CCP Physique 1 PSI 2006

Thème de l'épreuve Capteur de dilatation interférométrique. Variation de pression dans un tube indéformable.
Principaux outils utilisés optique, électrocinétique, ondes sonores, thermodynamique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2006 PSIPIOS

A

CONCOURS (OHMUNS POIYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

***

N B Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision 
et à la concision
de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler 
être une erreur
d' énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa c0mposition en 
expliquant les raisons

des initiatives qu 'il a été amené a prendre.
Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans 
chaque cas, la

numérotation de la question traitée.

***

DOSSIER REMIS AUX CANDIDATS -

o Le sujet comporte 9 pages

L'épreuve comporte deux problèmes totalement indépendants. Dans chaque 
problème, de
nombreuses questions sont indépendantes.

PROBLÈME A: CAPTEUR DE DILATATION INTERFEROMETRIQUE

Dans ce problème, la lumière se propage dans des fibres optiques à saut, 
d'indice, très fines.,On
, pourra confondre le trajet de lalumière avec l'axe de la fibre.

A.1 COUPLEUR OPTIQUE _
On réalise un coupleur optique en approchant suffisamment deux fibres optiques. 
Ceci est

réalisé actuellement avec des composants à base de semi- conducteurs.
A.1.1 Citer un exemple de matériau semi-conducteur très répandu.

A.1.2 Le schéma de principe du coupleur est donné sur la figure 1.

Figure 1 : schéma de principe d'un coupleur optoélectronique

Si @ et Q2 désignent les amplitudes complexes des entrées du coupleur, les 
amplitudes
complexes 121 et à; aux sorties sont données par la relation matricielle 
suivante :

tr 1\

\ { \ @
l=lr tlxlg2l

(@
la

où ! et r sont deux "réels compris entre 0 et 1 tels que t2 +r2 : l. Un 
coupleur est alors
caractérisé par sa constante de couplage t. '

Ecrire les amplitudes _l_9_jet La; en fonction de g_; , @ et de tunique"ment.

A.1.3 Par quelinstrument couramment utilisé en optique pourrait-on remplacer 
ces coupleurs ?

A.2 INTERFEROMETRE DE MACH -- ZEHNDER ET DETECTION DE DILATATION

Le dispositif est schématisé ci-dessous :

Diode Laser
...

"'--;.

Coupeulr Cé...

.;

Fibre Ë'Ê

Figure 2 : dispositif de Mach -- Zehnder à fibres optiques

A.2.1

A.2.2

A.2.3

A.2.4

A.2.5

A.2.6

Une fibre optique F 0 (appelée fibre de référence) traverse deux coupleurs 
Optiques identiques
(de conStante de couplage t). Une diode Laser émet une onde monOchromatique de 
longueur _
d'onde dans le vide it : 1,2 um et d'amplitude A. Entre les deux coupleurs, 
cette fibre

d'indice n() = 1,5 est enroulée sur un cylindre et sa longueur totale est L0 = 
100 m. La

lumière se propageant dans la fibre subit une atténuation de l'amplitude : on 
notera ,B le
facteur multiplicatif d'atténuation.

Une deuxième fibre F1 (appelée fibre de mesure) traverse aussi les deux 
coupleurs, ses
caractéristiques (longueur et indice) sont les mêmes que celles de la fibre de 
référence. Rien

n'est connecté à l'entrée de cette fibre. On enroule (sur environ 10000 tours) 
cette fibre sur
un cylindre de matériau très dilatable. Une variation de température AT (autour 
d'une
température dite de référence To) provoque la dilatation de ce cylindre, ce qui 
provoque une

déformation de la fibre F 1 qui voit ainsi sa longueur varier de 5L = a - L0 
-AT .

A quel domaine du spectre électromagnétique appartient la radiation émise par 
la diode
Laser '? ' '

Quelle est l'unité du coefficient a ? Typiquement, a est de l'ordre de 10'7 SI, 
quelle sera la
variation de longueur de la fibre pour une variation de température de 0,1 °C ?

Exprimer les amplitudes. g_o et g; des deux ondes entrant dans le deuxième 
coupleur
respectivement par la fibre Fo et par la fibre--F1 en fonction de A, t, fl et 
d'un déphasage CD.
Exprimer ensuite leur différence de phase CD en fonction de no, À, La, 05 et AT 
.

Exprimer alors les intensités 10 et II des deux ondes en sortie du deuxième 
coupleur en
fonction de CD, A, ,8 et t. ' ' '

Des photodiodes (PO) et (P1) sont placées à la sortie de chaque fibre. Elles 
délivrent un
courant proportionnel à l'intensité lumineuse qu'elles reçoivent. Ces 
photodiodes sont ,
insérées dans des circuits dits de polarisation non représentés ici. On prélève 
alors une
tension image du courant de chaque photodiode, puis à l'aide d'un soustracteur 
A on réalise

la soustraction des deux signaux. Ainsi à la sortie du soustracteur, on 
récupère une tensi0n V

de la forme V = k() -10 -- k1 -11 ou ko et k; sont des constantes choisies de 
telle façon que V

- soit de la forme V : VM cos CD avec VM constante donnée.

. . . , , . . 7r , . . ,
Le d15posrt1f est regle de telle façon a av01r CD = 5 en 1 absence de vanat1on 
de temperature.

De combien varie CD si la température varie de 0,001°C '? En déduire que V est
proportionnelle à AT . En déduire que l'on parvientà suivre la moindre 
dilatation du cylindre.

Il se peut que le cylindre sur lequel est enroulé la fibre F 0 se dilate très 
faiblement, entraînant
une variation de la longueur La de la fibre F0 de 10'12 en valeur relative. 
Evaluer alors le"

déphasage correspondant et comparez le à celui obtenu dans la question A.2.5.

A.3. REALISATION DES CIRCUITS ELECTRONIQUES UTILISES

A.3.1 On considère le circuit suivant (cf. figure 3) où l'amplificateur est 
idéal et fonctionne en
régime linéaire. Les tensions V; et V2 alimentent le circuit. Exprimer la 
tension de sortie V5
en fonction des grandeurs du circuit. A quelle condition aura-Fon un montage 
Soustracteur

idéal ?

Figure 3 : montage soustracteur

A.3.2 Une photodiode est un composant non linéaire dont la caractéristique 
courant --- tension
dépend de l'intensité lumineuse arrivant sur la photodiode (aucune connaissance 
sur les
dipôles non linéaires n'est requise pour traiter cette question). La 
caractéristique de la

_ photodiode est donnée sur la figure 4. Dans quelle partie de la 
caractéristique devrait se
-- situer le point de fonctionnement (LU) afin d'avoir un courant proportionnel 
au flux
lumineux '?

A.3.3 On branche la photodiode en série avec un générateur de Thévenin (E, R). 
Proposer alors un
schéma de branChement convenable afin de travailler dans le régime désiré pour 
la
photodiode. On justifiera le sens de branchement en traçant la caractéristique 
du générateur
de Thévenin Sur celle" de la photodiode et on placera le point de 
fonctionnement de ce
circuit.

A.3.4 Quelle tension peut-on alors injecter à l'une des entrées du soustracteur 
'?

A
. U
 correspondante est la valeur moyenne du vecteur 
densité de flux
d'énergie acoustique par unité de surface. Donner son expreSsion littérale.

Le seuil d'audition d'une oreille humaine correspond à une intensité de 10'12 
W/m2. Quelle
est la variation de crête-à--crête de pression TCCàC correspondante ? 
Application numérique.

Quelle est l'amplitude crête-à-crête ucàc du déplacement ass0cié ? Application 
numérique.

IN TEN SITE ACOUSTIQUE

La sensation auditive étant, d'après la loi de Fechner, proportionnelle au Log 
(décimal) de
l'excitation, cette dernière est exprimée dans l'unité appropriée, le décibel :

I(dB) = 10.L0g{--£--)

Pref

I(dB) = 20.Log{f--)
. ref

où Pdésigne une puissance et A l'amplitude du mouvement oscillant correspondant.

Laquelle des deux expressions convient à la définition de l'intensité 
acoustique en fonction
de la surpression n(x,t) correspondante ? Pourquoi ?

La pression de référence (0 dB) correspond à 2 dixmillièmes de millibar. Quelle 
estla
valeur correspondante en unité SI et quelle est l'unité appropriée ?

En prenant cette valeur pour la surpression crête-à--crête TCCàC, déterminer la 
valeur de
l'amplitude crête-à--crête "CàC du déplacement associé à une fréquence de 1 kHz.

Un train passant en gare à pleine vitesse produirait sur le quai un son dont 
l'intensité peut
atteindre les 120 dB à une fréquence de l'ordre de 100 Hz. Quel est le rapport 
entre
l'amplitude crête-à-crête générée par le train "CàC(tÏain) et celle de 
référence ucàc(ref).
Application numérique. '

Comparer ce déplacement à celui lié au seuil d'audition. Commentez.

FIN DU PROBLÈME B

FIN DE L'ENONCE.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 PSI 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pierre-Marie Billangeon (ESPCI) ; il a été relu par
Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon).

Cette épreuve comporte deux parties complètement indépendantes : c'est un sujet
assez facile. La plupart des questions requièrent des réponses courtes sans 
débordements calculatoires. On s'attache tout au long de l'épreuve à donner des 
ordres de
grandeur qu'il faut commenter, ce qui nécessite dans certains cas de faire 
preuve
d'esprit critique.
· Le premier problème traite d'un dispositif interférométrique, qui est appliqué
à la mesure de dilatation de matériaux. On commence par exprimer les amplitudes 
des deux ondes parcourant un interféromètre Mach-Zehnder en fonction
du déphasage induit par la dilatation du matériau étudié : ceci permet 
d'évaluer la sensibilité d'une telle mesure. Le problème se conclut sur une 
étude du
système électronique utilisé pour lire le déphasage en sortie de 
l'interféromètre :
on redémontre la condition pour avoir un montage soustracteur idéal, puis on
explicite la manière de polariser les photodiodes chargées de mesurer 
l'intensité
lumineuse des deux ondes à la sortie de l'interféromètre.
· Le second problème porte sur la propagation du son : on établit l'équation
de d'Alembert dans un tube indéformable, puis on dérive les expressions du
champ de déplacement et du champ de surpression dans différentes situations
(réflexions totales ou non). Le problème se conclut sur des considérations plus
générales : on discute les ordres de grandeur des variables mises en jeu en 
acoustique dans différentes limites. Cette seconde partie est une succession de 
questions de cours, ce qui en fait un bon exercice de révision pour tester ses 
connaissances en acoustique.
Un candidat bien préparé doit pouvoir répondre à toutes les questions dans le
temps imparti : ce sujet est donc aussi l'occasion d'évaluer sa rapidité.

Indications
Partie A
A.2.3 Utiliser la relation donnée dans l'énoncé à la question A.1.2, reliant 
les amplitudes en entrée et en sortie d'un coupleur optique.
A.2.5 Faire l'hypothèse que   , et utiliser le développement limité

+  = -
cos
2

A.3.1 Appliquer le théorème de Millman à chaque entrée de l'amplificateur, et 
utiliser
le fait que ce dernier est idéal.
Partie B
B.1.1 L'énoncé fait un abus de langage qui peut s'assimiler à une petite 
coquille en
parlant de densité là où on s'intéresse à la masse volumique.
B.1.4 Utiliser l'approximation acoustique pour simplifier l'expression de la 
dérivée
particulaire en négligeant le terme convectif.
B.2.1 La formule définissant le coefficient de compressibilité K est incorrecte 
alors
que le texte est correct. Il faut lire
K=-

1 V
V p

d'où

-

V
= -K P
V

B.2.2 Écrire V(x, t) en fonction du gradient du champ de déplacement u(x, t).
B.3.1 Utiliser le résultat de la question B.2.2.
B.5.1 Faire l'hypothèse que les variations de pression dans le gaz sont 
isothermes
pour dériver l'expression du coefficient de compressibilité K.
B.5.8 Écrire la différentielle logarithmique de l'équation de Laplace.
B.6.1 Écrire les conditions aux limites pour le champ de surpression (x, t).
B.7.3 Utiliser l'équation de d'Alembert établie à la question B.2.3.
B.7.6 Se rappeler qu'en notation complexe
ha(t) b(t)it =

1
Re {a(t) b (t)}
2

B.8.4 Prendre garde au fait que l'on compare une intensité prise à 100 Hz, avec 
une
intensité de référence prise à 1 kHz.

A. Capteur de dilatation interférométrique
1.

Coupleur optique

A.1.1 On peut citer le silicium, utilisé par l'industrie informatique pour la 
réalisation des transistors qui constituent la base des circuits intégrés.
Après le silicium, les semi-conducteurs les plus utilisés sont le germanium
(semi-conducteur intrinsèque), et l'arséniure de gallium (extrinsèque).
A.1.2 Selon la relation matricielle donnée, les amplitudes complexes b1 et b2 en
sortie sont reliées aux amplitudes complexes a1 et a2 en entrée par
(
b1 = t a1 + r a2
b 2 = r a1 + t a2

Les coefficients
de transmission t et de réflexion r vérifient r2 + t2 = 1 (r, t  [ 0 ; 1 ]),

donc r = 1 - t2 . On en déduit que

 b1 = t a1 + 1 - t2 a2
 b =  1 - t2 a + t a
2
1
2
A.1.3 On pourrait remplacer ces coupleurs par des lames séparatrices.
2.

Interféromètre de Mach-Zehnder et détection de dilatation

A.2.1 La longueur d'onde de la radiation émise par la diode laser étant de 1, 2 
µm,
elle émet dans l'infrarouge.
A.2.2 Le coefficient de dilatation thermique  peut s'écrire de la façon suivante
L
L
donc
[] =
= T-1
L0 T
LT
L'unité de  dans le système international est donc le K-1 . Pour une variation 
de
température de 0, 1 C, la variation de longueur de la fibre L est de
=

L =  L0 T = 1, 0 µm
A.2.3 On peut refaire rapidement un schéma récapitulant les caractéristiques du
dispositif interférométrique étudié dans ce problème
Fibre F0
Diode Laser
a0

a0

a0

b0

a1

a1

a1

b1

P0

Coupleur

Coupleur

P1

Fibre F1

Les amplitudes a0 et a1 des ondes en entrée du premier coupleur optique sont 
respectivement
(
a0 = A
a1 = 0
D'après la question A.1.2, les amplitudes complexes en sortie du premier 
coupleur
sont

( 
a0 = t a0 + 1 - t2 a1 = t A

a1 = 1 - t2 a0 + t a1 = 1 - t2 A

En tenant compte de l'atténuation dans les deux fibres, ainsi que du déphasage 
induit
par la dilatation du matériau étudié, les amplitudes des deux ondes entrant 
dans le
second coupleur valent
(
a0 = (t A)

a1 =
1 - t2 A  exp(j)

Le déphasage  est relié à la différence de chemin optique L associée à la 
dilatation
du cylindre sur lequel est enroulée la fibre F1
L n0
 = 2

 L0 T n0
 = 2
d'où

A.2.4 Les amplitudes des deux ondes en sortie du second coupleur valent

(
b0 = t a0 + 1 - t2 a1

b1 = 1 - t2 a0 + t a1

En utilisant l'expression des amplitudes des ondes dans les deux fibres entrant 
dans
le second coupleur établies à la question précédente, on montre que

(
b0 = A  t2 + 1 - t2 exp(j)

b1 = A  t 1 - t2 (1 + exp(j))
En séparant parties réelles et imaginaires, il vient

(
b0 = A  t2 + (1 - t2 ) cos  + j 1 - t2 sin 

b1 = A  t 1 - t2 [(1 + cos ) + j sin ]

On en déduit la valeur des intensités I0 et I1 en sortie du second coupleur
(

I0 = |b0 |2 = (A )2 t4 + 2 t2 (1 - t2 ) cos  + (1 - t2 )2

2
2
I1 = |b1 | = 2 (A ) t2 1 - t2 (1 + cos )

A.2.5 Si la température varie de 0, 001 C, alors d'après la question A.2.3,  
varie de
 = 7, 85.10-2 rad

On regarde des variations de température suffisamment faibles pour pouvoir 
supposer
que le déphasage induit vérifie