CCP Physique 1 PSI 2010

Thème de l'épreuve Clarinette et saxophone soprano. Quelques propriétés du four à micro-ondes.
Principaux outils utilisés acoustique, mécanique des fluides, mécanique, électrocinétique, électromagnétisme, ondes
Mots clefs onde stationnaire, instrument à vent, tuyau sonore, magnétron, cavité résonante, guide d'onde, clarinette, saxophone, four à micro-ondes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2010 PSIP103

A

concours connus tonncauuoou

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées

Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et 
a la concision de la
rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une 
erreur d énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans 
chaque cas, la
numérotation de la question traitée.

Le sujet comporte 9 pages

PROBLEME A: CLARINETTE ET SAXOPHONE SOPRANO

Aucune connaissance musicale n "est requise pour traiter ce problème.
Dans tout ce problème, R : 8,31l-K" --mol"'l représente la constante des gaz 
parfaits.

La clarinette a été créée vers 1700 par Johann. Christophe Denner à Nuremberg. 
La clarinette en. Si
- bémol en est le modèle le plus commun (figure 1). Le tube de la clarinette 
est modélisé par un

cylindre de longueur L fermé du côté de l'embouchure (à gauche) et ouvert du 
côté du pavillon

ela '

(à droite). Il s'agit d'une approximation grossière qui a le mérite de 
préserver les caractéristiques
physiques les plus importantes. En réalité, le tube de la clarinette n'est pas 
à section constante et le
traitement mathématique est alors beaucoup plus compliqué. ..

Figure 1 :
clarinette et son
modèle de tuyau

cylindrique

2

O Lola

SESSION 2010 PSIP103

A

concours connus tonncauuoou

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées

Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et 
a la concision de la
rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une 
erreur d énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans 
chaque cas, la
numérotation de la question traitée.

Le sujet comporte 9 pages

PROBLEME A: CLARINETTE ET SAXOPHONE SOPRANO

Aucune connaissance musicale n "est requise pour traiter ce problème.
Dans tout ce problème, R : 8,31l-K" --mol"'l représente la constante des gaz 
parfaits.

La clarinette a été créée vers 1700 par Johann. Christophe Denner à Nuremberg. 
La clarinette en. Si
- bémol en est le modèle le plus commun (figure 1). Le tube de la clarinette 
est modélisé par un

cylindre de longueur L fermé du côté de l'embouchure (à gauche) et ouvert du 
côté du pavillon

ela '

(à droite). Il s'agit d'une approximation grossière qui a le mérite de 
préserver les caractéristiques
physiques les plus importantes. En réalité, le tube de la clarinette n'est pas 
à section constante et le
traitement mathématique est alors beaucoup plus compliqué. ..

Figure 1 :
clarinette et son
modèle de tuyau

cylindrique

2

O Lola

Le saxophone a été breveté en 1846 par Adolphe Sax, en Belgique. Parmi les 
modèles utilisés
aujourd'hui, on trouve le saxophone soprano en Si bémol (figure 2). Le 
saxophone est ouvert du côté
du pavillon (à droite), mais il est quasiment fermé de l'autre coté (à gauche). 
Le tube du saxophone
est approximativement conique. Nous allons modéliser le tube du saxophone 
soprano par un simple

tuyau conique de longueur un peu plus grande que celle de la clarinette (soit L 
) et d'angle au

sax

sommet oc .

Figure 2 :
saxophone
soprano et son
modèle de
tuyau conique

x
+--------------------------------æ
O LS(IX

EQUATION DE PROPAGATION D'UNE ONDE SONORE DANS UN TUBE

On considère un tube indéformable de longueur L, d'axe de révolution (OX) 
rempli d'air, supposé
être un gaz parfait à la température moyenne ambiante 73 et à la pression R,. 
Soit ,00 la masse

volumique moyenne de cet air. La section transverse du tube est une fonction de 
l'abscisse x: soit
S(x) cette section (figure 3).

:dx:

Figure 3 : Petite tranche d'air dans un tube acoustique de section variable

En présence de l'onde sonore, le champ de vitesse de l'air est le suivant: 
ü(x,t) : u(x, t) ëx où
u(x,t) est faible.
On note p(x, t) la masse volumique de l'air à l'instant t et à l'abscisse x.

On supposera qu'en présence de l'onde sonore, la masse volumique de l'air 
s'écrit
p(x, t) = po + p(x, [) où p(x, t) << ,00 et que la pression de l'air s'écrit 
P(x, t) : F0 + p(x, t) avec

p(x, t) << PO.

Bilan de masse sur un système ouvert

On s'intéresse à l'air compris entre les sections d'abscisses X et X+ dX'. Ce 
système est ouvert.

A.l Exprimer la masse dm(t) de ce système à l'instant ten fonction de S(X) 
notamment Même
question pour l'instant t+ dt.

A.2 Exprimer la masse âme de fluide entrant dans le système pendant la durée dt 
en fonction de

p(x, {) , 5( X) et U(.X, t) . Exprimer aussi la masse 51118 de fluide sortant 
du système pendant la
même durée.

A.3 En se limitant à des termes du premier ordre, montrer que l'on obtient 
l'équation de

8,0 d(5u) z 0

conservation de la masse suivante : S(X)--ä-- + ,00 8
t X

Equation du mouvement

On. rappelle l'équation d'Euler régissant la dynamique des fluides parfaits :

p(âu+ (ü grad) u]=----gradP

81

A.4 On appelle 'Z' la durée caractéristique de variation temporelle de la 
vitesse, L la distance
caractéristique de variation spatiale de la vitesse et U l'ordre de grandeur 
caractéristique de la

vitesse particulaire. A quelle condition sur U peut-on négliger le terme (ü - 
grad)ü devant le

du
terme -------- ?
a:
A. 5 A l'aide d' un développement limité à l'ordre 1, exprimer la quantité 
pO%Ë- en fonction de
BMX0
BX
A. 6 On 1appelle que le coefficient de compressibilité isentropique ,1g est 
égal a --(â----Ê] . Toujours
P 5
à l'aide d'un développement limité à l'ordre 1, établir une relation entre p(x, 
{) , Z..» ,00 et
p(X,t)_

Equations de propagation

A.7 En combinant les résultats de A. 3, A. 5 et A. 6, montrer que. '
d'" p(X, t) --c .'°'(ê___ p(X, [) +(__ 1 )d5 8 p(X, ,t)] (équation El)

812 BX2 5(X) dX BX
et que:
82u(X,t) d"u(x, t) 1. d5 dU(X, t)+ 1 d5 , .
812 C ( 8X2 +(S(X) dx) 8X +dX(... 5(X) dx] "(X' )] (equatlon EZ)

Préciser l'expression de la constante c en fonction de ,00 et de ,1g..

A.8 En supposant que l'air est un gaz parfait, exprimer ,00 en fonction de la 
masse molaire de l'air

notée M, de la pression & , de la température 73 et de la constante des gaz 
parfaits R.

A.!) En supposant que l'air dans le tube subit une transformation isentropique, 
la loi de Laplace est
vérifiée. Rappeler cette loi reliant les grandeurs pression P(x, t) et masse 
volumique p(x, t').

On introduira le coefficient d'atomicité ;! a C% où C P et CV sont les 
capacités thermiques
V

molaires de l'air respectivement à pression constante et à volume constant. 
Exprimer alors 15

en fonction de y et de H, .

A.10 Donner alors l'expression de la constante (: en fonction de la température 
13, de la masse

molaire de l'air M _, de la constante des gaz parfaits R et du coefficient 7.
Faire l'application numérique avec M == 29 g - mol"1 , ;! =1,4 et 75 
correspondant à une
température de 20 °C.

ONDES STATIONNAIRES DANS UNE CLARINETTE

Tous les trous de la clarinette sont bouchés. La clarinette est alors modélisée 
par un tube cylindrique
de section 5 constante.

A.11 Que deviennent les équations E1 et E2 obtenues àla question A.7 dans le 
cas de la clarinette ?
Que représente alors la constante c'?

A.12 Que valent la vitesse u(x,t) en X: 0 et la surpression p(x,t) en xx Lda '?

A.13 On recherche des solutions stationnaires pour la surpression et la vitesse 
qui sont donc de la
forme p(x, t) = f(x) - cos(æt) et u( x, t) = g(x) - sin(æt). Montrer que les 
fonctions
f(x) et g(x) doivent être solutions d'une équation différentielle à préciser.

A.14 On montre alors que la vitesse u(x, t) est une fonction du type u(x, t) = 
a1 sin(kx) - sin(oet) où
u,_ est l'amplitude.
Préciser l'expression de k. Vérifier que la condition limite en x = 0 est 
vérifiée.

A.15 Déterminer alors complètement la fonction p(x, t) === f(x) - cos(æt) à 
l'aide des grandeurs
po, u1 etc (on. pourra se servir de la question A.5). En déduire aussi que 
seules des ondes
stationnaires de pulsations bien particulières peuvent exister dans la 
clarinette.

A.16 Donner l'expression de la fréquence fl du mode fondamental existant dans 
la clarinette en
fonction. de cet Lda . Donner aussi l'expression de la fréquence du premier 
harmonique.

A.l7 La musique occidentale est basée sur la gamme tempérée chromatique 
suivante :
D0 D0# Re Re'# Mi Fa Fa# 501 501# La La# Si Do

Quand on passe du premier Do au deuxième Do, on dit qu'on est passé à l'octave 
(la
fréquence de la note émise est multipliée par 2). En admettant qu'entre deux 
notes
consécutives la fréquence est toujours multipliée par le même facteur &, 
évaluer ce facteur en
l'écrivant sous la forme d'une puissance de 2.

A.18 Sur la clarinette, il existe une clé au niveau du pouce appelée clé de 
douzième qui. permet
d'enlever l'émission du mode fondamental, mais qui ne compromet pas l'émission 
du premier
harmonique. Quand tous les trous de la clarinette sont bouchés et que l'on 
n'active pas la clé
au niveau du pouce, on émet un son grave qui correspond à Ré (son réel entendu 
par une
oreille). On active la clé, on émet alors un son plus aigu: par combien est 
multipliée la
fréquence '? En déduire la note réelle entendue par une oreille.

ONDES STATIONNAIRES DANS UN SAXOPHON E SOPRANO

Tous les trous du saxophone sont bouchés. Le saxophone soprano est formé par un 
tube conique de
hauteur L d'origine O et d'angle au sommet oc.

A.19 Calculer la section S(X) en fonction de X et de 0t.

A.20 Montrer alors que l'équation E.l obtenue àla question A.7 s'écrit aussi :

82p0 dans les champs E et B.

3.3 En partant du vecteur position OM , démontrer les expressions de la vitesse 
il et de

l'accélération a en coordonnées polaires.

B.4 En déduire les projections de l'équation différentielle de la question B.2 
suivant à: et e: .

B.5 Vérifierque --g--(r2 Ë--a)Lr 2)=O.
dt dt

B.6 Que vaut _'ÏÊ pour r : RC '? En déduire ËÊ_ en fonction des variables wL , 
r et RC .

dt dt

B.7 Préciser l'énergie mécanique d'un électron en fonction des variables 177, 
v, e et V0").

')
, . dr " . . . .
En dedu1re (----) en tonetron des var1ables e,n1,r,Rc,wL et du potentiel V(r).

dt

B.8 Si le champ magnétique est trop élevé, les électrons ne parviendront pas 
jusqu'à l'anode : on
dit qu'on a atteint la coupure. Quelle doit être alors la valeur maximale du 
champ magnétique
pour que les électrons atteignent l'anode ? On exprimera cette valeur minimale 
en fonction

des var1ables m, e, R,, RC et VA .

Cavité résonante :

Les cavités du magnétron sont analogues en radiofréquence à un circuit résonant 
LC. On ne
considérera plus ici le faisceau électronique, et on s'intéressera seulement à 
la propagation sur une
ligne électrique. Dans un plan de coupe du magnétron, la cathode est 
parfaitement circulaire, alors
que l'anode est formée de N cavités régulièrement espacées. On peut donner dès 
lors un schéma
équivalent de la ligne en tant que structure périodique comprenant des cavités 
résonantes identiques
et équidistantes.

Le schéma développé en ligne est donné par la figure 5. Les composants (L,C) 
représentent
la cavité résonante et F , la capacité séparant l'anode et la cathode :

n+l

Figure 5 : schéma électrique de la ligne

B.9 Trouver une relation entre un,un__1 et a... , la pulsation, &) et les 
valeurs des composants.

B.10 On cherche une solution de la forme __L_1£ : _L_19_ exp( j (æt+ nça)) , où 
j est le nombre imaginaire
pur tel que j2 = ---1 et où ne [LN]. En déduire le cosinus du déphasage ça 
entre deux

résonateurs sous la forme cos(ça) =1------ f (a), L, CJ") .

B.11 Compte tenu que la ligne circulaire est refermée sur elle--même, en 
déduire une condition sur
(0 en fonction de N et d'un entier, p. Préciser les valeurs prises par p 
donnant des solutions

distinctes.

B.12 En déduire les pulsations de résonance, (up.

Guide d'onde :

Un guide d'onde permet de guider les ondes vers la cavité du four. On considère 
un guide de
section rectangulaire & b avec a < b ( figure 6) dont la paroi. est supposée 
parfaitement conductrice.

fffÆfffiflffffæfiffflfifffffff;' "'

äïäääï'e'e'e'êä

--;:#'
f
;fi
3ä£
:'ïË'
Æ"
jî£
â
f-Æ

fÆffJf£f££ffi£ffifff£fiff££â'f'yat

b

Figure 6 : guide d'onde

On rappelle les équations de Maxwell dans le vide :

1)dI-v( E)----() (2) Î&("Ë):-%Ê
... _. a'Ë
3)div( B==)O (4) rot(B)rz ,uOEUR 0 81"
avec "080 02 =1 et où cest la célérité de la lum1ere dans le vide.

On rappelle également : Æ(ÏBÏ(Z)) m grad(div(îl)) --AÎÂ

B.13 Etablir l'équation de propagation. vérifiée par le champ magnétique Ë.

B.14 Rappeler quelles sont les composantes des champs qui sont continues à la 
surface d'un
conducteur.

3.15 On recherche des solutions décrivant des ondes progressives dans la 
direction 02 de l'axe du
guide. Ces solutions sont du type : E() (X, y) exp(jæt---- jkz) et B0 (X, y) 
exp(jæt--- jkz) où [(

est le module du vecteur d'onde et j est le nombre imaginaire pur tel que j2 = 
----l .

Ecrire, en les justifiant les conditions aux limites pour E? ,sur la surface du 
guide pour :

sur f1oe

. 832 dans les plans y==0 et y: b
a--y surfàce

. 883 dans les plans x=0 et X: &.
aX surface

On n0oe Eux(X .:Y) Eo_Xy( y)9EOz(Xa}/)'

OX(X,Y),BO},(X,y), 0Z(X,}/), les amplitudes

complexes des composantes des champs.

B.16 On note A(2 f==

82 {+ 82f
8X'" +ôy2
BOX,Ë£,BOZ,k,æ,£O et p.,.

. En déduire A(2)Bo_ÿ,, A(2)BOX et A(2)BOZ en fonction de

B.17 On étudie maintenant les solutions du type TE (transversale électrique) 
pour lesquelles

.... .... .... .... BB , dB
E:,(X, y) = O. Exprimer dÏV( B) = 0 et rot(B). EUR -------- fl080 ê--ê e en 
fonction de O" , OX ,
" dt BX dy
BBQ}, , 8Ë921, k,BOZ.
BX dy '
(2) aBOZ (2) algOz .
En déduire que A B() O,} = a 8 et A BOX : a 8 où &: f (k) que l'on précrsera.
En déduire à l'aide de 8.16, que les composantes complexes du champ magnétique 
vérifient
B -- Jk 8802 et B --- jk 8302
---'-'-- k' -------wZEO/JO 8X ----°ï k" ----w280u0 By
, . . . ---------_-- ------ BB
B.18 En dedu1re a part1r de mt(E) == ----âÎ' les composantes du champ 
électrique EO et _I_Ë21 en

fonction des dérivées de BOZ . Conclure.

IIIflX
& b

recherchée. Vérifier que cette solution satisfait aux conditions aux limites 
vues en B.15.

B.19 Une solution de la forme BOZ(X,y)=B cos(££x]cos(££ ) , où (n,m)e N", est

B.20 En déduire l'équation vérifiée par le nombre d'onde [( en fonction de a, 
b, m, n, a), 8... po . En
déduire que seules les fréquences supérieures à V... peuvent se propager. On 
précisera V......-

Que se passe--t--il. dans le cas contraire ?

B. 21 Le four à micro- ondes annonce une fréquence V:: 2450 MHZ. Quelle se1ait 
la longueu1
d'onde dans le vide ? On donne la vitesse de la lumière (3---- 3X108 m. s

B.22 Les dimensions du guide d'onde rectangulaire sont respectivement & = 34 mm 
et b = 72 mm.
Quels sont les modes (n, m) susceptibles de se propager '?

B.23 Quelle est alors la valeur numérique de k et de la vitesse de phase vw ? 
Commentaire.

B.24 En déduire les composantes réelles du champ électrique Ë et du champ 
magnétique B dans
ce cas particulier.

FIN DU PROBLEME B

FIN DE L'ENONCE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 PSI 2010 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) et Jean-Julien 
Fleck
(Professeur en CPGE).

Ce sujet est constitué de deux problèmes indépendants, de longueurs 
équivalentes,
qui abordent respectivement les ondes sonores et les ondes électromagnétiques.
· Le premier problème traite de la physique de deux instruments à vent, la 
clarinette et le saxophone soprano. On établit l'équation de propagation d'une
onde acoustique dans un tube, puis on analyse les solutions acceptables pour
les deux instruments. L'énoncé est directif et fournit le seul résultat 
difficile à
obtenir. Ce problème ne présente pas de difficulté majeure.
· Dans le second problème, on étudie différents aspects du fonctionnement d'un
four à micro-ondes. Tout d'abord, on décrit le magnétron, dispositif servant à
générer les micro-ondes, à l'aide d'une étude des électrons d'un point de vue
mécanique. Puis on précise les fréquences émises par ce système, à l'aide d'un
modèle électrocinétique de cavités résonantes. Enfin, on s'intéresse à la 
propagation dans une cavité de l'onde électromagnétique émise par le magnétron.
Si le début de ce problème reste relativement simple (il ne fait d'ailleurs 
appel qu'au programme de sup), il n'en va pas de même de la deuxième moitié
(dernière partie). Beaucoup plus technique, elle nécessite du recul sur le 
cours.
La physique des ondes tient donc une place importante dans ce sujet, qui est
dans l'ensemble bien conçu. Le premier problème peut être utilisé à bon escient 
pour
réviser l'acoustique. Quant au deuxième, il constitue un bon moyen de tester ses
connaissances en électromagnétisme.

Conseils du jury
Le jury précise en préambule de son rapport qu'une « part non négligeable des
points a été allouée à la présentation : encadrer ses résultats, souligner ses 
applications
numérique, une écriture soignée à l'orthographe correcte, non grappillage de 
points. »
On ne saurait que trop conseiller de suivre ces recommandations.

Indications
Problème A
A.7 Injecter le résultat obtenu à la question A.6 dans l'équation de 
conservation
de la masse. Pour éliminer u(x, t), dériver par rapport au temps, puis utiliser
l'équation d'Euler linéarisée. Pour obtenir (E2), dériver l'équation (E1) par
rapport à x et utiliser à nouveau l'équation d'Euler.
A.9 Prendre la différentielle logarithmique de la formule de Laplace.
A.12 Lorsque le tube est ouvert, la pression en sortie est égale à la pression 
atmosphérique. Que vaut alors la surpression ?
A.15 Intégrer l'équation d'Euler linéarisée de la question A.5, puis appliquer 
la condition limite en x = Lcla .
A.18 Quel est le rapport f2 /f1 ? Utiliser la question A.17 pour savoir combien 
de
notes il faut alors franchir.
A.19 On peut considérer l'angle  petit.
A.20 Développer le second membre de l'équation (E1) et comparer le résultat avec
la formule proposée.
A.22 Reprendre le raisonnement de la question A.13.
A.23 Toutes choses égales par ailleurs, quel instrument produit le son le plus 
grave ?
Problème B
B.1 Le champ électrique est dirigé dans le sens des potentiels décroissants. 
Comment
doit-il être orienté pour que l'électron quitte la cathode ?
B.5 Développer l'expression proposée et utiliser la question B.4.
B.6 Que vaut la composante orthoradiale de la vitesse en tout point de la 
cathode ?
Intégrer l'équation obtenue à la question B.5.
B.7 L'énergie mécanique de l'électron se conserve au cours de son mouvement.
B.8 Un électron n'atteint l'anode que si sa vitesse radiale est non nulle en ce 
point.
B.9 Remplacer les cellules (L, C) par leurs admittances équivalentes, puis 
utiliser le
théorème de Millman.
B.10 Que vaut le rapport un+1 /un ?
B.15 Que vaut le champ électromagnétique dans un conducteur parfait ? Pour 
obtenir
la condition portant sur Bz /y, projeter l'équation de Maxwell-Ampère sur
l'axe (Ox), puis appliquer la condition de continuité sur le champ électrique.
B.17 Projeter l'équation de Maxwell-Ampère sur l'axe (Oz), puis simplifier le 
résultat
pour le mode TE. Dériver ensuite le résultat par rapport à x, ainsi que 
l'équation

-
obtenue à partir de div B = 0 par rapport à y. On peut alors éliminer B0x .
B.18 Projeter l'équation de Maxwell-Faraday sur l'axe (Oy), puis sur l'axe (Ox).
Que peut-on dire de B0z ?
B.20 Comment s'écrit le champ magnétique si k 2 < 0 ?
B.24 Pour le mode étudié B0z = Bmax cos ( y/b). Utiliser alors les questions 
B.17
et B.18 pour en déduire le champ électromagnétique complexe, puis prendre la
partie réelle du résultat obtenu.

A. Clarinette et saxophone soprano
Équation de propagation d'une onde sonore dans un tube
A.1 La masse dm(t) contenue dans le système ouvert { air compris entre les 
sections
d'abscisses x et x + dx } de volume S(x) dx s'écrit
dm(t) = (x, t) S(x) dx
De même, à l'instant t + dt,
dm(t + dt) = (x, t + dt) S(x) dx
A.2 La masse me , qui entre dans le système pendant
la durée dt, est celle qui est contenue dans le cylindre u(x, t) dt
de base S(x) et de longueur u(x, t) dt. Autrement dit,
me = (x, t) S(x, t) u(x, t) dt
me
ou encore

-

u

me = ( S u) (x, t) dt

S(x)

Le même raisonnement appliqué à la masse sortant du
système pendant dt conduit à
ms = ( S u) (x + dx, t) dt

x

dx

x + dx

On peut également écrire que le débit massique entrant est égal au flux du

vecteur densité de courant -
 = (x, t) -
u (x, t) à travers la section S(x) :
me
= (x, t) u(x, t) S(x)
dt
ce qui redonne le résultat.
A.3 La conservation de la masse entre les instants t et t + dt s'écrit
dm(t + dt) = dm(t) + me - ms
soit, en utilisant les expressions obtenues aux questions A.1 et A.2,
[(x, t + dt) - (x, t)] S(x) dx + [( S u) (x + dx, t) - ( S u) (x, t)] dt = 0
et donc

S(x)

( S u)
dx dt +
dx dt = 0
t
x

 ( S u)
+
=0
t
x
En présence de l'onde sonore, (x, t) = 0 + µ(x, t) et la vitesse u(x, t) est 
faible.
Développons le deuxième terme de l'expression précédente :
 ( S u)
 (S u)  (µ S u)
 (S u)
= 0
+
 0
x
x
x
x
à l'ordre le plus bas en la perturbation. Finalement, on conclut
ou encore

S(x)

S(x)

 (S u)
+ 0
=0
t
x

Il est imprécis de dire que la vitesse u est faible. En effet, il faut préciser
par rapport à quoi : le fait de tronquer les expressions à l'ordre le plus bas
en la perturbation constitue l'approximation acoustique. Celle-ci est valable
tant que la vitesse est faible devant la célérité de l'onde.
L'équation de conservation de la masse s'écrit localement

+ div ( -
u) = 0
t
En intégrant sur le volume de contrôle dx S(x) de taille macroscopique dans
les directions y et z et en appliquant le théorème d'Ostrogradsky, on peut
retrouver le résultat établi.
A.4 L'accélération particulaire se compose :

-
u
· du terme local
dont l'ordre de grandeur vaut
t
w
w -
w
w 
w uw U
w t w

· du terme convectif que l'on explicite pour l'écoulement considéré :
-- 
u -

(-
u · grad ) -
u = u(x, t)
ex
x
Son ordre de grandeur est alors
-- 
U
U2

k(-
u · grad ) -
uk U 
L
L
On peut négliger ce dernier terme si
w -
w
w 
-- 
uw

w
k(-
u · grad ) -
ukw
w t w
c'est-à-dire pour

U

L

A.5 Dans l'approximation de la question A.4, l'équation d'Euler devient

--
-
u
= - grad P
t
Projetons cette relation sur l'axe (Ox), sachant que P(x, t) = P0 + p(x, t) :

u(x, t)
P
p(x, t)
=-
=-
t
x
x
On procède alors comme à la question A.3 pour obtenir

u
u
u
u
= 0
+µ
 0
t
t
t
t
au premier ordre en la perturbation. Finalement, on conclut

0

u(x, t)
p(x, t)
=-
t
x