Mines Maths 2 PSI 2016

Thème de l'épreuve Matrices quasi-nilpotentes
Principaux outils utilisés matrices symétriques, éléments propres, dimension, sommes directes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 2016 - MATH II PSI.

École des PONTS ParisTech,
ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech,
TÉLÉCOM ParisTech, MINES ParisTech,
MINES Saint-Étienne, MINES Nancy,
TÉLÉCOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filière MP).
CONCOURS 2016
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours
Centrale-Supélec (Cycle international).
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

Mathématiques II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Matrices quasi-nilpotentes

Notations
Dans tout le problème, K désigne R ou C.
Étant donnés deux entiers naturels n et p non nuls, on note Mn,p (K) l'espace
vectoriel des matrices à n lignes, p colonnes et à coefficients dans K, et Mn 
(K)
celui des matrices carrées à n lignes et à coefficients dans K. Pour i et j 
dans [[1, n]],
on note Ei,j la matrice élémentaire de Mn (K) ayant exactement un coefficient 
non
nul, situé en position (i, j) et de valeur 1. La transposée d'une matrice M sera
notée t M .
Une matrice carrée A  Mn (K) est dite triangulaire supérieure stricte
lorsqu'elle est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux tous nuls.
On note Sn (K), An (K) et T++
n (K) les sous-ensembles de Mn (K) constitués,
respectivement, des matrices symétriques, antisymétriques, et triangulaires 
supérieures strictes.
On rappelle la notation du symbole de Kronecker : pour x et y deux entiers,
x,y =

1

si x = y,
sinon.

0

Définition 1 Étant donné un entier naturel non nul n, un sous-espace vectoriel
V de Mn (K), et un élément j de [[1, n]], on note Cj (V ) l'ensemble des 
matrices de
V dont toutes les colonnes sont nulles à l'exception éventuelle de la j-ième.
Pour toute matrice M  Mn (K) avec n > 2, on notera K(M )  Mn-1 (K),
R(M )  Mn-1,1 (K), L(M )  M1,n-1 (K) et a(M )  K la décomposition de M en
blocs suivante :

M =

K(M )

R(M ) 

L(M )

a(M )

.

(1)

On a en particulier défini des fonctions K : V  Mn-1 (K) et L : V  M1,n-1 (K),
évidemment linéaires.

2

Objectifs
Définition 2 Soit A une matrice de Mn (K). On dit que A est quasi-nilpotente
lorsqu'elle ne possède aucune valeur propre non nulle dans K. Une partie V de
Mn (K) est dite quasi-nilpotente lorsque tous ses éléments sont 
quasi-nilpotents.
On se propose d'étudier les sous-espaces vectoriels quasi-nilpotents de Mn (K).
En particulier, le résultat principal que nous souhaitons établir s'énonce comme
suit :
Théorème (Dimension des espaces quasi-nilpotents) Pour tout sous-espace
vectoriel quasi-nilpotent V de Mn (K), on a
dim V 6

n(n - 1)
·
2

(QN)

La clé pour démontrer ce résultat réside dans le lemme suivant, démontré dans
la partie C.
Lemme (Lemme des colonnes) Pour tout sous-espace vectoriel V de Mn (K),
quasi-nilpotent, il existe un élément j de [[1, n]] tel que Cj (V ) = {0}.

A

Exemples
Dans cette partie, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.

C

D

C

D

0 -1
1. Montrer que la matrice D =
est quasi-nilpotente vue comme matrice
1 0
de M2 (R). Est-elle quasi-nilpotente vue comme matrice de M2 (C) ?
1 i
2. Montrer que la matrice B =
est quasi-nilpotente vue comme matrice
i -1
de M2 (C).
3. Montrer que Sn (K), An (K) et T++
n (K) sont des sous-espaces vectoriels de
Mn (K). Montrer que la dimension de Sn (K) est n(n + 1)/2.
4. Montrer que T++
n (K) est quasi-nilpotent dans Mn (K). Vérifier que
dim T++
n (K) =
3

n(n - 1)
·
2
TSVP

5. Soit A  An (R). Montrer que pour tout X  Mn,1 (R), t XAX = 0. En
déduire que An (R) est quasi-nilpotent dans Mn (R).
6. Montrer qu'il n'existe pas de matrice inversible P  GLn (R) telle que :
An (R) = {P M P -1 | M  T++
n (R)}.
Indication : on pourra commencer par étudier le cas n = 2, en utilisant par
exemple la matrice D introduite à la question 1.

B

Cas réel
Dans cette partie, n désigne un entier naturel non nul.

7. Déterminer l'ensemble des matrices de Sn (R) qui sont quasi-nilpotentes dans
Mn (R). Le résultat obtenu tient-il si l'on remplace R par C ?
8. Soit V un sous-espace vectoriel de Mn (R), quasi-nilpotent dans Mn (R). 
Déduire de la question précédente que :
dim V 6

C

n(n - 1)
·
2

Lemme des colonnes

On se propose ici de démontrer le lemme des colonnes par récurrence sur 
l'entier n.
9. Justifier que le lemme des colonnes est vrai dans le cas n = 1.

Dans la suite, on fixe un entier naturel n > 2 et on suppose le lemme des
colonnes vrai pour l'entier n - 1. On se donne un sous-espace vectoriel 
quasinilpotent V de Mn (K). On raisonne par l'absurde en supposant que Cj (V ) 
Ó= {0}
pour tout j  [[1, n]]. On introduit le sous-ensemble V  de V constitué de ses
matrices de dernière colonne nulle. Toute matrice M de V  s'écrit donc par blocs
4

comme suit :

M=

0
.. 
. 

K(M )
L(M )

0 
0

10. Montrer que l'ensemble K(V  ) = {K(M ) | M  V  } est un sous-espace
vectoriel quasi-nilpotent de Mn-1 (K).
11. En déduire qu'il existe un entier j  [[1, n - 1]] tel que En,j  V .

Soit  une bijection de [[1, n]] dans lui-même. Soit (e1 , . . . , en ) la base 
canonique
de Kn . On considère l'application linéaire u de Kn dans Kn définie sur la base
canonique par
u (ej ) = e(j) pour tout j  [[1, n]].
On considère la matrice P de Mn (K) :
P = (i,(j) )16i,j6n .

12. Vérifier que u est inversible et préciser son inverse.
13. Vérifier que P est la matrice de u dans la base canonique de Kn . Montrer
que P est inversible et préciser les coefficients de son inverse.
14. Pour M  Mn (K), préciser les coefficients de P-1 M P en fonction de ceux
de M et de .
On pourra utiliser un changement de base.
15. Montrer que l'ensemble
î

V  = P-1 M P | M  V

ï

est un sous-espace vectoriel quasi-nilpotent de Mn (K) et que Cj (V  ) Ó= {0}
pour tout j  [[1, n]].
16. En déduire que pour tout j  [[1, n]] on peut choisir un f (j)  [[1, n]] \ 
{j} tel
que Ej,f (j)  V . On obtient ainsi une fonction
f : [[1, n]]  [[1, n]].
5

TSVP

17. En considérant les images successives de 1, montrer qu'il existe une suite
finie (j1 , . . . , jp ) d'éléments deux à deux distincts de [[1, n]] telle que
k  [[1, p - 1]], f (jk ) = jk+1

et f (jp ) = j1 .

18. Ecrire un algorithme qui permette d'identifier une telle suite connaissant 
les
valeurs de f .
19. Démontrer que 1 est valeur propre de la matrice N =

p
q
k=1

D

Ejk ,f (jk ) , et conclure.

Cas général

On va ici prouver l'inégalité (QN) par récurrence sur n. Le cas n = 1 est 
trivialement vrai. On fixe donc un entier naturel n > 2 et on suppose 
l'inégalité (QN)
établie au rang n - 1. Soit V un sous-espace vectoriel quasi-nilpotent de Mn 
(K).
On rappelle qu'on peut écrire toute matrice M de Mn (K), et en particulier de
V , sous la forme (1) et qu'en particulier, les applications K : V  Mn-1 (K) et
L : V  M1,n-1 (K) sont linéaires. On introduit le sous-espace vectoriel
W = {M  V | L(M ) = 0}.
Jusqu'à la question 21 incluse, on suppose que Cn (V ) = {0}.
20. Montrer que : dim V 6 dim K(W ) + (n - 1).
21. En déduire que : dim V 6

n(n - 1)
·
2

On ne suppose plus désormais que Cn (V ) = {0}.

22. Démontrer que : dim V 6

n(n - 1)
·
2

Fin du problème

6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 PSI 2016 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Loïc Devilliers (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Thierry
Limoges (ENS Cachan) et Tristan Poullaouec (Professeur en CPGE).

Ce sujet traite des matrices quasi-nilpotentes dans Mn (K) avec K = R ou C.
Ce sont les matrices qui ne possèdent aucune valeur propre non nulle dans K. 
L'objectif du problème est de démontrer que tout sous-espace vectoriel de Mn 
(K) constitué
uniquement de matrices quasi-nilpotentes est de dimension majorée par n(n - 
1)/2.
Ce sujet est composé de quatre parties, dont les trois premières sont 
indépendantes.
· La partie A s'intéresse aux exemples des matrices symétriques, antisymétriques
et triangulaires. Certaines questions sont très proches du cours et ne posent
aucune difficulté : structure de sous-espace vectoriel, calcul de dimension, 
etc.
· La partie B propose de démontrer le résultat principal dans le cas réel, en 
s'appuyant sur les matrices symétriques. Cette partie est courte et facile.
· La partie C démontre le lemme dit « des colonnes ». Cette partie est plus 
technique que les précédentes. Elle fait appel à l'écriture des matrices par 
blocs,
aux matrices de permutation, aux changements de base et aux matrices 
élémentaires de Mn (K). La fin de cette partie est aussi l'occasion de pratiquer
un peu de combinatoire et d'algorithmique sur les suites récurrentes d'ordre 1
prenant un nombre fini de valeurs.
· La partie D, enfin, démontre le résultat principal dans le cas général par 
récurrence sur n, en appliquant le lemme des colonnes.
Ce sujet couvre une vaste partie du programme d'algèbre linéaire des deux 
années.
Il pouvait être traité dans le temps imparti à condition de répondre rapidement
aux quelques questions faciles, afin de ménager une réserve de temps pour 
aborder
les plus difficiles.

Indications
Partie A
1 Calculer le polynôme caractéristique de D.
3 Exhiber une base pour calculer la dimension de Sn (K).
4 De même, exhiber une base pour déterminer la dimension de T++
n (K).
5 Calculer la transposée du produit. Appliquer la relation que l'on vient 
d'établir à
un vecteur propre de A.
6 Dans le cas n = 2, montrer que D  A2 (R) mais que D n'est pas de la forme
P M P-1 avec P  GL2 (R) et M  T++
n (K). Pour n > 2 compléter par blocs
la matrice D de la façon la plus simple pour avoir une matrice antisymétrique
vérifiant la propriété voulue.
Partie B
7 Utiliser la diagonalisabilité des matrices symétriques réelles. Penser à la 
matrice
étudiée à la question 2.
8 Noter que V et Sn (R) sont en somme directe.
Partie C
10 Déterminer le polynôme caractéristique de la matrice M.
11 Appliquer l'hypothèse de récurrence à K(V ).
15 Utiliser la question 14.
16 Appeler  la permutation qui échange j et n, puis appliquer les résultats des
questions 11 et 15.
17 Une suite à valeurs dans un ensemble fini ne peut être injective.
18 Commencer par créer un tableau qui stocke les entiers déjà visités par la 
suite
des images successives de 1. De cette manière, trouver un élément qui est 
atteint
deux fois par la suite des images successives de 1.
19 Au moins au brouillon, simplifier le problème en supposant que jk = k pour
tout k  [[ 1 ; p ]].
Partie D
20 Considérer l'application M 7- (K(M), L(M)) et un supplémentaire de W dans V.
21 Appliquer l'hypothèse de récurrence à K(W).
22 Utiliser le lemme des colonnes et la question 15 pour se ramener à ce qui 
précède.

A. Exemples
1 Le polynôme caractéristique de D, matrice carrée d'ordre 2, est
D = X2 - Tr (D)X + det(D) = X2 + 1
Ce polynôme n'admet pas de racine dans R. Les valeurs propres étant exactement
les racines du polynôme caractéristique, on en déduit que la matrice D ne 
possède
aucune valeur propre dans R. A fortiori elle ne possède pas de valeur propre 
non nulle
dans R, d'où
La matrice D est quasi-nilpotente dans M2 (R).
Néanmoins la matrice D possède deux valeurs propres complexes i et -i, qui sont
non nulles. Ainsi,
La matrice D n'est pas quasi-nilpotente dans M2 (C).
2 De même, la matrice B a pour polynôme caractéristique
B = X2 - Tr (B)X + det(B) = X2
Par conséquent, la seule valeur propre complexe de B est 0. Ainsi,
La matrice B est quasi-nilpotente dans M2 (C).
3 D'abord, la matrice nulle de Mn (K) est symétrique. Ensuite, pour A, B  Sn (K)
et   K
t

t

t

(A +  B) = A + B = A +  B

d'après la linéarité de la transposée. Ainsi A +  B  Sn (K). Ceci prouve que
L'ensemble Sn (K) est un sous-espace vectoriel de Mn (K).
La matrice nulle de Mn (K) est antisymétrique, de plus pour A, B  An (K) et
pour   K
t

t

t

(A +  B) = A + B = -A -  B

Ainsi A +  B  An (K). Ceci montre que
L'ensemble An (K) est un sous-espace vectoriel de Mn (K).
La matrice nulle de Mn (K) est triangulaire supérieure stricte. Soient A = (aij 
),
B = (bij )  T++
n (K) et   K. On pose C = A +  B = (cij ) on a
 (i, j)  [[ 1 ; n ]]2

i > j = cij = aij +  bij = 0

Ceci montre que C = A +  B  T++
n (K). On en conclut que
L'ensemble T++
n (K) est sous-espace vectoriel de Mn (K).
Une autre façon de procéder est d'utiliser le fait que les noyaux 
d'applications linéaires sont des sous-espaces vectoriels de l'espace de départ.
Les ensembles Sn (K) et An (K) sont les noyaux des applications linéaires
t
t
M 7- M - M et M 7- M + M, donc ce sont des sous-espaces vectoriels
++
de Mn (K). Pour Tn (K), introduisons pour k,   [[ 1 ; n ]] la forme linéaire
k, : (mij ) 7- mk définie sur Mn (K). Ainsi, T++
n (K) s'écrit sous la forme

\

T++
n (K) =

Ker k,

166k6n

Les intersections de sous-espaces vectoriels étant encore des sous-espaces 
vectoriels, on en déduit que T++
n (K) est un sous-espace vectoriel de Mn (K).
Montrons que la famille de matrices symétriques
F = (Eii )16i6n  (Eij + Eji )16i j, on obtient
P
P
T=
tij Eij =
tij Eij
16i, j6n

16i