Mines Maths 1 PSI 2012

Thème de l'épreuve Sinus lemniscatique
Principaux outils utilisés courbes paramétrées, fonctions Ck de la variable réelle, fonctions réciproques, prolongement de fonctions

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE DES PONTS PARISTECH.

SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH
MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC).
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2012
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI

(Durée de l'épreuve : trois heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE--EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I _ PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.

Le sinus lemniscatîque

Dans ce texte on note R l'ensemble des nombres réels.

1 La lemniscate de Bernoulli

La lemniscate de Bernoulli (voir la Figure 1) est une courbe elliptique 
particuliè-
rement simple d'équation implicite

(552 +y2)2 : a:2 _ y2. (1)

FIGURE 1 -- La lemniscate de Bernoulli

Question 1 Déterminer dans le quart de plan 55 _>_ 0, y 5 0, une équation 
polaire

de la lemniscate sous la forme ,a = g (9) où la fonction 9 est définie sur 
l'intervalle
[--7T/4, 0]. Préciser les symétries permettant de recouvrer l'ensemble de la 
courbe.

Question 2 Montrer que g constitue une bijection de [--n/4, 0] sur [0,1].

Question 3 Déterminer les tangentes à la lemniscate en (O, 0)

Question 4 Déterminer dans le demi--plan a: Z 0, une équation paramétrique de la
lemniscate en fonction de p et en déduire que l'abscisse curviligne s vérifie 
l'équation

difiérentielle suivante sur {O, 1] :

1
S' (P) = ------- (2)
1 -- ,o4
2 Le sinus lemniscatique
Question5 Montrer que l'intégrale f01 ldîr converge.

On note
/1 dr

o : ------.

0 \/ 1 ---- T'4

Question 6 Que représente 0 ?

On définit la fonction F sur l'intervalle [--1,1] par l'expression suivante :

Question 7 Montrer que la fonction F est continue sur [--1,1] et de classe C°° 
sur
]--1,1[.

Question 8 Dessiner le graphe de F et en préciser le tableau de variations.
Question 9 Montrer que F est développable en série entière sur ]--1, 1[.
Question 10 Donner l'eæpression des coefficients an de cette série.

Question 11 Montrer que la série de terme général an converge (on pourra 
utiliser
la formule de Stirling : n! N 2nnn"e""} et a pour somme a. '

Question 12 Montrer que F admet une fonction réciproque F"l, continue et impaire
sur [--0, a] .

Question 13 Montrer que F _1 est de classe ClL sur ]--o,o[, calculer sa 
dérivée, en
déduire qu 'elle est de classe C1 sur [--0, a].

On prolonge la fonction F "'1 à [--o,3o] en opérant sur son graphe une symétrie
par rapport à la droite x = 0", puis on prolonge F "1 a R tout entier par 
périodicité,
on note 81 la fonction ainsi construite.

Question 14 Montrer que sl est de classe C1 sur R et exprimer sa fonction 
dérivée
Sl' en fonction de sl.

Question 15 Tracer le graphe de 81 sur [--30, So] .

3 Equation différentielle

Question 16 Montrer que sl est de classe C2 et vérifie l'équation 
difiérentielle sui--

vante sur R.
sl" (r) + 2 813 (a:) = 0. (5)

Soit f une solution de (5) sur R.
Question 17 Montrer que la fonction H définie par
H (it) = f'2 (93) + f4 (a:) (6)

est constante sur R. On note encore H cette constante.

On choisit désormais de considérer le cas où H > O, et on définit la fonction 
90 par

(p (st) = F (H'1/4f (m)) , (7)
où F a été définie à la formule (4).

Question 18 Montrer que go est de classe C1 sur tout intervalle ouvert la, 5[ 
ou ]" ne
s'annule pas et calculer alors sa dérivée. En déduire qu 'il eoeistc une 
constante 19 E R

telle que
f (a:) = H1/4Sl (Hl/4oe + b) (8)

pour tout a: E ]a,fl[.

Question 19 En déduire que ]" s'annule au moins une fois sur tout internalle 
ouoert
de longueur supérieure à 20H _1/ 4.

Question 20 Soit 5150 une racine de f' , démontrer que f" (mo) # 0 et en déduire
l'eaistence de ul et @, ul < 550 < 'Ll2, tels que ]" ne s'annule pas 
sur]u1,æ0[Uloe0,u2l.

Question 21 Démontrer l'existence de 331 = inf {ce > 330 |f' (sc) : 0}. Montrer 
que
391 > CE0 et f' (921) = 0. En déduire la valeur de £L'1 -- 330.

Question 22 De même on pose :t_1 = sup {x < 330 ]f' (:E) = O} . Montrer que f 
vérifie
(8) pour tout ce EUR ]a:_1, :t1l, puis sur R tout entier.

4 Le calcul trigonométrique généralisé
La fonction Cl est définie sur R par

_ s1' (ac)
1 + Si2 (a:) .

Question 23 Montrer que pour tout x réel on a

Cl (cv) (9)

s12 (93) + et (:s) = 1 -- 512 (a:) 012 (a:) . (10)

Question 24 Calculer la fonction dérivée Ci' de la fonction ci et en déduire 
que Ci
vérifie l'équation difiérentielle (5).

Question 25 Montrer que pour tout a: réel on a

ci (a:) = Si(o -- a:) . (11)
On définit la fonction G sur R >< R par

si (ce) si' (y) + si (y) s1' @

G :t,y =
( ) 1+le (a) si? (y)
Question 26 Montrer que G vérifie l'équation
8G _ OE _
893 -- ôy '

en déduire que pour tout a dans R, G est constante le long de la droite 
d'équation
oe+y=a

Question 27 Montrer que

Sl(æ+y) = G(a,y).
et en déduire une formule d'addition pour la fonction si, c'est--à--dire une 
eæpression
de Si(æ + y) ne faisant intervenir que Si(æ) , Si(y) , Ci(a°) et Ci(y) .

Question 28 Démontrer la formule de Fagnano, valable dans un intervalle 
{----oz,oz]>

que l'on précisera :
2:c\/ 1--æ4

2/33 d')" _/ 1+flt21 d?" (12)
0 fit?" @ \/ÎÏT4'

Fin de l'épreuve

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 1 PSI 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Benoît
Landelle (Professeur en CPGE) et Guillaume Batog (Professeur agrégé).

Ce sujet traite du sinus lemniscatique : on construit à l'aide de la lemniscate 
de
Bernoulli d'équation implicite (x2 + y 2 )2 = x2 - y 2 une nouvelle 
trigonométrie grâce
à l'expression de la dérivée de l'abscisse curviligne de la courbe. Cette 
courbe permet
d'introduire l'intégrale dite elliptique
Z 1
dt

=
1 - t4
0
que l'on peut interpréter en termes de longueur d'arc de la lemniscate.
· La première partie a pour but d'étudier les propriétés géométriques et 
métriques
du morceau de lemniscate dans un quart du plan pour en déduire la dérivée de
l'abscisse curviligne, point de départ de la suite du sujet.
Notons que les questions traitant de l'étude des courbes restent à un niveau
raisonnable, même si la notion de tangence est imprécise puisque la lemniscate
n'admet que des demi-tangentes à l'origine.
· La deuxième partie concerne la construction et l'étude de la fonction sinus
lemniscatique, notée sl, comme fonction réciproque de la fonction abscisse 
curviligne de la lemniscate, prolongée à R par symétrie et périodicité. On 
montre
en particulier des propriétés de régularité, on établit l'expression de la 
dérivée
et l'on trace son graphe. La plupart des outils nécessaires pour cette partie
relèvent de la première année : calculs de dérivées, théorème de prolongement
de classe C 1 , fonctions réciproques, etc.
· La troisième partie permet d'établir que la fonction sl vérifie l'équation 
différentielle y  + 2y 3 = 0 et que toute solution de cette équation s'exprime 
à l'aide
de sl. L'étude de l'équation différentielle fait appel à quelques raisonnements
plus fins qui requièrent d'avoir bien compris la construction de sl.
· Enfin, la quatrième et dernière partie s'attache à généraliser le calcul 
trigonométrique en construisant également le cosinus lemniscatique cl afin de 
trouver
des relations d'addition pour cette trigonométrie, en vue d'établir la formule
de Fagnano, valable pour tout réel x dans un voisinage de 0 :
2

Z

0

x

dt

=
1 - t4

Z

0

2x 1-x4
1+x4

dt

1 - t4

Dans cette partie, le plus difficile est de ne pas se perdre dans les calculs.
Ce sujet permet de s'entraîner sur des points classiques comme l'intégration sur
un intervalle quelconque, la régularité des fonctions réelles, les séries, mais 
également
sur la géométrie des courbes, ce qui est moins usuel.
Globalement, le sujet est très long, technique et certaines questions sont 
vraiment
difficiles. Par ailleurs, il y a peu de réponses fournies par le sujet pour 
contrôler ses
propres résultats. Enfin le sujet comporte quelques erreurs d'énoncé qui, sans 
être
insurmontables, posent de réels problèmes de rédaction et demandent une 
adaptation
rapide dans le temps imparti à l'épreuve.

Indications
Partie I
1 Le passage des coordonnées cartésiennes (x, y) en coordonnées polaires (, )
est décrit par les relations

x =  cos 
y =  sin 

Caractériser le quart de plan de l'énoncé par une condition angulaire. Pour les
symétries, que dire de (+
- x, +
- y) si (x, y) sont les coordonnées cartésiennes d'un
point de la lemniscate ?
3 L'origine correspond à un angle 0 tel que (0 ) = 0. En déduire que le vecteur
-------
M(0 )M() est dirigé par un vecteur unitaire ayant une limite en 0 .
4 Regarder le tracé de la lemniscate pour remarquer que le paramétrage par le
rayon pour tout x > 0 est impossible et se restreindre à x > 0, y 6 0. Remarquer
également que l'équation différentielle n'est définie que sur [ 0 ; 1 [. On 
rappelle
que l'abscisse curviligne s d'un arc (I, f ) est définie à une constante près 
par
s = kf  k
Partie II

5 Remarquer que pour tout réel t on a
1 - t4 = (1 - t)(1 + t + t2 + t3 )

6
7

8
9

10
11

12
13
14

et en déduire le comportement de l'intégrande au voisinage de 1. Conclure en
utilisant le critère de Riemann.
Considérer la formule (2) et revenir à la définition d'une abscisse curviligne.
Commencer par remarquer que l'intégrande est une fonction continue sur [ 0 ; x ]
pour tout x  ] -1 ; 1 [. Pour l'étude en +
- 1, utiliser la définition de la convergence
d'une intégrale et la question 5.
Le tableau de variations est d'une bonne aide pour le tracé du graphe. Le calcul
de la dérivée seconde permet d'exhiber les caractères convexes ou concaves.
Développer au préalable la fonction F en série entière en utilisant les 
résultats
donnés par le cours concernant le développement en série entière de la fonction
x 7- (1 + x) ainsi que l'intégration terme à terme d'une série entière.
Développer les coefficients donnés dans la question 9 de manière à faire 
intervenir
des factorielles.
Utiliser la règle de comparaison pour les séries à termes positifs. En ce qui 
concerne
l'étude au bord, montrer la convergence normale de la série sur l'intervalle 
fermé
[ 0 ; 1 ]. Pour ce faire on peut remarquer que la série entière intervenant est 
à
termes positifs.
Montrer que la fonction F est strictement croissante et en déduire qu'elle est 
une
bijection sur son image.
Considérer la relation FF-1 = Id . Pour le comportement au bord de l'intervalle,
utiliser le fait que la dérivée de F-1 y admet une limite.
Étudier d'abord ce qui se passe sur l'intervalle [ - ;  ], puis sur [  ; 3 ] en 
utilisant sl = sl( - ·). Conclure sur tout R par 4-périodicité de sl.

Partie III
16 Utiliser l'expression de sl (x) en fonction de x.
18 Montrer que la fonction H-1/4 f est à valeurs strictement inférieures à 1 
sur l'intervalle ]  ;  [. Remarquer que f est de classe C 1 et donc f  est 
continue, donc
de signe constant sur ]  ;  [.
19 Par construction, la fonction sl prend une des valeurs 1 où -1 sur tout 
intervalle
de longueur strictement supérieure à 2. Raisonner par contraposition.
20 Utiliser la relation (6) ainsi que la continuité de f  pour en déduire un 
comportement de f  au voisinage de x0 .
21 À quelle condition suffisante un sous-ensemble de R admet-il une borne 
inférieure ?
Employer ensuite la caractérisation séquentielle de la borne inférieure. Les 
zéros
de sl sont les réels en lesquels la fonction |sl| prend la valeur 1.

22 Utiliser la question 18 sur chacun des intervalles ] x-1 ; x0 [ et ] x0 ; x1 
[. Raisonner
ensuite par récurrence en utilisant le début de la question et la question 18.
Partie IV
23 Se servir de la question 17.
24 Utiliser l'expression définissant cl et la question 23.
25 Que fournit la question 22 ?
26 Commencer par établir, pour tous (x, y)  R2 , la relation

 G
(x, y) = sl (x) sl (y) + sl(y) sl (x) - 2 sl (x) sl (x) sl2 (y) G(x, y)
1 + sl2 (x) sl2 (y)
x

Utiliser ensuite la relation (5) et la symétrie de G pour montrer qu'il suffit 
d'avoir
(x, y)  R2

sl2 (x) + sl (x) sl(y) G(x, y) = sl2 (y) + sl (y) sl(x) G(y, x)

27 Calculer G(0, y) pour y  R et employer la question 26.

28 Utiliser la formule de duplication sl(2X) pour X = F(x) et x dans un 
intervalle sur
lequel les fonctions F-1 et sl coïncident. Exprimer également cl(F(x)) en 
fonction
de x.

I. La lemniscate de Bernoulli
On note L la lemniscate de Bernoulli dans tout le corrigé, ainsi que O le
point de coordonnées (0, 0). Il appartient à L .

1 Soit M dans le quart de plan  = (x, y)  R2 | x > 0 et y 6 0 , un point
différent de O. Désignons par (x, y) ses coordonnées cartésiennes. Il admet un 
unique
couple de coordonnées polaires (, ) avec  strictement positif et  dans [ -/2 ; 
0 ],
de sorte que M appartient à la lemniscate si et seulement si
(x2 + y 2 )2 = x2 - y 2  4 = 2 (cos2  - sin2 ) = 2 cos(2)  2 = cos(2)
p
Par suite, cos(2) est positif donc  est dans [ -/4 ; 0 ] et ainsi,  =
cos(2).
On remarque que cette équation est également vérifiée pour le couple de 
coordonnées
polaires (-/4, 0) de O. Ainsi, pour M  
p
M(, )  L

 = cos(2)

ce qui fournit l'équation polaire de L dans le quart de plan .
Étudions les symétries de L . Si M(x, y)  L , alors

· M(-x, y)  L donc L est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ;
· M(x, -y)  L donc L est symétrique par rapport à l'axe des abscisses.

On a aussi M(-x, -y)  L donc L est symétrique par rapport à l'origine
mais cette transformation est donnée en composant les deux symétries axiales
précédentes.
Il résulte de l'étude menée ci-dessus que
Dans le plan , une équation polaire de L est  = g() où l'on définit
(
[ -/4 ; 0 ] - [ 0 ; 1 ]
g:
p

7- cos(2)

Le reste de la courbe est obtenu à partir de son intersection avec le quart
de plan par les symétries d'axes (Ox) et (Oy).

2 Par définition, la fonction g est la composée de la fonction
(
[ -/4 ; 0 ] - [ 0 ; 1 ]
c:

7- cos(2)

qui est une bijection croissante, par la fonction ·|[ 0 ;1 ] qui est une 
bijection croissante
sur [ 0 ; 1 ]. Par composition de bijections croissantes,
La fonction g est une bijection croissante de [ -/4 ; 0 ] sur [ 0 ; 1 ].
3 On recherche les tangentes à l'origine O (unique point stationnaire d'un 
paramétrage d'une courbe en polaire). Ce sont les tangentes aux points M(0 , (0 
)) avec
(0 ) = 0. En de tels points une tangente est la droite d'équation polaire  = 0 .