X/ENS Maths PSI 2005

Thème de l'épreuve Étude des systèmes différentiels linéaires à coefficients constants, du premier ordre, avec second membre
Principaux outils utilisés intégrales à paramètres, théorème de Fubini

Corrigé

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MATHÉMATIQUES

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Contrôlabilité

Notations

Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie sur K = R ou (3. On note 
alors
C(R;E) (resp. CI(R;E)) l'ensemble des applications continues (resp. de classe 
Cl) sur R à

valeurs dans E .

Dans tout l'énoncé, n désigne un entier naturel non nul, et l'on munit R" de la 
structure

euclidienne canonique : pour (:c, y) EUR R" >< R'", (::: | y) : ZÎ=1 oe,-y,- 
désigne le produit scalaire

de a: et y, et ||:cH : \/(:c | a:), la norme associée.
La "notation M......(K) désigne l'ensemble des matrices à n lignes et m 
colonnes et à

coefficients dans K. Lorsque n = m, on utilise également la notation MAK}. On 
note GL,, (K)

l'ensemble des matrices inversibles de MAK). La matrice diagonale de MAK) dont 
les
coefficients diagonaux valent 1 est notée In. L'ensemble des valeurs propres 
complexes d'une
matrice carrée A est noté SpA. Le polynôme det(A--Xln) est appelé polynôme 
caractéristique

de A.
On identifie une matrice A EUR M......(K) à l'application linéaire de matrice A 
par rapport

aux bases canoniques de Km et de K".
Si A EUR M......(K) a pour coefficients aij, la matrice B EUR M......(K) de 
coefficients b,,- = a,,--
pour 1 S_ i 5 m et 1 _<_ j _<_ n est appelée transposée de A, et notée 1'A. On 
identifie un vecteur

colonne (resp. ligne) de lR" à une matrice de Mn,1(R) (resp. M1,AR)). En 
particulier, pour
3: EUR R", la notation ta: désigne le vecteur ligne de mêmes composantes que 
a:. Par conséquent,

on a (a: l y) : 'ya: pour tout couple (a:,y) d'éléments de R".
On appelle nome matricielle une norme ...... sur MAK) telle que

V(A,B) EUR MAK) >< MAK), |HABHI S HlÆll IHBIH--

I. Exponentielles de matrices

1. Donner un exemple de norme matricielle sur MAC).

2. On suppose désormais que MAC) est muni d'une norme matricielle (H.... Soit A 
EUR

MAC). Pour p EUR N, on pose SJp : î=0 %.

(a) .Montrer que pour tout couple (p, m) EUR N2 tel que p > m, on a

P le
lllSp--Smllls '; '"îl" .

=m+ 1

(b) En déduire que la suite (Sp)peN converge dans Mn(C). On notera eA la limite 
de

cette suite.

(0) Vérifier que A et eA commutent, et que '(eA) : e'A.

A

3. On suppose que A est diagonalisable. Montrer que e est diagonalisable et 
déterminer

Sp eA en fonction de SpA.
4. Soit 3: E C". Pour t E R, on pose (t) : etAx.
(a) Montrer que ® est une fonction de classe C'1 sur R et vérifie l'équation 
différentielle

(1) X' = AX

avec condition initiale X (0) = m.

(b) Plus généralement, montrer que si f EUR C(R;C") alors

R -------> C"_
'Il: t v--> etA (æ+fâe"""f(r)dr)

est l'unique solution de classe C1 de
X': AX+f(t), X(O)=x.

5. Dans cette question, on suppose que A est diagonalisable. On dit qu'une 
solution (1) de
( l) est asymptotiquement stable si @ tend vers 0 en +oo.

Montrer que toutes les solutions de (1) sont asymptotiquement stables si et 
seulement si
les valeurs propres de A sont toutes à partie réelle strictement négative.

Il. Commandabilité

Dans cette partie, on se donne une paire (A, B) constituée d'une matrice carrée 
A E MAR)
et d'une matrice B E M......(R) (avec éventuellement m # n). A cette paire, on 
associe une
famille d'équations différentielles :

(C) X' = AX + Bu(t),

où la fonction (a priori inconnue) u appartient à C (R;Rm). Cette fonction u 
est appelée

contrôle.
On s'intéresse au problème de commandabz'lz'té associé à la paire (A, B). Plus 
précisément,

étant donné un temps T > 0 et un vecteur :cT E R", on cherche à déterminer s'il 
existe
un contrôle u EUR C(R;R"') tel que l'unique solution (1) E C 1(IR;IR") de (C) 
nulle en 0 vérifie
(T ) = 33T-- Si un tel contrôle existe, on dit que l'état SET est 
atteignable en temps T . On note
AT l'ensemble des états atteignables en temps T.

6. Montrer que AT est un sous--espace vectoriel de R".

7. Soit :rT EUR AT et u un contrôle amenant l'état nul à t = 0 à l'état a:T au 
temps T.
Montrer que l'on a

T
OET : / e(T"S)ABu(S) ds.
0
8. Soit C E Mn_...n(R) la matrice par blocs définie par
c : (B AB A2B A""'B).

On note ImC : {CZ/Z EUR Rmn}.

(a) Montrer que pour tout k EUR N , la matrice A'c est combinaison linéaire de 
la famille
(In,A,... 'Au--1)_
(b) En déduire que AT C ImC.
9. On rappelle que si F C R", alors F"L désigne {::: EUR R" /Vy EUR F, (a: | y) 
= 0}.
(a) Soit y EUR A%. Montrer que

T
/ tye(T--S)AB'Be(T--S)tAy ds : O.
0

(b) En déduire que y EUR (Im C')"L puis comparer AT et Im C.
(c) L'ensemble AT dépend-il de T ?
10. On dit que la paire (A, B) est commandable en temps T si tout état est 
atteignable en
temps T (i.e. AT : R").
(a) Montrer que la paire (A, B) est commandable si et seulement si le rang de 
C' est
n.

(b) En déduire qu'une paire commandable en temps T est aussi commandable en 
temps
T' pour tout T' > 0.

(c) Donner un exemple de paire non commandable.
T
11. On pose D :] e(T'S)AB'Be(T--sm ds.
0

(a) Montrer que D est une matrice carrée symétrique de taille n, et que Im D C 
AT.
(b) Montrer que KerD C A%.
(c) Montrer que, pour toute matrice symétrique M , on a (Im 1'/! )"L C Ker M .
(d) En déduire que AT : ImD.
12. Dans toute cette question, on suppose que la paire (A, B) est commandable.
(a) Justifier l'inversibilité de D.
(b) Soit 207 EUR IR". Pour 3 EUR R, on pose v(s) : 'Be !  0, la paire associée 
à l'équation
différentielle (H ' ) définie dans la question 13 est stabilisable.

15. Dans le cas A = O, peut-on trouver un réel le tel que toute solution de 
(H') avec
ut( ) : koe(t ) soit asymptotiquement stable?

16. On dit que la paire (A, B) est conjuguée 'a la paire (A B) s'il existe P 
EUR GLn (IR) telle
que A: P 1AP et B: P 1B. Montrer que la paire (A, B) est commandable si et

seulement si la paire (A, B) l'est.

17. Dans toute cette question, on suppose que m = 1 et que (A, B) est 
commandable. On
identifie B au vecteur b : (bl, - ,bn).

(a) Vérifier que la famille de vecteurs (b,Ab° -- ,A""'b) engendre R" et qu'il 
existe
(ao, - -- ,an_1) EUR R" tel que

A"b : a0b + -- - - + an_1An"lb.

(b) On pose fn : b et l'on définit (fn--b ' " ,f1) par la relation de 
récurrence fj =
Afj+1- ajfn pour 15j S n -- 1. Montrer que (f1,--- ,fn) est une base de R".

(c) En déduire que la paire (A, B) est conjuguée à la paire (Â, B) suivante :

O 1 0 0 0
A: : __ _. 0 et B: .
0 0 0 1 0
ao a1 (Ln--2 (In--1 1

(d) Soit F EUR R{X] un polynôme de degré n et de coefficient dominant (--1)". 
Montre1 qu 'il existe
K E M1 "(R) tel que F soit le polynôme caractéristique de la matrice A + BK

(EUR) En déduire l'existence de K E M...(R) tel que F soit le polynôme 
caractéristique
de la matrice A + BK.

18. Dans le cas m = 1, montrer que (A, B) commandable entraîne (A, B) 
stabilisable.

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X/ENS Maths PSI 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Dudas (ENS Ulm) ; il a été relu par Julien 
Lévy
(ENS Ulm) et Vincent Perrier (ENS Cachan).

Ce sujet étudie le comportement des solutions d'un système différentiel 
linéaire générique du premier ordre à coefficients constants vis-à-vis du terme 
source (ou second
membre) de ce système. Le problème comporte trois parties à traiter dans 
l'ordre.
Néanmoins, comme certains résultats sont donnés, il est possible de bien avancer
dans le problème sans avoir résolu toutes les questions.
· En guise de préliminaire, la première partie introduit l'exponentielle de 
matrice, afin de résoudre explicitement les systèmes différentiels linéaires 
non homogènes du premier ordre à coefficients constants. C'est une partie 
classique
qu'il convient de traiter soigneusement.
· La deuxième partie étudie les effets du second membre sur les valeurs 
accessibles
par les solutions d'un système d'équations du premier ordre. La difficulté des
questions est très hétérogène. Il s'agit de la plus longue des trois parties.
· Enfin, dans la dernière partie, qui comporte quelques questions 
particulièrement
techniques, on étudie les équations pour lesquelles on peut contrôler le second
membre pour que les solutions soient asymptotiquement stables : ces équations
sont dites « stabilisables ».
Il s'agit d'un sujet complet qui utilise une grande partie des ressources 
d'algèbre
et d'analyse du programme ; il illustre remarquablement bien la puissance des 
outils
de l'algèbre linéaire (en particulier la théorie de la réduction des 
endomorphismes)
pour l'étude des systèmes différentiels linéaires.

Indications
1 Considérer par exemple un multiple convenable de la norme k · k ou utiliser
une norme subordonnée à la norme de Cn définie dans l'énoncé.
2.a Comment peut-on majorer |||Ak ||| ?
2.b Valider le critère de Cauchy.
4.a Montrer que chacune des composantes de  est une série entière de rayon 
infini
et en déduire la régularité de .
4.b Montrer, selon le même raisonnement qu'à la question 2.c, que e tA et e sA 
commutent pour tous réels s et t.
5 Il suffit de vérifier la propriété sur une base convenable.
7 Utiliser la question 4.b.
8.a Appliquer le théorème de Cayley-Hamilton pour trouver un polynôme 
annulateur de degré n. En déduire que la famille (In , A, . . . , An-1 ) 
engendre un espace
stable par multiplication par A.
8.b En validant un théorème d'échange série-intégrale, montrer que xT est limite
d'une suite d'éléments de Im C.
9.a Appliquer la formule de la question 7 avec un contrôle u bien choisi.
9.b Reconnaître dans l'intégrale la norme d'une fonction à valeur dans Rn . 
Montrer
ensuite qu'elle est nulle et calculer ses dérivées en 0.
9.c Que peut-on dire de (E ) , si E est un sous-espace vectoriel de Rn ?
10.a Revenir à la définition du rang d'une matrice.
11.a Utiliser la formule démontrée à la question 7.
11.b Suivre le raisonnement de la question 9.b.
12.b Utiliser la formule démontrée à la question 7.
12.c Développer les deux expressions et calculer séparément les intégrales 
obtenues.
12.d Développer puis intégrer l'égalité kv(s)k2 = kv(s) - u(s) + u(s)k2 en 
utilisant
la question précédente.
 
x
13.b Chercher X sous la forme
.
x
13.c Calculer la matrice C associée à la paire (A, B).
14 Utiliser la question 5.
15 Résoudre l'équation.
e B).
e
16 Calculer la matrice D associée à la paire (A,

17.a Utiliser la question 10.a.

17.b Déterminer la matrice de la famille (fn , . . . , f1 ) dans la base formée 
des vecteurs
(b, A b, . . . , An-1 b) et montrer qu'elle est inversible.
17.c Comment se représentent les matrices A et B dans la base (f1 , . . . , fn 
) ?
e
17.d Calculer le polynôme caractéristique de A.
e telle que les conditions de la question 5 soient vérifiées.
18 Trouver K

I.

Exponentielles de matrices

1 Définissons la norme subordonnée à une norme de Cn , par exemple celle définie
dans l'énoncé. Pour cela regardons, pour M une matrice carrée de taille n la 
fonction
hM définie par :
kM Xk
X  Cn \{0}
hM (X) =
kXk
C'est une fonction rationnelle donc continue sur son ensemble de définition. 
D'après
le théorème de Heine, l'image de tout compact par cette fonction est un compact 
;
en particulier, hM atteint sa borne supérieure sur la sphère unité
Sn-1 = {X  Cn | kXk = 1}
Si cette borne est atteinte au point X0 on note
|||M||| = max hM (X) = max kM Xk = kM X0 k
XSn-1

XSn-1

Cependant, si X est un vecteur quelconque non nul, X/kXk appartient à Sn-1 et
vérifie donc

X
hM
6 |||M|||
kXk
w
w
w
X w
1
w
w
c'est-à-dire
wM kXk w = kXk kM Xk 6 |||M|||
En multipliant les deux membres de l'inégalité par kXk on obtient la formule
X  Cn

kM Xk 6 |||M||| kXk

qui est aussi vérifiée pour le vecteur nul. Celle-ci prouve, par linéarité, que 
M est une
fonction lipschitzienne de rapport |||M|||. De plus, ce rapport est le plus 
petit possible,
puisque l'égalité est vérifiée pour un certain X0  Sn-1 .
Si N est une autre matrice de taille n alors
X  Cn

k(M N)Xk = kM(N X)k 6 |||M||| kN Xk 6 |||M||| |||N||| kXk

L'application X 7- (M N)X est donc une application lipschitzienne de rapport
|||M||| |||N|||. Or, par définition de la norme subordonnée, |||M N||| est le 
plus petit
rapport de Lipschitz de cette application, ce qui prouve que
(M, N)  Mn (C)

|||M N||| 6 |||M||| |||N|||

Finalement, on a montré que
La norme subordonnée |||.||| à la norme définie dans
l'énoncé est une norme matricielle.
Donnons une autre réponse à cette question en construisant de manière effective 
une norme matricielle : considérons la norme k · k définie
sur Mn (C) par
M  Mn (C)

kMk = max |mij |
16i,j6n

Vérifions rapidement que c'est une norme :
· Si   C, alors k Mk = max | mij | = || max |mij | = || kMk
16i,j6n

16i,j6n

· Si M et N sont deux matrices carrées de taille n,
kM + Nk =

max |mij + nij | 6

16i,j6n

max |mij | + max |nkl |

6

16i,j6n

kM + Nk 6

max (|mij | + |nij |)

16i,j6n

16k,l6n

kMk + kNk

· Si kMk = 0, alors pour tout (i, j)  [[ 0 ; n ]]2 ,
0 6 |mij | 6 kMk = 0
ce qui force les mij à être tous nuls. Aussi M est-elle la matrice nulle.
C'est une des normes usuelles sur les matrices qui se comporte relativement
bien vis-à-vis de la multiplication : si A et B sont deux matrices carrées de
taille n, les coefficients de la matrice produit C = A B sont donnés par
n
X
(i, j)  [[ 1 ; n ]]2
cij =
aik bkj
k=1

de sorte que (i, j)  [[ 1 ; n ]]

2

|cij | 6

n
X

|aik bkj | 6

k=1

n
X

kAk kBk

k=0

6 n kAk kBk
Définissons alors la norme suivante :
M  Mn (C)

|||M||| = n kMk = n max |mij |
16i,j6n

L'inégalité précédente entraîne
|||AB||| = n max |cij | 6 n(n kAk kBk ) 6 (n kAk )(n kBk )
16i,j6n

6 |||A||| |||B|||
Donc

||| · ||| = n k · k est une norme matricielle sur M(C).

Rappelons que Mn (C) est un C-espace vectoriel de dimension finie et
qu'ainsi toutes les normes sont équivalentes. Ainsi, si N est une norme 
quelconque sur cet espace, il existe des constantes réelles positives k et K 
telles que
M  Mn (C)

k |||M||| 6 N(M) 6 K |||M|||

En multipliant cette norme par le nombre K/k 2 , on obtient une nouvelle
norme N qui vérifie
K
K2
K2
N (AB) = 2 N(AB) 6 2 |||AB||| 6 2 |||A||| |||B|||
k
k
k
2
K 1
1
K
K
6 2 N(A) N(B) 6 2 N(A) 2 N(B) 6 N (A) N (B)
k k
k
k
k
pour toutes matrices A et B de Mn (C), ce qui prouve que toute norme sur
les matrices est proportionnelle à une norme matricielle.