CCP Physique 2 PSI 2004

Thème de l'épreuve Matériaux et procédés dans l'industrie électronucléaire. Différents types de moteurs.
Principaux outils utilisés diagrammes d'Ellingham, diagrammes potentiel-pH, courbes intensité-potentiel, thermochimie, oxydoréduction, solutions aqueuses, cycles thermodynamiques, électrocinétique, systèmes mécaniques en rotation
Mots clefs moteur à, explosion, loi de Laplace, diagramme de Watt, diagramme de Clapeyron, gaz parfait, rendement, moteur a courant continu, hacheur, couplage, électromécanique, loi des mailles, théorème de l'énergie cinétique, oscillogrammes, effet Joule, moteur synchrone

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2004

. PSIP209

CONCOURS (0MMUNS POlYÏECNNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE PSI

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

***

N. B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et àla concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'énonce', il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a 
été amené à prendre.

***

L'épreuve comporte un problème de physique et un problème de chimie. Les 
candidats traiteront les
deux problèmes dans-l'ordre de leur choix et les rédigeront de façon séparée. 
Le sujet comporte 15

pages et un document-réponse à joindre à la copie.

Durées approximatives : chimie - 2 heures
physique - 2 heures

PROBLÈME DE CHIMIE

MATÉRIAUX ET PROCÉDÉS DANS L'INDUSTRIE ÉLECTRONUCLÉAIRE

L'industrie électronucléaire française utilise en grande majorité des réacteurs 
à eau pressurisée dans
lesquels le combustible est de le dioxyde d'uranium, sous forme de pastilles 
contenues dans une
gaine en alliage de zirconium, l'ensemble étant immergé dans de l'eau servant 
de fluide caloporteur.
Les trois parties de ce problème s'intéressent successivement au combustible, à 
la gaine et à l'eau

de refroidissement.

1. Le combustible

A partir de la pechblende U308, minerai principal d'uranium, On prépare une 
solution aqueuse de
sulfate d'uraner UO;SO.; qu'on transforme en diuranate de diammonium (NH4)2U207 
puis en
trioxyde d'uranium. Ce dernier est réduit par le dihydrogène pour donner U02 
solide. Ce composé
ne peut servir de combustible nucléaire que s'il est enrichi en isotope 235U, 
fissile, alors que
l'isotope 238U, majoritaire, ne l'est pas. Pour ce faire, on traite U02 par le 
fluorure d'hydrogène pour
former UF4 gazeux qu'on fait réagir avec le difluor pour obtenir UF6 azeux. Ce 
dernier est soumis
à un procédé de diffusion gazeuse qui permet d'amener la teneur en 23 UF6 de 
0,7% à plusieurs pour
cent. L'hexafluorure ainsi enrichi est réduit par le dihydrogène en présence de 
vapeur d'eau ; on
obtient ainsi U02 enrichi qui est mis en forme pOur donner les pastilles 
utilisables dans les

réacteurs.

Question 1 (QI): Quel est le nombre de protons dans 235U, dans 238U ? Quel est 
le nombre
d'oxydation de l'uranium dans U02 , U03 , UOzSO4 ?

Q2 : Quels sont les trois ions présents dans U30g supposé purement ionique ?

Q3: Quelle est la forme de la molécule UF6 ? Quel est l'angle de liaison 
F--U--F dans cette
molécule ?

Q4 : Le dioxyde d'uranium cristallise dans le système cubique. A partir de sa 
masse volumique,
déterminer la multiplicité de sa maille (nombre de groupements formulaires par 
maille).

On s'intéresse à la réduction des oxydes d'uranium par le dihydrogène.

QS : En utilisant les données thermodynamiques données au @ IV,tracer les 
droites d'Ellingham
relatives aux trois couples UO3/U30g, U30g/U02 et U02/U (bilans tous rapportés 
à la consommation
d'une mole de molécules 02).

On présentera distinctement ]les expressions des lois affines A,G°-- - f(T) 
relatives a chacun de ces

couples, exprimées en ]. mol--', et on effectuera le tracé sur la Figure 1 du 
document-- --réponse annexé
à ce sujet, qui devra être joint à la copie. On indiquera clairement sur le 
diagramme la formule de

chaque phase solide dans son domaine d'existence.

Q6: Déduire du diagramme ce qui se passe si on chauffe UO3 sous P(Oz) : 1 bar ? 
A quelle
température ? (On se contentera de la précision de la solution graphique). -

Q7: Rappeler la variance du système gazeux H2- 02- H20à al'équilibre dans le 
cas général.
Observer la position sur le diagramme de la droite d' Ellingham relative au 
couple HzO/Hz avec

P(H20) : P(H2) : 1 bar ; déduire de la position de cette droite la phase solide 
obtenue à l'équilibre
quand on soumet UO3 à un tel mélange H20/H2 en excès, à la température de 1 000 
K. Pourquoi la

pression partielle de dioxygène n'est-elle alors pas quelconque '?

Q8 : Placer dans le diagramme la droite relative au couple H20/Hz dans les 
conditions de pression
de ces deux gaz où la réduction des oxydes d'uranium à 1 000 K va jusqu'à 
l'uranium métal. Quand
on fixe la pression de dihydrogène à 1 bar, quelle est la pression maximale de 
vapeur d'eau que doit
contenir le dihydrogène pour obtenir, à cette température, l'uranium métal '? 
(On pourra égaler les

pressions partielles de dioxygène des deux couples mis en jeu et on s'aidera du 
diagramme en se
contentant de la précision de lecture sur l'axe des ordonnées. On rappelle que 
la droite HzO/Hz

tracée dans le diagramme l'est, comme toutes les droites d'Ellingham, pour une 
mole 02 échangée).
Conclure sur la possibilité industrielle d'une telle réduction.

II. La gaine

Les gaines de zirconium (en fait un alliage peu chargé en éléments mineurs) se 
présentent sous la
forme de tubes très longs dans lesquels sont empilées les pastilles de 
combustible. Le zirconium a
été choisi en raiSon de sa très grande transparence aux neutrons produits par 
la fission,

contrairement au hafnium, son homologue supérieur dans la colonne IV de la 
classification
périodique, qui absorbe très fortement les neutrons et qui doit impérativement 
être éliminé du

zirconium (zirconium dit « déhafnié »).

Q9 : Quelle est la structure électronique du zirconium '? Quel est le numéro 
atomique du hafnium ?

On étudie les propriétés du zirconium métal en présence d'eau à température 
ordinaire. Les espèces
considérées sont le zirconium métal (Zr)s, le cation zirconium (Zr4+)aq, la 
zircone: dioxyde de

zirconium (ZrOz)s, l'anion (HZrO{),....
Q10 : Quel est le nom complet de l'anion (HZrO{)aq ?

Q11 : Au degré d'oxydation + IV, calculer les limites de stabilité en pH de la 
zircone solide, du
côté acide (équilibre avec Zr4+) et du côté basique (équilibre avec HZrO{). On 
considérera que les
espèces dissoutes du zirconium sont à la concentration de 1 x 10"6 mol.L". 
SChématiser le résultat
de ces calculs par un diagramme de prédominance uniaxe.

Q12 : Dans chacun des trois domaines de pH où l'espèce prédominante du 
zirconium (IV) est ainsi

définie, écrire l'équilibre entre cette espèce et le métal. Appliquer la loi de 
Nemst et préciser
l'évolution avec le pH du potentiel de chacun des couples Considérés (on ne 
calculera pas les

potentiels standard inconnus). On considérera, comme à la question précédente, 
une concentration
de 1 >< IO"6 mol.L'l pour les espèces dissoutes.

Q13 : Tracer le diagramme potentiel--pH pour cette concentration sur la Figure 
2 du document-
réponse annexé au présent sujet, qui devra être remis avec la copie. Placer 
dans chaque domaine
ainsi défini le nom de l'espèce prédominante. Observer la position de la droite 
de réduction de l'eau

et conclure quant à l'éventuelle corrosion du zirconium dans l'eau.

Q14 : En situation industrielle, on utilise le zirconium dans son domaine_de 
passivation. Fournir
deux adjectifs qualifiant un produit de corrosion pour que le matériau 
métallique qui lui donne
naissance soit protégé par une passivation efficace. Dans le cas du zirconium, 
on calculera les
volumes molaires .(2 de (ZrOz)s et de (Zr),, puis le facteur d'expansion 
volumique f, défini ainsi :

QZr0

2

f:
r

La valeur trouvée pour le coefficient d'expansion volumique de formation de la 
zircone à partir du
zirconium permet de conclure à une très bonne efficacité de la passivation. 
Pourquoi '?

Q15 : Quel commentaire pouvez-vous faire concernant le type des contraintes 
mécaniques qui
apparaissent alors dans l'oxyde ? En situation de corrosion accélérée, on 
observe une perte de
passivité; comment imaginez-vous le mécanisme de cette perte de passivité quand 
la couche

d'oxyde s'épaissit ?

Q16 : Tracer l'allure du diagramme intensité-potentiel à pH : 0 (domaine de 
corrosiOn) pour une
électrode de zirconium immergée dans un électrolyte indifférent (par exemple 
NaZSO4 0,1 mol.L"').
Même question à pH : 6 (domaine de passivation). On représentera en traits 
pointillés les demi--
réactions d'oxydation et de réduction et en traits pleins les courbes 
résultantes. On précisera de

façon claire les équations des demi-réactions redox représentées.

III. Le milieu aqueux caloporteur

L'eau de refroidissement des assemblages-combustible contient de l'acide 
borique H3BO3
(6,18 g.L"), qui assure, par son atome de bore, une absorption d'une partie des 
neutrons émis par la

fission.

Q17 : Quelle est la structure électronique de l'atome de bore ? En déduire la 
formule développée de
H3B03. Quelle est la forme de cette molécule ?

Q18: L'acide borique est un monoacide faible. Quel est le pH à 298 K d'une 
solution aqueuse
contenant 6,18 g.L" d'acide borique ?

Q19: En fait, l'exploitant des centrales nucléaires & fixé à 8 la valeur de pH 
optimale, où la
solubilité des divers produits susceptibles d'apparaître est minimale. Que 
proposez--vous d'ajouter
au milieu pour atteindre cette valeur ?

IV. DONNÉES :
Numéros atomiques :
H:,1 ; B:5 ; O:8 ; Zr:40 ; U:92.
Masses molaires atomiques (g.mol' 1) :
H: 1,0 ; B = 10,8 ; 0: 16,0 ; Zr=91,2 ; U=238,}0.
Constante des gaz parfaits :
R = 8,314 J.K"'.mol"
Nombre d'Avogadro :
N = 6,023 x 1023 mol--1
Enthalpies standard de formation à 298 K (AfH°298 en U .mol'l) :
U03 :- 1 223,8 ; U30g : -- 3 574,8 ; U02 : -- 1 085,0
Entropies standard à 298 K (S°... en J.K".mol'l) :
U : 50,2 ; UO3 : 96,1 ; U30g : 282,6 ; U02 : 77,0 ; 02 : 205,2 ; (H20)g : 188,8 
; Hz : 130,5.
Maille cristalline :

U02 : cubique ; paramètre de maille : a = 546,82 pm.

Masses volumiques :
U02 : 10,96 x 103 kg.m"3 ; Zr : 6,5 >< 103 kg.nf3 ; ZrO; : 5,6 >< 103 kg...."3
Constantes d'équilibre à 298 K :
(Zf'")aq + 4 01r : (Zr02)s+ 2 H20 ' log K1 : 55,12
(ZrOz)s + OH" : - (HZrO{)... log K2 : -- 4,80
Potentiel redox standard à 298 K : .
(Zr4+)aq / (Zr)s : e° : -- 1,44 V/ESH
Constante à 298 K :

RT ln lO/Î= 0,06 V

Constante d'acidité :

H3BO3

N

H2B03' + H+ pKa : 9,2

Fin du Problème de Chimie.

PROBLEME DE PHYSIQUE
DIFFERENTS TYPES DE MOTEURS

Le sujet comporte trois parties qui peuvent être traitées indépendamment. Dans 
chaque partie, le
candidat pourra trouver des questions pouvant également être traitées 
indépendamment.

PREMIERE PARTIE
MODELE D'UN MOTEUR D'AUTOMOBILE A EXPLOSION

. Le cycle à « quatre temps » d'un cylindre d'un moteur à explosion 
d'automobile peut être décrit de
façon simplifiée par le cycle classique de Beau de Rochas.

On se propose d'étudier la validité de ce modèle de cycle et d'évaluer, à 
partir des données
techniques d'un constructeur (et en particulier de la consommation) le 
rendement et la puissance. La

puissance sera comparée à celle annoncée dans la notice technique.

On décompose un cycle de fonctionnement en quatre phases correspondant chacune 
à un aller
simple du piston (il s'agit des « quatre temps » du moteur).

Premier temps: étape EA (admission)

En E, le piston est en position haute (le volume disponible est VE).
La soupape d'admission s'ouvre. Le mélange air-carburant entre dans le cylindre 
à pression

atmosphérique supposée constante (PE : 105 Pa) et température constante 
(température
d'admission : TE : 80°C).

En A, le piston est en position basse (le volume disponible est VA).

Deuxième temps : étape AB (compression)
La soupape d'admission se ferme et le piston comprime le mélange: l'étape AB 
est une

compression adiabatique réversible du mélange qui amène le piston en position 
haute. On note PB la
pression du mélange en B.

Troisième temps : étapes BC et CD (explosion et détente)
En B, une étincelle provoque la combustion exothermique du mélange : la 
pression passe quasi--

instantanément de PB à PC à volume constant.
L'étape CD est une détente adiabatique réversible du mélange (mélange air et 
gaz brûlés). En D, le

piston est en position basse (le volume disponible est VA).

Quatrième temps : étapes DA et AE (échappement)

En D, la soupape d'échappement s'ouvre sur l'atmosphère.

DA est une transformation quasi-instantanée à volume constant: en A, le gaz est 
ramené à la
pression atmosphérique. Pendant cette transformation DA, on suppose que le gaz 
n'a pas le temps
de s'échapper (la quantité de gaz reste donc constante pendant cette 
transformation).

Au cours de l'étape AE, le gaz est expulsé dans l'atmosphère à pression et 
température constantes.

Simplification du cycle :
On ne tiendra pas compte des étapes EA et AE au cours desquelles le système 
constitué par le gaz

contenu dans un cylindre est un système ouvert. On considérera que tout se 
passe comme si :
- dans chaque cylindre, une quantité de gaz constituant un système fermé 
décrivait indéfiniment le

cycle ABCDA _
-- le transfert thermique reçu par le fluide était issu d'une source chaude 
fictive (alors qu'il provient

d'une réaction chimique interne).

On supposera, dans tout le problème, que l'automobile roule à 90 km/h en 5ème 
vitesse. La
vitesse du véhicule est évidemment proportionnelle àla vitesse de rotation de 
l'arbre moteur.

On donne ci--dessous des données extraites de la notice technique d'une 
automobile (moteur
classique à quatre cylindres) :

- dimensions du cylindre : alésage x course du piston : 80 mm x 80 mm
-- cylindrée (4 cylindres) : 1400 cm3 (la cylindrée correspond donc à 4(VA -- 
VE) )
-- rapport volumétrique : a : VA/VE : 10

- vitesse pour 1000 tr/mn (en 5ème vitesse) : 30 km/h
- consommation (en litres de carburant pour 100 km effectués à 90 km/h en 5ème 
vitesse) : 5 L

60

- Figure 1 : courbe P(Q) de la puissance
mécanique (en kW) en fonction
de la vitesse de rotation de
l'arbre moteur (en tours/minute)

50

40

30

Puissance en kW

20

10

0
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Vitesse en tours/minute

Figure 1

Données et hypothèses relatives au carburant et au mélange :
Nature du carburant : *

- formule brute CgH18

- masse molaire MC : 114 g/mol

- masse volumique p = 720 kg/m3
-- la combustion du carburant fournit un transfert thermique de 6.103 kJ/mole.

L'air étant fortement en excès par rapport au carburant, on assimilera, pour 
tout le cycle, le

mélange à un gaz parfait diatomigue de coefficient isentropigue y : cp/cv : 
1,4_ et de masse molaire
M = 29 g/mol.

Rappels : - constante de Boltzmann : k : 1,38.10'23 J.K'1
- constante des gaz parfaits : R = 8,31 J.mol".K"

On étudie dans ce qui suit le cycle suivi par le mélange gazeux contenu dans un 
cylindre.

1.1. Tracer l'allure du cycle ABCDA dans le diagramme de Watt (pression en 
ordonnée, volume en '
' abscisse). «

1.2. Transformation AB :

1.2.1. A partir des données techniques du constructeur et sachant que le 
véhicule roule à 90 km/h,

déterminer la durée tAB de la compression AB sachant que l'arbre moteur 
effectue deux tours
lors d'un cycle complet.

1.2.2. Quelle hypothèse relative à la transformation AB le résultat trouvé 
permet--il de valider ?

1.2.3. Le mélange étant assimilé à un gaz parfait diatomique, on rappelle que 
l'énergie cinétique
moyenne d'une molécule vaut 5/2 kT (où T est la température absolue en kelvins).
Donner dans ces conditions un ordre de grandeur de la vitesse moyenne 
d'agitation thermique
des molécules dans l'état A.

1.2.4. En comparant cette vitesse à la vitesse moyenne du piston au cours de la 
transformation AB,
quelle hypothèse relative à la transformation AB peut--on ainsi admettre '?

1.2.5. Déterminer littéralement puis numériquement la pression PB et la 
température TB (on donnera
le résultat en degré Celsius) du mélange gazeux dans l'état B.

1.3. Transformation BC :

1.3.1. En présentant clairement les étapes du calcul, calculer en litres puis 
en mol la quantité de

carburant consommée par cycle et par cylindre (on notera nc le nombre de moles 
et on
rappelle que le moteur comporte quatre cylindres).

1.3.2. En déduire le transfert thermique QBC fourni dans un cylindre par la 
combustion du
carburant.

1.3.3. Ce transfert thermique est reçu par le mélange contenu dans un cylindre. 
Déterminer
littéralement puis numériquement :

a) le nombre de moles n de mélange contenu dans un cylindre,

b) la température TC (résultat en degré Celsius) et la pression PC du mélange 
dans l'état C.

1.4. Transformation CD :
Même question (température TD et pression PD du mélange) pour l'état D.

1.5. Déterminer littéralement et numériquement le travail fourni par le gaz au 
cours d'un cycle.

1.6. Rendement :

1.6.1. Donner la définition du rendement thermodynamique n du moteur.

1.6.2. a) Exprimer n en fonction uniquement des températures T A, TB, TC et T9.

b) En déduire la valeur numérique du rendement.

1.7. Puissance :

On se place toujours dans les mêmes conditions (5ème vitesse, 90 km/h). On 
considère maintenant le
moteur constitué de ses quatre cylindres.

1.7.1. Déterminer la puissance P,}, du moteur à partir des résultats de l'étude 
théorique précédente
(questions 1.2. à 1.5.) .

1.7.2. Déterminer la puissance P du moteur à partir de la courbe P(Q) du 
constructeur.

1.7.3. Comment justifier que l'on trouve P... < P '?

DEUXIEME PARTIE
MOTEUR A COURANT CONTINU - COMMANDE PAR UN HACHEUR

On s'intéresse maintenant à l'utilisation d'un moteur électrique à courant 
continu en traction
automobile.

On rappelle (figure 2) le schéma équivalent du moteur à courant continu
à excitation séparée : u représente la tension aux bornes de l'induit
(rotor), i l'intensité du courant le traversant.

2.1. Etude du moteur à courant continu

Le moteur étant soumis à un couple résistant constant Cr : 60 N .m , un

essai réalisé avec u : 120V a donné les résultats suivants :
-- f.é.m. E = 100 V

- vitesse de rotation 0 = 3200 tourslminute

Figure 2 -

Le moment d'inertie de la partie mobile entraînée par le moteur vaut ] = 1,5 
kg.m2 et la relation
entre la vitesse de rotation du moteur et la vitesse v du véhicule est :

o= >..v avec À=35tr.mn"/(km.h").

2.1.1. Rappeler les relations (expressions littérales puis numériques) existant 
entre les grandeurs
électriques E et i et mécaniques Q et C (C : couple moteur); pour les 
expressions
numériques, on précisera les unités employées pour E, i, Q et C.

2.1.2. Déterminer la valeur de R, résistance de l'induit.

2.1.3. On considère un fonctionnement à couple moteur C constant (C = 60 Nm ) 
et on étudie la
phase de << mise en vitesse » d'un véhicule sur une route horizontale. Le 
moment du couple

résistant varie alors suivant une loi du type Cr : aQ + b avec a = 0,01 N.m/ 
(rad.s")
et b = 5 N.m . '

Calculer le temps At1 mis par le véhicule pour passer de 0 à V = 50 km/h.

2.2. Commande par hacheur

Pour alimenter le moteur à courant continu à partir d'une source (batteries) 
délivrant une tension

continue fixe Eg, on réalise le montage à deux interrupteurs K; et K2 de la 
figure 3. Une bobine
d'inductance L est placée en série avec le moteur. La résistance de la bobine 
est négligée.

.
...«nu...-.........-.........«u..n...unnl 
..................................................

SOUFCC moteur CC

Figure 3

Les interrupteurs K1 et K2 sont supposés idéaux.
2.2.1. Qu'est--ce qu'un « interrupteur idéal » ?

2.2.2. Quel est le rôle de la bobine d'inductance L dans ce montage ?

2.2.3. Préciser les états de fonctionnement autorisés pour les interrupteurs K1 
et K2 compte tenu de

la nature de la source et de la charge du hacheur (on justifiera en rappelant 
les règles
d'association des sources auxquelles il faut faire référence) .

2.2.4. On considère dans tout ce qui suit un fonctionnement en régime 
périodique établi de

période T. On considèrera de plus que la résistance R de l'induit est 
négligeable et que la
* f.é.m. E est toujours positive.

L'oscillogramme de la figure 4 fournit un relevé de tensions effectué alors que 
la source EO
fournit une puissance P = 3 kW.

La voie 1 représente la tension V.

La voie 2 représente la tension obtenue par une sonde de courant: cette tension 
est
proportionnelle à l'intensité i du courant traversant le moteur (sensibilité de 
la sonde : 1 volt
par ampère).

Base de temps : 10 ,us par carreau
Voie 1 : - mode DC
- 20 V par carreau
Voie 2 (entre les deux curSeurs figurant -- arme
en pointillés) :
-- mode AC
- 0,1V par carreau

-- OCH1

Figure 4

On s'intéresse au fonctionnement sur une période entre les instants 0 et T. On 
note OtT
l'instant de commutation à partir duquel la tension V vaut 0 (V = 0 pour GT 5 t 
< T ).

2.2.4.1. Représenter le circuit électrique (comprenant le moteur à courant 
continu) qui équivaut
au montage de la figure 3 dans chaque phase de fonctionnement ( 0 S t < ocT 
d'une
part et OLT s t < T d'autre part).

2.2.4.2. Ecrire les équations d'évolution i(t) de l'intensité du courant en 
fonction du temps (on

notera I... et IM les valeurs minimale et maximale de i) :
a)pour 0 s t < aT
b)pour aT s t < T

2.2.4.3. Représenter rapidement, sur des figures distinctes, les graphes de 
i... et ile en fonction
du temps.

2.2.4.4. Déduire de l'oscillogramme de la figure 4 et des conditions de 
réalisation de l'essai
correspondant (il ne s'agit pas de l'essai initial pour lequel E = 100 V mais 
de celui
présenté à la question 2.2.4.) :

a) la valeur de E0

b) la valeur de oc correspondant à l'essai réalisé

c) la valeur de E correspondant à l'essai réalisé
(1) la valeur de L

e) la valeur moyenne  du courant débité par la source EO
f) la valeur moyenne  du courant circulant dans l'induit.

2.2.5. Dans le cas d'un moteur à courant continu réel (si on prend en compte la 
résistance R),

pourquoi a--t--on intérêt, pour améliorer le rendement, à limiter l'ondulation 
du courant dans
l'induit (c'est-à-dire à limiter les variations du courant autour de sa valeur 
moyenne) ?

TROISIEME PARTIE
PRINCIPE DU MOTEUR SYNCHRONE

3.1. Stator de la machine synchrone : production d'un champ tournant

On constitue un système (81) de deux soléno'1'des identiques de même axe Ox et 
montés en série de
sorte qu'un courant d'intensité i ; circule dans le même sens dans les deux 
solénoïdes (figure 5).

Figure 5

Dans ces conditions, le champ magnétique au centre O du système (81) peut se 
mettre sous la

_

forme : B, = K. i, e: (K est une constante et e: est le vecteur unitaire de 
l'axe Ox).

On place maintenant deux systèmes (SI) et (82) identiques au précédent selon la 
configuration de la
figure 6 (les axes Ox et Oy de (81) et (82) sont perpendiculaires et se coupent 
en 0).

Chacun des systèmes (81) et (SZ) a une résistance totale R et une inductance 
totale L.

On branche en parallèle entre les bornes A et B d'une source de tension 
sinuso'1'dale idéale de f.é.m.

u = U \/-2_ casa; t :
- le système (81) en série avec une résistance Ro d'une part,
-- le système (82) en série avec une résistance de même valeur R0 et avec un 
condensateur de

capacité C d'autre part.

En régime permanent sinuso'1'dal, les intensités réelles i 1( t) et i2(l) des 
courants circulant dans (SI) et

(SZ) sont de la forme :
i1(t) : I,\Æ c0s(coet-- $;) et i2(t) : 12\/--2- cos(cwt-- gag) .

..... illlllllli .""...--

i1
C :
.. ................................. > ..
i2

Figure 6

3.1.1. En utilisant les propriétés de symétrie du champ magnétique, justifier 
la direction du champ
magnétique B, créé par le système (81) au point 0.

3.1.2. Donner les expressions de I 1, 12, tamp; et tançp2 en fonction de U, R, 
RO, L, C et (a).

3.1.3. 3) Les valeurs de R, L et ca; étant imposées, quelles valeurs faut-il 
donner à R0 et C pour que :
]; =Iz et que ç02-- ça; : 7t/2 ?
b) Que valent alors @] et ça; ? '

3.1.4. En considérant remplies les conditions précédentes (1; = 12 et w --- w; 
: 7c/2), déterminer les

composantes sur Ox et sur Oy du champ magnétique total 5 en 0 (on notera BT son 
module
que l'on exprimera en fonction de U, K et Lan).

3.1.5. a) Justifier l'appellation de « champ tournant » pour ce champ 
magnétique total Ë .

b) Préciser à quelle vitesse ce champ tourne dans le plan Oxy.

3.2. Entraînement du rotor du moteur synchrone

La partie mobile du moteur synchrone (rotor) est constituée d'un bobinage 
alimenté par un courant
continu et assimilable à un aimant de moment magnétique M , de module Mo 
constant. On suppose

que IÎ/Ï est animé dans le plan Oxy d'un mouvement de rotation uniforme autour 
de l'axe Oz
(perpendiculaire à ce plan) àla vitesse angulaire a) .

Le mouvement s'effectue dans une partie de l'espace où règne un champ 
magnétique B supposé
uniforme d'amplitude BT qui, lui, tourne dans le plan Oxy autour de l'axe Oz à 
la vitesse angulaire

@ ( ah n'étant pas a priori égale à a)).

On note e; le vecteur unitaire de l'axe Oz et 90 la valeur initiale de l'angle 
(Ü , Ë ) (cf. figure 7).

Figure 7

3.2.1. Exprimer 9(t). En déduire la valeur instantanée du couple Ï" (t) = I' 
(t). E; exercé par le

champ Ë sur le rotor.

3.2.2. Pourquoi le moteur synchrone ne peut--il fonctionner que pour une 
vitesse angulaire a) égale
à ca; ? '

3.2.3. On se place dans le cas ca: ca; :

3.2.3.]. Exprimer la valeur F0 de F(t) .

3.2.3.2. Quelle condition l'angle 9 : (IÎIÎ , Ë) entre Ü et Ë en régime 
permanent doit--il
vérifier pour que cette machine fonctionne effectivement en moteur '?

3.2.3.3. Quelle est, dans ce cas (fonctionnement en moteur), la puissance 
mécanique Pméca
' fournie par le moteur ?

3.2.3.4. On suppose que la machine, fonctionnant en moteur, entraîne une « 
charge » qui

impose au moteur un couple résistant de module constant 1", (les autres couples
résistants étant négligés).

Quelle condition doit vérifier F, pour que le moteur puisse effectivement 
entraîner la
charge ?

Fin du Problème de Physique.

A,G° (J.mo|")

200000

--200000

--400000 ... '9'

-600000

-800000

-1000000

--1200000

Potentiel (V/ESH)

Document--Réponse

'2H2 "'. 02 =2 H20

. : I ' ' -- - ___--___ "'»

400 600 800 1000 1200 1400

Température (K)
Fig. ]. Diagramme d'Ellingham des oxydes d'uranium.

2 4 6 8 10 12 14

Fig. 2. Diagramme e/pH du zirconium (298 K ; 10"6 mol.L").

Fin du document-réponse.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 2 PSI 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Nicolas Agenet (ENS Ulm) et Aurélien Fraisse 
(Université de Princeton) ; il a été relu par Alexandre Hérault (Professeur en 
CPGE),
Olivier Frantz (Professeur agrégé), Mickaël Profeta (Professeur en CPGE) et 
JeanJulien Fleck (ENS Ulm).

Le problème de chimie de cette épreuve traite du combustible ainsi que des
procédés utilisés dans l'industrie électronucléaire.
· L'étude du combustible fait surtout appel à la construction et à 
l'interprétation
de diagrammes d'Ellingham. L'étude de la stabilité des oxydes d'uranium en
présence de dihydrogène en est la finalité.
· On étudie ensuite la gaine, faite de zirconium, qui contient le combustible.
C'est l'occasion de construire et d'interpréter le diagramme potentiel-pH de
cet élément, ce qui permet d'étudier les conditions nécessaires pour obtenir sa
corrosion ou sa passivation. Les courbes intensité-potentiel correspondant à ces
processus sont alors abordées.
· On s'intéresse enfin brièvement à la chimie des solutions avec l'étude de 
l'eau
de refroidissement, qui contient un acide faible.
Le problème de physique se compose de trois parties totalement indépendantes
mais ayant toutes pour sujet l'étude de différents types de moteurs sous 
plusieurs
aspects. Il reste proche du cours même s'il est par endroits calculatoire.
· La première partie propose l'étude thermodynamique d'un modèle de moteur
d'automobile à explosion, dont le fonctionnement est assimilé à un cycle de
Beau de Rochas. Il s'agit pour l'essentiel, sous un certain nombre d'hypothèses
simplificatrices, de calculer de quelle manière évoluent les paramètres 
thermodynamiques au cours de transformations isentropiques et isochores, puis 
d'étudier
la puissance fournie par le cycle.
· Un modèle de moteur à courant continu commandé par un hacheur est l'objet
de la deuxième partie. Il s'agit d'une application directe des relations de 
conversion électromécanique, suivie de calculs d'électrocinétique qui se 
ramènent pour
l'essentiel à l'étude de circuits de type RL.
· Enfin, on considère dans la troisième partie un moteur synchrone dont on 
étudie
le stator d'un point de vue électrocinétique, puis l'entraînement du rotor par
quelques calculs de mécanique.

Indications
Chimie
1 UO2 SO4 est un composé ionique.
2 À quel degré d'oxydation peut-on trouver l'uranium ?
5 Utiliser la loi de Hess.
6 Raisonner sur le signe de r G1 .
7 Utiliser la relation de Gibbs.
11 Prendre le logarithme des constantes d'acidité.
13 Tracer le diagramme par continuité en utilisant la pente des expressions
trouvées en question 12.
Physique
1.2.5 Pour déterminer la pression et la température en B, utiliser la loi de 
Laplace sous deux formes différentes, dans lesquelles on introduira le rapport
volumétrique.
1.3.3.b On rappelle que la capacité calorifique molaire à volume constant pour 
un
gaz parfait s'écrit
CV =

R
-1

2.1.2 Appliquer le théorème de l'énergie cinétique à la partie mobile entraînée
par le moteur dans un référentiel fixe par rapport à la voiture puis, dans le
cas du régime permanent étudié ici, en déduire C pour calculer R.
2.2.4.4.c Étudier les pentes des courbes représentant i(t) dans les différents 
régimes
au cours d'une période afin d'exprimer E en fonction de E0 .
2.2.4.4.e Étudier la puissance moyenne débitée par la source de tension E0 au 
cours
d'une période.
2.2.4.4.f Que devient la puissance fournie par E0 ?
2.2.5 Étudier les pertes par effet Joule au cours d'une période avec et sans 
fluctuations de courant.
3.1.2 Utiliser les grandeurs électrocinétiques en notation complexe.

Problème de chimie
Matériaux et procédés dans l'industrie
électronucléaire
I.

Le combustible

1 Le numéro atomique de l'uranium est Z = 92. Les isotopes 235 U et 238 U ne
diffèrent que par leur nombre de neutrons dans le noyau, mais ils possèdent 
tous les
deux 92 protons.
La somme des nombres d'oxydation des éléments présents dans une entité chimique 
est égale à sa charge. En outre, dans les composés hétéroatomiques, on a, sauf
cas particuliers, n.o.(H) = +I et n.o.(O) = -II.
· Pour UO2 ,
donc
· Pour UO3 ,
soit

n.o.(U) + 2 n.o.(O) = 0
n.o.(U) = +IV
n.o.(U) + 3 n.o.(O) = 0
n.o.(U) = +VI

· UO2 SO4 est le sulfate d'uranyle : il est constitué de l'anion sulfate SO4 2- 
et
du cation uranyle UO2 2+ . Pour le cation, on peut alors écrire
n.o.(U) + 2 n.o.(O) = +II
d'où

n.o.(U) = +VI

2 Les atomes d'oxygène sont généralement au degré d'oxydation -II dans les 
composés hétéroatomiques ; on les trouve sous forme d'anion oxyde O2- . 
Calculons le
nombre d'oxydation des atomes d'uranium dans U3 O8 :
3 n.o.(U) + 8 n.o.(O) = 0
soit
3 n.o.(U) = +XVI
On obtient un nombre d'oxydation fractionnel pour l'uranium : les atomes ne
sont donc pas tous au même degré d'oxydation. À la question 1, on a vu que dans
les oxydes courants, l'uranium est au degré d'oxydation +IV ou +VI. On peut 
alors
raisonnablement penser qu'il en est de même dans U3 O8 . Pour obtenir une somme
égale à +XVI, il faut deux ions U6+ et un ion U4+ .
Les ions présents sont donc O2- , U4+ et U6+ .
3 Dans la molécule UF6 , l'ion central est U6+ et les ions fluorure F- sont 
arrangés de manière octaédrique autour de lui. La molécule est de type AX6 E0 
selon la
nomenclature VSEPR. On peut alors représenter l'arrangement des atomes selon ce
schéma :
F
F
F
U
F
F
F
L'angle de liaison F - U - F est alors de 90 .

L'atome d'uranium dans le composé UF6 ne possède pas de doublets non
liants. Pour s'en convaincre, on peut écrire sa structure électronique
U : [Rn] 5f 3 6d1 7s2
On compte alors six électrons de valence pour l'atome d'uranium, chacun
impliqué dans une liaison U-F.
4 La masse volumique est le rapport de la masse d'une maille sur le volume de
celle-ci.
Z mUO2
Z MUO2
=
=
V
V NA
avec Z la multiplicité de la maille et V = a3 son volume (la maille est cubique
d'arête a), d'où
Z=

 a3 NA
MUO2

Z=4
Il y a quatre molécules UO2 dans la maille.
5 Considérons successivement les équilibres reliant les trois couples et 
calculons les
grandeurs standard de réaction.
· UO3(s) / U3 O8(s) : la réaction correspondante est
2 U3 O8(s) + O2(g)  6 UO3(s)
D'après la loi de Hess,
r H1 (T) =

P

(1)

i f Hi (T)

i

r H1 (T) = 6 f HUO3 (s) (T) - 2 f HU3 O8(s) (T)
Or, dans l'approximation d'Ellingham, les enthalpies et entropies standards de 
réaction sont considérées comme indépendantes de la température sur 
l'intervalle de
température considéré. On les prendra donc égales à leur valeur à 298 K.
Application numérique :

r H1 (T) = -193, 2 kJ.mol-1

f HO2 (g) (298 K) = 0 car O2(g) pris à 298 K est l'état standard de référence
de l'oxygène.
Par définition,
r S1 (T) =

P
i Si (T)
i

r S1 (T) = 6 SUO3(s) (T) - 2 SU3 O8(s) (T) - SO2 (g) (T)
Application numérique :

r S1 (T) = -193, 8 J.mol-1

L'énoncé appelle « entropie standard » ce qui est en fait une « entropie molaire
standard ».