CCP Physique 1 PSI 2008

Thème de l'épreuve L'entropie dans le système respiratoire. Effet de peau dans divers domaines.
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, thermodynamique, électromagnétisme

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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'

Les calculatrices sont autorisées

***

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concisidn
de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler 
être une erreur
d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en 
expliquant les raisons
des initiatives qu 'il a été amené à prendre.

Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans 
chaque cas, la

numérotation de la question traitée.
' ***

Le sujet comporte 12 pages

PROBLEME A : L'ENTROPIE DANS LE SYSTEME
RESPIRATOIRE

ETUDE D'UN ECOULEMENT DANS UN TUYAU CYLINDRIQUE
ETUDE LOCALE

On s'intéresse à l'écoulement d'un fluide incompressible de viscosité 77 et de 
masse volumique p
dans un tuyau cylindrique horizontal d'axe Oz, de longueur L et de rayon R. Cet 
écoulement

_p_>_p

unidirectionnel est caractérisé dans un repère cylindrique (O,er,e9,e2) par un 
champ de vitesse

5 = v(r, 9, z, t) &: qui vérifie l'équation de Navier--Stokes,

ÔÇ ] 2 """" _. _. _.
----+-- ad v + rot v AV =---- adP+ Av
"(a 2gr ( ) ) gr "

Figure 1

P représente la pression et on note : P(z = O) = P() et P(z = L) = PL .

On néglige les phénomènes de pesanteur.

A.1. Justifier que le champ de vitesse est indépendant de 9 .
A.2. Rappeler dans le cas général, l'équation locale de Conservation de la 
matière.
Que devient cette relation dans le cas d'un fluide incompressible ?

En déduire que le champ de vitesse ne dépend pas de z.

A.3. Quelle propriété présente le champ de vitesse dans le cas d'un écoulement 
stationnaire '?
On étudie maintenant un écoulement stationnaire.

A.4. En projetant l'équation de Navier-Stokes dans la base cylindrique, montrer 
que P ne dépend

. , . . , . .' di"
que de z et établir une equat10n differentlelle rehant v(r) , r et ----

dz .
Les expressions des opérateurs en coordonnées cylindriques sont données à la 
fin du sujet.

A.5. Etablir l'expression de P(z) en fonction de P0 , PL , z et L.

. _ » _ _ P
A.6. En dédu1re que le champ de v1tesse s'écrit v(r) =--LPO L

4 L (RZ--r2) sachant que la
77

vitesse en r = O est bomée.

Tracer le profil de la vitesse v(r) en fonction de r.

' Préciser la valeur maximale vmax de la vitesse.

ECOULEMENT STATIONNAIRE
ETUDE GLOBALE

On s'intéresse toujours à l'écoulement d'un fluide incompressible de viscosité 
?] et de masse

volumique p dans un tuyau cylindrique horizontal d'axe Oz de longueur L et de 
rayon R . On

désire retrouver le champ de vitesse précédent à partir d'un bilan.
On s'intéresse à une portion de liquide (représentée en grisé sur la figure 2) 
contenue dans un

cylindre de rayon r (r < R) , compris entre les plans 2 = 0 et z = L. On 
rappelle que sur la surface

latérale de ce cylindre de rayon r s'exerce une force de viscosité parallèle à 
Oz et dont la norme est

ôvz (r)
ôr

P (2 = O) = P() et P (2 = L) : PL . On néglige les phénomènes de pesanteur.

Il?" =Sî] , où S est la surface latérale du cylindre et V, la vitesse du 
liquide. On note

A.7.

A.8.

A.9.

A.10.

A.11.

A.12.

Faire l'inventaire des forces s'exerçant sur le cylindre de rayon r.

On rappelle que la vitesse ne dépend que de r . En appliquant le principe 
fondamental de la
dynamique au petit cylindre en régime permanent, déduire une équation 
différentielle de la

forme ËÏ- = k.r où k s'exprime en fonction de L , PO , PL , u et n .

dr

Retrouver le champ de vitesse v(r) précédent.

RESISTANCE HYDRAULIQUE

Calculer le débit volumique Q dans la conduite. On l'exprimera sous la forme
Q = K (PO --- PL) , connue sous le nom loi de Poiseuille. Calculer la constante 
K. '

En déduire la vitesse moyenne, v en fonction de L , P0 , PL, u et n .

may

La comparer à la vitesse maximale, vmax .

On définit RHy, résistanCe hydraulique de longueur L et de surface S, par la 
relation
Po -- PL = RHyQ .

Exprimer R Hy en fonction de L, R et 77 . Quelle est l'analogie avec la 
définition de la résistance

électrique '?

Comment varie la résistance hydraulique RHy avec le rayon R '?

Comparer ce résultat avec la résistance électrique d'un barreau de longueur L 
de section
S = "R' et de conductivité électrique 0' . Justifier qualitativement la 
différence.

La loi de Poiseuille n'est valable que pour un écoulement laminaire.

Rappeler la signification du terme en gras.

En déduire une inégalité sur le rayon R pour que le calcul soit valable si on 
prend une
vitesse moyenne vmoy =O,lm/s, une viscosité dynamique 77 = 10"3 Pas et une masse

volumique p = 103 kg - m"3 .

ASSOCIATION DE RESISTAN CES HYDRAULIQUES

A.13. On associe deux cylindres A1 et A2 (figure 3) de résistances hydrauliques 
RH" et KM de

même section S. L'un est compris entre x0 = 0 et x1 : L1 , le second est 
compris entre x1 : L1 et

x2 =Ll +L,. On note P0, P1 et P2 les pressions pour xO =O, x1 =L,, x2 =L1 +Lz. 
On néglige
les pertes de charges au niveau du raccordement.

Figure 3

a) Établir l'expression de la résistance hydraulique RHy (qu'on définit bien 
sûr par la relation :
PO -- PL : RHyQ) de l'ensemble en fonction de R Hy ,» et RHy2 .
Indiquer, en la justifiant, une analogie avec un problème d'électrocinétique.

b) En déduire la pression P1 en fonction de P0 , P2 , R Hy , et R W.

Figure 4

A.14. Les deux cylindres A,, de section S1 et de longueur L1 et A2 de section 
S2 et de longueur
L2 sont associés en « parallèle » (figure 4). On note P0 , la pression sur les 
faces d'entrée pour

x0 = 0 et P1 , la pression sur les faces de sorties ( x1 :! L1 pour A1 , et x2 
: L2 pour A2 ).

Etablir l'expression de la résistance hydraulique de cette association en 
raisonnant par
analogie avec l'électrocinétique.

En déduire le débit Q1 dans le cylindre A1 de section S1 en fonction du débit 
total Q , R,... et

RHy2.

A.15. Rappeler l'expression de la puissance électrique dissipée dans une 
résistance électrique R
traversée par un courant d'intensité I . Par analogie, déterminer la puissance 
dissipée par les

forces de viscosité en fonction de RHY et Q.

L'ARBRE BRON CHIQUE ET L'ENTROPIE

Dans un arbre bronchique, les voies respiratoires se
divisent par dichotomie avec une réduction
systématique de la longueur et du diamètre. Dans le
problème, nous allons supposer que la trachée se
divise en deux bronches. Chacune d'elle se divise à son
tour en deux autres, et ainsi de suite. Nous notons
générations les différentes subdivisions qui seront
indicées par les nombres successifs, p : la trachée est

la génération p =l, les bronches, p = 2 , et ainsi de

suite. Nous nous plaçons en régime permanent et l'air
est assimilé à un fluide de viscosité 77 .

\

Une bronchiole de génération p est assimilée a un
cylindre de rayon rp et de longueur Ip. Nous

admettrons que la loi de Poiseuille établie
précédemment reste valable (en particulier entre p = 6

etp=16).

A chaque génération, chaque dimension (rayon et longueur) est multipliée par 
une constante h que
l'on supposera identique pour les deux dimensions.

A.16. Déterminer le nombre N (p) de bronchioles à la p

lère génération de
résistance hydraulique, R,
et volume V1

îème génération : Les dimensions
(rayon et longueur) sont multipliées

par h par rewort la génération( 1)

3ème génération ; Les dimensions
- (rayon et longueur) sont multipliées
par h2 par rapport àla génération( 1)

'eme génération en fonction de p .

A.17. Déterminer le rayon rp et la longueur 1}) de la bronchiole de génération 
p en fonction de p ,

h, r1 et l,,valeurspour p=l.

A.18.

A.19.

A.20.

Calculer le volume Vp d'une bronchiole de génération p en fonction de V1 , h et 
p. En
déduire le volume total th de la génération p . On posera X : 2h3 .

1-- X "

1--X

Montrer que le volume de l'arbre supposé contenir n générations est V, = V1

Calculer la résistance hydraulique RP d'une bronchiole de génération p en 
fonction de R1
(résistance hydraulique pour p =]) et p . En déduire la résistance hydraulique 
R,}, totale de
la génération p. »

Déterminer la résistance hydraulique R, de l'arbre supposé contenir n 
générations.

Montrer que le volume total diverge quand n --> 00 lorsque la constante h est 
supérieure à
une valeur critique hc dont on précisera la valeur numérique.

A quelle condition sur h , la résistance hydraulique diverge--t-elle ?

La puissance thermique cédée à l'environnement assimilé à un thermostat de 
température T, est
due à la puissance des forces de viscosité.

A.21.

A.22.

A.23.

En utilisant la loi de Poiseuille, calculer la puissance thermique cédée par un 
arbre
bronchique ayant n générations en fonction de Q1 , débit àla génération 1, R1 , 
X et n.

A partir d'un bilan d'entropie entre les instants t et t + dt , établir 
l'expression 0' de
l'entropie créée par unité de temps pour cet écoulement unidimensionnel en 
régime

permanent.

' ' ° ; r o-- o '
Expnmer l'entrop1e creee og, =------ par unite de temps et de volume dans un 
arbre

V

!

bronchique ayant n générations en fonction de T , Q1 , R1 , X et n. Montrer que 
ce terme
diverge quand n ---> oo si h < hc . Conclure pour l'homme où h = 0,85.

Il est à remarquer que cette application au système pulmonaire n'est pas exacte 
puisque le flux
n 'est pas stationnaire mais pulsé.

FIN DU PROBLEME A

PROBLEME B : EFFET DE PEAU DANS DIVERS DOMAINES

L'effet de peau se rencontre en physique lorsqu'il y a absorption de l'énergie. 
Ce phénomène se
retrouve dans des domaines très variés : électromagnétisme, diffusion thermique 
et mécanique des
fluides visqueux par exemple.

PRELIMINAIRES

Pour cette question, a est une conductivité électrique en S-m" , 17 une 
viscosité dynamique, p

une masse volumique, À une conductivité thermique et c une capacité thermique 
massique.

B.l Par analyse dimensionnelle, quelles sont les unités dans le système 
international de 77 , p, À et
c '? Vous justifierez vos résultats à partir de lois physiques très simples. '

B.2 On note a) une pulsation en radians par seconde.

On définit les quantités . A quelle grandeur physique ces quantités sont--elles

homogènes ? Justifier votre réponse.

B.3 On appelle po la perméabilité magnétique du vide. En utilisant la loi d'Ohm 
locale et

n

l'équation de Maxwell--Ampère, montrer que l'unité du produit 0'- po est: m -s" 
(m désigne

l'unité du mètre et s l'unité de la seconde) où l'on donnera les valeurs 
numériques des entiers
relatifs n et p. Etablir alors une longueur possible (notée 5 ) en fonction de 
,u0 , a et a) .

d2.y
d x2
Montrer que les solutions de cette équation sont de la forme y(x) : Ae(l")""' + 
Be'(l")"'x. On pourra
se servir de ce résultat pour la suite du problème.

B.4 Soit l'équation différentielle suivante --2ia2y(x) = 0 où i2 = ----1 et oc 
un réel positif.

EFFET DE PEAU EN ELECTROMAGNETISME

On considère un fil de cuivre cylindrique de rayon R et de longueur L très 
grande devant le rayon R.

Ce fil est placé dans le vide. On note 00 sa conductivité électrique supposée 
constante. On appelle

___.

(Oz) l'axe du fil de vecteur unitaire ez .

On prendra a, : 6,2-107 S-m" ; 50 : 8,84--10"" F-m'l et y, = 47p10*7 H-m-1

B.5

B.6

B.7

B.8

B.9

Figure 1 : géométrie du fil de cuivre

On applique une différence de potentiel U constante entre les deux extrémités 
du fil de
cuivre. En supposant que le champ électrique créé dans le cuivre est uniforme, 
donner
l'expression littérale de la norme J du vecteur densité volumique de courant en 
fonction de

0'0, UetL.

Calculer alors l'intensité du courant traversant le fil de cuivre et en déduire 
l'expression
littérale de la résistance électrique R de ce fil de cuivre.

élec

Application numérique : calculer la résistance linéique R de ce fil de section 
2,5 mm2 .

lin

Dans la suite du problème, un courant sinusoïdal d'intensité i(t) : I0 cos(æt) 
traverse le fil

de cuivre. La fréquence du courant est inférieure au térahertz (1THZ : 1012 Hz 
). Montrer
que l'on peut alors négliger le courant de déplacement dans l'équation de 
Maxwell--Ampère.

Etablir que le vecteur densité volumique de courant Î satisfait à l'équation 
différentielle

--->

. -: 0 ' , . . , '
suivante : A ] = 5 --â--î-- ou l on expnmera 5 en fonct10n des donnees du 
probleme.

Les symétries du problème permettent d'écrire le vecteur densité volumique de 
courant sous
' où i 2 = --l et r est la distance d'un point M du fil par

ia2t*'
ez

la forme complexe _]Î : JO (r) - e

_--

rapport à l'axe. On rappelle que ez est le vecteur unitaire de l'axe (Oz). 
L'expression de

l'opérateur laplacien en coordonnées cylindriques est donnée à la fin du sujet. 
Etablir
l'équation différentielle du second ordre vérifiée par JO (r). On introduira la 
quantité

2

60/1060

5.-.

B.... Calculer 5 à la fréquence de 1 GHz. Comparer cette grandeur au rayon du 
fil de cuivre de

section 2,5 m2. '

B.11 La résolution de l'équation différentielle obtenue à la question B.9 n'est 
pas demandée ici.
On admettra donc que la densité de courant diminue lorsque l'on se rapproche de 
l'axe du
cylindre (le rayon r diminue donc). La distance caractéristique sur laquelle se 
réalise cette

décroissance est naturellement 5. On propose donc le modèle suivant: la 
conductivité
r--R

électrique est une fonction exponentielle de la distance r : a(r) : 00 --eÎ' .

Tracer l'allure de la fonction a(r). Tracer la tangente à la courbe en r = R. 
Quelle est
l'abscisse du point d'intersection de cette tangente avec l'axe des abscisses '?

B.12 Justifier le fait que, en haute fréquence, on utilise des câbles formés de 
multiples brins de
cuivre très fins isolés électriquement les uns des autres (appelés fils de 
Litz).
Justifier aussi le fait que l'on recouvre les conducteurs en cuivre des 
circuits imprimés
d'ordinateurs d'une mince pellicule d'argent.

B.13 On se propose maintenant de calculer la résistance du fil avec le modèle 
de conductivité
' variable. On découpe la section circulaire du fil de cuivre en éléments de 
surface annulaires

de largeur dr et de longueur 27tr. On découpe ainsi le fil en éléments de 
volume.

Figure 2 : découpage en volumes élémentaires

Quelle est la conductance électrique élémentaire dG d'un tel élément de volume 
'? On
l'exprimera en fonction de r , a(r) , dr et L.

B.14 Comment sont branchés entre eux ces éléments de volume ? En déduire la 
conductance totale
G du fil en fonction de 5, R, L, 00

EFFET DE PEAU EN THERMODYNAMIQUE

Soit un milieu homogène de conductivité thermique  , de masse volumique p et 
de capacité

thermique massique à pression constante c remplissant le demi-espace z > O. Le 
problème est
invariant par toute translation selon Ox et Oy .

Figure 3 : géométrie du milieu semi--infini

B.15 En effectuant un bilan d'enthalpie sur une petite tranche d'épaisseur dz 
et de surface S

(surface parallèle au plan 2 = O), établir l'équation différentielle 
d'évolution de la

temperature, d1te << equation de la chaleur >>. On posera a : ---- , appelee 
d1ffu51v1te

p c
thermique. ' '

B.16 Quelle est l'unité de la quantité a '?

Le milieu homogène est un sol. Nous nous intéressons à des variations de 
température sinusoïdales
dans le temps dont on notera a) la pulsation. La notation complexe sera une 
nouvelle fois utilisée.

B.17 Justifier le fait que l'on puisse se limiter à l'étude de variations 
sinusoïdales de température.

B.18 Dans le sol, nous recherchons une solution sous la forme T (z,t) =TO +Re( 
f (z)--e...").

Quelle est l'équation différentielle vérifiée par f (2) , fonction a priori 
complexe ?

B.19 En introduisant la grandeur 5 = __a_ , trouver l'express1on generale 
phy51quement
a)

acceptable de f (z) .

B.20 Le sol a une diffusivité thermique moyenne a... = 2-10"7 m2 -s"'. Calculer 
la valeur

numérique de 5 dans les cas où l'on s'intéresse à des variations journalières 
de la
température puis à des variations annuelles de la température.

B.21 Il est d'usage d'enterrer les canalisations à au moins 80 centimètres de 
profondeur. Justifier.

EFFET DE PEAU EN MECANIQUE DES FLUIDES

Considérons une plaque plane, infinie en longueur et largeur, formant le plan 
xOy. Un fluide
visqueux incompressible (par exemple du miel) de viscosité 77 est déposé sur 
cette plaque sur une
grande épaisseur h. Le fluide occupe alors le demi-espace z > 0 (tout se passe 
comme si l'espace

était illimité). La plaque oscille à la pulsation &) , sa vitesse étant Yplaque 
= VO cos(æt) êx . On néglige

les phénomènes de pesanteur.

_ Z

Liquide visqueux

Plaque oscillante ' ' x

Figure 4 : géométrie de l'écoulement induit

On rappelle l'équation de Navier-Stokes:

ôÇ ] 2 _" .. .. - _.
--+-- rad v + rot v /\V =-- radP+ Av.
p(,, ,g ( ) ) g ??

B.22 En analysant les invariances et symétries du système et en supposant que 
la vitesse du fluide
est parallèle à celle de la plaque, de quelles variables peut dépendre le champ 
de vitesse ?

B.23 Montrer que le terme convectif (!-- grad v2 +(rot 17 )A17 ) est nul pour 
ce problème. En

2
déduire alors que la pression dans le fluide est une fonction affine de la cote 
z et que le

. . . , , . . , . . ôv 82v . . '
champ de Vitesse satisfait a l'équation differentielle suivante --à-t-- : vc 
ô--2_ ou l'on exprrmera
z

vc en fonction de p et de 77. (pour information, vc est appelée viscosité 
cinématique).

___--..

iæt -->

B.24 On cherche une solution pour le champ de vitesse sous la forme ÿ = f(z) -e 
-ex . Donner la

2vc

a)
aux limites du fluide, donner l'expression du champ de vitesse réel dans le 
fluide.
Commenter l'expression obtenue.

forme générale de f (2) ; on introduira la quantité 5 = . En étudiant le 
comportement

B.25 Dans le cas d'un fluide mille fois plus visqueux que l'eau (on rappelle 
que la viscosité de

l'eau est delO"3 Pa - s) et pour une fréquence de 2 Hz, calculer la valeur 
numérique de la

distance caractéristique d'atténuation 5 en prenant comme masse volumique la 
masse
volumique de l'eau.

B.26 Les roches en fusion dans le manteau terrestre sont extrêmement visqueuses 
et ont une masse
volumique très grande, si bien que leur viscosité cinématique V0 est de l'ordre 
de

vc z 10"2 m2 -s". En déduire une propriété importante pour les ondes sismiques 
de
cisaillement qui ont des fréquences de quelques hertz.

FIN DU PROBLEME B

ANNEXES

Données pour les coordonnées cylindriques

ô -- lô ---- ô ----
grad[f(r,9,z)]=â--Çq+--r--è--%eg+äÇ--ez

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 PSI 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stanislas Antczak (Professeur agrégé) ; il a été 
relu par
Olivier Frantz (Professeur agrégé) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet comporte deux problèmes indépendants.
· La première partie, intitulée « L'entropie dans le système respiratoire », 
traite
d'écoulements de fluides visqueux dans des conduites cylindriques. Malgré son
nom, elle contient assez peu de thermodynamique. Dans un premier temps,
il s'agit de résoudre l'équation de Navier-Stokes pour un écoulement dans un
cylindre afin de déterminer le champ des vitesses. Ensuite, l'énoncé conduit
à retrouver ce résultat à l'aide d'un bilan. S'ensuivent des considérations sur
la résistance hydraulique, avec des analogies électriques. Enfin, tout ceci est
appliqué à l'écoulement de l'air dans les voies respiratoires, à l'aide d'une 
modélisation originale de l'arbre bronchique.
· La deuxième partie, nommée « Effet de peau dans divers domaines », contient,
outre un ensemble de questions préliminaires générales, trois sous-parties 
quasiment indépendantes les unes des autres, étudiant l'effet de peau et ses 
conséquences dans le domaine de l'électromagnétisme (effet de peau pour la 
conduction à la surface des conducteurs), de la thermodynamique (équation de la
chaleur pour les ondes thermiques) et de la mécanique des fluides (onde de 
cisaillement dans un fluide visqueux). À chaque fois, il faut mettre le 
problème en
équation, résoudre l'équation en s'inspirant éventuellement des questions 
préliminaires et discuter de la forme du résultat et de ses implications 
physiques
éventuelles.
Ce sujet ne comporte pas de difficultés conceptuelles majeures ; le cheminement
est très guidé par un enchaînement de questions souvent proches du cours. En 
outre,
beaucoup de sous-parties peuvent être traitées indépendamment du reste, ce qui 
permet de faire une grosse portion du sujet même si on reste bloqué sur 
certains points.
Néanmoins, il importe de rester toujours rigoureux dans la rédaction, la 
correction
étant d'autant plus intransigeante que les questions sont élémentaires.
En outre, le rapport du jury mentionne que la présentation et l'orthographe ont
été évaluées et, pour 10% des copies, cette évaluation a conduit à une baisse 
de la
note. Il importe, pour éviter cela, de prendre le temps de relire sa copie.

Indications
Problème A
--
-
A.4 Réécrire l'équation de Navier-Stokes à l'aide de l'opérateur 
v · grad .
A.6 Le fait que la vitesse est bornée en r = 0 donne une constante 
d'intégration.
A.8 En régime permanent, que vaut la somme des forces s'exerçant sur le cylindre
considéré ? Noter que µ, qui n'est défini nulle part dans l'énoncé, n'intervient
pas dans l'expression demandée.
A.9 La vitesse moyenne est la vitesse uniforme donnant le même débit que 
l'écoulement considéré. Attention, elle dépend aussi de R.
A.12 Exprimer le nombre de Reynolds de l'écoulement.
A.13.a Remarquer que P0 - P2 = (P0 - P1 ) + (P1 - P2 ).
A.14 Faire l'analogie avec deux conducteurs ohmiques en parallèle.
A.19 Utiliser le résultat de la question A.10. Il s'agit d'une association en 
parallèle
pour une génération donnée, en série entre deux générations successives.
Problème B
B.1 Utiliser la loi de Fourier pour , la relation U = m c T pour c et 
l'expression de la force visqueuse pour .

-
E
. En régime sinusoïdal et en notation
B.7 Le courant de déplacement est 0
t
complexe, que vaut son module ?
B.8 Utiliser les équations de Maxwell-Ampère, de Maxwell-Faraday, de 
MaxwellGauss et la loi d'Ohm.
B.11 Dans le tracé, exagérer la valeur de  pour faire apparaître clairement la
tangente.
B.13 Une conductance électrique est l'inverse d'une résistance électrique.
B.14 Les conductances de conducteurs ohmiques montés en parallèle s'ajoutent.
B.17 Considérer l'alternance jour-nuit et l'alternance des saisons.
B.19 L'amplitude des oscillations de la température peut-elle augmenter lorsque 
la
profondeur augmente ?
B.23 Simplifier l'équation de Navier-Stokes et étudier ses projections. La 
pression
ne dépend pas de z car on a négligé les effets de la pesanteur.
B.24 On obtient une onde atténuée.

Problème A. L'entropie dans le système respiratoire
Étude d'un écoulement dans un tuyau cylindrique
Étude locale
A.1 La géométrie du problème étant invariante par rotation autour de l'axe (Oz),
le champ des vitesses est indépendant de . On écrit par conséquent
-

v = v(r, z, t) -
ez
A.2 L'équation locale de conservation de la matière s'écrit, dans le cas 
général,

+ div ( -
v)=0
t
Lorsque le fluide est incompressible, la masse volumique est uniforme et 
constante,

donc
= 0 et div ( -
v ) =  div -
v . L'équation locale de conservation de la matière
t
s'écrit alors

div -
v =0

Le champ des vitesses, qui s'écrit -
v = v(r, z, t) -
ez , vérifie ici div -
v = 0, ce qui
v

-

-
donne simplement
= 0 puisque v est colinéaire à ez : on en conclut que v ne
z
dépend pas de z. Par conséquent,
-

v = v(r, t) -
ez
A.3 Dans le cas d'un écoulement stationnaire, le champ de vitesses est 
indépendant
du temps et alors
-

v = v(r) -
ez
A.4 L'équation de Navier-Stokes s'écrit, dans le cas général,
 -

-- -
--

v

-

+ ( v · grad ) v = - grad P +  -
v
t

-
-
v

Ici, on a vu que -
v est indépendant du temps, soit
= 0 , d'une part. D'autre
t
--

part, comme -
v = v(r) -
ez , l'opérateur -
v · grad s'écrit ici simplement v(r)
.
z

Appliqué à v(r) -
e , cela donne un terme nul. Le premier membre de l'égalité est
z

donc identiquement nul.
L'énoncé ne donne pas l'expression du rotationnel en coordonnées cylindriques. 
On est donc conduit ici à revenir à l'expression du terme convectif
--

en (-
v · grad ) plutôt que d'utiliser l'expression de l'équation de Navier-Stokes
fournie. Le rapport du jury signale que les correcteurs ont tenu compte de
cette petite difficulté introduite par la formulation de l'énoncé. Néanmoins,
1 -- 2
-  -
il ne fallait pas écrire que les termes
grad v et rot -
v 
v s'annulent
2
séparément, car c'est faux : seule leur somme est nulle.

L'équation de Navier-Stokes donne alors ici
--

-

- grad P +  -
v = 0

En écrivant que -
v =  (v(r)) -
ez , on obtient ainsi, compte tenu de l'expression du
laplacien donnée dans l'énoncé, l'égalité suivante :

--
1 d
dv -

grad P = 
r
ez
r dr
dr

Il n'est pas évident du tout que -
v =  (v(r)) -
ez . C'est correct dans la

-
-

situation étudiée où v = v(r) ez , mais il ne faut pas conclure hâtivement

-
que, pour un vecteur F quelconque de coordonnées cylindriques (Fr , F , Fz ),

-

on a  F = F -
e + F -
e + F -
e , en s'inspirant de l'expression du
r

r

z

z

laplacien vectoriel en coordonnées cartésiennes. En règle générale, le laplacien
 --
-
 - - -
-

vectoriel se calcule par  F = grad div F - rot rot F .
En projection sur les vecteurs transversaux à l'écoulement, il vient

P

 r = 0

 P = 0

On en conclut donc que P ne dépend que de z. On obtient finalement, en 
projection
sur l'axe (Oz),

dP
1 d
dv
=
r
dz
r dr
dr
A.5 Le deuxième membre de l'égalité obtenue à la question précédente est 
indépendP
dant de z. L'équation différentielle peut alors s'écrire
= a, où a est indépendante
dz
de z. Cela s'intègre en P(z) = a z + b, où b est une autre constante. Pour 
déterminer a
et b, on utilise les conditions aux limites P(0) = P0 et P(L) = PL . On obtient 
b = P0
et a = (PL - P0 )/L. Par conséquent,
P(z) = P0 +

PL - P0
z
L

A.6 En reprenant l'équation différentielle obtenue à la question A.4 et 
l'expression
de la pression obtenue à la question A.5, on obtient

PL - P0
1 d
dv
=
r
L
r dr
dr
En intégrant une première fois, il vient
r
ou encore

dv
PL - P0 2
=
r +c
dr
2L
dv
PL - P0
c
=
r+
dr
2L
r