X/ENS Maths PSI 2008

Banque commune École Polytechnique -- ENS de Cachan

PSI
Session 2008

Épreuve de MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

Aucun document n 'est autorisé
L 'usage de toute calculatrice est interdit
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être un erreur 
d 'e'nonce', il le

signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu 'il
est amené à prendre.

Indice de rotation d'une courbe simple.
Dans tout ce probleme, T designe un reel strictement positif.

1

Premiere partie

On note U l'ensemble des nombres complexes de module 1. On note FT
l'ensemble des applications T -periodiques et continues de R a valeurs dans
U et FT1 l'ensemble des applications T -periodiques de classe C 1 de R a valeurs
dans U. On appelle relevement de u  FT une fonction continue f : R  R
telle que u = eif .
1. Montrez que si u  FT1 , et si f est un relevement de u que l'on suppose
de plus derivable, alors f  = -iuu .
Montrez que, reciproquement, tout u  FT1 admet un relevement f qui est
de classe C 1 et qui est une primitive de -iuu .
2. Montrez que si f est un relevement de u et g est un relevement de v, alors
f + g est un relevement de uv.

3. Montrez que si z  U est de partie reelle positive, alors z = ei Arcsin y ,ou
y est la partie imaginaire de z, puis que si u  FT verifie ku - 1k  2,
alors u admet un relevement f a valeurs dans [-/2, /2].

4. Montrez que pour tout u  FT , il existe w  FT1 tel que ku-wk  2/2.
Montrez que w 
ne s'annule pas et que v = w/|w| verifie kv - wk  2/2
et k uv - 1k  2. Deduisez-en que tout u  FT admet un relevement.

5. Montrez que si f et g sont deux relevements d'un meme u  FT , alors f -g
est une fonction constante, egale a un multiple entier de 2. Deduisez-en
que si u  FT1 et si f est un relevement de u, alors f est de classe C 1 .

1

2

Deuxieme partie

6. Soit u  FT , soit f un relevement de u et soit a un reel. On pose
1
dT (u) =
(f (a + T ) - f (a))
(1)
2
et on appelle ce nombre le degre de u. Montrez que dT (u) est un entier et
ne depend ni du choix du relevement f , ni de a.
7. Soient u  FT et k  N tels que |dT (u)|  k. Montrez que pour tout
z0  U et tout reel a l'equation u(t) = z0 admet au moins k solutions
distinctes dans l'intervalle [a, a + T [.
8. Que vaut dT (u) si u n'est pas surjective ?
9. Montrez que pour tous u, v  FT on a dT (uv) = dT (u) + dT (v) et
dT (u/v) = dT (u) - dT (v).
10. Montrez que si u, v  FT et si ku - vk < 2, alors dT (u/v) = 0, puis que dT (u) = dT (v). 11. Montrez que si u  FT est de classe C 1 par morceaux alors pour tout reel a on a Z a+T 1 iu (t)u(t) dt. dT (u) = - 2 a 12. Montrez que si u  F2 est de classe C 1 par morceaux alors X d2 (u) = n|cn |2 , nZ ou (cn )nZ designent les coefficients de Fourier de u. 13. Soit u  FT1 et soit f un relevement de u. Soit z  U et F = {t  [a, a + T [ | u(t) = z}. Montrez que si F est fini et si pour tout t  F on a f  (t) 6= 0, alors dT (u) = p - q, ou p = Card{t  F | f  (t) > 0} et q = Card{t  F | f  (t) < 0}. 3 Troisieme partie On appelle homotopie entre u  FT et v  FT une application continue : [0, 1] × R  U (, t) 7  (t) telle que, 0 = u, 1 = v, et (i) s  [0, 1],   FT , (ii) 0  [0, 1], lim k - 0 k = 0. 0 S'il existe une homotopie entre u et v, on dit que u est homotope a v. 2 14. Montrez que si  satisfait la condition (i) ci-dessus et est lipschitzienne sur [0, 1] × [a, a + T ], ou a est un reel arbitraire, alors la condition (ii) est verifiee. 15. Montrez que si  est une homotopie entre u  FT et v  FT , alors dT (u) = dT (v). 16. Montrez que pour tout nombre complexe z tel que |z| < 1, l'application Mz definie pour t  R par Mz (t) = z - eit 1 - zeit appartient a F2 , puis que d2 (Mz ) = 1. (Indication: on pourra considerer les applications Mz , ou  parcourt l'intervalle [0, 1].) 17. Montrez que si u  FT et dT (u) = 0, alors u est homotope a l'application constante egale a 1. 18. Montrez que u, v  FT sont homotopes si et seulement si dT (u) = dT (v). 4 Quatrieme partie On note AT l'ensemble des arcs parametres de classe C 2 et T -periodiques de R dans R2 identifie a C, reguliers a l'ordre 1 en chaque point, c'est-adire dont la derivee ne s'annule pas. On dira que   AT est simple si la restriction de  a [0, T [ est injective. - Si   AT , on appellera application tangente de  l'application T   FT definie par - (t) , T  (t) = | (t)| pour t  R. On appellera indice de   AT l'entier - iT () = dT ( T  ). 19. Determinez i2 (n ), ou n  Z et n (t) = eint . - 20. On pose (t) = cos t + i sin(2t), et on designe par T  son application - tangente. Montrez que pour tout reel t on a T  (t) 6= i, puis que i2 () = 0. 21. Montrez que si   AT est parametree par l'abcisse curviligne, alors 2iT () est l'integrale de la courbure de  entre 0 et T . On suppose a present que   AT et que de plus  est simple. Pour tous (x, y)  R2 tels que (x - y)/T / Z, on pose S (x, y) = (x) - (y) , sin T (x - y) 3 et pour tout y  R et tout k  Z on pose T (y). 22. Montrez que l'application S est bien definie sur R2 , ne s'annule pas, et que pour tous x, y  R on a S (x + T, y) = S (x, y + T ) = -S (x, y) et S (x, y) = S (y, x). 23. Soit U = {(x, y)  R2 | |x - y| < T }. Montrez que la fonction F definie pour (x, y)  U , x 6= y par F (x, y) = sin x-y se prolonge par continuite ( T (x-y)) 1 sur U en une fonction de classe C . 24. En ecrivant (x)-(y) comme un reste integral, montrez que la fonction se prolonge par definie pour (x, y)  R2 , x 6= y par G(x, y) = (x)-(y) x-y 2 1 continuite en une fonction de classe C sur R . 25. Montrez que S est de classe C 1 sur l'ouvert U defini a la question 23, puis sur R2 . Montrez que S est lipschitzienne sur R2 . 26. Montrez qu'il existe un reel a tel que Re((a)) = mintR Re((t)), et que pour un tel a le nombre complexe S (a, a) est imaginaire pur. On supposera dans la suite de cette partie que a = 0 convient. 27. Soit P0 : [0, T ]  R2 l'application definie par S (y + kT, y) = (-1)k P0 (t) = (max(0, 2t - T ), min(T, 2t)) . Soit u0 l'application T -periodique de R dans U dont la restriction a [0, T [ 0 est |SS P P0 | . Montrez que u0 (T ) = S P0 (T ) |S P0 (T )| et que u0  FT . 28. Montrez u0 (0)  {-i, i}, que la partie reelle de u0 est positive sur [0, T /2] et que pour tout t  [0, T /2] on a u0 (t + T /2) = -u0 (t). 29. Deduisez de ce qui precede que la fonction f : [0, T ]  R definie par ( Arcsin(Im(u0 (t)) si t  [0, T /2[, f (t) = 2 Arcsin(Im(u0 (T /2)) - Arcsin(Im(u0 (t)) si t  [T /2, T ] est un relevement de u0 sur l'intervalle [0, T ]. Montrez que f (T ) - f (0) = 2f (T /2) - 2f (0), puis que dT (u0 )  {-1, +1}. 30. Pour tout t  [0, T ] on pose P1 (t) = (t, t), et pour tout   [0, 1] on pose P = P1 + (1 - )P0 . Montrez que l'application X(, t) = P (t) est lipschitzienne sur [0, 1] × [0, T ]. Soit  l'application T -periodique de R dans U dont la restriction a [0, T [ est |SS P P | . Montrez que  definit une homotopie entre u0 et l'application tangente de , et que iT ()  {-1, +1}. Fin de l'epreuve 4