQ?) _ Km}? _ 0700023}?
F@@)_läfiaai_onduæfl+i'

Hmembrane (p) =

11.4 Commande de l'actionneur piézoéIectrique

Objectif
L'objectif de cette partie est de décrire la commande de l'actionneur piézoé1eo-
trique.

L'actionneur piézoélectrique (figure 8) est actionné en cas d'insuffisance de 
l'actionneur
thermique a respecter le débit imposé.

Cette condition est vérifiée par le capteur de débit étudié
ci--après et des capteurs de température disposés sur la mem--
brane. L'objectif de ces capteurs est de vérifier que la tempé--

rature de la membrane ne dépasse pas la valeur imposée par
le cahier des charges (45 °C).

Q12. En supposant que le capteur de débit fournit la valeur
du débit notée qréel et que le capteur de température fournit
la valeur de la température notée t...embmne, écrire une fonc--
tion qui s'appelle ACTIONNER(TMEMB) qui retourne la valeur Figure 8 -- 
Actionneur piézo--
True si t...embmne S 45 et False si t...embmne > 45 selon la tem-- électrique 
utilisé

pérature.

Dans la suite du sujet, nous supposerons que l'actionneur piézoélectrique n'est 
pas activé.

9/16

II.5 Débitmétre a fil chaud

Objectif
L'objectif de cette partie est de modéliser le fonctionnement du débimétre a fil
chaud utilisé comme capteur de débit dans l'asservissement.

II.5.1 Principe de base d'un anémométre a fil chaud : loi de King

Un anémomètre a fil chaud (non miniaturisé) est
constitué d'un fil d'environ EUR = 1 mm de long et de
diamètre d de l'ordre de quelques mm. Les mesures sont
le plus souvent effectuées dans des souffleries (écoulement
d'air allant de 0,1 m/s a plusieurs centaines de m/s).
Le principe de l'anémométrie a fil chaud est basé sur le
refroidissement éolien et consiste a mesurer la puissance
thermique transférée depuis un fil chauffé par effet Joule
et refroidi par le passage du fluide. La puissance emportée
donne une mesure indirecte de la vitesse d'écoulement V
(figure 9).

On note m la masse du fil, c la capacité thermique mas--
sique du matériau formant le fil, T... la température du fil,
H... la résistance électrique du fil, T 0 la température sup--
posée uniforme du fluide loin du fil. L'intensité du courant Figure 9 -- Fil 
Châlld dans 17ëCOU--
électrique traversant le fil est ] et la puissance thermique lement
transférée du fil vers l'extérieur est noté P....

Q13. Si le fil est plus chaud que l'extérieur, quel est le signe de P... si le 
système considéré est
le morceau de fil ?

Q14. Effectuer un bilan d'enthalpie sur le fil et en déduire que T... satisfait 
a l'équation diffé--

rentielle
dT...

d--t

où l'on déterminera 04 en fonction des données du problème.

=Rw 12-- Pth

Q15. La puissance thermique évacuée par le fil peut être transférée selon 4 
possibilités diffé--
rentes. Lesquelles?

Q16. Parmi les 4 possibilités de transfert thermique, nous ne retiendrons que 
la conduction
et la convection vers le fluide. Ce transfert se fait par la surface latérale A 
du fil. Exprimer
A en fonction des dimensions du fil. On appelle 32 le vecteur densité volumique 
de courants
thermiques a la surface du fil. En supposant le fil assez long pour négliger 
les effets de bord
comment est orienté le vecteur jq ? De quelles variables dépend-- il? Si on 
suppose de plus jq
uniforme en norme a la surface du fil, que vaut PH,? .

Q17 . 32 a la surface est donné par la relation H j--q' "= h \ T... -- T 0 \. 
Quelle est l'unité de h ?

Q18. Rappeler, en explicitant chacun des termes, l'expression de la loi de 
Fourier. On intro--
duira la conductivité thermique Àf du fluide environnant. Le nombre de Nusselt 
N... permet de
comparer le transfert thermique avec ou sans écoulement du fluide environnant 
(N... est d'autant

10/16

plus grand que la vitesse V de l'écoulement est grande). On montre que ce 
nombre vaut dans

le cas du fil chaud Nu = À--. Vérifier que cette quantité est bien sans 
dimension.
f

Q19. Montrer alors qu'en régime permanent, l'équation différentielle obtenue 
Q14 se simplifie
en R...]2 : 7TEURÀf(Tw -- TO)Nu.

Q20. Application numérique : le fil chaud dissipe une puissance de 0,25 W. La 
conductivité
thermique de l'air est de 0,02 \N-K--1-m_1 et la différence de température est 
de l'ordre de 200
°C. Que vaut le nombre Nu ? Que dire du transfert par convection par rapport au 
transfert par
conduction ?

Q21.En 1914, King a proposé la loi suivante : Nu : a + b\/Îe où Re est le 
nombre de
Reynolds et a et 19 deux coefficients qui ne dépendent pas de la vitesse de 
l'écoulement V.
Quelle est l'expression du nombre de Reynolds dans ce problème ? On introduira 
le coefficient
de viscosité dynamique du fluide noté 77 et la masse volumique du fluide notée 
p. Comment
varie alors Nu avec la vitesse V ?

Le fil chaud est fait d'un matériau dont la résistivité électrique dépend de la 
température
de manière affine. La résistance R... du fil s'écrit alors R...(T...) : R0(l + 
oz(Tw -- T e)) avec oz une
constante dépendant du matériau.

R...I2

(Rw _ RO)
Àf, oz, R...d,a,b,n et de p.

Q22. Montrer alors que : 611 + [).../V où l'on exprimera 611 et 191 en fonction 
de EUR,

II.5.2 Electronique d'asservissement : anémométrîe à température constante (CTA)

On vient de voir que la résistance du fil dépend directement de la vitesse V de 
l'écoulement.
L'anémométrie a température constante (CTA) consiste a garder la résistance 
R... constante
et donc la température T ... du fil constante. On mesurera donc V a travers les 
fluctuations de
l'intensité ] qui traverse le fil chaud.

Q23.La résistance du fil chaud est insérée
dans un circuit type << pont de Wheatstone >>.
Oe circuit comporte deux résistances égales
a R1, une résistance Roe que l'on peut faire
varier et le fil chaud représenté par la résis--
tance R.... En utilisant deux diviseurs de ten--

sion bien choisis, montrer que la tension 6 est

l l
égale à EUR = E (m _ @ OÙ. POD pré--

cisera les expressions de fi et 5 . Quelle est la
condition sur R... et Roe pour que le pont soit
équilibré, c'est--à--dire e = 0 ?

Figure 10 -- Pont de Wheatstone

On peut choisir d'équilibrer le pont (6 = 0) en jouant sur la valeur de 3957 ce 
qui va fixer la
température de travail du fil chaud.

11/16

Q24. Si on augmente la valeur de R... est--ce qu'on sélectionne une température 
de travail plus
élevée ou plus faible? Dans le cas d'un fluide médicamenteux, pourquoi vaut--il 
mieux choisir
R,, de telle façon que la température du fil chaud n'excède pas 100 °C ?

Lorsque la vitesse V de l'écoulement varie, le pont sera déséquilibré car Rw va 
varier. Afin
de maintenir la température constante, le circuit électrique doit comporter une 
boucle de ré--
troaction. Le circuit est donné figure 11. L'Amplificateur Linéaire Idéal (ALI) 
fonctionne en
régime linéaire et est idéal.

Q25. Que valent les courants d'entrée @ et 2'_
respectivement dans les bornes d'entrée + et --
de l'ALI? Que vaut la tension entre ces deux
bornes d'entrée dans le cas d'un fonctionnement
linéaire ?

Q26. Montrer que ce circuit va permettre
d'ajuster le courant I pour que le fil chaud soit
maintenu a température constante lorsque la vi--
tesse V de l'écoulement varie.

Figure 11 -- Circuit avec rétroaction

Q27 . Montrer que la tension de sortie de l'ALI ES vaut yU où l'on exprimera y 
en fonction de
R1 et RU,. En vous appuyant sur les questions Q22 et Q26, montrer que la 
tension de sortie
de l'ALI vérifie la relation E32 : A + B \/V où l'on ne cherchera pas a établir 
les expressions
de A et de B. Cette relation s'appelle la loi de King.

II.5.3 Validation expérimentale de la modélisation

Comme il est difficile de contrôler tous les paramètres qui interviennent dans 
la loi de King,
les coefficients A et B sont déterminés par un étalonnage empirique. Pour 
chaque vitesse V
de l'écoulement, on relève la tension de sortie E,. Les résultats sont résumés 
dans le tableau
ci--dessous.

V'@ns--1) 0 (L5 Le L5 2£>2Æ33l)4Æ)5fl)
_ES(V) {ro ao a4 5J'ôp 62 6A.6J'7n

Q28. Que vaut le coefficient A ?

Q29. La loi de King est un modèle trop fort. On observe qu'il est plus facile 
d'ajuster les valeurs
au modèle suivant : E32 : A + BV" où l'exposant n est compris entre 0,4 et 0,6. 
Quelle courbe
doit--on tracer pour trouver l'exposant n? Déterminer alors cet exposant a 
l'aide du tableau
fourni.

12/16

II.5.4 Le débitmètre a fil chaud MEMS

La structure miniaturisée est la suivante :

Capot Canal Fil chaud
Hcap0t : 500 Hm
Z
I'Icanal/2
0 Hcanal : 500 Nm
--H°...1/2 _ I '" H... = 300 nm
«" '"""""""*
W = 500 m
Couche / oepæur H Hsub : 500 nm
fonctionnelle Substrat

Figure 12 -- Structure MEMS du débimètre

On trouve les données (en unités SI) suivantes pour quelques matériaux :

Matériaux Masse volumique Capacité thermique massique Conductivité thermique
Silicium 2 330 700 130
Verre 1 650 730 1,4
Plastique 130 1 180 0,2
Air 1,19 1 006 0,023

Q30. Quel matériau préconiseriez--vous pour le substrat ? J ustifiez!

On supposera par la suite que le débimètre, étudié dans cette partie et utilisé 
comme capteur
de débit dans l'asservissement du système, est modélisable par un gain pur de 
coefficient :

KCCL
Heapt(p) : Tpt avec Kcapt = 3,6103 V.m_3.s_1.

11.6 Simulation de l'asservissement en volume injecté

Objectif

L'objectif de cette partie est de mettre en oeuvre le modèle théorique de 
Passer-
vissement et d'effectuer la simulation permettant de vérifier les performances 
de
l'asservissement.

Le schéma--bloc retenu pour cette partie est donné ci--dessous. Il correspond a 
un modèle
simplifié du schéma--bloc fonctionnel donné figure 15 -- annexe 1.

13/16

Fchar es p
g ( ) Kd {
Voens(p) Uc(p) AU(p) Uth(p) K... Fth(p) Fm(p) K...p @@ vréel(p)
Kcapt ®--'Hcorr(p) > 1+Tthp -->®--> % > 1/1) _}
Ucapt(p)
Kcapt
p _

Figure 13 -- Schéma--bloc fonctionnel simulé

On suppose tout d'abord que le correcteur 1 (figure 15 -- annexe 1) est un gain 
pur de la
fOÏIÏ1EUR Hcorr (p) : Kcorr-

Vi"éel (p )

Q31. Déterminer la fonction de transfert de l'asservissement du volume délivré 
H (p) : --().
COHS p

Q32. Le système est--il précis pour une entrée de type échelon de volume ? 
Justifier.

Une simulation effectuée avec un correcteur de gain KC... : 1 et une entrée 
échelon d'am--
plitude 5 mL donne le résultat suivant :

07005 . . . . .
| | | | | ' '
| | | | | | | |
| | | | | | | |
...... '-----J--- _L_____L____J_____l_____L_____L____J_____.
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | | |
_| T _____ |__--___| _____ T _____ r _____ l _____ _| ______
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
-| + ----- |--------| ----- + ----- |-- ----- | ----- -| ------------
A | | | | | | | |
Q | | | | | | | |
V | | | | | | | |
\@ J L _____ L-----_| _____ J. _____ L _____ | _____ J ......
4.7 | | | | | | | |
U | | | | | | | |
a | | | | | | | |
| | | | | | | |
-E _| T _____ |__--___| _____ T _____ r _____ l _____ _| ______
@ | | | | | | | |
| | | | | | | |
5 | | | | | | | |
E -| -|-- ---------- |------------| ---------- + ---------- |- ---------- | 
---------- -| ------------
O | | | | | | | |
> : : : : : : : :
J L _____ L-----_| _____ J. _____ L _____ | _____ J ......
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
___--___________l_ _____ | ______ | ___--__| _____ |-- _____ |___--__| ______
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
1-- ---------- |------------| ---------- + ---------- |-- ---------- | 
---------- -| ------------
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| -i- | -i-- i i i temps(s)
0 10 20 30 40

Figure 14 -- Simulation d'injection d'un volume de 5 mL avec Kcorr : 1

Q33. Le système ainsi réalisé respecte--t--il les exigences définies par le 
constructeur ?

14/16

Pression artérielle

upiézo (Ü) F piézo (75)
Correcteur2

Act. piézo î
l/cons (t) uc (t) AU(Ë) uth (t) Fth (t)

Act. thermique -->®-->

Capteur débit

V

V

V

Correcteurl

V

Convertisseur -->

A

Figure 15 -- Schéma--bloc fonctionnel simplifié

91/91

On retrouve ainsi sur ce schéma--bloc fonctionnel les grandeurs :

-- Voens(t) le volume de la solution a injecter;

-- Voeel(t) le volume réel déjà injecté de la solution;

-- uc(t) la tension consigne proportionnelle au volume a injecter;

-- upiézo et u... les tensions de commande après correction envoyées aux 
actionneurs piézoéle«

-- F..., Fpiézo; Fcharges les actions mécaniques exercées sur la membrane par 
respectivement 17
l'actionneur piézoélectrique et la pression de la solution injectée créée par 
les pertes de cl
et la pression artérielle;

-- q(t) le débit de solution;

-- ue(t) la tension image du volume de solution injecté.

Annexe 2 -- Code informatique pour le pivot de Gauss (Q9).
Version Python Version Soilab

1import numpy as np 1function M:Augmente(A,B)
2def Augmente(A,B) : 2 n=size (A, "r ")
3 n=len(A) 3 m=size(B, "r")
4 m=len(B.T) 4 MzA

5 OEnp.concatenate((A,B.T) ,axis=1) 5 for i=1:n
6 return M 6 M(i ,n+1)=B( i)

7 end

7de Echligne (M, 1 ,J ) : 8endfunction
8 N=np . copy (M[ i ] )

9 M[ i]=M[J] 9function MzEChligne (M, i ,J )

10 M[J]=N 10 X1M(i ,:)

11 returnM 11 M(i,:)zM(j,:)
12 M(J ,:)=X

12def Pivot (M, 1) : 13endfunction

13 n=len(M)

14 J=i 14function r=Pivot (M, i)

15 for k in range(i+1,n): 15 n:size(M,"r")

16 if abs(M[k,i])>abs(M[J,i]): 16 r=i

17 J=k 17 for k=i+1:n

18 return J 18 if abs (M(k, i) )>abs (M(r , i ) ) then
19 r=k

19def Elimine (M, i ,J ) : 20 end

20 a=--M[J,i]/M[i,i] 21 end

21 M[j]+=a*M[ i ] 22endfunction

22 return M

23function MzElimine (M, i ,J )

23def Normalise_diagonale(M) : 24 a=--M(J , i)1/M( ,i)

24 n=len (M) 25 M(J )1M(J )+a*M( 1)

25 for i in range(n) : 26endfunction

26 M[i]/=M[i,i]

27 return M 27function M:Normalisediagonale(M)
28 n=size (M, "r")

28def Gauss(A,B): 29 for i=1:n

29 M:Augmente(A,B) 30 M(i)zM(i)/M(i , i)

30 n=len (M) 31 end

31 for i in range(n--1)z 32endfunction

32 p=Pivot (M, i)

33 if iÏ=pî 33function MzGE...SS(A,B)

34 MzEChligne(M p) 34 n=size(A,"r")

35 for J in range(i+ll, H): 35 M:Augmente(A,B)

36 Elimine(M, i, J) 36 for i=1:n--1

37 print (M, "\n") #Affichage] 37 i_piv=Pivot (M, 1)

38 Normalise_diagonale(M) 38 if (i!=i_piv) then

39 for i in range(n--1,0,--l)z 39 MzEChligne(M,i ,i_piv)

40 for J in range(i--1,--1,--l): 40 for J=i+1zn

41 Elimine (M, i ,J ) 41 MzElimine (M, i ,J )

42 return (M) 42 disp (M, "\n") //Affichage]

43 M:Normalisediagonale(M)
44 for i=n--1:--1:1

45 for J=i --1:--1,0
46 MzElimine (M, i ,J )
47endfunction

Fin de l'énoncé

16/16

IMPRIMERIE NATIONALE -- 151321 -- D'aprèsdocumentsfournis

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Modélisation et Ingénierie numérique PSI 2015
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé en école 
d'ingénieurs) ; il a été relu par Guillaume Maimbourg (ENS Cachan) et Julien 
Dumont
(Professeur en CPGE).

Ce sujet de modélisation et ingénierie numérique étudie un dispositif médical
d'injection qui a pour but de remplacer les aiguilles traditionnelles afin de 
limiter
les risques d'accident. On utilise à cette fin une membrane qui, en jouant sur 
les
dépressions et surpressions qu'elle crée, module le débit injecté. Pour 
déformer cette
membrane, on envisage l'utilisation d'effets thermiques et mécaniques.
· La première partie débute par l'identification des paramètres d'un système du
premier ordre correspondant à l'actionneur thermique envisagé. Suivent des
questions relativement classiques, préparant à la modélisation de la membrane,
qui portent sur l'écoulement d'un fluide visqueux dans une conduite.
· La modélisation mécanique de la membrane utilisée dans la micropompe a
pour but de relier les efforts exercés sur celle-ci avec le débit de liquide 
injecté. Le modèle complet fait intervenir un grand nombre d'inconnues : il faut
par conséquent utiliser des résolutions numériques, ce qui conduit à quelques
questions d'informatique.
· La dernière partie propose un système d'asservissement du volume injecté, 
destiné à savoir si les exigences sont respectées. Dans un premier temps, un 
anémomètre à fil chaud servant de capteur de débit est détaillé dans des 
questions de
diffusion thermique et d'électronique. Dans un second temps, on met en place
l'asservissement proprement dit.
Le problème est équilibré entre sciences physiques, modélisation numérique, 
asservissements et mécanique du solide, respectant bien les attentes de 
l'épreuve. Les
différentes parties sont indépendantes les unes des autres et toutes très 
abordables.
Le sujet est plutôt court et faisable dans le temps imparti.

Indications
3 Écrire le débit volumique Q en fonction de la vitesse moyenne hvi puis le 
nombre
de Reynolds Re en fonction du débit.
7 Exprimer le principe fondamental de la statique en exprimant tous les torseurs
au point Oi .
9 Analyser le programme pas-à-pas, avec une matrice de taille 2 × 2 par exemple.
Attention, si la première itération correspond bien à i= 1 dans la version 
Scilab,
en revanche, elle est définie pour i= 0 en Python.
10 Attention aux notations : xi et yi sont des efforts, pas des déplacements.
11 La méthode d'Euler évalue une dérivée en calculant un taux d'accroissement.
14 La puissance Pth est perdue par le fil.
16 Utiliser les symétries et invariances du problème.
19 En régime permanent, la température ne dépend plus du temps. Reprendre 
l'équation obtenue à la question 14.
24 La relation entre la résistance et la température permet de conclure si l'on 
suppose
que le pont reste équilibré.
26 Utiliser la relation fournie à la question 22.
27 Utiliser un diviseur de tension.
29 Tracer une droite et évaluer son coefficient directeur.
30 Le fil doit échanger de la chaleur uniquement avec le fluide, par convection.
32 Utiliser le théorème de la valeur finale.

1 La valeur asymptotique de la réponse d'un système du premier ordre à un 
échelon
est égale au gain statique Kth multiplié par la hauteur uth de l'échelon. On a 
donc,
d'après la figure 5b,
lim Fth = Kth uth = 60 N
t+

Le temps de réponse est obtenu lorsque la réponse atteint 63% de sa valeur 
finale,
soit 38 N. Ainsi, on lit sur le graphique
et

Kth = 5 N.V-1

 th = 2 ms

L'équation différentielle d'un système du premier ordre est du type
df (t)
= Kth u(t)
dt

f (t) = 1 - e -t/ th Kth Uth ---- Kth Uth
f (t) +  th

soit

t+

On peut également retrouver le résultat en utilisant le théorème de
la valeur finale : avec des conditions initiales nulles,
lim f (t) = lim p F(p)

t+

p0

= lim p H(p) U(p)
p0

= lim p
p0

Uth
Kth
1 +  th p p

lim f (t) = Kth Uth

t+

2 Le théorème de Bernoulli suppose un écoulement incompressible, homogène,
permanent et parfait. En notant h la perte de charge, qui correspond à la perte
d'énergie mécanique entre l'entrée et la sortie, il s'écrit pour un canal 
horizontal
v 2 (0) P(0)
v 2 (L) P(L)
+
=
+
+ h
2g
g
2g
g
3 Le nombre de Reynolds est défini comme le rapport des forces d'inertie sur
les forces de viscosité. Il s'identifie avec le rapport d'un temps 
caractéristique de diffusion de quantité de mouvement sur un temps 
caractéristique de convection. Notons D
le diamètre intérieur de l'aiguille, hvi la vitesse moyenne du fluide, de 
viscosité dynamique  et de masse volumique égale à celle de l'eau,  = 1,0.103 
kg.m-3 . Le nombre
de Reynolds s'écrit
 hvi D
Re =

2
Avec Q =  D hvi/4 le débit volumique du fluide, il devient
Re =

4Q
= 5.102
D

L'écoulement est par conséquent laminaire.
Attention aux unités ! Dans une application numérique, il faut toujours 
utiliser celles du système international. Le débit vaut ainsi
Q = 5 mL.min-1 =

5.10-6 3 -1
m .s
60

4 Les pertes de charge régulières sont données par la relation de l'énoncé
h = 

x v 2
2R 2g

Le terme v 2 représente la moyenne du carré de la vitesse, c'est-à-dire que
v 2 est le carré de la vitesse quadratique moyenne.
Ce terme peut être vu comme la vitesse efficace au carré. C'est une image de
l'énergie cinétique moyenne.
Le terme x a la dimension d'une longueur.
Il représente la longueur de la canalisation. En effet, les pertes de charge 
sont
proportionnelles à la longueur de la conduite. Par conséquent, la perte de 
charge
entre l'entrée et la sortie de l'aiguille vaut
h = 

L v2
2R 2g

Le paramètre de frottements pour un écoulement laminaire vaut  =

64
.
Re

5 Le débit volumique s'écrit
-

1
-
Q= 
v · dS = S
S
S
Z

La définition de la vitesse moyenne conduit à

Z

-
-

v · dS

S

Q = S hvi
où S =  R2 est la section droite de la conduite. Ainsi,
Q=

P(0) - P(L)
 R4
8L

6 En considérant que la pression en sortie d'aiguille est égale à la pression 
atmosphérique P(L) = 1,0.105 Pa, on a
P(0) =

8LQ
+ P(L) = 2,1.105 Pa
 R4

7 Remarquons tout d'abord que lors d'un changement du point A au point B,

-
-

la résultante R d'un torseur est inchangée et son moment M devient
-

-

- -

M(B) = M(A) + BA  R
Exprimons alors les torseurs des efforts exercés sur le segment i, réduits au 
point Oi :
· liaison pivot avec le segment i - 1 :
(
{Ti-1i } =

+y -

xi -
x
0
i y0
-

0

)

Oi