X/ENS Maths PSI 2004

Thème de l'épreuve Équivalent en +∞ d'une fonction définie comme somme d'une série entière. Ensembles de Besicovitch.
Principaux outils utilisés séries entières, séries de Fourier, intégration sous le signe somme, relations d'équivalence

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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MATHÉMATIQUES

DURÉE: 4 HEURES

L'usage de toute calculatrice est interdit

L'épreuve se compose de deux problèmes indépendants que les candidats peuvent
traiter dans l'ordre de leur choix.

Problème I

OEn
On se propose d'étudier la série de fonctions 2 ' , où a: E R; on rappelle

2
1120 (n.)

que f0+°° exp(--%)dæ : Æ et que par convention O! = 1.

1.1 / Montrer que la série est bien définie pour tout :1: E R. On note f (a:) sa
somme. Montrer que f est une fonction de classe C 1.

I.2/ Quelle est la limite en a: : +00 de f(x) '?

On se propose de calculer un équivalent de f (a:) lorsque ce ----> +00. On 
introduit
la fonction

1.3 / Montrer que gx(9) est bien définie comme fonction de EUR, périodique et

de classe C1 et donner une expression explicite de gæ(9) comme fonction de

z : crew.

I.4/ Calculer les coefficients de Fourier de gx (EUR) et en déduire que

1 21r

? ]QOE(Û)]2d6 : f(x2)
" 0

I.5/ Étudier la convergence de la suite (|gpl2)peN de fonctions de 0 lorsque
9 EUR]-- " ,32"[, et en déduire que

3n/2

lim [gx(0)]2d0 : @.
OE--'+OO 7f/2

I.6/ Montrer que, pour a: > 0,

3-- 2oe 2fi ---3-'--
/2 2æcosôda : EUR EUR 2
0

On prendra garde de justifier l'existence des diverses intégrales rencontrées,
dans le calcul.

I.7/ Montrer que si 0 5 À 5 1/2, alors

1
_'JÎÏÎ_1'<À\Æ'

et en déduire que pour a: ----> +00,

u2

/% e2æcosôd0 ... î2_æ_ /2\/Æ e_--Îdu'
0 \Æ 0 \/5

2

% ' eæ2 +ooe --- %--du
/ e2oe cos 0d9N
0 \/_o e\/_d

Quel est donc un équivalent de f (ac) lorsque 36 ----> +oo ?

puis que

Problème II

Ensembles de Besicovitch

On considère la bande D du plan R2 définie par a: E [O, 1], où (a:,y) sont les
coordonnées d'un point dans le repère orthonormé usuel. On appelle ensemble
de Besicovitch toute partie K de D ayant la propriété suivante : pour tout
réel p EUR [O, 1] (la pente), K contient un segment de droite, rejoignant le 
côté
gauche de la bande (a: = 0) à son côté droit (a: = 1), et ayant 19 pour pente.
Autrement dit,

VpEUR [0,1], 3bEUR R,VoeEUR [0,1], (æ,px+b) E K.

On va montrer qu'il existe des ensembles de Besicovitch dont l'aire est aussi
petite que l'on veut.

L'ensemble des notations introduites dans chaque partie est conservé pour les
parties suivantes.

On se donne N EUR N, avec N 2 2.
Première partie : construction

II.1/ Montrer que la partie T définie par T = {(oe,y), a: EUR [O, 1], cc 2 y 2 
O}
est un ensemble de Besicovitch. Quelle est son aire?

II.2/ Soient q1,q2, -- --- ,qN EUR {0,1, - -- ,N -- 1} des nombres entiers, et 
notons
q EUR @ le nombre rationnel défini par

N
_q=î:%_
k=1

a) Montrer que q EUR [O, 1[.
b) Montrer que si 7'1,r2, - -- ,rN EUR {O,1,-«- ,N -- 1} sont tels que

N N

2 -----"° - 2 -----'"°
Nic _ k'

k=1 k=1

alors Vic EUR {1,---- ,N}, rk =qk.

c) A q on associe la fonction lq de [O, 1] dans R,
N qk(NCE -- k + 1)
lq = 2 -----N--------
k=1

On définit le segment L,, comme l'ensemble {(æ, lq(a:)), 33 EUR [O, 1]} de R2.
Quelle est la pente de L, '?

II.3/ Soit 5 EUR [O, 1]. On considère la bande Bg, définie par

(any) EUR 33 => fl? EUR [0,1], ly -- lq(OE)l < 5-

a) Montrer que Bg est contenue dans une partie compacte de "D indépen-
dante de 5 et de q.

b) Montrer que B:; contient un segment de pente ]) pour tous les p dans
l'intervalle [q -- 26, q + 25].

11.4 / On appelle QN l'ensemble des nombres q qui s'écrivent de la forme décrite
dans la question 11.2 :

N
qEUR QN<=>SQI7q2WH 7QNE{O:1a'H ,N--1},Q='Z%
k=1

(C'est l'ensemble des nombres de [O, 1[ dont la représentation en base N n'a

pas plus de N "chiffres".)
On fixe 5 = N"N et l'on définit alors l'ensemble KN : qugNBâ.

a) On fixe N = 2. Représenter graphiquement l'ensemble K2 et montrer
qu'il s'agit d'un ensemble de Besicovitch.

b) On revient au cas général, N E N, N _>_ 2, montrer que KN est un
ensemble de Besicovitch.

Deuxième partie : partition des pentes

Soit m EUR {1,' -- - ,N} un entier, et R... la relation définie sur QN par
qR...â<=>VkSm--l, Qk=(Îk-

II.5/ Montrer qu'il s'agit d'une relation d'équivalence et en déduire une parti-
tion de l'ensemble QN.

11.6 / Caractériser les classes d'équivalence de R... et montrer qu'il y en a N 
"'".
Quel est le cardinal de chacune?

Il.7/ Montrer que si deux nombres q et (j de QN sont équivalents pour la

relation R..., alors, si a: E [ml--Qi, --Î,%] on a

N ...
(k -- m + 1)th -- ku
|zq<æ> --- W)! 5 N,...
En déduire que C
llq<æ> -- zq<æ>| 5 W

où C est une constante indépendante de a:,m, q, 61", N.

II.8/ Soit 330 EUR [0,1] et AaCO : {lq(oeo), q EUR QN}. Montrer qu'il existe un 
entier
m EUR {1, - -- - ,N} tel que A;EO soit contenu dans la réunion de N "'--1 
intervalles
de IR (non nécessairement disjoints), chacun de longueur au plus CN "'".

Troisième partie : calcul de l'aire

II.9/ On conserve 330 EUR [0,1] fixé.

a) On appelle Dm0 la droite d'équation &: = cm, et on considère son intersec-
tion avec une bande B:; de l'ensemble K N. Montrer que cette intersection
est un intervalle de longueur 26. On notera par la suite tg... la fonction
caractéristique de cet intervalle.

b) Montrer qu'il existe m EUR {1,- -- ,N} tel que l'ensemble KN n Dm0 est
contenu dans la réunion de N ""--1 intervalles (non nécessairement dis-
joints), chacun de longueur au plus C'N'm + 2N"N (un dessin pourra
utilement guider le raisonnement).

11.10/ On appelle tm0 la fonction caractéristique de l'ensemble KN fi Doe0. 
Mon--
trer que '

tæo(y) = sup tîo(y)
QEQN

et en déduire qu'il existe (a, b) EUR R2, avec a < b tel que pour tout y E R on 
a

0 S tæo(y) _<_ X[a,b](y)

où x[a,b] est la fonction caractéristique de l'intervalle [a,b]. Retrouver 
ainsi le
résultat de la question Il.3.a.

ll.ll/ On définit alors
+oo
h<æo) = ] tæo(y)d

"00
a) Montrer que h(oeo) est bien définie.

b) Que représente géométriquement h(oeo) '?
c) Montrer que h(:m)< (C + 2)/N.

ll.12/ On admet que la fonction h((æ) définie pour 33 E [O, 1] est affine par 
mor--
ceaux. En déduire que A N -- f01f1(:r)doe est bien définie. Expliquer brièvement

pourquoi il s'agit de l'aire de KN.

Il.l3/ Montrer que limN_,+OO AN : 0.
Pourquoi l'ensemble KN est--il une réponse au problème initialement posé '?

11.14 / En déduire qu'il existe dans le plan des ensembles contenant un segment
de longueur au moins 1 dans toutes les directions et dont l'aire est aussi 
petite

que l'on veut.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Maths PSI 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par David Lecomte (Université de Stanford) ; il a été 
relu
par Céline Chevalier (ENS Cachan) et Paul Pichaureau (professeur en CPGE).

Ce sujet commun à l'École Polytechnique et à l'ENS Cachan se compose de deux
problèmes indépendants.
Le premier problème a pour but d'étudier la fonction
f : x 7-

X
xn
(n!)2
n=0

On commence par déterminer son domaine de définition, sa régularité, ses limites
aux bornes du domaine de définition, etc.
Le reste du problème consiste à trouver un équivalent de cette fonction
en +.

On considère la fonction gx dont les coefficients de Fourier sont xn /n! nN et 
que
l'on explicite à l'aide de fonctions usuelles. En remarquant que, d'après la 
relation
de Parseval,
Z

X
x2n
1 2
2
2
f (x ) =
=
gx () d
2
(n!)
2
0
n=0
on se ramène à l'étude asymptotique de cette intégrale.
Ce premier problème est très classique ; par exemple, le premier sujet de 
mathématiques du concours Mines-Ponts 2002 se propose de calculer exactement le 
même
équivalent par une autre méthode.
Le second problème, beaucoup plus original, guide le candidat dans la 
construction d'une famille d'ensembles de Besicovitch. Ces derniers sont des 
parties du plan
contenant un segment de longueur 1 dans toute direction. On montre ensuite que
l'on peut trouver de tels ensembles avec une aire aussi petite que l'on veut.
Ce problème n'est pas difficile en soi : la construction et le calcul de l'aire 
sont
faits petit à petit. Il a dérouté de nombreux élèves cette année. Premièrement,
parce qu'il ne fait appel à aucun théorème du cours. Deuxièmement, parce qu'il
utilise la notion de partition d'un ensemble modulo une relation d'équivalence.
Pour les élèves provenant de MPSI, aucun problème ; mais ceux provenant de PCSI
ne pouvaient pas comprendre les questions II.5 et II.6 et on sait à quel point 
une telle
situation peut être bloquante un jour de concours. Il est dommage que cette 
injustice
se soit produite dans un sujet d'X/ENS et on trouvera, en remarque dans le 
corrigé,
les définitions nécessaires à la résolution de ces questions problématiques.
Il s'agit malgré tout d'un problème intéressant dans la mesure où il introduit
ces ensembles de Besicovitch, dont le premier exemple fut construit en 1920 par
Abram Besicovitch et qui sont un sujet important de recherche actuelle en 
analyse
harmonique. On trouvera à la fin du corrigé des remarques culturelles concernant
ce problème.

Indications
Problème I
I.2 Démontrer que f (x) > 1 + x.
i

I.5 Utiliser l'expression gx () = exe obtenue à la question I.3 et le fait que 
cos 
 3
;
.
est strictement négatif lorsque  se trouve dans l'intervalle
2 2

I.6 Justifier la validité du changement de variable u = 2 2x sin dans la 
première
2
intégrale et l'effectuer.

Problème II
II.2.b Raisonner par l'absurde : en notant i le plus petit indice pour lequel 
ri 6= qi ,
montrer à l'aide de la question II.2.a que |ri - qi | < 1.

II.3.a Un exemple typique de compact du plan est un rectangle. Il suffit donc 
d'établir
que Bq est inclus, par exemple, dans un rectangle indépendant de q et .
Pour cela, majorer simplement x par 1 et les qk par N - 1.

II.3.b Remarquer que Bq est un parallélogramme. Évaluer les pentes des côtés et 
des
diagonales ; remarquer alors que Bq contient tous les segments reliant les bords
gauche et droit de D, de pentes intermédiaires entre celles-ci.

II.4.b Montrer que NN QN , l'ensemble des éléments de QN multipliés par NN , 
est égal
à {0, . . . , NN - 1}. Utiliser ceci pour montrer que si p est un réel de [0 ; 
1],
il existe un élément q0 de QN tel que NN q0 soit égal à [NN p], la partie 
entière
de NN p.

m-1 m
II.8 Il existe m dans {1, . . . , N} tel que x0 se trouve dans l'intervalle
;
.
N
N
Si q1 , . . . , qNm-1 sont des représentants de chacune des classes 
d'équivalence
de QN modulo Rm , vérifier à l'aide de la question II.7 que
Ax0 

m-1
N[

i=1

C
C
lqi (x0 ) - m ; lqi (x0 ) + m
N
N

Problème I
n

P x
converge absolument sur l'intervalle ] - R ; R[, où R
2
n>0 (n!)
est son rayon de convergence. D'après la règle de d'Alembert, comme la limite
I.1 La série entière

(n + 1)!2
= lim (n + 1)2
n
n
(n!)2
existe et vaut +, on sait que R = +. En notant f la somme de la série entière,
on a montré que
lim

f est bien définie sur R.
La somme d'une série entière est de classe C  sur son intervalle ouvert de 
convergence. A fortiori,
f est de classe C 1 sur R.
I.2 Soit x un réel positif. On a :
f (x) =
Ainsi

X
X
xn
xn
=
1
+
x
+
>1+x
2
(n!)
(n!)2
n=0
n=2

x  R+

Par suite,

f (x) > 1 + x

lim f (x) = +

x+

I.3 Soient x et  deux réels fixés. On sait que
x  R

  R

n  N

xn ein = xei

n

Dans la série définissant gx (), on reconnaît le développement en série entière 
de
la fonction exponentielle, évalué en la valeur particulière xei . On sait que 
la série
entière définissant l'exponentielle a un rayon de convergence infini. Par suite,
gx () est bien définie pour tous réels x et  et
x  R

  R

i

gx () = exe

On dispose là d'une expression particulièrement simple de la fonction gx
et l'on serait tenté de dire que gx est dérivable en tant que composée
de fonctions dérivables.
Cette conclusion est prématurée à ce stade car il y a un piège : on ne sait
dériver que des fonctions d'une variable réelle. Si  n'est pas un multiple 
entier
de  cela n'a donc aucun sens de dire que l'exponentielle est dérivable au
point xei pour conclure que gx est dérivable en . En effet, xei a une partie
imaginaire non nulle et on ne sait donc pas, dans le cadre du programme de
classe préparatoires, ce que signifie dériver exp en ce point.
On peut tout de même se ramener au théorème de composition des fonctions C 1 . 
C'est la solution proposée dans le corps du corrigé. Une autre
preuve, utilisant le théorème de dérivation sous le signe somme, est proposée
ensuite en remarque.

Fixons un réel x. On a :
i

gx () = exe = ex(cos +i sin ) = ex cos  × eix sin 

= ex cos  cos(x sin ) + i sin(x sin )

  R

On peut maintenant appliquer les théorèmes généraux de dérivabilité. La fonction
 7- x sin  est de classe C 1 sur R, à valeurs réelles donc  7- cos(x sin ) et
 7- sin(x sin ) sont de classe C 1 sur R. De même,  7- ex cos  est de classe C 1
sur R. Par suite,
gx est de classe C 1 sur R.
Finalement, les fonctions sinus et cosinus sont 2-périodiques donc
gx est 2-périodique.
Voici comme promis une autre démonstration du fait que gx est de
classe C 1 . À nouveau, x est un réel fixé ; on pose :
n  N

  R

hn () =

xn in
e
n!

Les fonctions (hn )nN sont toutes de classe C 1 sur R et l'on a déjà établi
P
plus haut que la série
hn converge simplement vers gx .
n>0

Pour appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme, il suffit de
P 
vérifier que la série de fonctions
hn converge uniformément sur R. On a :
n>0

n  N
donc
La série

  R
n  N

P

hn  () =

ixn
ein
(n - 1)!

  R

hn  () =

et

h0  () = 0

|x|n
(n - 1)!

hn  converge donc normalement sur R. Le théorème de dérivation

n>0

sous le signe somme permet alors de conclure que gx est de classe C 1 .
I.4 Notons (cp )pZ la suite des coefficients de Fourier complexes de gx :
Z
Z +
1 2
1 2 X xn i(n-p)
p  Z
cp =
gx () e-ip d =
e
d
2 0
2 0 n=0 n!
Fixons un entier relatif p. La série de fonctions
en  sur [0 ; 2] puisque

(1)

P xn i(n-p)
e
converge normalement
n>0 n!

xn i(n-p)
xn
e
=
n!
n!
et le membre de droite est le terme général d'une série positive convergente. 
On peut
donc, dans l'expression (1), intervertir la somme et l'intégrale :
 Z

+
X
xn 1 2 i(n-p)
cp =
e
d
n! 2 0
n=0
n  N

  [0 ; 2]